De a,b,c-formule voor kwadratische vergelijkingen De a,b,c

De a,b,c-formule voor kwadratische vergelijkingen
WISNET-HBO
update aug. 2013
De a,b,c-formule
Bekend moet zijn de a,b,c-formule voor het oplossen van kwadratische
vergelijkingen.
De algemene vorm voor een kwadratische vergelijking in x is:
De twee oplossingen zijn
x=
en x =
Als de vorm onder het wortelteken (de Discriminant) een negatief getal is
(discriminant kleiner dan 0), dan heeft de vergelijking geen oplossingen in de
verzameling van reële getallen maar wél in de complexe getallen C (te herkennen aan
de imaginaire eenheid).
Zie bij Voorbeeld 2.
voorbeeld 1
Een tweedegraads vergelijking:
Hierin is
en
en
.
De discriminant
.
Met pen en papier of met de computer komen er nu twee oplossingen van deze
vergelijking.
of
of
met de computer
Voorbeeld 2
Een tweedegraads vergelijking:
Hierin is
en
en
.
De discriminant
.
Als de Discriminant kleiner is dan 0, kunnen we geen oplossing vinden in
de Reële getallen maar wel in de Complexe getallen als we aannemen dat
of
Stel dan
of
of
Twee complexe oplossingen als de discriminant kleiner is dan 0 (de waarde van de
discriminant is gelijk aan -59).
Kijk bij de cursus Complexe Getallen 1 in Wisnet voor meer informatie hierover.
Eventueel kunnen deze waarden benaderd worden met decimale getallen (floating
point).
Met de computer
Afleiding van de a,b,c-formule
De afleiding van de a,b,c-formule is met enkele stappen te controleren:
Ga uit van de algemene kwadratische vergelijking:
Alles links en rechts delen door a.
Kwadraat afsplitsen:
(Zie voor kwadraat afsplitsen in de cursus Algebra 2 in Wisnet
Kwadraat links houden en de rest naar rechts brengen:
Rechts gelijknamig maken en tot één breuk herleiden:
Links en rechts de wortel trekken:
of
De term
naar rechts brengen:
of
Onder één noemer brengen:
of