Oefeningen Wiskundige Analyse II: extremumonderzoek

Oefeningen Wiskundige Analyse II: extremumonderzoek
1. Voer het extremumonderzoek uit van volgende functies in heel R2 :
• f (x, y) = xy
• f (x, y) = x2 + y 4
• f (x, y) = x3 − 3xy 2
• f (x, y) = (x − y)4 + (y − 1)4
• f (x, y) = x2 y 2
2. In het vlak zijn drie materiële punten gegeven P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) en P3 (x3 , y3 ), met respectieve massa’s m1 , m2 en m3 . T.o.v. welk punt P (x, y) in het vlak is het kwadratisch
moment
3
X
−−→
mi P Pi 2
i=1
minimaal?
3. Bepaal de absolute extrema van f (x, y) = x2 + y 2 − xy + x + y in het gesloten gebied bepaald
door x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3.
4. Bepaal de absolute extrema van f (x, y) = cos x cos y cos(x + y) in het gesloten gebied
beschreven door 0 ≤ x ≤ π en 0 ≤ y ≤ π.
p
5. Bepaal de absolute extrema van f (x, y) = xy− 1 − x2 − y 2 in het gesloten gebied beschreven
door x2 + y 2 ≤ 1.
6. Bepaal de absolute extrema van f (x, y) = x3 y 2 (1 − x − y) in het gebied x ≥ 0, y ≥ 0.
7. (i) Bepaal alle kritische punten van de functie
f (x, y) = 2y 2 − x(x − 1)2
en onderzoek ook de aard van die punten.
(ii) Bepaal vervolgens het absolute minimum en maximum van deze functie in [0, 2] × [−1, 1].
8. Bepaal alle kritische punten van de functie
f (x, y, z) = 4xyz − x4 − y 4 − z 4
en onderzoek hun aard.
9. Op een metalen plaat worden in de 25 punten (x, y) = (−2, −2), (−2, −1), ...(2, 1), (2, 2) de
volgende (herschaalde) temperaturen gemeten:
T (−2, −2) = 0, 057,
T (−2, −1) = 0, 184,
T (−2, 0) = 0, 345,
T (−2, 1) = 0, 132,
T (−2, 2) = 0, 035,
T (−1, −2) = 0, 266,
T (−1, −1) = 1, 235,
T (−1, 0) = 1, 684,
T (−1, 1) = 0, 780, T (−1, 2) = 0, 182, T (0, −2) = 0, 521, T (0, −1) = 1, 881, T (0, 0) =
2, 540, T (0, 1) = 1, 682, T (0, 2) = 0, 280, T (1, −2) = 0, 262, T (1, −1) = 1, 253,
T (1, 0) = 1, 575, T (1, 1) = 0, 613, T (1, 2) = 0, 183, T (2, −2) = 0, 050, T (2, −1) = 0, 214,
T (2, 0) = 0, 307, T (2, 1) = 0, 139, T (2, 2) = 0, 044.
Stel dat men, op basis van theoretische beschouwingen, weet dat de temperatuursverdeling
t(x, y) door volgend model wordt voorgesteld:
2 2
t(x, y) = (a cos (x) + b sin (x) + c) exp − x +y
.
2
1
Methode der kleinste kwadraten:
bereken de coëfficiënten a, b en c zodat de som van de kwadraten der verschillen tussen de
gemeten waarden en de theoretische waarden, i.e.
X
2
S=
t(i, j) − T (i, j)
,
minimaal is.
Plot de gevonden temperatuursverdeling, samen met de oorspronkelijke metingen, in één
enkele figuur.
10. Bepaal de absolute extrema van de functie
f (x, y) = xy −
p
1 − x2 − y 2
in haar domein.
11. Vind alle extrema van de functie
f (x, y) = sin (x) sin (y) (1 − x2 − y 2 )
op het interval [−1, 1] × [−1, 1].
Verifieer aan de hand van de grafische voorstelling van f .
Opmerking: voor stelsels waarin de vergelijkingen niet van het veelterm-type zijn, kan Maple
meestal niet alle oplossingen vinden; deze oefening illustreert dit.
12. Bepaal het punt P0 (x0 , y0 , z0 ) met x0 > 0, y0 > 0, z0 > 0, gelegen op de ellipsoı̈de met
vergelijking
x2
y2
z2
+
+
=1
a2
b2
c2
waarvoor het volume van het lichaam ingesloten tussen x = 0, y = 0, z = 0 en het raakvlak
in P0 aan de ellipsoı̈de minimaal is.
Maak het extremumonderzoek.
13. Bepaal de punten op de doorsnijding van de oppervlakken
x2 − xy + y 2 − z 2 = 1
en x2 + y 2 = 1
op extremale afstand van de oorsprong.
14. Bepaal het punt op de rechte met vergelijkingen
2x − y − 2 = 0
en y = 2z
dat het dichtst ligt bij de rechte met vergelijkingen
x=y
en
y=z
Controleer het antwoord meetkundig.
15. Bepaal de afmetingen van het rechthoekig parallellepipedum, ingeschreven in de ellipsoı̈de
y2
z2
x2
+
+
= 1,
9
16 36
waarvan het volume maximaal is (d.m.v. extremumonderzoek).
16. Bepaal, via extremumonderzoek, de kortste afstand tussen de rechten met vergelijkingen
x−1
y
z
= =
1
2
1
en
2
x = y = z.
17. Bepaal het laagste en het hoogste punt van de doorsnijding van
x2 + y 2 − z 2 = 1
met
x + y + 2z = 0.
18. Bepaal de afmetingen van het rechthoekig parallellepipedum dat voor een gegeven oppervlakte S de grootste inhoud heeft.
19. Bepaal de afmetingen van het rechthoekig parallellepipedum dat voor een gegeven inhoud
V de kleinste oppervlakte heeft.
20. Welk punt van de paraboloı̈de z = x2 + y 2 ligt het dichtst bij het punt (3, −6, 4)?
21. Bepaal de vergelijking van het vlak door het gegeven punt (a, b, c) (a, b en c alle positief),
waarvoor het volume van het lichaam ingesloten tussen dat vlak en de drie coördinaatvlakken
minimaal is.
22. Zoek het maximum van de functie ln x + ln y + 3 ln z op het deel van de bol
x2 + y 2 + z 2 = 5r2
waar x, y en z positief zijn. Gebruik dit resultaat om te bewijzen dat voor positieve a, b en
c geldt dat
5
a+b+c
3
abc ≤ 27
5
23. Bewijs dat voor positieve x1 , x2 , . . . , xn geldt:
1
(x1 x2 . . . xn ) n ≤
[moeilijk]
3
x1 + x2 + . . . + xn
n