Samenvatting Kwadratische functies – Parabolen

Kwadratische vergelijkingen oplossen
Vooraf: Kwadratische vergelijkingen spelen naast wiskunde een rol bij
vakken als economie en natuurkunde. Bij economie bereken je bijvoorbeeld
met modellen opbrengsten en winsten, bij natuurkunde kom je ze tegen bij het berekenen van
snelheden, versnellingen en bij krachten.
Ook iets om te onthouden: Een kwadratische vergelijking heeft over het algemeen 2 oplossing en
ze zijn vaak met behulp van ontbinden te vinden.
Je hebt 3 manieren geleerd om een kwadratische vergelijking op te lossen:
1. Met kwadraten
2. Met ontbinden in factoren
3. Met de abc-formule
bv. 2 x 2  6  0
(in speciale gevallen als het kan)
2
bv. x  7 x  10  0 (meest gebruikt en kort)
bv. x 2  7 x  9  0 (als ontbinden niet lukt)
1. Met kwadraten
Deze methode werkt als je de vergelijking zo kan schrijven dat er links en rechts van het = teken
een kwadraat van iets komt te staan.
- Makkelijke voorbeelden:
vb1: x 2  25
x  5 of x  5
vb2: x 2  3
- Stapje extra:
vb3: 12 x 2  2  0
vb4:  2 x 2  6  0
1
2
x2  2
x2  4
x  2 of x  2
x  3 of x   3
( x  1,73 of x  1,73 )
 2 x 2  6
x2  3
x  3 of x   3
2. Met Ontbinden in factoren (met haakjes schrijven)
Voor het volgende onderdeel heb je ontbinden in factoren nodig. Weet je het nog?
Schrijf je een optelling met behulp van haakjes als een vermenigvuldiging, dan heet dat
ontbinden in factoren. Hoe doe je dat:
1. Buiten haakjes halen:
- Zoek de grootste factor waardoor je de
termen kunt delen:
- Zet deze factor voor de haakjes
- Je berekent wat binnen de haakjes staat
(delen) en vult dat in
- Extra regel: Begint de som met een minteken, dan zet je dat ook voor de haakjes
Ontbind: 3x  12 = 3( x  4)
(beiden termen delen door 3 )
Ontbind: 3x 2  12 x  3x( x  4)
(beiden termen delen door 3 x )
Ontbind:  3x 2  12 x   3x( x  4)
(beiden termen delen door  3x )
2. Product-som methode:
- x 2 komt van x maal x
- Zoek 2 getallen met als product het losse
getal van de opgave (meestal het laatste).
- Welke van die getallen heeft de juiste
som. Die som vind je bij de term met de
letter.
- Schrijf de ontbinding met haakjes.
Ontbind: : x 2  8x  12  ( x  2)( x  6)
( som  8, prod  12 )
Ontbind: : x 2  8x  20  ( x  10)( x  2)
( som  8, prod  20 )
Ontbind: : x 2  18  9 x  ( x  6)( x  3)
( som  9, prod  18 )
Maak nu:
1. Ontbind:
2. Ontbind:
a. x 2  10 x
b.  12 x 2  7 x
e. x 2  7 x  10
f. x 2  6 x  27
i.  2 x 2  44 x
j. x 2  6 x  7
c. 3x 2  24 x
d.  63  7 x
g. x 2  3x  88
h. x 2  49  14 x
k. 3x 2  24 x  21
l.  5x 2  10 x  5
a. x 2  10 x  9
b. x 2  36 x
e. x 2  64
f. x 2  4 x  45
i. 2 x 2  8x  10
j. 12 x 2  7 x  16
c. x 2  24 x  52
d. x 2  63  2 x
g. x 2  19 x  84
h. x 2  15x  56
k.  4 x 2  36
l.  x 2  x  42
Nu de vergelijking oplossen met behulp van ontbinden in factoren:
Bij het oplossen van een kwadratische vergelijking met behulp van ontbinden in factoren maak je
gebruik van de volgende stappen:
1. Herleid de vergelijking op nul. (zorg dat alle termen links van het = teken staan)
2. Ontbind in factoren.
3. Gebruik de regel: Als A * B = 0 dan A = 0 of B = 0
4. Los verder op en schrijf de oplossing(en) op
Voorbeelden:
Los op:
Los op:
x 2  5x  4  0
( x  1)( x  4)  0
x  1  0 of x  4  0
x  1 of x  4
x 2  8x  9
x 2  8x  9  0
( x  9)( x  1)  0
x  9  0 of x  1  0
x  9 of x  1
Los op:
3x 2  15x  12  0
3( x 2  5x  4)  0
( x  1)( x  4)  0
x  1  0 of x  4  0
x  1 of x  4
 Hier haal je eerst 3 buiten haakjes,
maar dat levert geen extra oplossing.
Bij het oplossen van een vergelijking
mag je dus ook links en rechts alle
termen door 3 delen.
Tip: Staan er in de opgave nog haakjes, maar de vergelijking is niet op 0 herleid, dan moet je die
haakjes eerst wegwerken.
Maak nu:
3. Los op:
a. x 2  8x  7  0
b. x 2  12 x  28
c. x 2  7 x  10
d. x 2  6 x  16
e. x 2  x  2 x  42
f. 3x 2  10 x  x  54
4. Los op:
a. x( x  6)  7
c. 2 x  x 2  8x  7
e.
b. x  x  4( x  1)
d. 2 x  6 x  20
f. x  10 x  2 x( x  5)
2
2
x x40
1 2
2
2
5. Ga naar de site: www.marcelsilvius.nl en oefen met het volgende programma:
Netwerk 4e editie
3HV - H6
Eenvoudige kwad.verg met
ontbinden