H5 - Bewijzen in de meetkunde

21 juli 2017
Hoofdstuk 5: Bewijzen
V-1.
a.
b.
c.
V-2.
a.
b.
V-3.
a.
V-4.
V-5.
a.
b.
in de meetkunde
CAB  CBA ( VABC is gelijkbenig)
DAC  180o  CAB  180o  CBA  EBC
VACD en VBCE
VACD  VBCE (ZHZ), dus CD  CE
Als AP  BP dan is VABP gelijkbenig en dan geldt: A2  B2
1. AC  BC ( VABC is gelijkbenig)
2. ACP  BCP (P ligt op de bissectrice van C )
3. Zijde CP is gemeenschappelijk
4. VACP  VBCP (ZHZ)
5. AP  BP
1.
2.
3.
4.
BA  DA
BAE  DAC
AE  AC
VBAE  VDAC (ZHZ)
1.
2.
3.
4.
5.
CAB  CBA ( VABC is gelijkbenig)
CAD  180o  CAB  180o  CBA  DBE
AC  BD (gegeven)
ACD  BDE (gegeven)
VACD  VBDE (HZH), dus CD  DE
b.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1:2
1. AC : DC  2 :1
2. BC : EC  2 :1
3. C is gemeenschappelijk.
4. VABC : VDEC (zhz en uit 1, 2 en 3)
5. DE // AB en DE  21  AB
6. DEA  EAB (Z-hoeken)
7. EDB  DBA (Z-hoeken)
8. VDES : VBAS (hh) en de verhouding is 1 : 2
Dus ES : AS  1: 2 en DS : BS  1: 2
1
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 5
AEB  ACD (volgt uit a)
ED  CB
ADS  ABS (volgt uit a)
EDS  CBS
VEDS  VCBS (HZH)
ES  CS
21 juli 2017
1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
2.
a.
b.
3.
4.
a.
b.
c.
5.
Een cirkel zijn alle punten die gelijke afstand hebben tot een middelpunt.
Een rechte hoek is een hoek van 90o .
1
Eén graad is het 360
deel van een cirkel.
Trapezium is een vierhoek met één paar evenwijdige overstaande zijden.
hoek: …
Een rechthoek is een vierhoek met 4 rechte hoeken.
Een vlieger is een vierhoek met twee paar aanliggende even lange zijden.
lijnstuk: …
Een stompe hoek is een hoek die groter is dan 90o (een rechte hoek)
Een driehoek is een figuur dat wordt gevormd door drie verbindingslijnstukken
tussen drie punten die niet op een rechte lijn liggen.
Verdeel de vijfhoek in drie driehoeken door vanuit één hoekpunt de twee
diagonalen te tekenen.
De som van de hoeken van een driehoek is 180o . De som van de hoeken van drie
driehoeken (en dus van de vijfhoek) is 3  180o  540o .
vierhoek, evenwijdige zijden.
1. ABD  BDC (Z-hoeken)
2. BD is gemeenschappelijk
3. BDA  DBC (Z-hoeken)
4. VABD  VCDB (HZH), dus AB  CD en AD  BC
Gegeven: AS  CS en BS  DS
1. ASB  CSD (overstaande hoeken)
2. VABS  VCSD (ZHZ), dus BAS  SCD
3. AB // CD (volgt uit 2: Z-hoeken)
4. Op dezelfde manier kun je bewijzen dat VASD  VCSB en dus dat AD // BC
5. Vierhoek ABCD is een parallellogram.
1. PAB  B1 ( VABP is gelijkbenig)
2. BCQ  B3 ( VBCQ is gelijkbenig)
3. S  180o  A  C  180o  B1  B3 (hoekensom van een driehoek)
4. B2  180o  B1  B3 (gestrekte hoek)
5. S  B2 (volgt uit 3 en 4)
6.
1.
2.
3.
4.
5.
BDS  180o  90o    90o   (hoekensom van een driehoek)
ABE  180o  90o  2  90o  2 (hoekensom van een driehoek)
EBD  90o  ABE  90o  (90o  2 )  2
BSD  180o  (90o   )  2  90o  
BDS  BSD (volgt uit 1 en 4), dus VBDS is gelijkbenig.
2
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 5
21 juli 2017
7.
a.
b.
8.
a.
b.
c.
d.
9.
a.
b.
c.
10.
a.
b.
c.
Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.
1. BAC  DAC
2. AC is gemeenschappelijk
3. ACB  ACD
4. VABC  VADC (HZH), dus AB  AD en BC  CD
5. Op dezelfde manier is te bewijzen dat AB  BC en
AD  CD
6. AB  BC  CD  AD , dus ABCD is een ruit.
Als van een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dan is de driehoek gelijkbenig: waar.
Twee evenwijdige lijnen l en m snijden lijn p loodrecht: niet waar.
Als de diagonalen van een vierhoek ABCD even lang zijn, dan is ABCD een
rechthoek: niet waar.
Als van een vierhoek ABCD de overstaande hoeken even groot zijn, dan is ABCD
een parallellogram: waar.
1. B  ACB ( VABC is gelijkbenig)
2. DCE  E ( VCDE is gelijkbenig)
3. 90o  B  E  180o (hoekensom van een driehoek)
4. BCE  ACB  ACD  DCE  B  90o  E  180o
1. 90o  B  E  180o (hoekensom van een driehoek)
2. B  ACB ( VABC is gelijkbenig)
3. E  DCE ( VCDE is gelijkbenig)
4. ACB  DCE  90o (volgt uit 1, 2 en 3)
5. ACD  BCE  (ACB  DCE )  180o  90o  90o
Dit bewijs gaat analoog aan het bewijs bij b.
Gegeven is de middelloodlijn van CD.
Te bewijzen: M ligt op het midden van AC en N ligt op het midden van BC.
1. MC  MD (M ligt op de middelloodlijn van CD)
2. MS is gemeenschappelijk (S is het snijpunt van MN en CD)
3. MSC  MSD  90o (MN is middelloodlijn)
4. VCSM  VDSM , dus SCM  SDM
5. SMC  90o  SCM (hoekensom van een driehoek)
6. DAM  360o  90o  90o  AMS  180o  (180o  SMC )  SMC
7. ADM  90o  SDM  90o  SCM  SMC  DAM
8. VADM is gelijkbenig, dus AM  DM  MC , en dus ligt M op het midden van AC.
1. MN gaat door de middens van de zijden, dus MN // PQ
2. RSM  RKP  90o
RS
3. VRSM : VRKP (hh), dus RK
 RM
 21 .
RP
Hieruit volgt dat RS  SK
4. Dus MN is de middelloodlijn van hoogtelijn RK.
3
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 5
21 juli 2017
11.
a.
b.
12.
a.
b.
c.
Uit A  B en B  C  A volgt dat A  B
Uit B  C en C  A  B volgt dat B  C
Een vierkant is een ruit en heeft dus vier even lange zijden. Een vierkant is tevens
een rechthoek en heeft dus vier hoeken van 90o . Dus A  B .
Een vierkant is een vierhoek met 4 hoeken van 90o . Dus de vierhoek is een
rechthoek. De diagonalen van een rechthoek zijn even lang en delen elkaar
middendoor. Een vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden. De vierhoek is
dus een ruit. De diagonalen van een ruit staan loodrecht op elkaar. Dus B  C .
Een vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn en elkaar middendoor delen is
een rechthoek. Omdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan is de vierhoek ook
een ruit. Dus C  A .
1. DAB  DBA   ( VABD is gelijkbenig)
2. DAC  DCA   ( VACD is gelijkbenig)
3. 2  2  180o (hoekensom van een driehoek)
4. A  DAB  DAC      90o
1. Verleng PT naar punt S zo dat PT  TS
2. Van vierhoek PQRS is nu gegeven dat de diagonalen elkaar
middendoor delen
3. vierhoek PQRS is een rechthoek: dus de diagonalen zijn even lang.
4. PT  21 QS
In een driehoek PQR met zwaartelijn PS geldt:
P  90o  PS  21 QR
13.
a./b.
c.
PQRS lijkt wel een parallellogram.
d.
Een parallellogram heeft twee paar evenwijdige zijden.
e.
Teken de diagonaal AC van vierhoek ABCD.
Omdat AS  SD en CR  RD is SR // AC en omdat
AP  PB en CQ  QB is ook PQ // AC. Ofwel PQ // SR.
Met de diagonaal BD kun je ook bewijzen dat PS // QR.
PQRS is dus een parallellogram.
f.
Dan zijn de diagonalen van ABCD even lang. De zijden
van PQRS zijn even lang, dus PQRS is een ruit.
g.
Bij vraag e al bewezen dat PQRS een parallellogram is.
ABCD is een ruit, dus de diagonalen staan loodrecht op
elkaar. Omdat de zijden evenwijdig zijn met de
diagonalen staan de zijden ook loodrecht op elkaar. Dus
PQRS is een rechthoek.
14.
a.
Een rechthoek heeft vier hoeken van 90o
buitenhoek  180o  90o  90o (gestrekte hoek)
1
(som van de niet aanliggende binnenhoeken)  31 (90o  90o  90o )  90o
3
4
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 5
21 juli 2017
b.
ABCD is een vierhoek, dus         360o
De buitenhoek van A  31 (      )  31 (360o   )  120o  31 
De buitenhoek van A  180o  
Dus 120o  31   180o  
2
3
  60o
  90o
Op dezelfde manier kun je bewijzen dat de andere hoeken ook 90o zijn.
15.
a.
b.
c.
16.
17.
a.
Als BC  AC dan is VABC een gelijkbenige driehoek en
is A  B
1. Als BC  CD dan is CBD  BDC
2. BDC  A  ABD (stelling van de buitenhoek)
3. DBC  A  ABD
4. B  ABD  DBC  ABD  A  ABD  A
En dat is in tegenspraak met het gegeven dat A  B
BC  AC
Neem aan dat geen twee personen in dezelfde maand jarig is. Dan is ieder in een
andere maand jarig. Dan zouden er 13 maanden moeten zijn, en die zijn er niet.
n  2 : p  47
n  5 : p  71
n  8 : p  113 Dit zijn inderdaad allemaal priemgetallen.
b.
n  10 : p  151
n  40 is de eerste waarde van n waarvoor p  1681 geen priemgetal is.
41 is ook een deler van 1681.
18.
Stel dat DP ook een loodlijn is op AB.
BPD  APC  90o
APB  APC  CPD  DPB  90o  CPD  90o  180o en dat is in
tegenspraak met het feit dat APB een gestrekte hoek is.
19.
VPQR is een rechthoekige driehoek.
PR 2  PQ 2  QR 2  PQ 2
PR  PQ
20.
a.
b.
1. BAD  SAE (AD is de bissectrice)
2. ABD  AES (gegeven)
3. VABD : VAES (hh, uit 1 en 2)
4. ASE  BSD (overstaande hoeken)
5. BSD  BDS (uit 3 en 4)
6. VBSD is gelijkbenig (uit 5)
Dit bewijs gaat op dezelfde manier als bij opgave a.
5
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 5
21 juli 2017
21.
Nee dat is niet mogelijk. Als je de zijde van 11 cm tekent, en op het ene eindpunt
een cirkel tekent met straal 3 cm en op het andere eindpunt een cirkel met straal
7 cm, dan snijden die cirkels elkaar niet.
22.
Als QR de langste zijde is, dan moet PR  5
Als PR de langste zijde is, dan moet PR  29
23.
a.
b.
c.
d.
24.
25.
a.
b.
26.
a.
b.
AB2  AD2  BD2  AD2
BC 2  BD 2  CD 2  CD 2
AB  BC  AD  CD  AC
AB  AD
BC  CD
Stel dat punt B niet op het lijnstuk AC ligt.
A, B en C vormen dan een driehoek waarvoor geldt: AB  BC  AC . Dat is in
tegenspraak met AB  BC  AC . Dus punt B ligt op lijnstuk AC.
AS  SD  AD en BS  SC  BC .
AC  BD  AS  SC  BS  SD  AS  SD  BS  SC  AD  BC
In driehoek APC geldt: AP  PC  AC en in driehoek BPD geldt: BP  PD  BD .
AP  BP  CP  DP  AP  CP  BP  DP  AC  BD
Als in een trapezium ABCD diagonaal AC de bissectrice is van A dan zijn AD en
CD even lang.
1. A1  A2 (AC is de bissectrice)
2. A2  C1 (Z-hoek)
3. A1  C1 (volgt uit 1 en 2)
4. VACD is gelijkbenig, dus AD  CD (volgt uit 3)
27.
a.
b.
28.
a.
b.
Als van een vierhoek ABCD de diagonalen elkaar loodrecht
snijden, dan is ABCD een vlieger.
De omgekeerde bewering is niet waar. In de vierhoek ABCD
hiernaast staan de diagonalen AC en BD loodrecht op elkaar,
maar is de vierhoek geen vlieger.
1. AS is gemeenschappelijk
2. SAP  SAT (ABCD is een ruit en de diagonalen
van een ruit delen de hoeken middendoor).
3. APS  ATS  90o (loodlijnen)
4. VSAP  VSAT (ZHH, volgt uit 1, 2 en 3)
5. SP  ST (volgt uit 4)
6. Op dezelfde manier is te bewijzen dat PS  QS  RS
Dit is niet waar. Hiernaast zie je een
parallellogram met de loodlijnen vanuit S op de
zijden. Duidelijk is te zien dat de loodlijnen niet
even lang zijn.
6
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 5
21 juli 2017
29.
a.
b.
30.
a.
b.
c.
Als VABC gelijkzijdig is, dan zijn de hoogtelijnen even lang.
Als van een driehoek de hoogtelijnen even lang zijn,
dan is de driehoek gelijkzijdig.
1. AC is gemeenschappelijk
2. AD  CE (gegeven)
3. ADC  CEA  90o (hoogtelijnen)
4. VADC  VCEA (ZZR, uit 1, 2 en 3)
5. DCA  EAC (volgt uit 4)
6. Op dezelfde manier (met de hoogtelijn BF) kun je
bewijzen dat DCA  FAB
7. De drie hoeken zijn gelijk en dus zijn de drie zijden gelijk: VABC is gelijkzijdig.
Noem S het snijpunt van de loodlijn met de koorde.
1. MS is gemeenschappelijk
2. MSA  MSB  90o (gegeven)
3. MAS  MBS ( MA  MB  r : gelijkbenige driehoek)
4. VMSA  VMSB (ZHH, uit 1, 2 en 3)
5. SA  SB (volgt uit 4)
Als een lijn door het middelpunt een koorde middendoor deelt, dan staat de lijn
loodrecht op de koorde.
1. MA  MB  r
2. MS is gemeenschappelijk
3. SA  SB (gegeven)
4. VAMS  VBMS (ZZZ, uit 1, 2 en 3)
5. ASM  BSM (volgt uit 4)
6. En omdat ASB  180o (gestrekte hoek) volgt uit 5 dat ASM  BSM  90o
31.
a./b.
c.
VABC en VBAD
d.
1. AB is gemeenschappelijk
2. A  E ( AD  BC  ED , VAED is gelijkbenig)
3. E  B (ED // BC, F-hoek)
4. ABC  BAD (volgt uit 2 en 3)
5. BC  AD (gegeven)
6. VABC  VBAD (ZHZ, uit 1, 4 en 5)
7. AC  BD
32.
1. AP  21 AB en RC  21 DC
2. AP  RC ( AB  DC omdat ABCD een parallellogram is)
3. AP // RC (AB // DC)
4. APCR is een parallellogram (volgt uit 2 en 3)
5. AE // FC (volgt uit 4)
6. Op dezelfde manier kun je bewijzen dat AQCS een parallellogram is en dus dat
AF // EC
7. AFCE is een parallellogram (volgt uit 5 en 6)
7
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 5
21 juli 2017
33.
a.
b.
34.
a.
b.
c.
35.
a.
b.
c./d.
36.
a.
b.
c.
1. BAD  90o  BCD  90o  360o (hoekensom van
een vierhoek)
2. BAD  180o  BCD
3. BCE  180o  BCD (gestrekte hoek)
4. BAD  BCE (volgt uit 2 en 3)
5. AB  BC en AD  CE (gegeven)
6. VBAD  VBCE (ZHZ, uit 4 en 5)
7. BD  BE
omdat de diagonalen van een ruit loodrecht op elkaar staan.
VBTS  VBTQ en VATP  VATR
Een ruit is een vierhoek met 4 even lange zijden.
1. SBT  QBT (BT is een bissectrice van B )
2. BT is gemeenschappelijk
3. BTS  BTQ (de bissectrices snijden elkaar loodrecht)
4. VBTS  VBTQ (HZH, uit 1, 2 en 3)
5. TS  TQ
6. STR  QTR  90o (de bissectrices snijden elkaar loodrecht)
7. TR is gemeenschappelijk
8. VSTR  VQTR (ZHZ, uit 5, 6 en 7)
9. SR  QR (volgt uit 8)
10. Op dezelfde manier kun je bewijzen dat SP  SR
11. SP  PQ  QR  RS (volgt uit 10 en 11), dus PQRS is een ruit.
Vermoedelijk is QPR  PQR en zijn de zijden PR
en QR even lang.
De hoogte lijn uit P snijdt QR in S en de hoogtelijn
vanuit Q snijdt PR in T.
1. PQ is gemeenschappelijk
2. PS  QT (gegeven)
3. PSQ  QTP  90o (hoogtelijnen)
4. VPQS  VQPT (ZZR, uit 1, 2 en 3)
5. PQS  QPT (volgt uit 4), dus VPQR is gelijkbenig.
MP  MR  RP  MS  QS  MQ
1. MA  MB (straal)
2. MAP  MBQ ( VMAB is gelijkbenig, uit 1)
3. AP  BQ (gegeven)
4. VMAP  VMBQ (ZHZ, uit 1, 2 en 3)
5. MP  MQ (volgt uit 4)
6. PR  QS (volgt uit 5 en vraag b)
8
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 5
21 juli 2017
37.
a./b.
c.
1. A  B  C  D  360o (hoekensom van een
vierhoek)
2. B  D  180o ( A  C  90o : gegeven)
3. 2  2  180o , dus     90o
4. ATD  180o  A    90o   (hoekensom van een driehoek)
5. ATD   (volgt uit 3 en 4)
6. TD // BS (F-hoeken, volgt uit 5)
38.
a.
b.
c.
d.
1. R  180o     (hoekensom VABR )
2. P  180o     (hoekensom VCDP )
3. 2  2  2  2  360o (hoekensom vierhoek ABCD)
4. P  R  180o      180o      360o                  180o
(volgt uit 1, 2 en 3)
Q  S  360o  (P  R )  360o  180o  180o
(hoekensom vierhoek PQRS)
PQRS is een gelijkbenig trapezium.
In opgave 37 is bewezen dat QR // PS
RQP  BQC  180o  45o  21   135o  21 
BRA  180o  45o  21   135o  21 
Dus PQRS is een gelijkbenig trapezium.
39.
a.
CE is de hoogtelijn van driehoek ABC vanuit punt C
sin( )  CE
b
CE  b sin( )
b.
OppABC  21  c  CE  21 bc sin( )
De hoogte van de driehoeken ADC en DBC is gelijk, namelijk CE.
OppADC : OppDBC  21  AD  CE : 21  DB  CE  AD : DB
c.
d.
OppADC  21 b  CD  sin( 21  ) en OppDBC  21 a  CD  sin( 21  )
40.
1. BP  CP (gegeven)
2. BPA  CPR (overstaande hoeken)
3. PA  PR (gegeven)
4. VABP  VRCP (ZHZ, uit 1, 2 en 3)
5. ABP  RCP (volgt uit 4)
6. Op dezelfde manier is te bewijzen dat BAQ  SCQ
7. SCQ  QCP  PCR  BAC  ACB  ABC  180o (hoekensom VABC )
8. Dus S, C en R liggen op één lijn.
AD : BD  21 b  CD  sin( 21  ) : 21 a  CD  sin( )  b : a  AC : BC
9
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 5
21 juli 2017
41.
a.
b.
c.
42.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
T-1.
a.
b.
?
Opp  21  basis  hoogte
Voor driehoek DBA is BD de basis en BC de hoogte; voor driehoek CBF is BF de
basis en BH de hoogte.
1. AB  FB
2. ABD  ABC  90o  90o  ABC  FBC
3. BD  BC
4. VABD  VFBC (ZHZ, uit 1, 2 en 3)
Met behulp van de congruente driehoeken ADC en BEC.
ECB  ECA  ACB  60o  ACB  ACB  60o  ACB  BCD  ACD
1. BA  FA (gelijkzijdige driehoek)
2. BAE    60o  FAC
3. AE  AC (gelijkzijdige driehoek)
4. VBAE  VFAC (ZHZ, uit 1, 2 en 3)
5. BE  FC (volgt uit 4)
Als AD  BE en BE  FC dan is AD  FC
Bij een rotatie van VCEB om punt C over 60o komt E in A en B in D terecht.
Lijnstuk EB gaat over in AD.
1. DAC  C   ( AD  CD )
2.   21 (180o   )  90o  21  ( VABD is gelijkbenig)
3. 2  90o  21     180o (hoekensom driehoek)
2 21   90o
  36o
4. A  72o , B  72o en C  36o
10
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 5
21 juli 2017
c.
d.
e.
T-2.
De hoogtelijn is de lijn vanuit een hoekpunt loodrecht op
de overstaande zijde.
A  E  EDF  F  360o (hoekensom vierhoek)
72o  90o  EDF  90o  360o
EDF  108o
De driehoeken AED en AFD zijn congruent (ZHH)
Of D ligt op de bissectrice van A , met andere woorden D ligt
even ver van de benen van hoek A.
ABCD is een vierhoek met vier gelijke hoeken van 90o .
Te bewijzen: ABCD is een parallellogram met AC  BD
1. AB  BC en CD  BC , dus AB // CD
2. AD  AB en BC  AB , dus AD // BC
3. ABCD is een parallellogram (volgt uit 1 en 2)
4. AB is gemeenschappelijk
5. ABC  BAD  90o (gegeven)
6. BC  AD (volgt uit 3)
7. VABC  VBAD (ZHZ, uit 4, 5 en 6)
8. AC  BD dus ligt S op de deellijn van de buitenhoek van C
PQRS is een parallellogram met PR  QS
Te bewijzen: PQRS heeft vier rechte hoeken.
1. PQ is gemeenschappelijk
2. QR  PS (PQRS is een parallellogram)
3. PR  QS (gegeven)
4. VPQR  VQPS (ZZZ, uit 1, 2 en 3)
5. PQR  QPS (volgt uit 4)
6. Op dezelfde manier kun je bewijzen dat RQP  QRS
7. PQRS is een vierhoek met 4 gelijke hoeken, die dan 90o moeten zijn.
T-3.
a.
b.
T-4.
a.
b.
Twee lijnen zijn evenwijdig als ze geen gemeenschappelijk punt hebben
Het snijpunt van de lijn met m noemen we A en met l noemen we B.
Stel de lijnen zijn niet evenwijdig. Dan is er een punt P waar de lijnen l en m elkaar
snijden. De som van de hoeken van driehoek ABP is
  180o    APB  180o  APB  180o . En dat is in tegenspraak met de som
van de hoeken van een driehoek is 180o . Dus l en m hebben geen punt gemeen.
Teken een lijn door D evenwijdig aan BC. Deze snijdt
AB in E.
AB  DC  AB  EB  AE
AE  DE  AD (driehoeksongelijkheid)
AE  AD  DE  AD  BC
11
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 5
21 juli 2017
T-5.
a.
b.
c.
Vierhoek KLMN lijkt een parallellogram
MQ  MP  r1 , dus MPQ  MQP
NK  NP  r2
LKQ  MPQ en KLQ  PMQ (F-hoeken)
Stel NPK   .
1. NKP  NPK   ( NP  NK )
2. PNK  180o  2 (hoekensom van een driehoek, volgt uit 1)
3. MQP  MPQ   ( MP  MQ )
4. PMQ  180o  2 (hoekensom van een driehoek, volgt uit 3)
5. ML // NK (F-hoeken, volgt uit 2 en 4)
6. KLMN is een parallellogram (volgt uit 5 en MN // LK (gegeven))
T-6.
1. ED  FD (gegeven)
2. EDB  FDB (BD is een diagonaal van een ruit)
3. DB is gemeenschappelijk
4. VEDB  VFDB (ZHZ, volgt uit 1, 2 en 3)
5. DBE  DBF
6. BS is gemeenschappelijk
7. BSP  BSQ  90o (diagonalen van een ruit)
8. VBSP  VBSQ (HZH, volgt uit 5, 6 en 7)
9. SP  SQ (volgt uit 8)
T-7.
1. PC  2z  RB (gegeven)
2. PCR  120o  RBQ
3. CR  z  BQ (gegeven)
4. VPCR  VRBQ (ZHZ, volgt uit 1, 2 en 3)
5. PR  RQ (volgt uit 4)
6. Op dezelfde manier kan bewezen worden dat QP  PR .
7. VPQR is gelijkzijdig.
T-8.
Niet waar: neem bijvoorbeeld een gelijkbenig trapezium.
T-9.
a.
b./c.
d.
1. VADQ  VPQC (ZHZ)
2. AQD  PCQ (volgt uit 1)
3. AQ // PC (F-hoeken, volgt uit 2)
4. AP // QC (ABCD is een parallellogram)
5. APCQ is een parallellogram is (volgt uit 3 en 4, twee paar evenwijdige zijden)
op analoge wijze.
Als PRSQ een ruit is staan de diagonalen RS en PQ loodrecht op elkaar en dan is
ABCD een rechthoek.
12
Uitwerkingen 5 vwo wiskunde B, hoofdstuk 5