Atoom- en molecuulfysica (ATOM) 29 april 2003

Julius Instituut, Faculteit Natuur- en Sterrenkunde, UU.
In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TB C van A−Eskwadraat.
Het college ATOM werd in 2002/2003 gegeven door P. van der Straten.
Atoom- en molecuulfysica (ATOM)
29 april 2003
Gegevens die misschien nuttig kunnen zijn:
Energie van een waterstofachtig atoom:
Z2 µ
(a.u.)
En`m = − 2
2n me
Waterstofachtige golffuncties (a1 = me a0 /µ):
3/2
1
Z
ψ100 (r, θ, φ) = √
exp(−Zr/a1 )
π a
3/21 1
Z
Zr
ψ200 (r, θ, φ) = √
1−
exp(−Zr/2a1 )
2 2π a1 2a1
3/2
1
Z
Zr
ψ210 (r, θ, φ) = √
exp(−Zr/2a1 ) cos θ
4 2π a1 a1
3/2
1
Z
Zr
ψ21±1 (r, θ, φ) = ∓ √
exp(−Zr/2a1 ) sin θ exp(±iφ)
a1
8 π Z a1
∞
n!
xn e−αx dx = n+1
α
0
Atomaire eenheden:
1a0 = 0.529 × 10−10 m, 1 a.u. = 4.360 × 10−18 J = 27.2116 eV
me = 9.109 × 10−31 kg, ~ = 1.054 × 10−34 Js
Spin 1/2-deeltjes:
~
i~
~
Sx α = β, Sy α = β, Sz α = α
2
2
2
~
−i~
−~
Sx β = α, Sy β =
α, Sz β =
β
2
2
2
Opgave 1: Het Zeemaneffect
(40 punten)
We beschouwen het Zeemaneffect voor zwakke magneetvelden. Hierbij veronderstellen we dat
de energieverschuiving t.g.v. de LS-koppeling veel groter is dan de verschuiving t.g.v. het magneetveld. De ongestoorde Hamiltoniaan wordt dan gegeven door:
H0 =
p2
Z
~ ·S
~
− + ξ(r)L
2m
r
a) Geef aan voor deze ongestoorde Hamiltoniaan, waarom n, `, s, j, en mj wel goede quantumgetallen zijn, maar m` en ms niet.
We zullen het Zeemaneffect beschrijven m.b.v. eerste-orde-storingsrekening. De storingsterm
wordt gegeven door:
!
~ · J~
S
0
~
~
~
~
H = µB (L + 2S) · B = µB 1 + 2
J~ · B
J
De eigentoestanden van a) zullen we gebruiken als ongestoorde eigenfuncties. We kiezen het
magneetveld in de z-richting.
b)
~ = J~ − S
~ om een uitdrukking te vinden voor het inproduct S
~ · J.
~
Gebruik de vectorrelatie L
c)
~ · J/J
~ 2 op de ongestoorde
Bepaal m.b.v. deze uitdrukking de verwachtingswaarde van 1 + S
eigenfuncties.
d)
Bepaal de verschuiving t.g.v. het Zeemaneffect in eerste-orde-storingsrekening, gebruikmakend van uw resultaat onder c).
We beschouwen de overgang 4 F3/2 − 2 D5/2 in een bepaald element.
e)
Geef de opsplitsingen t.g.v. het Zeemaneffect in de begin- en eindtoestand van bovenstaande
overgang.
f)
Hoeveel spectrale lijnen zullen er zichtbaar zijn voor deze overgang, als dit atoom zich in
een zwak magneetveld bevindt?
Opgave 2: Eigentoestanden van het lithiumatoom
(40 punten)
Lithium is een atoom met drie elektronen, waarvan we de elektronengolffunctie willen bepalen.
We zullen werken in de centrale-veld-benadering en we zullen de koppeling tussen spin-baan verwaarlozen.
a)
Schrijf de Hamiltoniaan voor lithium op. Laat expliciet zien, dat deze Hamiltoniaan niet
verandert bij de verwisseling van twee elektronen.
b)
Schrijf de golffunctie van de grondtoestand van lithium op in termen van de één-elektrongolffuncties φn`m` voor het ruimtelijke gedeelte en χms voor het spingedeelte. Voldoet uw
golffunctie aan het Pauli-principe? Wat is de totale symmetrie van de grondtoestand?
c)
Wat verandert er aan uw golffunctie, als de spin van het elektron niet tweevoudig, maar
drievoudig ontaard is?
d)
Wat is de energie van deze toestand in de benaderingen, die u gebruikt hebt voor de vaststelling van de golffunctie van de grondtoestand.
e)
Geef aan, of deze energie toe- of afneemt, als u deze benaderingen niet gebruikt? Welke
benadering heeft volgens u de grootste invloed?
Voor de eerste aangeslagen toestand van lithium bevindt het buitenste elektron zich in de 2ptoestand, i.p.v. de 2s-toestand.
f)
Waarom zijn de 2s- en 2p-toestand bij waterstof ontaard, en zijn deze toestanden in het
geval van litium niet ontaard?
g)
Schrijf de golffunctie op van deze toestand in één-elektron-golffuncties. Voldoet ook deze
toestand aan het Pauli-principe? Wat is de totale symmetrie van deze toestand?
Voor de excitatie van deze toestand uit de grondtoestand wordt gebruik gemaakt van lineair
gepolariseerd licht.
h)
Wat zijn in de dipool-benadering de selectieregels voor lineair gepolariseerd licht? Bepaal
hieruit alle quantumgetallen voor de aangeslagen toestand van het lithiumatoom.
i)
Geef het matrixelement, dat de sterkte van de excitatie uit de grondtoestand bepaalt. Welk
van de drie elektronen is actief in de excitatie, of zijn alle elektronen actief?
Opgave 3: Stellingen
(20 punten)
Een stelling kan zowel waar als niet waar zijn, al naar gelang de argumenten die ervoor of ertegen
gebruikt worden. Geef aan of de volgende stellingen waar of niet waar zijn en geef hiervoor uw
argumenten. Let op, het gaat er hierbij niet om of u voor waar of niet waar kiest; het gaat om de
door u gebruikte argumenten. Beperk uw antwoord tot ±10 regels voor elke stelling.
Stelling 1:
De eigenfuncties voor L2 hebben de eigenwaarden `(` + 1)~2 met ` een geheel getal, omdat de
eigenfuncties eenduidig gedefinieerd moeten zijn voor θ ∈ [0, π] en φ ∈ [0, 2π].
Stelling 2:
De energie-opsplitsing tussen de singlet- en triplet-toestanden van helium wordt veroorzaakt door
het Pauli-principe.