Wis B: Samenvatting H5 + H6

Samenvatting H5: Meetkundige plaatsen
Blz. 138:
De stelling van de hoekensom: In elke driehoek is de som vande hoeken 180°.
De stelling van de buitenhoek: Voor elke driehoek geldt dat een buitenhoek gelijk is aan de som van
de niet-aanliggende binnenhoeken.
Congruentiegevallen gebruiken: ZZZ, ZHZ, HZH, ZHH en ZZR.
Dit worden de vijf congruentiegevallen genoemd; in elk van deze gevallen is de driehoek eenduidig te
construeren.
Als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken gelijk.
De loodlijn vanuit de top is de middelloodlijn van de basis.
Blz. 139:
Definitie parallellogram: een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden heet een parallellogram.
Eigenschappen parm: In een parallellogram zijn overstaande zijden even lang.
In een parm delen de diagonalen elkaar middendoor.
De vier hoekpunten van een rechthoek liggen op een cirkel.
De stelling van de middenparallel: Als ABC een willekeurige driehoek is met P in het midden van AC
en Q in het midden van BC, dan geldt: |PQ|=½|AB| en PQ//AB.
In een gelijkbenige driehoek zijn de hoogtelijnen uit de basishoeken even lang.
Blz. 140:
De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de lijn die door het midden van AB gaat en loodrecht op AB
staat. Het is de verzameling punten die dezelfde afstand hebben tot twee gegeven punten A en B.
1. Als een punt P op de middelloodlijn van AB ligtdan geldt |AP|=|BP|.
2. Als voor een punt P geldt dat |AP|=|BP| dan ligt P op de middelloodlijn van AB.
Blz. 141:
Via de ruitconstructie kun je een middelloodlijn of een deellijn netjes construeren.
De middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt.
De omgeschreven cirkel van een driehoek ABC is de cirkel die door de punten A, B en C gaat. Het
middelpunt van de omgeschreven cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van driehoek ABC.
Blz. 142:
De afstand van een punt P tot een lijn l of lijn AB wordt aangegeven met de notatie d(P, l) of d(P, AB).
De afstand tussen twee punten P en Q kun je noteren met d(P, Q), maar schrijf je meestal als |PQ|.
De verzameling van alle punten binnen een hoek die dezelfde afstand hebben tot de benen van de
hoek, is de deellijn (bissectrice) van die hoek.
De twee deellijnen van de overstaande hoeken bij 2 snijdende lijnen staan loodrecht op elkaar.
Blz. 143:
De deellijnen van een driehoek gaan door één punt.
De ingeschreven cirkel van een driehoek raakt aan de drie zijden van de driehoek. Het middelpunt
van de cirkel is het snijpunt van de deellijnen van de driehoek.
In een gelijkzijdige driehoek is de deellijn van een hoek de middelloodlijn van de zijde tegenover die
hoek.
Als een lijn een cirkel in twee punten A en B snijdt, dan heet het verbindingslijnstuk AB een koorde
van de cirkel.
Loodlijn op koorde: Een loodlijn vanuit het middelpunt van een cirkel op een koorde deelt die koorde
middendoor.
Blz. 144:
De verzameling van alle punten met eenzelfde eigenschap heet een meetkundige plaats.
Bij meetkundige plaatsen horen stellingen van de vorm: P ligt op figuur F desda (= dan en slechts dan
als) P heeft eigenschap X.
Je moet zo’n stelling in twee richtingen bewijzen:
Als P op figuur F ligt dan heeft P de eigenschap X, èn
als P de eigenschap X heeft dan ligt P op figuur F.
De middenparallel is de meetkundige plaats van punten die bij twee evenwijdige lijnen l en m even
ver van l als van m af liggen. Ook het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek
verbindt en evenwijdig loopt aan de derde zijde van de driehoek heet middenparallel.
Blz. 145:
Hoe construeer je punten die aan meerdere voorwaarden voldoen?
1. Splits de gegevens.
2. Bepaal bij elk afzonderlijk gegeven de bijbehorende meetkundige plaats.
3. Teken deze meetkundige plaatsen.
4. De snijpunten van de meetkundige plaatsen zijn de gevraagde punten.
Blz. 146:
Raaklijn: Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de verbindingslijn van middelpunt en
raakpunt.
Blz. 148:
De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt.
Blz. 149:
Een aangeschreven cirkel van driehoek ABC raakt bijvoorbeeld aan zijde BC en het verlengde van de
zijden AB en AC.
Blz. 152:
Als twee cirkels elkaar snijden in twee punten P en Q dan is de lijn door de twee middelpunten de
middelloodlijn van de gemeenschappelijke koorde PQ.
Blz. 153:
In een gelijkbenige driehoek is de bissectrice van de buitenhoek van de tophoek evenwijdig met de
basis.
Samenvatting H6:
Blz. 159
Stelling van de omtrekshoek: Elke omtrekshoek is half zo groot als de bijbehorende middelpuntshoek.
Stelling boog en koorde: Bij gelijke bogen horen gelijke koorden (en omgekeerd).
Twee evenwijdige lijnen snijden een cirkel en hierbij worden gelijke bogen tussen de 2 lijnen
afgesneden (en omgekeerd: gelijke bogen duiden op evenwijdige lijnen).
Een straal van een cirkel staat loodrecht op een raaklijn aan de cirkel.
Hoek tussen koorde en raaklijn: de hoek tussen een raaklijn en een koorde is gelijk aan de bij die
koorde horende omtrekshoek.
Blz. 160
Stelling van Thales: Als hoek C in driehoek ABC recht is, dan ligt C op de cirkel met middellijn AB (en
omgekeerd).
Blz. 161
De meetkundige plaats van een constante hoek: De meetkundige plaats van alle punten P die aan
dezelfde kant van lijnstuk AB liggen met <APB = <ACB, is de cirkelboog AB die door C gaat.
Blz. 162/163
Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen. De zijden van de
vierhoek zijn koorden van de omgeschreven cirkel.
Koordenvierhoekstelling: Als ABCD een koordenvierhoek is, dan is de som van elk paar overstaande
hoeken 180° (en omgekeerd).
Bij een koordenvierhoek gaan de middelloodlijnen van alle zijden door het middelpunt van de
bijbehorende cirkel.
Blz. 164
Als je wilt bewijzen dat een punt P een (deel van een) cirkel doorloopt dan gebruik je de meetkundige
plaats van de constante hoek. Je moet bewijzen dat de hoek waaronder een lijnstuk vanuit een punt
P wordt gezien, niet verandert. Dat lijnstuk is dan een koorde van de cirkel(boog).
Blz. 169:
Als de diagonalen van een koordenvierhoek elkaar loodrecht snijden in een punt S, dan staat de lijn
die het midden van een zijde verbindt met S loodrecht op de overstaande zijde.