Haakjes - de Wageningse Methode

Algebraïsche vaardigheden
Opdracht
Elk groepje krijgt een aantal kaartjes. Voer de opdrachten op de kaartjes uit.
© 2012
Op dit werk zijn de bepalingen van Creative Commons van toepassing. Iedere gebruiker is vrij het
materiaal voor eigen, niet-commerciële doeleinden aan te passen. De rechten blijven aan de
Wageningse Methode.
Buiten het boekje bij Algebraïsche vaardigheden
Probleem 1
Probleem 2
(a2+b2)  (c2+d2) = (ac+bd)2+(bc–ad)2
Kies voor a, b, c en d enkele getallen en controleer of de formule voor die
keuze klopt.
Kies voor a, b en c enkele getallen en controleer de onderstaande formule voor
die keuze klopt: (a+b+c)2 + (a+b–c)2+(a–b+c)2+(-a+b+c)2 = 4(a2+b2+c2)
Opdracht 1
Toon aan dat de formule klopt voor de volgende drie speciale gevallen:
b=d=0
a = b en c = d
a = c en b = d
Opdracht 2
Bewijs de formule van opdracht 1 door beide leden van de formule zonder
haakjes en zo eenvoudig mogelijk te schrijven.
Probleem 3
Elk even getal kun je schrijven als 2k, elk oneven getal als 2k+1, met k geheel.
Opdracht 1
Het kwadraat van een even getal is een viervoud.
- Controleer dat voor elke gevallen. Kun je uitleggen dat dat algemeen geldt?
Opdracht 2
Het kwadraat van een oneven getal is een viervoud plus 1.
- Controleer dat voor elke gevallen. Kun je uitleggen dat dat algemeen geldt?
Opdracht 3
Bestaat er een kwadraat dat eindigt op 41? En op 42? En op 43? En op 44?
Opdracht 4
Elk getal is een drievoud, een drievoud plus 1 of een drievoud plus 2.
Het kwadraat van een getal is altijd een drievoud of een drievoud plus 1.
- Toon dat aan.
Buiten het boekje bij Algebraïsche vaardigheden
Opdracht 1
Toon aan dat de formule klopt voor de volgende twee speciale gevallen:
c=0
a=b
Opdracht 2
Bewijs de formule van opdracht 1 door beide leden van de formule zonder
haakjes en zo eenvoudig mogelijk te schrijven.
Opdracht 3
Maak net zo’n formule:
(a+b+c)2 + (a+b–c)2–(a–b+c)2–(-a+b+c)2=…
Probleem 4
1, 2, 4 kun je schrijven als som van twee kwadraten:
1 = 02 + 12 ; 2 = 12 + 12 ; 4 = 02 + 22
3 kun je niet schrijven als som van twee kwadraten. 13 wel: 22 + 32
Opdracht 1
Maak een tabel met kop:
a b
a2 +b2
2(a2 +b2)
s
t
Vul voor a en b getallen in, en zoek hierbij getallen s en t zó, dat
s2+t2=2(a2 +b2)
Opdracht 2
Laat zien: als een getal som is van twee kwadraten, dan is het dubbele dat ook.
2
Probleem 6
Probleem 5
Ga na:
1234+1 is een kwadraat;
Ga (zonder rekenmachine) na dat het volgende juist is.
5
5
24
 5
5
24
, 13
13
168

13
13 168
2345+1 is een kwadraat.
Opdracht 1
In formulevorm luidt de wortelvereenvoudiging: a
a
b
 a
a
b
.
Zoek twee getallen a en b waarvoor de formule niet klopt.
Zoek ook twee getallen a en b (a5 en a13) waarvoor de formule wel klopt.
Opdracht 2
Bepaal de getallen a en b waarvoor a
a
b
 a
a
b
Opdracht 1
Formuleer een vermoeden in formuletaal.
Opdracht 2
Bewijs de formule van opdracht 1.
juist is.
Probleem 7
- Neem drie opeenvolgende gehele getallen.
- Bereken de derdemachten van deze getallen.
- Tel de grootste en de kleinste derdemacht op en trek er twee keer de
middelste derde macht af.
- Vergelijk het resultaat met het middelste van de drie opeenvolgende getallen.
Opdracht 1
Formuleer een vermoeden in formuletaal.
Opdracht 2
Bewijs de formule van opdracht 1.
Buiten het boekje bij Algebraïsche vaardigheden
3
Toelichting voor de docent
Het doel van de lessuggestie is het oefenen van algebraïsche vaardigheden. En dat niet in saaie
rijtjessommen, maar in interessante formules.
Waar?
Deze lessuggestie hoort bij het hoofdstuk Rekenen in klas V4.
Duur
Een of twee lessen
Hoe?
Laat de leerlingen in groepjes werken. Geef elk groepje 2 of 3 problemen.
De oplossingen kunnen mondeling of schriftelijk gepresenteerd worden.
Nodig
Maak kartonnen kaartjes, op elk kaartje één opdracht.
Antwoorden
1. Haakjes wegwerken geeft in beide gevallen dezelfde veelterm a 2c 2  a 2d 2  b 2c 2  b 2d 2
2. Haakjes wegwerken geeft in beide gevallen dezelfde veelterm 4a 2  4b 2  4c 2
3. (a+b+c)2 + (a+b–c)2–(a–b+c)2–(-a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc+
a2+b2+c2+2ab–2ac–2bc–a2–b2–c2+2ab–2ac+2bc–a2–b2–c2+2ab+2ac–2bc=8ab
2
3. 1. 2k   4k 2 en 4k2 is een viervoud
2. 2k  1  4k 2  4k  1 =4(k2+1) is een viervoud +1
3. 441=212, een getal dat op 42 (resp 43) eindigt, is een viervoud +2 (resp +3), dus geen
kwadraat, 144=122
2
3k 2  9k 2 , dus een drievoud. 3k  12  9k 2  6k  1  33k 2  2k   1 is een drievoud+1 en
3k  22  9k 2  12k  4  33k 2  4k  1  1is een drievoud+1
a  b2  a  b2  2a2  2b2 , je moet s=a+b en t=a–b nemen (a>b).
4.
4.
5. Er moet gelden: b+1=a2, dus voor a=2 krijg je: 2
2
3
 2 32 , voor a=3 krijg je: 3
6. (n–1)n(n+1)(n+2)+1=n4+2n3–n2–2n+1 en (n2+n–1)2=n4+2n3–n2–2n+1
7. (n+1)3+(n–1)3–2n3=6n
Buiten het boekje bij Algebraïsche vaardigheden
3
8
 3 38 enz.