Opgaven 1 a Laat V de verzameling van alle priemgetallen zijn, en

Tentamen Discrete wiskunde A (T.07.1.3.1)
___________________________________________________________________________________________________
Opgaven
1
Geef een impliciete definitie van W – V en daarnaast, indien mogelijk, een
expliciete definitie.
b Gegeven twee niet-lege verzamelingen, A en B.
Bewijs, zonder gebruik te maken van rekenregels of van Venn-dagrammen:
A ∪ (A ∩B) ⊂ A.
4 punten
6 punten
2 punten
a Laat V de verzameling van alle priemgetallen zijn, en
W = { z ∈ | | z | < 15 } .
2
a Gegeven de twee getallen a = 825 en b = 910.
Schrijf beide getallen als product van priemfactoren en bepaal dan kgv(a, b).
3 punten
b Laat zien dat er gehele getallen p en q bestaan zó dat 6p +17q = 1.
Aanwijzing: gebruik het ggd-schema van Euclides voor de getallen 6 en 17.
5 punten
c Twee gehele getallen c en d hebben geen gemeenschappelijke
priemfactoren.
Bewijs: er bestaan gehele getallen p en q ongelijk 0 zó dat c⋅p + d⋅q = 1.
Aanwijzing: denk aan het ggd-schema van Euclides en de aanpak van het
vorige onderdeel.
3 Deze opgave heeft betrekking op bomen.
4 punten
a Bepaal zowel het minimaal als het maximaal mogelijke aantal punten van
een binaire boom met hoogte n.
6 punten
b In dit onderdeel bekijken we verder willekeurige (niet noodzakelijk binaire)
bomen met echter tenminste 2 punten. Zeg van ieder van de volgende
beweringen of deze waar of onwaar is, en waarom.
i. Er zijn geen bomen van dit type waarvoor de postordening hetzelfde
resultaat geeft als de breedteordening.
ii. Al deze bomen zijn tweedelingsgrafen.
4
Gegeven is de volgende verbindingsmatrix:
⎛ 0 1 1 0 0⎞
⎜ 0 0 1 1 1⎟
⎜
⎟
⎜ 1 0 0 1 0⎟
⎜
⎟
⎜ 1 0 0 0 0⎟
⎜⎝ 0 0 1 0 0⎟⎠
2 punten
a Kan men aan een dergelijke matrix zien of deze bij een gerichte of bij een
ongerichte graaf behoort? Zo ja, hoe, zo nee, waarom niet?
3 punten
b Teken de graaf die bij de matrix uit onderdeel a behoort. Noem het punt met
graad 2 e, het punt met graad 5 c, het punt met uitgraad 3 b, het punt met
uitgraad 1 en ingraad 2 d en tenslotte het overblijvende punt a.
2 punten
c Gegeven is de volgende wandeling door deze graaf:
a → c → d → a → b → e → c → a → c → d.
Construeer uit deze wandeling door wegsnijden een pad van a naar d.
3 punten
d Geef 3 cykels, met ieder een verschillende lengte, voor deze graaf.
___________________________________________________________________________________________________
2
Tentamen Discrete wiskunde A (T.07.1.3.1)
___________________________________________________________________________________________________
5 punten
5
a Gegeven is de verzameling: V = { a, B }.
Bepaal zowel p(V) als p(p(V)).
Wat is |p(p(V))|? Geldt V ∈ p(p(V)) ?
b Zij I j = { x ∈
5 punten
Bepaal hiermee
| − 2 − j < x < 2 − j } voor j = 1, 2, 3, ...
5
∪ (I
j−1
− Ij) .
j=2
6
Gegeven is de verzameling W = { 1, 2, 3, ..., 19, 20 }.
We definiëren de relatie R op W × W als volgt:
x R y als x ≠ y én tegelijkertijd x en y tenminste twee van elkaar
verschillende gehele delers, beide > 1, gemeenschappelijk hebben.
Een voorbeeld ter illustratie: stél 25 en 75 waren elementen van W, dan
zou gelden (25, 75) element van R, want 25 en 75 hebben een factor 5 en
een factor 25 gemeenschappelijk
a Bepaal de elementen van R expliciet.
b R is geen functie. Bewijs dit.
c Bepaal vervolgens een deelverzameling U van W, met maximaal
aantal elementen, zó dat R op U × W (met x ∈U en y ∈W) wél een functie
is. Bepaal het bereik van de functie.
4 punten
2 punten
4 punten
7
5 punten
b Bepaal een tweetal, maximaal grote, domeinen waarvoor de functie f
telkens een inverse heeft en bepaal voor beide deze inverse.
5 punten
6 punten
8
9
6 punten
1
9
+
1
81
1
+ 729
+ ... +
1
531441
.
a We definiëren: φ NANDψ door: ¬(φ ∧ψ).
Toon met een waarheidstabel aan: (φ NANDφ ) NAND (ψ NANDψ ) ⇔ (φ ∨ ψ ) .
b Geef zowel een DNV als een CNV voor de volgende formule:
p → ((¬q → p) → q) .
6 punten
4 punten
a Bepaal de som:
b Bepaal de som 5 – 3 + 9 – 6 + 13 – 9 + 17 – 12 + ... + 41 – 30.
4 punten
4 punten
de volgende functie zijn: f (x) = (x − 2)2 + (x + 2)2
Laat f : →
a Bepaal het bereik B van f.
Is de functie f surjectief op B? Beargumenteer.
Toon aan dat de functie f injectief is op { x ∈ , x ≤ 0 }.
10
a Laat met behulp van een model zien dat de universele kwantor in het
algemeen niet over ∨ distribueert.
b Gegeven de formule: ( ∀x P ( x ) → R( y ) ) → ( ∃x P ( x ) → R( y ) ) .
Is deze formule algemeen geldig?
Zo ja, geef een bewijs. Zo nee, geef een tegenvoorbeeld.
___________________________________________________________________________________________________
3