TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit Technische Natuurkunde
Tentamen Toegepaste Quantumfysica (3CQX0) op vrijdag 4 november, 9:00-12:00 uur
Motiveer uw antwoorden. U mag geen boek of ander naslagwerk gebruiken. U mag wel gebruik
maken van één vel A5 handgeschreven aantekeningen.
1. De toestand van een zeker quantum deeltje kan worden weergegeven door een toestandsvector
|Ψ(t)i in een Hilbertruimte. Veronderstel dat de Hamiltoniaan van dit deeltje een oneindig
aantal eigenwaarden En heeft.
(a) Geef de algemene oplossing van de tijdsafhankelijke Schrödinger vergelijking voor dit
systeem.
(b) Stel dat een experimentator een enkele energie meting zou uitvoeren op dit deeltje. Met
welke waarschijnlijkheid zou deze experimentator dan een bepaalde uitkomst aantreffen? In welke toestand bevindt het deeltje zich dan na die meting?
De golffunctie horende bij toestand |Ψ(t)i wordt verkregen door deze te projecteren op een
eigentoestand |xi van de positie operator x̂.
(c) Schrijf de vergelijking op waar |xi aan moet voldoen. Beschrijf de golffunctie die hoort
bij deze positie eigentoestand.
(d) Wat is de statistische interpretatie van de golffunctie ψ(x, t) = hx|Ψ(t)i?
(e) Stel we voeren een positie meting uit aan toestand |Ψ(t)i. Beschrijf het meetproces
volgens de statistische interpretatie, en maak hierbij gebruik van de eigenwaarden en
eigentoestanden van operator x̂. Beschrijf de tijdsevolutie van de toestand na de meting.
2
2. De zwaartekracht, alhoewel zwak, werkt ook op quantum deeltjes, en dit zullen we nu gaan
onderzoeken. Voor een harmonische oscillator kunnen we de afstand Ln definiëren,
r
1
2n + 1
1
2 2
⇔
Ln =
mω Ln = En = ~ω n +
~,
2
2
mω
die correspondeert met het klassieke omkeerpunt. Beschouw een deeltje in een 1D harmonische oscillator. De zwaartekracht operator wordt gegeven door
Ĥ 0 = gmx̂.
Neem bij deze vraag aan dat gmLn ~ω.
a) Waarom is deze vraag geschikt om te onderzoeken met storingsrekening?
b) Bepaal de eerste orde correctie En1 van de zwaartekracht op de energie. Hint: Maak
gebruik van de ladderoperatoren.
d) Bereken de correctie ψ01 (x) van de golffunctie op de grondtoestand, en bepaal hiermee
de totale golffunctie Ψ0 (x) van de grondtoestand van het gestoorde systeem tot op
eerste orde.
d) Bereken de tweede-orde energie correctie En2 .
We voeren nu een gedachtenexperiment uit, waarbij we het zwaartekracht veld instantaan
uit kennen zetten op tijdstip t = 0. Hierdoor zal de golffunctie Ψ0 (x) niet veranderen.
e) Bereken de tijdsafhankelijke golffunctie Ψ(x, t) van het deeltje in deze nieuwe omgeving.
Hoe kunt u aan dit deeltje experimenteel waarnemen dat de zwaartekracht plotseling
is uitgezet?
3. We introduceren een verkorte notatie voor een Stern-Gerlach apparaat. Het symbool
 
+
−|
z
staat voor een compleet spin-1/2 apparaat. Omdat we meerdere apparaten tegelijkertijd
gaan gebruiken, met verschillende orientaties, geven we elk symbool een onderindex om dit
aan te geven. Indien we één van de bundels blokkeren, geven we dat weer door middel van
een verticale streep die hierbij aangeeft welke bundel geblokkeerd wordt. Bij voorbeeld, het
symbool hierboven stelt een apparaat voor waarbij het magneetveld (en zijn gradient) langs
de z-as gericht is, vandaag de onderindex z, waarbij de spin-down bundel, |↓iz , geblokkeerd
is zoals weergegeven door de verticale streep achter het “−” teken.
3
(a) Gegeven een ongepolariseerde spin-1/2 bundel met intensiteit I, welke intensiteit komt
er uit in de volgende gevallen van Stern-Gerlach experimenten:
 
 
 
+
+|
+
→
→
→?
(a.1)
I→
−
−
−|
z
(a.2)
z
 
+
 
 
+|
+|
I→
→
→
→?
−|
−
−
z
(a.3)
x
x
z
 
 
+|
+|
→?
→
→
I→
−
−
−|
 
+
z
z
x
We definieren de θ richting nu in het x − z vlak, tussen de positieve x en z assen in met
een hoek van 60 graden ten opzichte van de z as. Maak bij de beantwoording gebruik
van |χ(θ)i = cos(θ/2) |↑iz + sin(θ/2) |↓iz .
 
 
 
+
+|
+|
(a.4)
I→
→
→
→?
−|
−
−
z
θ
z
Los van de Stern-Gerlach experimenten, beschouwen we in het volgende nog steeds spin-1/2
deeltjes.
(b) Laat via een expliciete berekening door middel van Pauli matrices zien dat de commutator [Sx , Sy ] gelijk is aan i~Sz .
(c) Beschouw nu een operator Sx + Sy . Wat zijn de eigenwaarden en eigentoestanden van
deze operator?
Veronderstel een meting van de spin in deze richting, Sx + Sy , en dat het deeltje daarbij
gevonden is in een eigentoestand behorende bij de grootste eigenwaarde.
(d) Wat is de kans dat direct hierna een meting van Sy de waarde ~/2 oplevert?
√
(e) Beschouw nu het matrixelement hχ| (Sx + Sy )2 |χi, waarbij |χi = ( |↑iz + i |↓iz )/ 2.
Bepaal de numerieke waarde van dit matrixelement. Wat is de fysische betekenis van
dit matrixelement?
4
4. Gegeven is een één-dimensionale potentiaal V (x) die drie stationaire toestanden ψ1 (x), ψ2 (x)
en ψ3 (x) toelaat. Er geldt Ĥψn = nE0 ψn , met E0 een constante energie. Twee deeltjes A
en B bevinden zich in deze potentiaal.
(a) Geef de grondtoestand van dit twee-deeltjes systeem, voor elk van de volgende drie
gevallen. Negeer spin.
(i) De twee deeltjes zijn onderscheidbaar;
(ii) de twee deeltjes zijn bosonen;
(iii) de twee deeltjes zijn fermionen.
(b) Geef van het systeem alle toestanden met energie 4E0 , voor elk van de bovenstaande
drie gevallen. Negeer ook hier spin.
(c) Neem nu aan dat de twee deeltjes fermionen zijn met spin 1/2. Geef
(i) de grondtoestand van het twee-deeltjes systeem, en
(ii) alle toestanden met energie 4E0 ,
waarbij je ditmaal de spintoestand in rekening brengt.
(d) Stel nu dat drie elektronen zich in bovenbeschreven potentiaal bevinden. Bij meting
blijkt de z-component van de spin van dit driedeeltjessysteem gelijk aan 3~/2. Welke
meetresultaten zijn vervolgens mogelijk als direct na de spinmeting de totale energie
van het systeem wordt bepaald?
Normering vraagstukken:
1(a) 2
2(a) 2
3(a) 3
4(a) 3
1(b) 3
2(b) 2
3(b) 2
4(b) 3
1(c) 3
2(c) 3
3(c) 3
4(c) 3
1(d) 2
2(d) 3
3(d) 2
4(d) 3
1(e) 3
2(e) 2
3(e) 3
Totaal:
13
12
13
12
50