Tentamen Lineaire Algebra wi1311Wb, deel 1

Technische Universiteit Delft
Faculteit Informatietechnologie en Systemen
Mekelweg 4
2628 CD Delft
Tentamen Lineaire Algebra
wi1311Wb, deel 1
Voorbeeldtentamen 2
HET GEBRUIK VAN EEN REKENMACHINE IS NIET TOEGESTAAN
1. Gegeven zijn de matrices :
A=
(2 pt)
(2 pt)
(2 pt)
α 2
2 1
,


3
1
B =  0 −2 
1
5
en C =
0 2 −1
−1 1
2
.
(a) Voor welke waarde(n) van α is A inverteerbaar ? Bepaal in dat geval ook A−1 .
(b) Bereken (zo mogelijk) de matrices BC en CB.
1
(c) Bepaal alle vectoren x zodat Cx =
.
2
2. Gegeven zijn de matrices :


2
1
β
1 −1  ,
D =  −1
3 −2
2
(1 pt)
E=
2 0 1
−1 1 2
en


0
1 3
F =  1 −1 2  .
−1
2 3
(a) Voor welke waarde(n) van β is D inverteerbaar ? De (eventuele) inverse wordt dus
niet gevraagd.
(2 pt)
(b) Bereken (zo mogelijk) de matrices EE T en E T E.
(2 pt)
(c) Bepaal twee verschillende matrices X zodat EX = I.
(2 pt)
(d) Is de matrix F inverteerbaar ? Zo ja, bepaal dan F −1 . En zo nee, waarom niet ?
(2 pt)
(e) Bepaal alle matrices Y zodat Y F = E.
Z.O.Z.
3. Beschouw de ’puntenwolk’ : (−2, −4), (−1, −3), (0, 1), (1, 3) en (2, 3).
(3 pt)
(a) Bepaal de kleinste kwadraten lijn y = β0 + β1 x ’door’ deze puntenwolk.
(3 pt)
(b) Bepaal de ’kleinste kwadraten parabool’ y = δ0 +δ1 x+δ2 x2 ’door’ deze puntenwolk.
4. Gegeven zijn


1 0
A= 0 1 
1 1


2
b =  3 .
2
en
(2 pt)
(a) Bereken een QR-ontbinding van de matrix A.
(2 pt)
(b) Bepaal een kleinste kwadraten oplossing van Ax = b.
(2 pt)
(c) Bepaal de (orthogonale) projectie van b op Col A, de kolomruimte van A.
(2 pt)
(2 pt)
(2 pt)
5. (a) Beschouw de punten P = (−3, 4), Q = (1, −5) en R = (2, 7) in het platte vlak.
Bepaal de oppervlakte van driehoek P QR met behulp van determinanten.
(b) Bepaal deinhoud
(of het
volume)
het parallellepipedum opgespannen door de
 
 van
0
3
−4
vectoren  1 ,  −2  en  3  in R3 .
2
4
1
(c) A en B zijn vierkante matrices met de eigenschap dat B = P AP −1 voor zekere
inverteerbare matrix P . Toon aan : det A = det B.
6. Gegeven zijn


1
0 −2
 −2
1
5 

A=
 0
3
3 
1 −2 −4

en

7
 −5 

b=
 7 .
−5
(2 pt)
(a) Bepaal een basis van Col A, de kolomruimte van A.
(2 pt)
(b) Bepaal een basis van Nul A, de nulruimte van A.
(3 pt)
(c) Bepaal de (orthogonale) projectie van b op Col A, de kolomruimte van A.
(5 pt)
7. Bepaal alle waarden van x waarvoor geldt dat 1
2
3
x
1
2
x
3
1
x
2
3
x
1
2
3
= 0.