Kwantummechanica II (Oefeningen) Academiejaar 2013

Kwantummechanica II (Oefeningen)
Academiejaar 2013 - 2014, eerste zittijd
Maandag 20/01/14, 8u30-13u00
1. Beschouw een deeltje met massa m in een symmetrische potentiaal V (r). Op grote afstand
gedraagt V (r) zich als: lim V (r) = 0. Het deeltje bevindt zich in de eigentoestand
r→∞
Ψ(x, y, z) = N xye−α
√
x2 +y 2 +z 2
Hierbij is N een normeringsconstante en α een constante, reëele, positieve parameter
ˆ 2 en L̂ , wat zijn de mogelijke meetwaarden
(a) Men voert een meting uit van de operatoren L̄
z
en hun probabiliteit?
(b) Bepaal de potentiaal V (r) en de energie E van het deeltje.
2. Beschouw een waterstofatoom. We modelleren de kern als een deeltje met impulsmoment
i = 12 en het elektron als een deeltje met impulsmoment j = 12 (dit is het geval voor een waterstofatoom met als orbitaal draaimoment van het elektron l = 0). Het kwantummechanisch
¯ die de operator van het impulsmoment van de kern is. Het
getal i hoort bij de operator Iˆ
kwantummechanisch getal j hoort bij de operator Jˆ¯ die de operator van het impulsmoment
van het elektron is.
Beschouw nu de Hamiltoniaan
Ĥ =
4A ˆ¯ ˆ¯ 2B ˆ
I ·J +
(Jz − Iˆz )
~2
~
De eerste term stelt de interactie voor tussen de impulsmomenten, de tweede term stelt de
interactie voor met een extern magnetisch veld. A, B en zijn allen positief en reëel en 1.
(a) Stel B = 0 en A 6= 0, bepaal de energieniveaus en eigentoestanden van het beschreven
tweedeeltjesprobleem.
(b) Stel A = 0 en B 6= 0, bepaal de energieniveaus en eigentoestanden.
(c) Stel A 6= 0 en B 6= 0, bepaal de energieniveaus. Het is niet nodig de eigentoestanden te
bepalen. Schets de energieniveaus in functie van B en duid de eigentoestanden uit (a) en
(b) aan op de figuur.
e
3. Een deeltje met lading q en massa m bevindt zich in een constant elektrisch veld Ee = − dV
dx ,
L
L
die door een condensator wordt opgewekt met platen op x = − 2 en x = 2 . We veronderstellen
dat het deeltje niet door de condensatorplaten kan bewegen, dus geldt in de afwezigheid van
een elektrisch veld de potentiaal
(
0 − L2 < x < L2
V0 =
∞ x > | L2 |
(0)
(a) Bepaal het ongestoord energiespectrum En met bijbehorende eigenfuncties ψn0 (x) =
(0)
(0)
(0)
hx|ψn i. Bepaal de verwachtingswaarde van de positie voor de grondtoestand hψ1 |x|ψ1 i
(0)
(0)
en voor de eerste geëxciteerde toestand hψ2 |x|ψ2 i. Verklaar je resultaten.
(1)
(b) Bepaal direct hieruit de verschuiving van de grondtoestand E1 in eerste orde storingsreke~2
nen als je weet dat q|E0 |L mL
2.
(c) Maak een afschatting van de grondtoestandsenergie met het variationeel principe, waarbij
je
hψ[θ]|Ĥ|ψ[θ]i
E[θ] =
hψ[θ]|ψ[θ]i
minimaliseert tov θ. Gebruik als ansatz een lineaire combinatie van de grondtoestand en
de eerste geëxciteerde toestand:
(0)
(0)
hx|ψ[θ]i = ψ[θ](x) = cos θhx|ψ1 i + sin θhx|ψ2 i
Bepaal de bijhorende energie en maak een kwalitatieve schets van de eigenfunctie
(d) Bepaal opnieuw de verwachtingswaarde van de positie hψ[θ]|x|ψ[θ]i en vergelijk met (a).
(e) Stel nu dat er een harmonische wisselspanning wordt aangelegd Ee (t) = Ee (0) cos ωt op
t = 0. Bepaal voor kleine ∆t de kans dat wanneer het systeem zich initieel in toestand
(0)
(0)
|ψ1 i bevindt, er op tijdstip t naar een toestand |ψn i is overgegaan.