Atoom- en molecuulfysica (ATOM) 13 augustus 2003 - A

Julius Instituut, Faculteit Natuur- en Sterrenkunde, UU.
In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TB C van A−Eskwadraat.
Het college ATOM werd in 2002/2003 gegeven door P. van der Straten.
Atoom- en molecuulfysica (ATOM)
13 augustus 2003
Gegevens die misschien nuttig kunnen zijn:
Energie van een waterstofachtig atoom:
Z2 µ
(a.u.)
En`m = − 2
2n me
Waterstofachtige golffuncties (a1 = me a0 /µ):
3/2
1
Z
ψ100 (r, θ, φ) = √
exp(−Zr/a1 )
π a
3/21 1
Z
Zr
ψ200 (r, θ, φ) = √
1−
exp(−Zr/2a1 )
2 2π a1 2a1
3/2
1
Z
Zr
ψ210 (r, θ, φ) = √
exp(−Zr/2a1 ) cos θ
4 2π a1 a1
3/2
1
Z
Zr
ψ21±1 (r, θ, φ) = ∓ √
exp(−Zr/2a1 ) sin θ exp(±iφ)
a1
8 π a1
Atomaire eenheden:
1a0 = 0.529 × 10−10 m, 1 a.u. = 4.360 × 10−18 J = 27.2116 eV
me = 9.109 × 10−31 kg, ~ = 1.054 × 10−34 Js
Opgave 1: Variatie-rekening voor waterstof
(40 punten)
De Hamiltoniaan voor waterstof wordt gegeven door
−~2 ∂
H =T +V =
2µr2 ∂r
∂
r
∂r
2
−
1
r
We willen variatierekening toepassen om de energie van de grondtoestand te bepalen. In variatierekening voldoet de energie van de grondtoestand aan de volgende relatie:
E0 ≤ hφ|H|φi
met φ een probeerfunctie. Voor φ kiezen we
φ(r) = C 1 −
φ(r) = 0
r
r0
r ≤ r0
r > r0
√
30/r0 3/2 .
a)
Bepaal dat de normeringsconstante C gegeven wordt door C =
b)
Bepaal dat de verwachtingswaarde van T voor φ(r) gegeven wordt door hT i = 5/r0 2 .
c)
Bepaal dat de verwachtingswaarde van V voor φ(r) gegeven wordt door hV i = −5/2r0 .
d)
Bepaal een bovengrens voor E0 door variatie van r0 . Wat is de waarde van r0 , waarvoor
hHi minimaal wordt?
e)
Vergelijk uw resultaat onder d) met de exacte resultaten van de grondtoestand van waterstof
en bespreek de verschillen.
Opgave 2: Symmetrie golffunctie heliumatoom
(30 punten)
We beschouwen de Hamiltoniaan van het heliumatoom met twee elektronen:
H(~r1 , ~r2 ) = −
∇1 2
∇2 2
Z
Z
1
−
−
−
+
2
2
r1
r2
r12
met Z = 2. De eigenfuncties Ψ(~r1 , ~r2 ) = φ(~r1 , ~r2 )χ(1, 2) van de Hamiltoniaan kunnen we schrijven
als productfunctie van het ruimtelijke gedeelte φ(~r1 , ~r2 ) en het spingedeelte χ(1, 2). Let op: in deze
opgave is de expliciete vorm van de golffuncties niet relevant, maar gaat het om de symmetrieeigenschappen van de golffunctie.
a) Waarom kunnen de eigenfuncties van H altijd in deze twee delen gesplitst worden?
We zullen verder alleen het ruimtelijke gedeelte φ(~r1 , ~r2 ) beschouwen en we definiëren de operator
P12 als de verwisselingsoperator van elektron 1 met elektron 2.
b)
Bepaal de eigenwaarden van P12 en de bijbehorende ruimtelijke eigenfuncties φ(~r1 , ~r2 ) in
termen van één-elektron-golffuncties ϕi (~r) en ϕj (~r) met i, j quantumgetallen, die de éénelektron-toestand specificeren.
c)
Zijn alle eigenwaarden van P12 toegestaan vanwege het Pauli-principe?
d)
Bewijs dat de eigenfuncties van P12 ontaard zijn in de energie, als we de elektron-elektronwisselwerking 1/r12 verwaarlozen.
e)
Bewijs dat de term 1/r12 de ontaarding opheft en geef een uitdrukking voor de opsplitsing
tussen de energie van de eigenfuncties. Kunt u een klassieke interpretatie geven voor deze
uitdrukking? Beargumenteer uw antwoord.
Opgave 3: Aufbau-principe
(35 punten)
a)
Geef een korte beschrijving van het Aufbau-principe voor de bepaling van de grondtoestand
van atomen met meerdere elektronen. Bespreek kort de gevolgen van dit principe voor de
opbouw van atomen.
b)
Bepaal m.b.v. het Aufbau-principe de volgorde voor de energie van de volgende toestanden
n`: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, 4s, 4p, etc.
c)
Bepaal de elektronische configuratie (1s2 2s2 . . .) van de grondtoestand van het element Rb
(Z = 37). Wat is de totale ontaarding van deze toestand? Bepaal voor deze toestand de
waarde van L, S, en J, en geef de bijbehorende spectroscopische notatie.
De eerste geëxciteerde toestanden van Rb zijn de 2 P1/2 en de 2 P3/2 toestand, die niet ontaard
zijn.
d)
Geef voor deze toestanden de elektronische configuratie. Welke wisselwerking is voornamelijk
verantwoordelijk voor de opsplitsing van deze toestanden? Waarom speelt deze wisselwerking
geen rol in de grondtoestand?
e)
Geef de selectieregels voor stralingsovergangen tussen atomaire toestanden in de dipoolbenadering.
f)
Bepaal door gebruik te maken van de selectieregels alle mogelijke stralingsovergangen tussen
de laagste drie toestanden van Rb.