TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit Technische Natuurkunde
Tentamen Quantumfysica 2 (3NB55) op maandag 11 april 2011, 9:00-12:00 uur.
U mag geen boek of ander naslagwerk gebruiken. U mag wel gebruik maken van één vel A5
handgeschreven aantekeningen. Dit tentamen is zo opgesteld dat het vereiste rekenwerk beperkt
is. Als u toch veel rekenwerk denkt te moeten doen dan moet u wellicht op zoek naar een andere
oplosmethode.
1.
(a) Paul Dirac stelde voor de bracket notatie van het inproduct hα|βi in twee stukken te
delen, waarbij hα| de bra en |βi de ket voorstelt. Wat is de betekenis van de bra en de
ket?
De toestand van een bepaald deeltje kan worden weergegeven door een toestandsvector |Ψ(t)i
in een Hilbertruimte. De golffunctie horende bij deze toestand wordt verkregen door deze te
projecteren op een eigentoestand |xi van de positie operator x̂.
(b) Schrijf de vergelijking op waar |xi aan moet voldoen. Beschrijf de golffunctie die hoort
bij deze positie eigentoestand.
(c) Wat is de statistische interpretatie van de golffunctie ψ(x, t) = hx|Ψ(t)i?
(d) Stel we voeren een positie meting uit aan toestand |Ψ(t)i. Beschrijf het meetproces
volgens de statistische interpretatie, en maak hierbij gebruik van de eigenwaarden en
eigentoestanden van operator x̂. Beschrijf de tijdsevolutie van de toestand na de meting.
Stel dat een boson beschreven wordt door golffunctie ψa (x, t), en een ander identiek boson
beschreven wordt door golffunctie ψb (x, t).
(e) Hoe ziet de golffunctie van dit identieke twee deeltjes systeem eruit voor het geval de
bosonen geen spin hebben? En hoe zou deze golffunctie eruit zien in het geval van twee
identieke fermionen met halftallige spin?
2
2. De genormeerde eigentoestanden en de energieën van een deeltje met massa m in een ééndimensionale oneindig-diepe rechthoekige put (V (x) = 0 voor 0 < x < a en V (x) = ∞
elders) zijn:
r
ψn (x) =
nπx 2
n2 π 2 ~2
sin
, En =
, (n = 1, 2, . . .).
a
a
2ma2
We beschouwen nu een deeltje met massa m in een twee-dimensionale oneindig-diepe
rechthoekige put:

 0
V (x, y) =
∞
voor 0 < x < a, 0 < y < a
elders.
(a) Bepaal de eigentoestanden en eigenenergieën voor dit systeem.
(b) Bepaal de ontaardingsgraad van de grondtoestand en van de 1e en 2e aangeslagen
toestand.
We brengen nu de volgende verstoring aan:

 V0
voor 0 < x < a/2, 0 < y < a/2
H0 =
 0
elders.
(c) Bepaal de energie van de grondtoestand tot op 1e orde in V0 .
(d) Geef aan waarom het bepalen van de energie van de 1e aangeslagen toestand niet op
dezelfde manier gedaan mag worden als bij onderdeel (c).
(e) Geef aan wat voor effect er optreedt bij het bepalen van de energie van de 1e aangeslagen
toestand en bepaal dit effect tot op 1e orde in V0 . U mag hierbij gebruik maken van
de volgende integraal:
1
a
Z
a/2
sin
0
πx a
sin
2πx
a
dx =
2
.
3π
3
3. Alice en Bob besluiten onafhankelijk van elkaar de spin te meten van een deeltje uit een
EPR paar. Ze hebben beiden een Stern-Gerlach apparaat, waarmee ze de spin component
van een deeltje langs een zekere as kunnen meten. Alice meet aan deeltje a, Bob aan
deeltje b. De deeltjes hebben ten opzichte van de z-as de eigentoestanden |a i en |b i, met
(a)
a,b = ±1 = ±, horende bij operatoren Ŝz
(b)
(a,b)
en Ŝz . Er geldt Ŝz
|a,b i =
1
2 ~a,b |a,b i.
Een basis voor het 1-deeltje systeem is {|−i, |+i}. Een basis voor het 2-deeltjes systeem is
{| + +i, | + −i, | − +i, | − −i}. In deze basis beschouwen we de EPR toestand
1
|Ψi = √ (| + −i − | − +i) .
2
(a) Laat zien dat |Ψi een verstrengelde toestand is.
(b) Stel Alice en Bob meten beiden de z-component van de spin. Wat zijn de meetuitkomsten van Alice en Bob afzonderlijk, en met welke kansen? Wat is het gecombineerde
meetresultaat? Beantwoord hierbij de vraag of |Ψi een eigentoestand is van de operator
(a)
(b)
Ŝz ⊗ Ŝz .
Bob roteert nu de as van meting over een hoek θ ten opzichte van de z-as, in de richting van
de x-as, terwijl Alice in de z-richting blijft meten.
(c) Geef de twee nieuwe eigentoestanden van Bob in de 1-deeltje basis.
(d) Geef de vier nieuwe eigentoestanden van het twee-deeltjes systeem in de twee-deeltjes
basis.
(e) Er wordt weer een meting gedaan aan een identiek geprepareerd EPR paar. Wat is de
kans dat Alice en Bob nu beiden een + meten? En wat is de kans dat Alice een +, en
Bob een - meet?
4
4. Een deeltje in 1 dimensie met massa m bevindt zich in een potentiaal
V (x) = α|x| + βx2 ,
met α en β positieve constanten. We willen het variatieprincipe gebruiken om een schatting
te vinden voor de grondtoestandsenergie Eg .
(a) Bewijs dat Eg ≤ hHi, met H de Hamiltoniaan die het deeltje beschrijft.
We nemen als probeergolffunctie
2
ψ(x) = Ae−bx ,
waarbij b de te variëren parameter is.
(b) Leid een vergelijking af voor de waarde van b waarvoor een optimale bovengrens voor
Eg gevonden wordt.
(c) Bepaal de optimale bovengrens voor het geval dat α = 0 en bediscussieer dit resultaat.
(d) Bepaal de optimale bovengrens voor het geval dat β = 0 en bediscussieer dit resultaat
in het licht van de volgende numeriek bepaalde waarde voor de grondtoestandsenergie: Eg = 1.0188(α2 ~2 /2m)1/3 . Mogelijk kunt u gebruik maken van het gegeven dat
3/π 1/3 ≈ 2.048.
Normering vraagstukken:
1(a) 2
2(a) 2
3(a) 2
4(a) 2
1(b) 3
2(b) 2
3(b) 3
4(b) 4
1(c) 2
2(c) 3
3(c) 3
4(c) 3
1(d) 3
2(d) 2
3(d) 2
4(d) 3
1(e) 3
2(e) 4
3(e) 2
13
13
12
Totaal:
12
50