TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit Technische Natuurkunde
Tentamen Toegepaste Quantumfysica (3CQX0) op woensdag 28 januari 2015, 18:00-21:00 uur
Motiveer uw antwoorden. U mag geen boek of ander naslagwerk gebruiken. U mag wel gebruik
maken van één vel A5 handgeschreven aantekeningen.
1. Een deeltje in 1 dimensie wordt in de quantumfysica beschreven door een golffunctie ψ(x, t).
(a) Hoe luidt de statistische interpretatie van ψ(x, t)?
(b) Geef een uitdrukking voor de Hamiltoniaan van één deeltje die alleen een discreet
spectrum heeft.
(c) Geef een uitdrukking voor de Hamiltoniaan van één deeltje die alleen een continu
spectrum heeft.
(d) Geef een uitdrukking voor de Hamiltoniaan van één deeltje die zowel een discreet als
een continu spectrum heeft.
2. We prepareren een spin 1/2 deeltjes als spin-up in de z-richting. Stel we meten vervolgens
de spin met behulp van een Stern-Gerlach apparaat, in een richting die een hoek maakt van
90 graden t.o.v. de z-as.
(a) Wat zijn de eigenwaarden die horen bij deze orientatie? Met welke kans meten we
spin-up in deze richting?
Vervolgens draaien we het Stern-Gerlach apparaat zodanig dat deze een hoek van 45 graden
maakt t.o.v. de z-as.
(b) Wat is nu de kans om spin-up te meten in deze richting?
Nu beschouwen we twee onderscheidbare deeltjes: de eerste heeft spin s1 = 1/2, de tweede
heeft spin s2 = 1.
(c) Wat zijn de mogelijke waarden voor de totale, gecombineerde spin s?
2
(d) Vind voor een totale spin van s = 3/2 de matrix-representatie van de Sx operator,
uitgedrukt in de basis van eigentoestanden van Sz . Wat zijn de eigenwaarden van Sx ?
3. Waterstof atomen met een hoog-aangeslagen elektron worden ook wel Rydberg atomen genoemd. Als een elektrisch veld wordt aangezet, kan het elektron vrij makkelijk naar buiten
tunnelen, waardoor het atoom geioniseerd raakt. We gaan hier dit effect onderzoeken door
gebruik te maken van de WKB benadering.
(a) Beschrijf kort het idee achter de WKB benadering, en hoe deze gebruikt kan worden
om gebonden toestanden te vinden en om tunneling te beschrijven.
We gaan dit probleem onderzoeken door het elektron te plaatsen in een 1-dimensionale
eindig-diepe put, met diepte V0 en breedte 2a gecentreerd rond x = 0. Uiteraard geldt voor
de energie van het elektron E < 0.
(b) Veronderstel even voor deze deelvraag dat de golffunctie op de wanden van de put nul
moet zijn. Welke quantisatie conditie kunt u dan afleiden? En wat zijn de energie
niveaus die daar uit volgen?
We introduceren een verstoring H 0 = −αx, met α > 0, die relatief zwak is: aα ~2 /ma2 .
(c) Schets de totale potentiaal. Onder welke condities van de energie E moet het elektron
naar buiten tunnelen?
(d) Bereken de tunnel factor γ, die voor komt in de tunneltijd τ ∼ e2γ .
(e) Wat kunt u doen om de tunneltijd zo kort mogelijk te maken? Geef twee argumenten.
4. Een deeltje met massa m en lading q bevindt zich in een één-dimensionale harmonische
oscillator met frequentie ω. De Hamiltoniaan wordt gegeven door
H (0) =
1 2
p + (mωx)2 .
2m
De eigentoestanden van deze Hamiltoniaan zijn
ψn(0) =
mω 1/4
π~
√
1
Hn (ξ) exp(−ξ 2 /2),
2n n!
voor n = 0, 1, 2, ... met energieniveaus
1
En(0) = (n + )~ω.
2
3
Hierbij geldt ξ = x
p
mω/~. Hn zijn de Hermite-polynomen; de eerste drie worden gegeven
door
H0 (ξ) = 1, H1 (ξ) = 2ξ, H2 (ξ) = 4ξ 2 − 2.
(0)
(a) Laat zien dat de golffunctie ψ1
(let op, niet n = 0 dus!) inderdaad een eigentoestand
is van H (0) met energieniveau E1 .
Beschouw nu hetzelfde systeem met een elektrisch veld F in de x-richting. De Hamiltoniaan
van dit systeem wordt gegeven door
H = H (0) + qF x.
(b) Bepaal met behulp van de tijdsonafhankelijke storingsrekening de eerste en tweede
orde correcties voor de energieniveaus van dit systeem voor algemene n. Maak hierbij
gebruik van de ladderoperatoren:
q
~
x = 2mω
(a+ + a− ) ,
√
√
(0)
(0)
(0)
(0)
a+ |ψn i = n + 1|ψn+1 i, a− |ψn i = n|ψn−1 i.
(c) Bepaal voor n = 1 de eerste orde correctie voor de eigentoestand.
De Hamiltoniaan van het verstoorde systeem kan worden herschreven als
"
2 2 #
qF
qF
1
2
p + mω x +
−
.
H=
2m
mω 2
ω
Merk op dat H van dezelfde vorm als H (0) is.
(d) Bepaal de exacte eigentoestanden en energieniveaus van het verstoorde systeem. Bespreek eventuele verschillen met uw resultaten bij (b) en (c).
Normering vraagstukken:
1(a) 3
2(a) 4
3(a) 3
4(a) 3
1(b) 3
2(b) 3
3(b) 2
4(b) 4
1(c) 3
2(c) 2
3(c) 2
4(c) 3
1(d) 3
2(d) 4
3(d) 3
4(d) 3
3(e) 2
12
13
12
Totaal:
13
50