Oplossen van derdegraads vergelijkingen

Oplossen van derdegraads vergelijkingen
ABC-formule
Voor het oplossen van derdegraads vergelijkingen zijn meerdere manieren mogelijk. Het
hangt ook van de formule af welke methode je nodig hebt. Voor een formule in de vorm
van ax 3  bx 2  cx  0 kun je een x buiten haken halen. Je hebt dan een x en een
tweedegraads vergelijking over. Die tweedegraads vergelijking kun je meestal ontbinden
in factoren om de antwoorden te vinden. Hier staat een voorbeeld.
2x3  4x 2  6x  0


x 2x 2  4x  6  0
x( x  2 x  3)  0
2
x x  1 x  3  0
x  0  x 1  0  x  3  0
x  0  x  1  x  3
Bij deze formule was het makkelijk om de antwoorden te bereken maar er zijn ook
tweedegraads vergelijkingen die je niet zo makkelijk kan ontbinden in factoren. Daarvoor
is de ABC-formule gemaakt. Met deze formule kun je een tweedegraads vergelijking
oplossen.
We beginnen eerst weer met een derdegraads vergelijking. Hier halen we eerst weer een
x buiten haken.
2x3  x2  6x  0
x 2 x 2  x  6   0
1


x x 2  x  3  0
2


Hier is dus een tweedegraads vergelijking die je niet zomaar oplost. Hiervoor is de
ABC-formule gemaakt. Een tweedegraads vergelijking bestaat altijd uit de termen
ax 2  bx  c  0 Je moet de a en de b en de c nemen en invullen in de ABC-formule.
De ABC-formule ziet er zo uit: D  b 2  4ac . D is hierin de discriminant.
Nu verder met onze opgave:
1
a  1 , b  en c  3
2
2
D  b  4ac
2
1
D     4  1  3
2
1
D   12
4
1
D  12
4
Nu kun je met twee formules voor de snijpunten en de discriminant de oplossingen
berekenen. De formules voor de snijpunten zijn:
b D
b D
 x2 
2a
2a
In de opgave volgt hieruit:
1
1
1
1
  12
  12
4 x  2
4
x1  2
2
2 1
2 1
1
1
1
1
 3
 3
2 x  2
2
x1  2
2
2
2
4
3
x1 
 x2 
2
2
1
x1  2  x 2  1
2
Dit zijn dus de snijpunten met de x-as.
x1 
In het algemeen betekent dit dus dat je de oplossingen van een vergelijking in de vorm
van ax 3  bx 2  cx  0 op de volgende wijze moet berekenen.
ax 3  bx 2  cx  0


x ax 2  bx  c  0
x  0  ax 2  bx  c  0
Er is dus altijd de oplossing x=0, voor de andere oplossing geld de ABC-formule:
D  b 2  4ac
Als de a , de b en de c goede getallen zijn komt er voor de discriminant een getal groter
dan nul uit. Dat kun je invullen in de formules om de snijpunten te berekenen.
b D
b D
x1 
 x2 
2a
2a
Als de drie getallen uit de tweedegraads vergelijking in de ABC-formule zorgen voor
D  0 is er maar een oplossing. Je kunt dan namelijk de D uit de formule van de
snijpunten laten.
b
x
2a
Je houd dan twee keer hetzelfde deze breuk over. Vul de getallen in en je krijgt twee keer
hetzelfde snijpunt. Er is dus maar een oplossing.
Bij een te grote a of c komt er een negatieve discriminant uit de formule. Daaruit kun
je nu nog concluderen dat er geen oplossingen zijn (later in het verslag wel). Een wortel
uit een negatief getal kunnen we niet uitrekenen en dus kun je geen coördinaten
berekenen.
Hieruit blijkt dus dat de a , de b en de c een grote invloed uitoefenen op het antwoord.
Is de b een klein getal en zijn de a en de c groot zijn er geen oplossingen. Zijn de drie
getallen precies zo dat de discriminant nul wordt is er maar een antwoord. Voor alle
andere getallen zijn er twee oplossingen.