ribwis1_-_lesweek_01..

IBB
ribwis1
Toegepaste wiskunde
Lesweek 01 – Deel A
Opleiding: Bouwkunde / Civiele
techniek Propadeuse, kernprogramma
2e kwartaal
1
Merkwaardige produkten
Haakjes verdrijven
Het wegwerken van haakjes bij vermenigvuldigingen.
Term: Een element van een optelling of aftrekking
Factor: Een element van een vermenigvuldiging.
2
Merkwaardige produkten
Haakjes verdrijven
M(eneer) V(an) D(alen) W(acht) O(p) A(ntwoord).





3
Machtsverheffen gaat voor op Vermenigvuldigen
Vermenigvuldigen gaat voor op Delen
Delen gaat voor op Worteltrekken
Worteltrekken gaat voor op Optellen
Optellen gaat voor op Aftrekken
Merkwaardige produkten
Haakjes verdrijven
Rekenregel 01
a x (b + c) = a x b + a x c


=
a
b+c
4
a
axb
axc
b
c
Merkwaardige produkten
Haakjes verdrijven


Rekenregel 02
(a + b) x (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d
axc
axd
b
bxc
bxd
=
a+b
c+d
5
a
c
d
Merkwaardige produkten
Haakjes verdrijven


Rekenregel 03
a(b + c + d) = ab + ac + ad
=
a
b+c+d
6
a
ab
ac
ad
b
c
d
Merkwaardige produkten
Haakjes verdrijven


Rekenregel 04
(a + p)(a + q) = a2 + (p + q)a + pq
a*a + a*q + a*p + p*q
=
a+p
a+q
7
a
a*a
a*q
p
a*p
p*q
a
q
Merkwaardige produkten
Haakjes verdrijven


Rekenregel 05
(a + b)(a – b) = a2 – b2
a*a – a*b + a*b – b*b
axa
-axb
b
axb
-bxb
a
b
=
a+b
a-b
8
a
Merkwaardige produkten
Haakjes verdrijven


Rekenregel 06
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
a*a + a*b + a*b + b*b
a*a
a*b
b
a*b
b*b
=
a+b
a+b
9
a
a
b
Merkwaardige produkten
Haakjes verdrijven


Rekenregel 07
(a – b)2 = (a - b)(a - b) = a2 – 2ab + b2
a*a – a*b – a*b -b*-b
=
a-b
a-b
10
a
a*a
- a*b
-b
- a*b
-b*- b
a
-b
Voorbeeld – Haakjes wegwerken
11
Uitwerking – Haakjes wegwerken
12
Merkwaardige produkten
Ontbinden in factoren
Ontbinden in factoren
 Het omgekeerde van haakjes verdrijven
 Wordt toegepast bij het oplossen van vergelijkingen
en vereenvoudigen van breuken
 De rekenregels 3 tot en met 8 maar nu van links
naar rechts gelegen.
 Bij ontbinden in factoren dienen de termen een
dalende reeks van de machten te vormen.
13
Merkwaardige produkten
Ontbinden in factoren

Rekenregel 08


Rekenregel 09


a2 + (p + q)a + pq = (a + p) x (a + q)
Rekenregel 11

14
ac + bc + ad + bd = (a + b) x (c + d)
Rekenregel 10


ab + ac + ad = a(b + c + d)
a2 – b2 = (a + b) x (a – b)
Merkwaardige produkten
Ontbinden in factoren

Rekenregel 12


Rekenregel 13


a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Rekenregel 14

15
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
x2p – y2q = (xp)2 – (yq)2 = (xp – yq)(xp+yq)
Merkwaardige produkten
Ontbinden in factoren

Rekenregel 15

x2p ± 2xpyq + y2q = (xp)2 ± 2xpyq + (yq)2
= (xp ± yq)2
 Rekenregel 16

ax2 + bx + c = (rx + p)(sx + q),

16
met r en s gegeven; voor p en q geldt pq = c en
(rq + ps) = b
Voorbeeld Merkwaardige produkten
17
Uitwerking Merkwaardige produkten
18
Oplossen van vergelijkingen
Linkerlid en rechterlid mogen;
 met hetzelfde getal vermenigvuldigd worden
 met hetzelfde getal vermeerderd worden
 met hetzelfde getal verminderd worden
 door hetzelfde getal gedeeld worden.
19
Oplossen van vergelijkingen


20
Het ontbinden in factoren wordt toegepast bij
het oplossen van vierkantsvergelijkingen
Een tweede manier om de kwadratische
vergelijking op te lossen is de ABC-formule
Definitie
Definitie vierkants- of tweedegraadsvergelijking:

ax2 + bx + c = 0

21
(a, b en c zijn constanten en a ≠ 0)
Oplossen van vergelijkingen

Theorie om vierkantsvergelijking met
ontbinden in factoren op te lossen
Herleid de vergelijking op nul
 Bepaal welke rekenregels de vergelijking te
ontbinden is en voer deze uit.
 Stel beide factoren gelijk aan nul en los de zo
verkregen vergelijkingen op.

22
Voorbeeld 2e graadsvergelijking
23
Grafiek: y = x2 + 5x + 6
24
Voorbeeld 2e graadsvergelijking
25
Uitwerking 2e graadsvergelijking
26
Grafiek: y = x2 + 5x + 4
27
ABC-formule



28
Vierkantsvergelijking oplossen met de ABCformule
Indien de vierkantsvergelijkin ax2 + bx + c = 0 niet
zomaar met het ontbinden in factoren is op te lossen
gebruikt men de ABC-formule. Voor x1 en x2 geldt
dan;
Discriminant
D = Discriminant = b2 – 4ac




29
Als de uitkomst van b2 – 4ac onder het wortelteken negatief
is zijn er geen reële oplossingen
D < 0, geen oplossing voor de vierkantsvergelijking
D = 0, dan twee gelijke oplossingen
D > 0, dan twee oplossingen.
Voorbeeld ABC-formule

30
8x2 + 20x -28 = 0
Uitwerking ABC-formule
31
Uitwerking ABC-formule
32
Uitwerking ABC-formule
x = - 3 ½ of x = 1
33
Grafiek: y = 8x2 + 20x - 28
34
Stelsel Eerstegraadsvergelijking
Het bij elkaar horend aantal eerstegraadsvergelijkingen
waaraan de onbekenden gelijktijdig moeten voldoen,
heet een stelsel van lineaire vergelijkingen (in x en y).
35
Stelsel Eerstegraadsvergelijking

Stelsel lineaire vergelijkingen of
eerstegraadsvergelijkingen
Wordt toegepast voor het bepalen van een
snijpunt van twee elkaar snijdende lijnen.
 Hiervoor twee methoden om tot een oplossing te
komen

Eliminatiemethode
 Substitutiemethode

36
Theorie bij een stelsel van meer dan 2 vergelijkingen

37
Bij gebruik van de eliminatiemethode moet het
stelsel herleid worden tot een stelsel waarin twee
vergelijkingen zitten met twee onbekenden.
Voorbeeld eliminatiemethode#1
 x y 5

2 x  3 y  13
2( x  y)  2 * 5
 x  y  5 *2

 2 x  2 y  10



2 x  3 y  13 * 1
 1 * (2 x  3 y )  1 *13
 2 x  3 y  13
2 x  2 y  10
2 x  6  10
x  2



  y  3
 y3
y  3
38
Grafiek: x + y = 5 & 2x + 3y = 13
39
Voorbeeld eliminatiemethode#2
 t s
  5
 3 5
3s  5t  15
 t s
5t  3s  75
 5t  3s  75
   5 *15


 3 5
*1
3s  5t  15
 5t  3s  15



3
s

5
t

15

40
5t  3s  75
5t  45  75
t 6



 6s  90
 s  15
s  15
Eliminatiemethode

Theorie eliminatiemethode





41
werk breuken weg
pas de volgorde van de termen zo aan dat gelijksoortige
termen onder elkaar staan.
Vermenigvuldig beide regels zodanig dat de coefficienten
voor één van de onbekenden hetzelfde en tegengesteld
zijn, zodat na optelling van beide regels de onbekende
geëlimineerd is.
Reken de waarde van de overgebleven onbekende uit.
Substitueer de gevonden waarde in de andere regel en
reken de waarde uit van de andere onbekende.
Grafiek: 1/3S + 1/5T = 5 & 3S – 5T = 15
42
EINDE
Docent: M.J.Roos
WWW.HRO.MROOS.COM
43