hstuk 3 - 3vwo

Getal & Ruimte > Wiskunde
Hoofdstuk 3
3.1 Kwadratische functies
Theorie A functiewaarden berekenen
De functie f(x) = x2 – 7 is een voorbeeld van een kwadratische functie.
Bij het origineel x = 3 hoort het beeld f(3) = 32 – 7 = 9 – 7 = 2.
Het beeld van 3 heet ook de functiewaarde van 3.
De functiewaarde van -6 is gelijk aan f(-6) = (-6)2 – 7 = 36 – 7 = 29.
Denk hierbij aan de haakjes om -6.
Zo kun je van elk origineel x het bijbehorende beeld y berekenen.
De functie f wordt daarom ook gegeven door de formule y = x2 – 7.
Notaties voor een functie
Haakjesnotatie
f(x) = x2 – 7
Formule
y = x2 -7
Ook de functie g(x) = 2x2 – 5x – 8 is een kwadratische functie.
Om g(3) te berekenen vervang je elke x door 3.
Je krijgt g(3) = 2 . 32 – 5 . 3 – 8 = 2 . 9 – 15 – 8 = 18 – 15 – 8 = -5.
En zo is g(-2) = 2 . (-2)2 – 5 . -2 – 8 = 2 . 4 + 10 – 8 = 8 + 10 – 8 = 10.
Theorie B dal- en bergparabool
De functies f(x) = x2 – 5x + 8 en g(x) = -2x2 + 3x zijn voorbeelden van kwadratische functies.
Een kwadratische formule f heeft de vorm f(x) = ax2 + bx + c met a ≠ 0
Neem je a = 1, b = -5 en c = 8, dan krijg je f(x) = x2 -5x + 8.
Neem je a = -6, b = 8 en c = 0, dan krijg je f(x) = -6x2 + 8x.
De grafiek van een kwadratische functie is een parabool.
Aan het getal a dat voor x2 staat, kun je zien wat voor parabool het is.
Is a een positief getal, dan krijg je een dalparabool. Zo is de grafiek va f(x) = x2 -5x + 8 is een
dalparabool.
Is a een negatief getal, dan krijg je een bergparabool. Zo is de grafiek van f(x) = -6x2 + 8x een
bergparabool.
On een parabool te tekenen maak je eerst een tabel. Maak de tabel niet te lang. Neem vijf à
zeven punten. Het je twee keer dezelfde y gevonden, dan kun je bij het invullen van de tabel de
symmetrie gebruiken. Zo kun je bij f(x) = -x2 + 2x + 3 stoppen met rekenen bij x = 2. Uit de
symmetrie volgen de y-waarden bij x = 3 en x = 4.
X
F(x)
-2
-5
-1
0
0
3
1
4
2
3
3
0
4
-5
Getal & Ruimte > Wiskunde
Hoofdstuk 3
Theorie C toepassingen van kwadratische functies
Bij ingewikkelde kwadratische functies gebruik je de rekenmachine om functiewaarden te
berekenen. Bij f(x) = -0,3x2 + 5,4 + 8,3 is de functiewaarde van 7 gelijk aan f(7) -3 . 72 + 5,4 . 7 +
8,3 = 31,4.
Tik in: (-) 0.3 x 7 x2 + 5.4 x 7 + 8.3 =.
3.2 Kwadratische vergelijkingen
Theorie A het oplossen van kwadratische vergelijkingen
Voorbeelden van kwadratische vergelijkingen zijn 3x2 + 5x = 0, x2 – 6x – 16 = 0 en ½ a2 + a – 4 = 0.
Bij het oplossen van deze vergelijkingen gebruiken je ontbinden in factoren.
Werkschema: zo los je een kwadratische vergelijking op
1. Maar het rechterlid nul
2. Ontbind het linkerlid in factoren
3. Gebruik: uit A . B = 0 volgt A = 0 V B = 0
Theorie B vergelijkingen vereenvoudigen
Bij het oplossen van 3x2 + 15x – 18 = 0 heeft het geen zin twee getallen te zoeken met het
product -18 en som 15, want er staat 3x2 en niet x2.
Om de vergelijking 3x2 + 15x – 18 = 0 te vereenvoudigen deel je eerst alle termen door 3.
Je krijgt
3x2 + 15x – 18 = 0
deel alle termen door 3
x2 + 5x – 6 = 0
(x + 6)(x – 1) = 0
x+6=0Vx–1=0
x = -6 V x = 1
3.3 Snijpunten van grafieken
Theorie A snijpunten met de coördinaten
Voor het berekenen van de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van de functie f met de
x-as en de y-as ken je de volgende regels.
Snijpunten met de coördinaten
Snijpunten met de x-as
de y-coördinaat is 0
De x-coördinaat is volgt uit f(x) = 0
Dus los op f(x) = 0
Snijpunten met de y-as
de x-coördinaat is 0
De y-coördinaat is f(0)
Dus bereken f(0)
Getal & Ruimte > Wiskunde
Hoofdstuk 3
Theorie B grafieken en snijpunten
De snijpunten van de grafieken van de functies f en g krijg je als volgt.


De x-coördinaat volgt uit f(x) = g(x)
De y-coördinaat krijg je door de gevonden oplossingen bij f(x) of bij g(x) in te vullen
3.4 De abc-formule
Theorie A oplossen met de abc-formule
Er zijn kwadratische vergelijkingen sie je niet kunt oplossen door te ontbinden in factoren.
Gelukkig is er een formule waarmee je can elke kwadratische vergelijkingen die oplossingen kunt
berekenen. Die formule heet de abc-formule
Werkschema: zo los je met de abc-formule een kwadratische vergelijking op
1. Schrijf de vergelijking in de form van ax2 + bx + c = 0
2. Vermeld a, b en c
3. Bereken D = b2 – 4ac
4. De oplossingen zijn 𝑥 =
−𝑏−√𝐷
2𝑎
en 𝑥 =
−𝑏+ √𝐷
2𝑎
Na het vermelden van a, b en c bereken je D = b2 – 4ac.
D = b2 – 4ac heet de discriminant van de vergelijking ax2 + bx + c = 0
De abc-formule
De oplossingen van de vergelijking ax2 + bx + c = 0 met a ≠ 0 zijn 𝒙 =
−𝒃−√𝑫
en
𝟐𝒂
𝒙=
−𝒃+ √𝑫
.
𝟐𝒂
Hierbij is D = b2 – 4ac.
Theorie B het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking
Als je de abc-formule toepast, komt √𝐷 lang niet altijd mooi uit. Je gebruikt dan de
rekenmachine om de oplossingen te benaderen.
Soms zijn er geen oplossingen of is er slechts één oplossing.
Het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking hangt af van de discriminant. Van
x2 + x + 2 = 0 is D = -7, dus D < 0.
Er zijn geen oplossingen.
Van 4x2 – 20x + 25 = 0 is D = 0.
Er is één oplossing.
Het aantal oplossingen van ax2 + bx + c = 0 is
 Nul als D < 0
 Één als D = 0
 Twee als D > 0
Theorie C de ligging van een parabool ten opzichte van de x-as
Om de coördinaten van de snijpunten van de parabool y = ax2 + bx + c met de x-as te berekenen,
moet je de vergelijking ax2 + bx + c = 0 oplossen. Het aantal oplossingen kan twee, één en nul
zijn.
Dat aantal hangt af van de discriminant.
Dus het aantal snijpunten van de grafiek van f met de x-as hangt af van D.
Is van ax2 + bx + c = 0
 D > 0, dan zijn er twee oplossingen, dus de parabool heeft twee snijpunten met de x-as.
Getal & Ruimte > Wiskunde
Hoofdstuk 3

D = 0, dan is er één oplossing, dus de parabool heeft één punt met de x-as gemeen. De
parabool raakt de x-as.
 D < 0, dan zijn er geen oplossingen, dus de parabool heeft geen snijpunten met de x-as.
Hieronder zie je in drie schetsen hoe de ligging can een parabool ten opzichte van de x-as afhangt
van de discriminant. We beperken ons in het figuur tot dalparabolen, dus tot
y = ax2 +
bx + c met a > 0.
Theorie D functies met een parameter
F(x) = x2 + 4x + p
Voor elke p krijg je een functie van de vorm f(x) = x2 + 4x + …
Je hebt dus niet met één functie te maken, maar met oneindig veel functies, kies je p = 8, dan
krijg f(x) = x2 + 4x + 8. van deze functie is de grafiek een dalparabool (a = 1, dus a > 0) die geen
punten met de x-as gemeen heeft (D = 42 – 4 . 1 . 8 = -16, dus D < 0).
In f(x) = x2 + 4x + p heet p een parameter. Deze parameter (hulpvariabele) helpt je als het ware
om de oneindig veel functies kort te noteren.
3.5 Verschillende oplossingsmethoden
Theorie A drie methoden
I x2 = c
Het is niet handig elke kwadratische vergelijking met de abc-formule op te lossen. Zo kun je de
oplossingen van de vergelijking x2 = 16 direct opschrijven.
𝑥 2 = 16 𝑔𝑒𝑒𝑓𝑡 𝑥 = √16 = 4 𝑉 𝑥 = −√16 = −4.
1
1
Bij 𝑥 2 + 16 = 0 krijg je 𝑥 2 + 16 = 0 → 𝑥2
2
2
𝑥 2 + 32 = 0
𝑥 2 = −32
Geen oplossingen
II Ontbinden in factoren
De vergelijking x2 + x – 2 = 0 los je op met ontbinden in factoren. Immers x2 + x – 2 = 0 geeft
(x + 2)(x – 1) = 0, enzovoort.
Soms moet je een vergelijking eerst vereenvoudigen voordat je kunt ontbinden in factoren. Bij
15x2 + 30x = 45 breng je 45 naar het linkerlid en deel je alle termen door 15. Je krijgt
X2 + 2x – 3 = 0, ofwel (x + 3)(x – 1) = 0, enzovoort.
III De abc-formule
De vergelijking x2 + 5x – 4 = 0 los je op met de abc-formule, want ontbinden in factoren lukt niet.
Bij de vergelijking ½ x2 + 2 ½ x – 2 = 0 vermenigvuldig je eerst alle termen met 2 om te kunnen
zien of je al dan niet kunt ontbinden in factoren