Tentamen

Tentamen
Inleiding kwantumchemie (4051QUACH))
Datum: 17 April 2014
Tijd/tijdsduur: 3 uur
Docent(en) en/of tweede lezer:
Dr. F.C. Grozema
Prof. dr. L.D.A. Siebbeles
Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven:
1. Opgave 1 (20)
2. Opgave 2 (25)
3. Opgave 3 (20)
4. Opgave 4 (25)
Cijfer van dit deeltentamen: aantal behaalde punten +10 gedeeld door 100
Voor het totale eindcijfer telt dit tentamen mee voor 100%
Voldoendegrens is cijfer 6.0
Toegestane informatiebronnen en hulpmiddelen:
- rekenmachine
- formuleblad
Vermeld duidelijk op ieder vel: naam en Leids studienummer
Maak dit tentamen in blauwe of zwarte inkt. Geen potlood!
1
2
Opgave 1
Geef van de onderstaande beweringen aan of ze waar of niet waar zijn (zonder verklaring):
a. De lijnspectra van atomen kunnen alleen kwantummechanisch verklaard worden, niet klassiek.
b. Het Pauli principe zegt dat een golffunctie van teken moet veranderen als je twee elektronen
omwisselt.
c. De verwachtingswaarde geeft aan wat de meest waarschijnlijke uitkomst is van een meting aan een
kwantumsysteem.
d. Bij het foto-elektrische effect is de kinetische energie van een elektron dat vrijgemaakt wordt uit een
vaste stof onafhankelijk van de energie van het foton.
e. Voor een kwantumsysteem kunnen er meerdere eigenfuncties zijn met dezelfde eigenwaarde.
f. De energie van een vrij bewegend deeltje kan in de kwantummechanische beschrijving alle
willekeurige waarden hebben.
g. Door een lineaire combinatie te maken van een complete set functies kan je elke willekeurige 'nette'
functie construeren.
h. Een orthogonale set functies is per definitie ook orthonormaal.
i. De waarschijnlijkheid van tunnelen door een barrière is alleen afhankelijk van de breedte van de
barrière.
j.
Een deeltje kan alleen naar een plaats tunnelen waar de energie lager is dan op de plaats waar hij
begint.
k. Voor atomen met maximaal twee elektronen is een exacte oplossing van de Schrödinger vergelijking
mogelijk.
1. De amplitude van de Is golffunctie van het waterstofatoom is maximaal op de kern, wat betekent dat
de kans om het elektron aan te treffen in de kern maximaal is.
m. De energie van het elektron in het H atoom is hetzelfde voor de 3s, 3p en 3d eigenfuncties.
n. Volgens het variatie principe is de totale energie van een benaderde golffunctie altijd hoger dan de
exacte grondtoestands energie.
O. Volgens de Born-Oppenheimer benadering kan de beweging van de elektronen afzonderlijk van die
van de kernen behandeld worden als gevolg van het grote verschil in massa.
3
Opgave 2: Elektron in nanodraad
Een elektron bevindt zich in een nanodraad met lengte L. De hamiltoniaan van het elektron is gelijk aan
dat van een deeltje in een 1-dimensionale doos. De eigenfuncties zijn
~17
en de eigenwaarden zijn E„.
a) Bereken een uitdrukking voor de normaliseringconstante A'^.
b) Bereken een uitdrukking voor de energie van een elektron met quantum getal n.
c) Het elektron kan vanuit de grondtoestand worden aangeslagen naar de eerste aangeslagen toestand door
absorptie van een foton met golflengte van 6x10'* nm. Bereken de lengte van de nanodraad. Geef het
antwoord in nm met 2 significante cijfers.
d) Door interactie met vibraties van de atoomkernen in de draad komt het elektron in een nieuwe
golffunctie terecht, die gegeven is door
ipix) = C^(p^ (x) + C^^^ (x). De coëfficiënten Ci en C2 zijn beide positief
Bij meting van de energie is de kans op utkomst van de energie behorend bij n=l gelijk aan 0.8. Bereken
de waarde van C2. Geef het antwoord in 2 significante cijfers.
e) Onderzoeker Grozema doet een meting aan de energie van het elektron. Hij vindt de energie Ei.
Vervolgens doet onderzoeker Siebbeles een energiemeting aan hetzelfde elektron. Wat is de kans dat
hij E2 meet? Motiveer het antwoord.
Opgave 3
Voor een waterstofbromide molecuul (^H^^Br) wordt in het infrarood vibratie spectrum een absorptieband
wordt gevonden bij 2649 cm''. De bindinglengte is 141.4 pm (1 pm = 10"'^ m)
a. Bij welke energie wordt een absorptie band gevonden in het infrarood spectrum als het waterstofatoom
wordt vervangen door deuterium (^H) ? De krachtsconstante van de binding blijft gelijk.
1
81
b. Bereken het energie verschil tussen de laagste twee rotatie toestanden in H Br
c. Wat is het relatieve aantal moleculen in de rotatie toestand met J=l t.o.v. de rotatie grondtoestand bij
700 K ?
d. Schets zowel voor de harmonische oscillator als voor een anharmonische oscillator de potentiaal als
functie van de afstand en geef daarin de laagste 4 energie niveaus aan. Beschrijft kort de essentiële
verschillen.
4
Opgave 4
De Is en 2s eigenfuncties voor het waterstof atoom worden gegeven door:
1
en
4^
2i
4V2;r
3/2
r
/•
{-
2-
a. Laat zien dat deze twee eigenfuncties orthogonaal zijn.
b. Leid een uitdrulcking af voor de verwachtingswaarde van
(straal) voor een elektron in de Is orbital.
c. Leg, met behulp van een tekening, uit waarom de verwachtingswaarde van
waarschijnlijke straal (oo).
verschilt van de meest
Als uit twee waterstofatomen een H2 molecuul gevormd wordt leidt dit tot de vorming van twee
moleculaire orbitals 1//^ en i//,,. Om een moleculaire golffunctie te krijgen die voldoet aan het Pauli
principe kan deze anti-symmetrisch gemaakt worden door hem te schrijven als Slater determinant:
'P(l,2) =
i//,(l)a(l)
v^^(l)/?(l)
V/,(2)a(2) 1/^^(2)^(2)
d. Laat zien dat op deze manier een golffunctie verkregen wordt die antisymmetrisch is onder
verwisseling van twee elektronen.
e. Hieronder wordt de Hamiltoniaan voor het waterstof molecuul gegeven, waarbij de twee kernen
indexen o en ö hebben en de elektronen de indexen / en 2.
Im^
2m^
2m,
"
2,„,
-
te.l^,;,
Geef van elk van de 10 termen kort (1 zin) aan wat ze beschrijven.
5
,„
,-J^4^£.Jf