H4 - Tekenen en bewijzen

20 juli 2017
Hoofdstuk 4: Tekenen
V-1.
a.
b.
c.
d.
V-2.
a.
b.
c.
en bewijzen
De punten B liggen op een cirkel met middelpunt A en straal 5.
De meetkundige plaats van de punten die gelijke afstand hebben tot A en B is de
middelloodlijn van AB.
d (Q, A)  4 : Q ligt op de cirkel met middelpunt A en straal 4 cm.
d (Q, l )  2 : Q ligt op lijnen (twee) die evenwijdig zijn met l op 2 cm van l.
De meetkundige plaats van de punten die gelijke afstand hebben tot l en m zijn de
bissectrices van de hoeken tussen l en m.
Dat zijn de punten op de cirkel met middelpunt M en straal 7 cm.
Dat zijn de punten op de cirkel met middelpunt M en straal 6 cm en M zelf.
Dat zijn de punten op de cirkels met middelpunt M en straal 1 cm en straal 5 cm.
V-3.
a./b.
c.
op gelijke afstand van l en m: middenparallel
op afstand 3 van n: twee evenwijdige lijnen aan n op 3 cm van n.
V-4.
gelijke afstand tot de beide lijnen: op de bissectrices van de hoeken bij M.
d ( X , P )  d ( X , c ) : de snijpunten van een bissectrice met c zijn S en T
voor punt X moet nu gelden: XP  XS en XP  XT
X ligt op de middelloodlijn van PS en PT.
V-5.
d ( X , B )  3 : X ligt binnen de cirkel met middelpunt B en straal 3.
XA  XB : X ligt aan dezelfde kant van de middelloodlijn van AB als punt A.
d ( X , M)  2 : X ligt tussen twee aan m evenwijdige lijnen op afstand 2 van m.
(je hebt alleen de lijn door B nodig).
V-6.
a.
b.
V-7.
a.
b.
1 cm van k: op twee aan k evenwijdige lijnen op afstand 1 van k.
1 cm van c: op twee cirkels met middelpunt M en straal 2 cm en 4 cm.
a  0 : één punt namelijk A.
0  a  3 : 4 punten: een raakpunt binnen de cirkel en een raakpunt buiten de cirkel
en twee snijpunten buiten de cirkel.
a  3 : 1 raakpunt en twee snijpunten buiten de cirkel (er is nog maar 1 cirkel)
Ik snap de vraag niet.
Rare vraag: A ligt op cirkel c1.
1
Uitwerkingen 6 vwo wiskunde B, hoofdstuk 4
20 juli 2017
1.
a.
b.
c.
2.
a.
b.
3.
a.
b.
MA  MB , dus de middelloodlijn van AB gaat door het middelpunt M.
Dit geldt ook voor de andere drie middelloodlijnen.
1. M ligt op de middelloodlijn van PQ: MP  MQ
2. M ligt op de middelloodlijn van QR: MQ  MR
3. M ligt op de middelloodlijn van RS: MR  MS
4. MP  MQ  MR  MS ; P, Q, R en S liggen op een cirkel met middelpunt M.
Vier punten A, B, C en D liggen op een cirkel als de middelloodlijnen van AB, BC,
CD en AD door één punt gaan.
1. AP is gemeenschappelijk
2. PAB  PAC (AP is de bissectrice, gegeven)
3. ABP  ACP  90o
4. VPAB  VPAC (ZHH, volgt uit 1, 2 en 3)
5. PB  PC , dus d (P, AB )  d (P, AC ) (volgt uit 4)
1. AP is gemeenschappelijk
2. PB  PC (gegeven)
3. ABP  ACP  90o (gegeven)
4. VPAB  VPAC (ZZR, volgt uit 1, 2 en 3)
5. PAB  PAC , dus P ligt op de bissectrice (volgt uit 4)
AEB  90o , dus E ligt op een cirkel met middellijn AB (Thales)
Omdat ook AQB  90o , dus Q ligt ook op een cirkel met middellijn AB.
E en Q liggen op dezelfde cirkel.
4.
Punt C ligt op de cirkel met middellijn AB (Thales)
AB is een vaste lengte en M is het midden, dus MA  MB  MC is constant.
Dus M ligt op een cirkel met middelpunt C.
5.
Als punt P aan dezelfde kant van AB ligt als C, dan is APB  ACB . Dat geldt
dan voor alle punten op de cirkelboog tussen A en B.
Voor elk punt P waarvoor geldt dat APB  ACB ligt P op de cirkelboog door A, B
en C.
De meetkundige plaats van de punten P is de cirkelboog AB waar C ook op ligt.
6.
a.
b.
7.
a.
b.
P ligt op de cirkelboog AB (omtrekshoek)
en op de in AB gespiegelde cirkelboog.
De omtrekshoek APB  80o , dan is de
middelpuntshoek AMB  160o . De basishoeken
van de gelijkbenige driehoek ABM zijn dus 10 o .
cos(10o ) 
r 
2 21
cos(10o )
2 21
r
 2,54
2
Uitwerkingen 6 vwo wiskunde B, hoofdstuk 4
20 juli 2017
8.
9.
a.
b.
10.
a./b.
11.
a.
b.
12.
a.
b.
13.
a.
b.
c.
14.
a.
b.
15.
a.
Dat zijn de cirkelbogen aan de andere kant van koorde AB.
Teken lijnstuk AB.
Teken een cirkel met middelpunt A en straal 8 en teken een cirkel met middelpunt B
en straal 6. Het snijpunt van de twee cirkels is punt C.
Punt P ligt op de cirkelboog op koorde AB aan dezelfde kant als punt C.
Punt P ligt op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.
Construeer de middelloodlijnen van AB en AC. Dat is het middelpunt van de cirkel.
APB  ACB : P ligt op de cirkelboog AB die door C
gaat.
d (P, A)  d (P, B ) : P ligt links van de middelloodlijn van
AB
S ligt op een cirkel met middellijn PM.
1. PSM  90o (loodlijn op koorde)
2. S ligt op een cirkel met middellijn PM (Thales)
1. ADS  ADB  90o (Thales)
2. ASD  180o  DAC  ADB  180o    90o  90o   (hoekensom v. e.
driehoek)
1.  is constant (boog en koorde)
2. ASB  180o  ASD  180o  (90o   )  90o   (gestrekte hoek)
3. ASB is constant (volgt uit 1 en 2)
4. S ligt op een cirkel met koorde AB (constante hoek)
1. CAT   is constant (boog en koorde)
2. ACB  90o (Thales)
3. ACT  180o  ACB  90o (gestrekte hoek)
4. ATB  180o    90o  90o   is constant (hoekensom v. e. driehoek)
5. T ligt op een cirkel op koorde AB (constante hoek)
Het middelpunt van deze cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van AT en BT
1. MD  BC (loodlijn op koorde)
2. D ligt op de cirkel met middellijn MB (Thales)
1.
2.
3.
4.
PAX  AXP   ( VAPX is gelijkbenig)
APX  180o  2 (hoekensom v. e. driehoek)
APB  180o  (180o  2 )  2 (gestrekte hoek)
AXP  21  APB (volgt uit 1 en 3)
3
Uitwerkingen 6 vwo wiskunde B, hoofdstuk 4
20 juli 2017
b.
c.
d.
16.
17.
a.
b.
c.
d.
18.
19.
a.
b.
1. APB is constant (constante hoek)
2. AXP  AXB is constant (volgt uit a)
3. Dus X ligt op een cirkel met koorde AB (constante hoek)
Het middelpunt van deze cirkelboog is het snijpunt van de middelloodlijnen van AX
en AB.
Als P samenvalt met A dan ligt X ook in A. Als P met B samenvalt, dan is PX de
raaklijn aan de cirkel in B.
1.
2.
3.
4.
BAC   is constant (constante hoek op koorde BC)
DHE  360o  90o  90o    180o   (hoekensom v. e. vierhoek)
BHC  DHE  180o   (overstaande hoeken)
BHC is constant, dus H ligt op een cirkelboog op koorde BC (constante hoek)
1. V1M  CM en V1MQ  CMQ  90o (MQ is
middelloodlijn van V1C)
2. MQ is gemeenschappelijk
3. VV1MQ  VCMQ (ZHZ, volgt uit 1 en 2)
4. CQ  V1Q  d (Q, l ) (volgt uit 3)
Teken een lijn door V2 loodrecht op l
Teken de middelloodlijn van V2C
Het snijpunt van deze lijnen is punt R.
Kies meer punten V op lijn l.
De meetkundige plaats is een parabool.
Kies enkele voetpunten op de richtlijn l.
Teken loodlijnen vanuit de voetpunten
Construeer de middelloodlijnen van de voetpunten
en brandpunt F.
De snijpunten vormen een parabool.
d (P, A)  d (P, m) : P ligt op de parabool met richtlijn m en brandpunt A.
APS  90o : P ligt op een cirkel met middellijn AS (Thales)
20.
21.
a.
d (P, l )  d (P, B ) : P ligt boven de parabool met richtlijn l en brandpunt B.
DPA  DBA : P ligt op een cirkel met koorde AD (constante hoek). Het
middelpunt van deze cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van AD en AB.
Dit is de getekende cirkel.
1. D ligt op parabool p1: d (D, A)  d (D, k )
2. D ligt op parabool p2: d (D, B )  d (D, k )
3. d (D, A)  d (D, B ) (volgt uit 1 en 2)
4. D ligt op de middelloodlijn van AB.
5. E ligt op de middelloodlijn van AB. (bewijs gaat op analoge wijze)
4
Uitwerkingen 6 vwo wiskunde B, hoofdstuk 4
20 juli 2017
b.
22.
a.
b./c.
23.
a.
b.
c.
d.
e.
24.
a.
b.
c.
d.
25.
a.
b.
26.
a.
b.
I: dichter bij A dan bij B en k: onder middelloodlijn ED en boven parabool p1.
II: dichter bij B dan bij A en k: boven middelloodlijn ED en boven parabool p2.
III: dichter bij k dan bij A en B: onder beide parabolen.
d (P, AC )  d (P, AE ) : P ligt op de bissectrice
van hoek A. (AD)
Hierin staan CD en ED loodrecht op de
lijnstukken AC en AB.
d (P, C )  d (P, EB ) : P ligt op de parabool
met richtlijn AB en brandpunt C. (DF)
d (P, B )  d (P, C ) : P ligt op de middelloodlijn van BC beginnend in punt F.
R ligt op de parabool, dus RF  d (R, l )  RV . Dus R ligt op de middelloodlijn m van
FV.
QF  QV
QV  QQ ' omdat QV de schuine zijde is in driehoek QQ’V
Uit b en c volgt dat QF  QV  QQ '  d (Q, l ) en dus dat Q niet op de parabool ligt.
Punt R is dus het enige punt op m welke op de parabool ligt. R is het raakpunt aan
de parabool.
1. FM  VM (m is de middelloodlijn)
2. MR is gemeenschappelijk.
3. RF  RV (R ligt op de parabool)
4. VMRF  VMRV (ZZZ, volgt uit 1, 2 en 3)
5. MRF  MRV (volgt uit 4)
DME  x (gelijkbenige driehoek)
BMC  x (overstaande hoeken)
o
MDE  180  2 x (hoekensom v. e. driehoek)
MDF  180o  (180o  2x )  2x (gestrekte hoek)
CMF  2  CDF  4x (omtrekshoek)
BMF  CMF  BMC  4x  x  3x
M ligt op de loodlijn vanuit R op k.
M ligt op de middelloodlijn van PR.
Lijn k is raaklijn aan de cirkel, dus MR  k (raaklijn)
R en P liggen op de cirkel, dus MR  MP : M ligt op de middelloodlijn van PR.
1.
2.
3.
4.
5.
BDC  180o     (hoekensom v. e. driehoek)
BDE  180o  (180o     )     (gestrekte hoek)
ABE  ACE   (constante hoek op koorde AE)
DBE      BDE
ED  EB (gelijkbenige driehoek, volgt uit 4)
c.
5
Uitwerkingen 6 vwo wiskunde B, hoofdstuk 4
20 juli 2017
d.
1. 2  2  2  180o (hoekensom v. e. driehoek)
2.       90o (volgt uit 1)
3.     ADB  180o (hoekensom v. e. driehoek)
4. ADB  180o  (   )  180o  (90o   )  90o  
27.
a/b/c.
d.
1. A ligt op cirkel c2 met middellijn MP.
2. MAP  90o (Thales)
3. dus PA is een raaklijn aan cirkel c1.
4. PB is raaklijn aan de cirkel c1: op analoge wijze.
28.
a.
b.
29.
a.
b.
1. BAC   is constant (constante hoek)
2. AES  AFS  90o (hoogtelijnen uit B en C)
3. ESF  360o  90o  90o    180o   (hoekensom v. e. vierhoek)
4. BSC  ESF  180o   is constant (overstaande hoeken)
5. S ligt op een cirkel met koorde BC.
Het middelpunt N is het snijpunt van de middelloodlijnen van BC en BS.
BAM  40o
AM  BM (straal c)
ABM  40o (gelijkbenige driehoek)
AMB  180o  2  40o  100o (hoekensom v. e.
driehoek)
5. AC1B  AC2B  21  100o  50o (omtrekshoek)
1.
2.
3.
4.
6. d (C1, AB)  d (C2 , AB)  4 (volgens constructie)
30.
a.
b.
c.
31.
a.
b.
d ( P , l )  d (P , c )
d (P , l )  r  d ( P , c )  r
d (P , m )  d (P , M )
De meetkundige plaats is een parabool met richtlijn m en brandpunt M.
● Kies voetpunt V op m.
● Teken de loodlijn vanuit V op m.
● Construeer de middelloodlijn van VM.
● Het snijpunt van de loodlijn en de middelloodlijn is een punt van de parabool.
even ver van lijn a als lijn b: construeer de bissectrices van de hoeken bij punt G
1 cm van lijn c: teken twee aan lijn c evenwijdige lijnen op afstand 1.
Er zijn 4 snijpunten
lijn c kan dan evenwijdig zijn met een van de bissectrices: er zijn dan nog maar 2
snijpunten.
6
Uitwerkingen 6 vwo wiskunde B, hoofdstuk 4
20 juli 2017
32.
a.
b.
33.
a.
b.
34.
35.
a.
b.
c.
Stel de afstand tussen de lijnen k en r is d.
Teken een cirkel met middelpunt F en straal d.
De snijpunten van de cirkel met lijn k zijn de gevraagde punten.
-
H is de middelparallel van de raaklijnen in C en D, buiten de cirkel.
1. FM is gemeenschappelijk
2. MC  ME (straal)
3. MCF  MEF  90o (raaklijn)
4. VMCF  VMEF (ZZR, volgt uit 1, 2 en 3)
5. CMF  EMF (volgt uit 4)
6. DMG  EMG (bewijs gaat op analoge wijze)
7. CMD  CMF  EMF  EMG  DMG  180o (gestrekte hoek)
8. 2  EMF  2  EMG  2  (EMF  EMG)  2  FMG  180o (volgt uit 5, 6 en 7)
9. FMG  90o (volgt uit 8)
d ( A, c )  2 . Omdat de straal van de cirkel 4 moet zijn, is d ( A, M )  6
Zo moet ook gelden: d (B, M )  6
De middelpunten zijn de snijpunten van de cirkels met middelpunten A en B en
straal 6. Een derde middelpunt is het midden van AB.
1. M1T is gemeenschappelijk
2. M1P  M1S (straal van c1)
3. M1PT  M1ST (raaklijn)
4. VM1PT  VM1ST (ZZR, volgt uit 1, 2 en 3)
5. PT  ST (volgt uit 4)
6. Op analoge wijze kun je aantonen dat VM2ST  VM2QT en dus dat ST  QT
7. PT  ST  QT (volgt uit 5 en 6), dus P, S en Q liggen op een cirkel met
middelpunt T.
De hoek is dan 180o
1. RSQ  90o (Thales, RQ is middellijn)
2. QSP  90o (Thales, QP is middellijn volgt uit a)
3. RSP  RSQ  QSP  180o , dus R, S en P liggen op één lijn.
7
Uitwerkingen 6 vwo wiskunde B, hoofdstuk 4
20 juli 2017
T-1.
a.
b.
De koorde is in het uiterste geval een middellijn. Dan is r  2 .
Als koorde AB geen middellijn is, dan is r  2 .
1. BP  2 (P is het midden van AB)
2. BPM  90o (loodlijn op koorde)
3. PM  r 2  4
En de andere kant op:
4. kan ik niet bewijzen
T-2.
a.
b.
T-3.
a.
b.
T-4.
a.
b.
c.
De omtrekshoek is APB  30o . Dan is de middelpuntshoek AMB  60o
(omtrekshoek). VAMB is gelijkbenig, dus de basishoeken zijn
o
o
MAB  MBA  180 260  60o .
Construeer een gelijkzijdige driehoek ABM met zijde 5 cm. Teken de cirkel met
middelpunt M en straal AM. De meetkundige plaats van punten P met APB  30o
is bg(AB) aan dezelfde kant van AB als M.
De punten Q liggen op bg(AM) aan de andere kant van koorde AB dan punt P.
VABC : VAPQ (zhz)
NP  41  MB  41  r
Als AB de middellijn is, dan is AP de middellijn van de kleine
cirkel. Het middelpunt N ligt dan op 41 van AM.
Kies voetpunt V op BC en snijdt de loodlijn vanuit V op
BC met de middelloodlijn van AV.
d (P, AB )  d (P, BC ) : de punten P liggen onder de
bissectrice van BAC .
d (P, A)  d (P, BC ) : de punten P liggen boven de
parabool.
d.
T-5.
a.
b.
c.
d.
1. ABC   is constant (constante hoek)
2. BP is de deellijn van hoek B, dus ABP  CBP  21 
3. AP  CP en bg ( AP )  bg (CP ) (boog en koorde). Dus P ligt in het midden van
bg(AC).
S is het midden van koorde PQ, dus PSM  90o (loodlijn op koorde)
S ligt op een cirkel middellijn PM (Thales)
Als B in de buurt van A ligt, dan ligt Q ook in de buurt van A en nadert S de koorde
AP. Als B het punt C nadert, ligt Q op de middelloodlijn van AC en PQ de middellijn
van de cirkel. S nadert dan punt M.
1. BAC  BCA  2 (gelijkbenige driehoek)
2. PAC  PBC   (constante hoek op koorde PC)
3. 2  2  2  2(   2 )  180o (hoekensom van driehoek ABC)
8
Uitwerkingen 6 vwo wiskunde B, hoofdstuk 4
20 juli 2017
4. PAE    2  90o (volgt uit 1, 2 en 3)
5. APQ  ACQ   (constante hoek op koorde AQ)
6.
7.
8.
9.
T-6.
a.
b.
c.
d.
AEP  180o  90o    90o   (hoekensom van driehoek AEP)
ADE  180o  2  (90o   )  90o   (hoekensom van driehoek AED)
AED  ADE (volgt uit 6 en 7)
VADE is gelijkbenig (volgt uit 8)
Het middelpunt van de ingeschreven cirkel is het snijpunt van de drie bissectrices.
1. MEB  MFB  90o (raaklijn aan cirkel)
2. MEB  MFB  180o , dus vierhoek BEMF is een koordenvierhoek
(koordenvierhoek)
Teken de driehoek binnen driehoek ABC waarvan de zijden 1 cm van driehoek ABC
liggen. De meetkundige plaats zijn de punten binnen de ingeschreven cirkel en
buiten de kleine driehoek.
In alle gevallen geldt: AD  AF  BF  BE
D ligt op een kwart cirkel met middelpunt A en straal AF en E ligt op een kwart cirkel
met middelpunt B en straal BF.
9
Uitwerkingen 6 vwo wiskunde B, hoofdstuk 4