Vier manieren om een kwadratische vergelijking op te

Vier manieren om een kwadratische vergelijking op te
lossen
©Wisnet-HBO aug. 2008
Het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen kan op vier manieren.
1. Met ontbinden in factoren
2. Met het schema x 2  4  x  2 of x  −2.
3. Met kwadraatafsplitsen en dan weer volgens het schema van punt 2
4. Met de abc-formule
1. Met ontbinden in factoren
Herleid de vergelijking op 0 en probeer de ontbinding te vinden.
Als dat lukt, ben je snel klaar.
Voorbeeld 1
x2  5 x  6  0
Met ontbinden in factoren
x2  5 x  6  0
x  3x  2  0
x  −3 of x  −2
Voorbeeld 2
x 2 − 5 x − 50  0
Met ontbinden
x 2 − 5 x − 50  0
x  5x − 10  0
x  −5 of x  10
Voorbeeld 3
x2 − 5 x  0
Met ontbinden
x2 − 5 x  0
x x − 5  0
x  0 of x  5
2. Met het schema x 2  4  x  2 of x  −2
Links een kwadraat met x.
Dan is het met links en rechts de tweedemachtswortel snel klaar.
Voorbeeld 4
x − 3  16
2
Links en rechts de wortel en dan plus of min
x − 3 2  16
x − 3  4 of x − 3  −4
x  7 of x  −1
Voorbeeld 5
2 x  5  6
2
Links en rechts de wortel en dan plus of min
2 x  5 2  6
2x  5 
6
of 2 x  5  − 6
2 x  −5  6
of 2 x  −5 − 6
6
x  −5 
2
2
6
of x  − 5 −
2
2
3. Met kwadraatafsplitsen
Voorbeeld 6
4 x 2 −16 x  16  5
Als je de linkerkant van het -teken ontbindt in factoren, zie je dat er een
kwadraat staat.
(Ga na dat 4 x 2 − 16 x  16  2 x − 4 2 )
Als dat lukt, kun je weer volgens het schema van punt 2 werken.
4 x 2 − 16 x  16  5
2 x − 4 2  5
2x − 4 
5
of 2 x − 4  − 5
2x  4  5
x
Voorbeeld 7
4 5
2
of 2 x  4 − 5
of x 
4− 5
2
x2 − 6 x  3  0
Vul links en rechts de vergelijking aan zodat er links een kwadraat komt te
staan.
(Ga na dat x 2 − 6 x  9  x − 3 2 )
Daarna kun je weer volgens punt 2 werken.
x2 − 6 x  3  0
x2 − 6 x  9  6
x − 3 2  6
x−3 
6
of x − 3  − 6
x  3 6
of x  3 − 6
Voorbeeld 8
16 x 2 32 x  7  0
Vooral als er grote getallen komen, is het handig om te kijken of er ook een
kwadraat gemaakt kan worden.
(Ga na dat 16 x 2  32 x  16  4 x  4 2 )
Vul links en rechts van het -teken aan met een geschikt getal.
16 x 2  32 x  7  0
16 x 2  32 x  16  7  16
4 x  4 2  9
4 x  4  3 of 4 x  4  −3
4 x  −1 of 4 x  −7
x  − 1 of x  − 7
4
4
Voorbeeld 9
x2 − 7 x  3  0
Vul links en rechts de vergelijking aan zodat er links een kwadraat komt te
staan.
Ga na dat :x − 72  2  x 2 − 7 x  494
x2 − 7 x  3
x 2 − 7 x  49  3
4
x − 7  2
2
7
x −  2
2
0
 49
4
 49 − 3
4
49

− 12
4
4
37
37
x− 7 
of x − 7  −
2
2
2
2
37
37
x 7 
of x  7 −
2
2
2
2
4. Met de abc-formule
a x 2  b x  c  0 en D  b 2 − 4 a c
x
−b  D
2a
of x 
−b − D
2a
Voorbeeld 10
x 2 − 5 x − 50  0
Ga na dat a  1 en b  −5 en c  −50.
Discriminant D  b 2 − 4 a c  25 − 4  1  −50  225.
5 − 225
5  225
of x 
2
2
5

15
5
−
15
x
of x 
2
2
x  10 of x  −5
x
Omdat het zo mooi uitkwam met de wortel, had je ook kunnen bedenken dat de
vergelijking opgelost had kunnen worden met ontbinden
x 2 − 5 x − 50 0
x − 10 x − 5  0
x  10 of x  −5
Voorbeeld 11
20 x  4 x 2 19  0
Let op dat de volgorde niet de standaardvolgorde is.
Ga na dat a  4 en b  20 en c  19.
Discriminant D  b 2 − 4 a c  400 − 4  4  19  96
Maak de wortel ook altijd zo klein mogelijk!
96  4 6
−20  96
−20 − 96
of x 
8
8
−20  16  6
−20 − 16  6
x
of x 
8
8
−20  4 6
−20 − 4 6
x
of x 
8
8
−5  6
−5 − 6
x
of x 
2
2
6
6
x  −5 
of x  −5 −
2
2
2
2
Je had hier niet kunnen ontbinden maar misschien wel kwadraatafsplitsen door
links en rechts met 6 aan te vullen.
x
20 x  4 x 2 19 0
4 x 2 20 x  19 0
4 x 2 20 x  25 6
2 x  5 2  6
2x  5 
6
of 2 x  5  − 6
2 x  −5  6
6
x  −5 
2
2
of 2 x  −5 − 6
6
of x  −5 −
2
2