Vlaamse Wiskunde Olympiade 2014

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2014-2015: tweede ronde
1. Als a en b natuurlijke getallen zijn zodanig dat a5 − b5 = 31, dan is a − b gelijk aan
(A) −1
√
5
31
(D)
(B) 0
(C) 1
(E) Onmogelijk te bepalen.
2. Wat is de coördinaat van de top van de parabool y = (2x + 6)2 + 4?
(A) (−6, 4)
(D) (0, 40)
(B) (−3, 4)
(E) (−3, 2)
(C) (6, 4)
3. Zij a een strikt negatief reëel getal. Welk van de volgende getallen is positief?
√
(E) 5 a
(C) a · |a|
(A) −3a
(D) −a−1
(B) −a4
4. In ∆ABC met oppervlakte 16 noteren we de
middens van [BC], [CA] en [AB] met A′ , B ′
en C ′ zoals in de figuur. Als M het midden is
van [B ′ C ′ ], dan is de oppervlakte van ∆A′ CM
gelijk aan
C
A′
B′
M
A
(A) 2
5. Voor het getal x =
(B) 3
(C) 4
B
C′
(D) 5
(E) 6
2015!
geldt
2014! + 2013!
(A) x < 2014
(C) 2014 < x < 2015
(B) x = 2014
(D) x = 2015
(E) x > 2015
6. Het product tan 15◦ tan 75◦ is gelijk aan
√
√
(C) 1
(A)
3−2
(B) 2 − 3
c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw 2015
1
(D) 2 +
√
3
(E)
√
3
7. Het gemiddelde van twee reële getallen a en b noteren we als a b. Bekijk de volgende
uitspraken:
I. Voor alle reële getallen a, b en c geldt dat
a (b + c) = (a b) + (a c).
II. Voor alle reële getallen a, b en c geldt dat
a + (b c) = (a + b) (a + c).
III. Voor alle reële getallen a, b en c geldt dat
a (b c) = (a b) (a c).
Dan geldt
(A) Precies één van deze uitspraken is correct.
(B) De enige verkeerde uitspraak is I.
(C) De enige verkeerde uitspraak is II.
(D) De enige verkeerde uitspraak is III.
(E) De drie uitspraken zijn correct.
8. Bepaal de rest bij deling van de veelterm (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) door
x + 6.
(A) −120
(B) −24
(C) 0
(D) 24
(E) 120
9. De som van twee priemgetallen is 80. Als hun product zo groot mogelijk is, dan is het
grootste van die twee getallen gelijk aan
(A) 41
(B) 43
(C) 61
(D) 73
(E) 79
10. Een kubus met ribbe z wentelt om een van zijn ribben. Het volume van het verkregen
omwentelingslichaam is gelijk aan
(A) z 3
(B)
π 3
z
2
(C) πz 3
(D) 2πz 3
(E) 3πz 3
11. De functie f (x ) = ax + b voldoet aan f (f (f (1))) = 29 en f (f (f (0))) = 2. Wat is de
waarde van a?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
2
(D) 4
(E) 5
12. In een cirkel met middelpunt O en straal r
wordt vanuit een punt A op de cirkel een cir¯ met als middelpunt A en zelfde
kelboog BO
straal geconstrueerd. Een identieke con˜ DO,
¯ ¯
structie levert de cirkelbogen CO,
EO,
˜
˜
F O en AO zoals in de figuur. Vanuit de
punten A, B, C, D, E en F worden loodlijnen neergelaten op respectievelijk F O, AO,
BO, CO, DO en EO. Bepaal de oppervlakte van het gekleurde deel.
(A)
πr 2
12
(B)
πr 2
8
(C)
B
C
O
A
D
F
πr 2
6
(D)
πr 2
4
E
(E)
πr 2
2
13. Hoeveel keer per dag staan de grote en kleine wijzer van een klok loodrecht op elkaar?
(A) 12
(B) 22
(C) 24
14. Abdul vult kolom per kolom een rooster
met alle natuurlijke getallen van 1 tot
en met 2015 zoals in de figuur. Als
60 in de tweede kolom staat, in welke
kolom staat dan 1302?
(D) 44
(E) 48
1
2
3
2014
2015
(A) 21
(B) 31
(C) 41
(D) 42
(E) 43
15. De reële getallen a, b en c zijn verschillend van 0. De oplossingen van de vierkantsvergelijking x 2 + ax + b = 0 zijn het dubbele van de oplossingen van x 2 + cx + a = 0.
Dan geldt
(A)
c
<1
b
(B)
c
=1
b
(C)
c
=2
b
(D)
c
=4
b
(E)
c
=8
b
16. Het natuurlijk getal N bestaat uit drie cijfers. Door het laatste cijfer van N vooraan
te plaatsen, verkrijg je het getal 2N − 1. Wat is dat laatste cijfer?
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
17. Veronique werpt twee dobbelstenen. Zolang ze dubbel gooit (tweemaal hetzelfde
aantal ogen), gooit ze opnieuw. Wat is de kans dat ze 9 gooit bij de laatste worp?
(A)
2
15
(B)
1
5
(C)
1
6
(D)
1
8
(E)
1
9
18. In rechthoek ABCD is |AB| = 5 en |BC| = 3. Zij P op [AB] zodat DP de bissectrice
is van de hoek AP“C. Dan is |AP | gelijk aan
(A)
2
3
(B)
3
4
(C) 1
3
(D)
3
2
(E)
4
3
19. Het getal 3333
| {z. . . 3} is deelbaar door
2015 drietjes
(A) 11
(B) 111
(C) 1111
(D) 11111
(E) 111111
20. Welke van volgende figuren is geen ontvouwing van een kubus?
(A)
(B)
(D)
(E)
(C)
21. Een driehoek heeft een hoogte 12. Het interval van alle mogelijke lengten van de straal
van de ingeschreven cirkel is
(A) ]0, 4[
(B) ]0, 6[
(C) ]3, 6[
(D) ]4, 7[
(E) ]4, 8[
22. Een klas bestaat uit zes identieke tweelingen. Op hoeveel manieren kunnen we hen in
twee teams van zes leerlingen verdelen, zodat niemand in hetzelfde team zit als zijn
tweelingbroer of -zus?
(A) 25
(B) 26
(C) 6!
23. In vierkant ABCD met zijde 11 ligt een punt
P op afstand 3 van AB en afstand 2 van AD.
Wat is de straal van de grootste cirkel binnen
ABCD die door P gaat?
(D) 26 · 6!
(E)
12!
(6!)2
D
C
2
•
P
3
A
(A) 4
(B) 4,5
√
(C) 2 6
24. Een gelijkzijdige driehoek ABC ligt in de
rechthoek AP QB. De rechte AC snijdt P Q
in D. Als |CD| = 3 en |DQ| = 2 wat is dan
de zijde van de gelijkzijdige driehoek?
(D) 5
B
(E)
√
29
P
A
C
3
B
(A) 6
√
(B) 4 3
(C) 7
4
√
(D) 4 + 2 3 (E) 8
D
2
Q
25. Hoeveel koppels gehele
x 2 + 4x y + 3y 2 = 97?
(A) 0
(D) 4
getallen
(x , y )
voldoen
(B) 1
(E) Oneindig veel
aan
de
vergelijking
(C) 2
26. In een driehoek met zijden 3, 4 en 5 verdelen we de langste zijde in drie delen met
lengte 1, 2 en 2 zoals in de figuur. Dan
geldt
1
2
3
2
α
4
(A) α = 30◦
(D) 45◦ < α < 60◦
(B) 30◦ < α < 45◦
(E) α = 60◦
(C) α = 45◦
27. Zij f een veeltermfunctie met f (2n − 1) = 42n − 1 voor alle natuurlijke getallen n. Dan
geldt
(A) 20 ≤ f (2) < 40
(C) 60 ≤ f (2) < 80
(B) 40 ≤ f (2) < 60
(D) 80 ≤ f (2) < 100
(E) f (2) ≥ 100
1
raakt inwendig aan een cirkel met middelpunt
2
O en straal 1. Een derde cirkel heeft zijn middelpunt op de loodlijn door O op OO ′ en
raakt uitwendig aan de eerste cirkel en inwendig aan de tweede. Wat is de straal van
deze derde cirkel?
28. Een cirkel met middelpunt O ′ en straal
(A)
1
4
(B)
1
3
(C)
1
2
1
(D) √
3
1
(E) √
2
29. Een rechte snijdt de kromme met vergelijking y = 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16 in drie verschillende punten. Dan is de som van de x -coördinaten van die drie punten gelijk
aan
(A) 1
(B) 2
(C) −2
(D) 4
(E) −4
30. Mega Miny bouwt met oneindig veel cilinders een toren met eindig volume. Ze start
met een cilinder waarvan zowel de hoogte als de straal gelijk zijn aan 32. Ze plaatst
op elke cilinder een nieuwe cilinder die dubbel zo hoog is, maar waarvan de straal half
zo groot is. Wat is het volume van de toren van Mega Miny?
(A) 215 π
(B) 216 π
(C) 217 π
5
(D) 218 π
(E) 219 π