Uitwerkingen Kracht en Moment 4 HAVO

Uitwerkingen M.M.M. Bessems
VWO 4
Uitwerkingen Arbeid en Energie 4 VWO
Bij paragraaf 4.1 Verrichten van Arbeid (1) Algemeen
1.
a. De algemene formule is tevens de definitie van arbeid van een kracht, dus W = F·s·cos , waarin F de
kracht is in (N), s de verplaatsing in (m) en  de hoek tussen de kracht F en de verplaatsing s.
b. 1 (J) is de arbeid die een kracht van 1 (N) verricht als het (zwaartepunt van het) voorwerp onder
invloed van die kracht zich 1 (m) in de richting van die kracht verplaatst.
c. 1. Bij alle horizontale verplaatsingen geldt  = 90º tussen Fz en s, dus cos  = 0 en W = 0.
2. Bij een beweging omhoog verricht de zwaartekracht negatieve arbeid,  is dan 180º en cos  = -1.
2
a. We berekenen eerst de zwaartekracht: FZ = m · g = 150 · 9,81 = 1471,5 (N) = 1,47·10³ (N)
Om de massa op te tillen moet de spierkracht minimaal even groot zijn. Verder is de spierkracht
omhoog en de verplaatsing omhoog dus  = 0º. Dan kunnen we met de formule uitrekenen wat de
arbeid is: WSPIER = FS · s · cos  = 1,47·10³ · 2,00 · cos 0º = 2,94 (kJ).
b. Voor de zwaartekracht geldt  = 180º, want de zwaartekracht is omlaag en de verplaatsing omhoog,
dus WZ = FZ · s · cos  = 1,47·10³ · 2,00 · cos 180º = -2,94 (kJ).
Negatief dus, want de zwaartekracht werkt de beweging tegen.
3
We berekenen eerst de zwaartekracht: FZ = m· g = 240 · 9,81 = 2354,4 (N). Verder is de verplaatsing
omlaag en de kracht ook omlaag, dus de hoek tussen F en s is:  = 0º. Dan volgt:
WZ = FZ · s · cos  = 2354,4 · 75 · cos 0º = 176.580 = 1,8·105 (J). Positief want de kracht werkt mee met
de beweging.
4
a. De zwaartekracht is gelijk aan FZ = m·g = 400·9,81 = 3924 (N). Verder staat de FZ verticaal terwijl de
verplaatsing horizontaal is, dus  = 90º. Met de formule
WZ = FZ · s · cos  volgt dan: WZ = 3924 · 100 · cos 90º = 3924 · 100 · 0 = 0 (J).
Dit is in het algemeen zo: als een kracht loodrecht op de verplaatsing staat verricht deze kracht geen
arbeid.
b. Omdat de snelheid constant is geldt dat er geen resulterende kracht in de horizontale richting mag zijn,
dus de spierkracht gelijk is aan de wrijvingskracht, dus F S = FW = 32,0 (N). Dus: WS = FS · s · cos  =
32,0·100·cos 0º = 3200 = 3,20 (kJ). NB: De spierkracht en de verplaatsing hebben dezelfde richting
dus  = 0º.
c. Omdat de kar horizontaal beweegt geldt dat er geen kracht in de verticale richting overblijft, dus de
normaalkracht moet gelijk zijn aan de zwaartekracht. FN = FZ = m · g = 400·9,81 = 3924 (N). Verder
staat de FN verticaal terwijl de verplaatsing horizontaal is, dus  = 90º. Met de formule
WN = FN · s · cos  volgt dan: WN = 3924 · 100 · cos 90º = 3924 · 100 · 0 = 0 (J).
d. Voor de wrijvingskracht FW geldt dat deze tegengesteld gericht is aan de verplaatsing, dus  = 180º en
cos  = -1, dus WW = FW · s · cos  = 32,0 · 100 · -1 = -3,20 (kJ).
5
a. Voor de veerkracht geldt eigenlijk: FV = -C·u. Het minteken duidt alleen de richting aan en mag hier
dus buiten beschouwing blijven: dus FV = Cu. C is de veerconstante in (N/m) terwijl u de uitrekking
van de veer is in (m). C is dus de steilheid van de grafiek: C = 0,63 / 0,04 = 15,75 = 16 (N/m). De
uitkomst kan iets afwijken i.v.m. aflezen van de grafiek.
b. Het gearceerde oppervlak is de oppervlak onder het (F,s) diagram (u is hier net als s in de
arbeidsformule een verplaatsing, dus mag je s gelijk stellen aan de uitrekking). Het stelt dus de arbeid
voor die je moet verrichten als je de veer van 2,0 (cm) naar 4,0 (cm) uit wil rekken.
c. Dat is de oppervlakte onder de rechte tussen 0 en 3,0 (cm), dus W = Opp = ½ · basis · hoogte =
½ · 0,03 · 0,47 = 7,05·10-3 (J) = 7,1 (mJ)
6
a. Bij een uitrekking van 0 (cm) is de veerkracht niet 0 (N), maar al 0,5 (N).
b. Dat is de oppervlakte onder de grafiek tussen 0 en 10 (cm), dus W = Opp rechthoek + Opp driehoek =
0,5·0,10 + ½ · 0,10· (0,75-0,50) = 0,0625 = 63 (mJ).
c. Net als bij b. maar nu de oppervlakte tussen 10 en 30 (cm), dus W = Opp rechthoek + Opp driehoek =
0,75·0,20 + ½ · 0,20· (1,25-0,75) = 0,20 (J).
Arbeid en Energie
1
Uitwerkingen M.M.M. Bessems
VWO 4
Bij paragraaf 4.2 Verrichten van Arbeid (2) Fz en Fw
7
Dit is opgave 6 uit het boek.
Voor Piet geldt m = 44 (kg), dus FZ = m·g = 431,64 = 432 (N).
a. Van H naar O is het hoogteverschil h = 2 R = 13,0 (m). Het begin is hoger dan eind, dus:
W Z= + FZ · h = + 432 · 13 = 5616 = 5,6 (kJ).
b. Van L naar R is we geen hoogteverschil dus h = 0, dus W Z = 0 (J)
c. Van R naar H is het hoogteverschilk h = R. Het begin is lager dan eind, dus: WZ = - FZ · h = -432·6,5
= -2808 = -2,8 (kJ).
d. Van H naar H is er geen hoogteverschil, dus h = 0 en W Z = 0 (J).
8
Dit is opgave 9 uit het boek.
a.
Het hoogteverschil tussen A en B is uit te rekenen met de hoek van 70º:
Dit is gelijk aan MD. Aangezien de straal van de cirkel 0,42 (m) is, is MB
ook gelijk aan 0,42 (m), dus h = MD = MB cos 70º = 0,1436 = 0,14 (m).
Begin A ligt hoger dan eind B dus: WZ = + FZ · h = + m·g·h =
0,031·9,81·0,14 = 0,0425 = 43 (mJ)
b. Het kogeltje legt een hoek af van 90+70 = 160º. Een hele cirkel bestaat uit 360º, dus hij legt (160/360)
van de omtrek van de cirkel af. Dat is dus s = 160/360·2  r = 1,17 (m), dus WW = -FW·s = 0,015·1,17
= - 0,0175 = - 18 (mJ).
Bij paragraaf 4.3 Arbeid en Energie
9
Voor WV geldt dat dit gelijk is aan de oppervlakte onder de grafiek van 0 tot u. Dat is een driehoek met
een hoogte gelijk aan FV en een basis van u. Nu geldt voor FV dat dit gelijk is aan – C·u waarbij we het
-teken weg mogen laten omdat dit alleen de richting van de veerkracht benadrukt, dus:
W = ½ · basis · hoogte = ½ · u · C · u = ½ · C · u · u = ½ C u² = ½ · constante · (variabele)².
10
Allereerst de eenheid van arbeid uitgedrukt in standaardeenheden:
1 (J) = 1 (N)·1(m) = 1 (kg m/s²) · 1 (m) = 1 (kg m² / s²). Zie voor de Newton bovenaan blz. 119.
a. EZ = m·g·h. De eenheid is (kg)·(m/s²)·(m) = (kg m² / s²). Klopt.
b. EK = ½ m·v². De eenheid is (kg)·(m/s)² = (kg)·(m²/s²) = (kg m²/s²). Klopt.
c. EV = ½ C·u² (zie opgave 11). De eenheid van de veerconstante C is (N/m) = (kg m/s²)/(m) = (kg/s²).
Dus de eenheid van EV = (kg/s²)·(m)² = (kg m²/s²). Klopt.
11
Dit is opgave 14 uit het boek.
a. Eerst omrekenen: v = 18/3,6 = 5,0 (m/s), dus EK = ½ m·v² = ½·64·(5,0)² = 800 = 8,0·10² (J).
b. EK = ½ mv², dus 2,4·10³ = ½·64·v² = 32 v², dus v² = 2,4·10³/32 = 75, dus v = 75 = 8,66 (m/s) =
8,66·3,6 = 31 (km/h).
12
We maken een tekening.
a.
Het hoogteverschil is CB. h = CB = MB - MC = 5,00 – 5,00·cos 50º=1,79 (m).
b.
WZ = +FZ·h = + 68,0·9,81 · 1,79 = 1194 = 1,19 (kJ).
c.
De zwaartekracht kan dus 1,19 (kJ) arbeid verrichten tijdens de beweging, dus
moet er 1,19 (kJ) aan zwaarte-energie aanwezig zijn in het begin (A).
d.
Voor s geldt: s = (50/360)·2r = 4,36 (m)
WW = -FW·s = -20,0·4,36 = -87,2 (J).
e.
WS = 0 (J) want de spankracht staat steeds loodrecht op de verplaatsing, dus
 = 90º en cos  in de algemene formule is dus gelijk aan 0.
Bij paragraaf 4.4 Wet van behoud van Energie
13
Manier 1: We gebruiken de wet van behoud van energie. Door de arbeid van de remkracht van 5,0 (kN)
wordt de gehele bewegingsenergie in het begin omgezet in warmte. Dus:
EK = Q
½ m v² = FREM · s
Arbeid en Energie
2
Uitwerkingen M.M.M. Bessems
VWO 4
½·900·(90/3,6)² = 5,0·10³ · s
281250 = 5,0·10³ s, dus s = 56,25 = 56 (m).
Manier 2: We kunnen dit ook doen met de wet van arbeid en kinetische energie:
WOP = EK
FREM·s·cos 180º = ½ m v²EIND – ½ mv²BEGIN
5,0·10³·s·-1 = ½·900·0² - ½ ·900·25²
-5000 s = - 281250, dus s = 56 (m).
14
De wet van behoud van energie luidt in dit geval: (zie voor gebruikte getallen opgave 12)
EZ,A = EK,B + Q
1194 = ½·68·vB² + 87,2
Dus vB = 5,71 (m/s)
15
We maken even een tekening.
a.
In het hoogste punt is de snelheid nul, dus heeft de bal alleen zwaarte-energie.
De wet van behoud van energie wordt nu:
EK,A = EZ,B
½·m·vA² = m·g·hB
½ 0,400·(10)² = 0,400·9,81·hB
hB = 5,10 (m)
Voor de snelheid in C geldt dat die gelijk is aan die in A want er is geen energie
verloren gegaan aan warmte en aangezien zowel in A als in C de zwaarte-energie
gelijk is aan nul, bestaat de totale energie alleen uit kinetische energie (½ mv²).
b. Nu moeten we de wrijving erbij rekenen, dus de warmte die vrijkomt:
EK,A = EZ,B + Q
½·m·vA² = m·g·hB + Fw·s
½·0,400·10² = 0,400·9,81·hB + 0,500·hB (want s = afstand AB dus gelijk aan hB)
20 = 4,424 hB
hB = 4,52 (m)
De snelheid in C wordt dan
Manier 1: We kijken van B naar C
EZB = EKC + Q
m·g·hB = ½ mvC² + FW·s
0,400·9,81·4,52 = ½ 0,400·vC² + 0,500·4,52
17,74 = 0,20 vC² + 2,26
Dus vC = 8,80 (m/s)
Manier 2: Je kunt dit ook berekenen door de beweging van A naar C te laten lopen:
EKA = EKC + Q
½ m vA² = ½ m vC² + FW·s
½ 0,400·10² = ½ 0,400·vC² + 0,500·(2·4,52)
de bal legt nl. 2 maal hB af!
vC = 8,80 (m/s)
16
a. In begin heeft het voorwerp zowel kinetische als zwaarte-energie. Aan het eind alleen
bewegingsenergie als hij de grond raakt, dus:
½ mvBEGIN² + m·g·hBEGIN = ½ mv²EIND
Omdat zowel links als rechts in elke term de massa m voorkomt kun je die tegen elkaar wegstrepen.
½ mvBEGIN² + m·g·hBEGIN = ½ mv²EIND
½ 10² + 9,81·20,0 = ½ v²EIND
Dus vEIND = 22 (m/s)
b. De hoek van 26º is nergens gebruikt en is dus een overbodig gegeven.
De massa van 0,20 (kg) is overbodig, want deze zit in elke term van de wet van behoud van energieformule dus kan weggestreept worden.
c. Als er wrijving zou zijn zouden beide gegevens niet overbodig zijn. Dan komt er aan de rechterkant
van de behoudsformule een term FW·s bij. De afgelegde weg door de lucht (dus s) hangt af van de
hoek waaronder de kogel wordt weggeschoten en de massa is ook niet meer weg te strepen want in
deze wrijvingsterm komt er geen ‘m’ voor.
Arbeid en Energie
3
Uitwerkingen M.M.M. Bessems
VWO 4
17
Dit is opgave 24 uit het boek.
a. Nee, het karretje blijft op dezelfde hoogte.
b. Zowel het karretje als het blokje gaan bewegen, dus winnen kinetische energie.
c. In begin is er de zwaarte-energie van het blokje. Aan het eind is er de totale kinetische energie van de
kar en het blokje dus de wet van behoud van energie wordt:
mBlok·g·h = ½ (mKar+mBlok)·v²
0,10·9,81·0,50 = ½ (0,60+0,10)·v²
Dus v = 1,2 (m/s)
18
Dit is opgave 25 uit het boek.
In begin is er alleen zwaarte-energie van A, aan het eind is er kinetische energie van A en B (ze bewegen
allebei) maar ook zwaarte-energie van B (deze gaat 4,0 m omhoog)!
EZA = EKA + EKB + EZB
mAgh = ½ mAv² + ½ mBv² + mBgh
3,5·9,81·4,0 = ½ 3,5·v² + ½ 2,5·v² + 2,5·9,81·4,0
137,34 = 3,0 v² + 98,1
39,24 = 3,0v²
v = 3,6 (m/s)
19
Dit is opgave 26 uit het boek.
De wet van behoud van energie voor dit geval wordt:
EK,BEGIN = EZ,EIND + Q
½ mv² = mgh + Q
½ 2,00·50,0² = 2,00·9,81·100 + Q
2500 = 1962 + Q
Dus Q = 538 (J)
20
Dit is opgave 28 uit het boek.
a. Met de wet van behoud van energie volgt:
EZ,BOVEN = EK,BENEDEN
mgh = ½ mv²
9,81·1600 = ½ v² Dus v = 177 (m/s) = 1,8·10² (m/s)
b. Snelheid volgt uit het plaats-tijd-diagram door de helling van de raaklijn. Deze is het steilst tussen 7
(s) en 24 (s).
c. v(12) = helling raaklijn op (t=12 s) = “h” / “t” = (620-1200) / (20-10) = -58 (m/s)
d. De snelheid tussen 7 en 24 (s) blijft constant, dat betekent dat daar de resulterende kracht nul moet
zijn. Dat houdt in dat de wrijvingskracht gelijk is aan de zwaartekracht, dus F W = FZ= m·g = 90·9,81 =
882,9 = 8,8·10² (N).
e. Op t=30 (s) is de snelheid wederom constant (alleen kleiner), dus ook hier geldt F W = FZ. Verder is FZ
niet veranderd, dus FW is gelijk aan de FW op 12 (s) dus 8,8·10² (N).
f. De arbeid van de wrijvingskracht komt vrij als warmte-energie, dus:
EZ,BOVEN = EK,BENEDEN + Q
mgh = ½ mv² + Q
90·9,81·1600 = ½ ·90·(5,4)² + Q
Dus: Q = 1411327,8 = 1,4·106 (J)
Gevraagd is echter de arbeid van de wrijvingskracht, dus deze is negatief dus –1,4·106 (J)
g. Hij moet nog afremmen van 5,4 (m/s) tot stilstand. Hoe groter de remweg hoe minder remkracht, dus
hoe minder kracht in zijn benen gevoeld wordt.
21
Dit is opgave 29 uit het boek.
a. Als er geen wrijving zou zijn, zou er geen energie verloren gaan, dus zou het kogeltje telkens dezelfde
hoogte bereiken want in het hoogste punt heeft het kogeltje alleen zwaarte-energie (mgh) en die
verandert dus niet.
b. Eerste keer is de doorlopen hoogte h = 0,29 (m), dus
mgh = ½ mv²
Verwaarloos wrijving tijdens de eerste val.
9,81·0,29 = ½ v²
Dus v = 2,4 (m/s), dus EK = ½ mv² = ½ ·0,0055·2,4² = 0,0156 (J) = 16 (mJ)
Dit kan ook berekend worden met: EK = EZ = mgh = 0,055·9,81·0,28 = 16 (mJ) aangezien de hele
zwaarte-energie tijdens de eerste val wordt omgezet in kinetische energie.
c. Invullen levert: f1 = 0,22/0,29 = 0,76
f3 = 0,15/0,18 = 0,83
f5 = 0,11/0,13 = 0,85
f2 = 0,18/0,22 = 0,82
f4 = 0,13/0,15 = 0,87
f6 = 0,09/0,11 = 0,82
Arbeid en Energie
4
Uitwerkingen M.M.M. Bessems
VWO 4
d. De gemiddelde terugstuitfactor is 0,83. Dat betekent dat het kogeltje steeds ongeveer 0,17·h verliest.
Dat is een verlies van 17%, dus gaat er elke botsing ook 17% energie verloren: de energie die hij
overhoudt kun je namelijk aflezen uit de zwaarte-energie in het hoogste punt en die is rechtevenredig
met de hoogte h.
Bij paragraaf 4.5 Wet van behoud van Energie - toepassingen
22
Dit is opgave 30 uit het boek.
Deze persoon wordt alleen afgeremd door de voorruit en de remweg is dan de afstand die zijn hoofd nog
aflegt na aanraking met die ruit (dat is dus hoeveel zijn hoofd ingedeukt wordt). De weg van de stoel naar
de voorruit toe wordt nog niet afgeremd, dus telt niet bij de remweg.
De auto deukt veel makkelijker in door de kreukelzone. De remweg van de auto is gelijk aan de lengte
van de kreukelzone.
23
Dit is opgave 33 uit het boek.
a. Ze moeten zoveel kracht leveren dat het moment van de zwaartekracht van de balk om het draaipunt
opverwonnen wordt. Hoe groter de arm van de spierkracht, hoe kleiner de spierkracht hoeft te zijn om
dit voor elkaar te krijgen. Dus Richard moet meer kracht uitoefenen dan Piet omdat zijn arm kleiner
is.
b. Allebei evenveel, want hoewel Richard meer kracht moet leveren, moet hij dit doen over een kleinere
afstand dan Piet. Dat is te zien in de volgende tekening:
Moment zwaartekracht: FZ · SZ
Kracht nodig door Piet in P = SZ · FZ / SP
Arbeid door Piet geleverd: (SZ·FZ / SP)·PP’
Dus Piet PP’/SP · (SZ· FZ )
Kracht nodig door Richard in Q = SZ·FZ / SQ
Arbeid door Richard geleverd: (SZ·FZ / SQ)·QQ’
Dus Richard QQ’/SQ · (SZ·FZ )
Aangezien driehoek SQQ’ gelijkvormig is met SPP’
volgt dat QQ’/SQ = PP’/SP dus de geleverde
arbeiden zijn gelijk aan elkaar.
24
Dit is opgave 35 uit het boek.
a. De toename van zwaarte-energie is: EZ = m · g · h = 20·9,81·0,80 = 156,96 = 1,6·10² (J). Punt Q
ligt namelijk 0,80 (m) hoger dan punt P. We schrijven voor toename/afname liever EZ dan EZ. Voor
de rest is de formule gelijk aan die van EZ. Omdat de kinetische energie constant blijft (de snelheid
blijft gelijk) moet de toename van de zwaarte-energie ergens anders vandaan komen. Dat houdt in dat
de reiziger die 1,6·10² (J) moet leveren door arbeid te verrichten.
b. Manier 1: met de arbeidsformule
We weten dat de verrichte arbeid W 156,96 (J) is. De verplaatsing is langs de helling omhoog, de
trekkracht ook, dus  = 0º. Voor de verrichte arbeid geldt ook:
W = F · s · cos  = F · 6,0 · cos 0º = 6,0 · F Dus F = 156,96 / 6,0 = 26 (N).
Manier 2: met de krachtenformule
Omdat de wrijving te verwaarlozen is (zie tekst) en de snelheid constant, moet gelden dat de
trekkracht de zwaartekracht in de x-richting moet opheffen. Voor FZ,X geldt:
FZ,X = FZ · sin m · g · sin .  is in deze formule gelijk aan de hellingshoek (Let op het verschil
met de  in de arbeidsformule!). Die kunnen we berekenen omdat gegeven is sin  = 0,80 / 6,0 (want
sin  = overstaande / schuine zijde). Als je nu  wil uitrekenen volgt = 7,66º maar je kunt ook sin 
direct invullen en dat levert op: F = FZ,X = 20 · 9,81 · (0,80 / 6,0) = 26 (N)
25
Dit is opgave 36 uit het boek.
a. De horizontale as geeft de snelheid in (m/s) aan. Neem als voorbeeld een snelheid van 20 (m/s). Dan
kun je aflezen dat de remweg gelijk is aan ongeveer 29 (m). De kinetische energie wordt hierbij
omgezet in warmte, dus de wet van behoud van energie wordt:
EK = Q
½ m v² = FREM·s
½ 800·20² = FREM·29
Dus FREM = 160000/29 = 5517 = 5,5 (kN)
Arbeid en Energie
5
Uitwerkingen M.M.M. Bessems
VWO 4
b. Nemen we weer als snelheid 20 (m/s) dan zien we dat de werkelijke remweg gelijk is aan (bovenste
kromme) 36 (m). De remweg was 29 (m) dus de reactieafstand is 36-29 = 7 (m). Bij een snelheid van
20 (m/s) is er dus een reactietijd van t = s / v = 7 / 20 = 0,35 (s).
c. Bij een snelheid van 100 (km/h) = 100/3,6 = 27,8 (m/s) hoort een reactieafstand van s = v·t =
27,8·0,35 = 9,7 (m). Dus als de voorste auto begint met remmen duurt het nog 0,35 (s) voordat de
achterste auto remt. In dit tijd legt deze auto 9,7 (m) af. Dit is dan de minimale veilige afstand bij 100
(km/h).
26
Dit is opgave 38 uit het boek.
a. In het boek verplaatst de stikker op het hoofd zich over 2,45 (cm) tussen 0 en 0,06 (s). Dat is in
werkelijkheid 2,45·24 = 58,8 (cm). Dus vGEM = s / t = 0,588/0,06 = 9,8 (m/s).
b. De indeuking van de auto is gelijk aan de verplaatsing van de auto gedurende de hele botsing.
Gegeven is het snelheids-tijd-diagram. De verplaatsing volgt hieruit door de oppervlakte te berekenen.
Deze is te bepalen door de oppervlakte van 2 driehoeken en een rechthoek in de grafiek te berekenen.
x = ½ · 0,02 · 4 + ½ · 0,02 · 12 + 0,02 · 12 = 0,40 (m).
c. In de tekst staat dat de pop in de eerste 0,060 (s) geen wrijving ondervindt van de auto. Dus de
resulterende kracht op de pop is nul, hetgeen betekent dat de snelheid ervan niet verandert. De pop
had een snelheid van 16 (m/s) net zoals de auto voor de botsing, dus de snelheid blijft 16 (m/s).
d. We gebruiken de wet van behoud van energie.
EK,BEGIN = WREM + EK,EIND
½ mv²BEGIN = FREM·s + ½ mv²EIND
½ 4,2·16² = FREM·0,10 + ½ 4,2·5,0²
537,6 = FREM·0,10 + 52,5
FREM = 4851 = 4,9 (kN)
e. De remkracht volgt uit de tweede wet van Newton: F = m·a = 72·260 = 18720 (N)
De remweg is 50 + 20 = 70 (cm) voor de pop, dus de hoeveelheid warmte die ontstaat is gelijk aan
F·s = 13104 (J). Dit is gelijk aan de kinetische energie die de pop in begin had, dus:
½ mv² = 13104
½ 72·v² = 13104
Dus v = 19 (m/s) = 19·3,6 = 69 (km/h).
Bij paragraaf 4.6 Vermogen
27
a. We berekenen eerst de tijd in secondes: t = 4,0 (h) = 4,0·60·60 = 14400 (s). Dan volgt: E = P·t =
75·14400 = 1,08·106 = 1,1 (MJ)
b. Er geldt P = W / t dus we moeten eerst de arbeid berekenen die de motor levert. De motorkracht is
gelijk aan de zwaartekracht op 2,0 (ton) = 2000 (kg). Dus F M = FZ = m·g = 2000·9,8 = 19.600 (N).
Dan volgt: WM = FM · s · cos  = 19600·4,0·cos 0º = 78400 (J). Dan kunnen we het vermogen
berekenen met P = WM / t = 78400 / 10 = 7840 (W) = 7,8 (kW).
c. Uit P = W / t volgt dat t = W / P = 14·106 / 2,0·10³ = 7000 (s) = 7,0·10³ (s). Voor de mensen die dit
nog willen omrekenen: 7,0·10³ (s) =1,2·10² (min) = 1,9 (h).
NB: Bij constante snelheid bestaat er nog een tweede formule voor vermogen. Die volgt uit de definitie
en dat is gedaan in de tekst op pagina 186 van het boek: P = F·v. Let wel dat deze formule alleen geldt
voor constante snelheid en voor de kracht die die snelheid constant houdt (dus in dit geval de
motorkracht).
28
De lift heeft een constante snelheid dus de motorkracht moet gelijk zijn aan de zwaartekracht op de lift,
dus: FM = FZ = m·g = 600·9,81 = 5886 (N).
De verplaatsing van de lift is 12·3,0 = 36,0 (m).
De verrichte arbeid door de motor is dus: WM = FM·s·cos  = 5886·36,0·cos 0 = 211896 (J)
Het vermogen is derhalve: P = W/t = 211896 / 15 = 14126,4 = 14 (kW).
NB: In werkelijkheid wordt gebruik gemaakt van een contragewicht, waardoor dit benodigde vermogen
veel lager kan worden. Een verklaring kun je misschien wel zelf bedenken. Denk daarbij ook aan figuur
4.33 op bladzijde 175 van het boek.
29
Dit is opgave 44 uit het boek.
a. Dit is gelijk aan de omtrek van een cirkel met straal 14 (cm), dus s = 2pr = 0,88 (m).
b. Voor 1 keer rond moet ze dus leveren: W = F·s·cos  = 4,2·0,88·cos 0º = 3,7 (J).
c. Tijdens 1 minuut gaat de zwengel 158 keer rond. Geleverd is dus 158·3,7 = 584,6 (J). Dus P = W/t =
584,6 / 60 = 9,7 (W).
Arbeid en Energie
6
Uitwerkingen M.M.M. Bessems
VWO 4
Bij paragraaf 4.7 Rendement en Energieverbruik
30
Dit is opgave 46 uit het boek.
a. Het rendement is het percentage van de verbruikte energie dat nuttig geleverd wordt.
b. Een gloeilamp zet electrische energie om in lichtenergie en warmte. In een broedmachine is het
nuttige deel de warmte (95%) en boven de tafel is het nuttige deel de lichtenergie (5%).
31
Dit is opgave 50 uit het boek.
a. De snelheid is 108 (km/h) = 108 / 3,6 = 30 (m/s). Dus elke seconde legt hij 30 (m) af. Op 1 (l) benzine
kan de auto 12 (km) = 12000 (m) rijden. Daar doet hij dus 12000 / 30 = 400 (s) mee. Dus per seconde
verbruikt de auto 1 (l) / 400 (s) = 2,5·10-3 (l/s).
b. Hij neemt per seconde op 2,5·10-3 (l). Dat levert op 33·106 · 2,5·10-3 = 82500 (J). Dus het opgenomen
vermogen is 83 (kW).
c. Het nuttig vermogen is 21% van het opgenomen vermogen, dus 0,21·82.500 = 17325 (W). De motor
levert dus per seconde 17325 (J) arbeid. Dat is gelijk aan F · s · cos De afgelegde weg in 1 (s) is 30
(m), dus:
17.325 = F · 30 · cos 0º = F · 30
Dus F = 17.325 / 30 = 577,5 = 5,8·10² (N). Omdat de snelheid constant is, is deze motorkracht gelijk
aan de wrijving, dus de wrijvingskracht is ook 5,8·10² (N).
32
a. Eerst berekenen we met de gegeven formule de luchtwrijving, waarbij we voor v de snelheid in (m/s)
moeten invullen, dus: 100 (km/h) = 100 / 3,6 = 27,778 (m/s). Dan volgt:
FW = 0,400 · ½ · 1,26 · (27,778)² · 2,50 = 486 (N).
De rolwrijving is 200 (N), dus de totale wrijving is 486 + 200 = 686 (N).
b. De motorkracht is gelijk aan de wrijving, want de snelheid is constant, dus F M = 686 (N).
Voor het vermogen geldt: P = WM / t en voor de arbeid WM kunnen we schrijven:
WM = FM · s · cos  = FM · s · cos 0º = FM · s.
Dit invullen in de formule voor P levert: P = FM · s / t, maar s/t is ook gelijk aan de snelheid v. Dus
voor rijden met constante snelheid geldt: P = FM · v = 686 · 27,778 = 19055 = 19 (kW).
c. Als we voor de snelheid v nu 120 (km/h) = 120 / 3,6 = 33,333 (m/s) invullen, verandert ook de
wrijvingskracht. De nieuwe luchtwrijving is FW = 0,400 · ½ · 1,26 · (33,333)² · 2,5 = 700 (N). De
totale wrijvingskracht wordt dan 700 + 200 = 900 (N), dus ook de motorkracht moet 900 (N) zijn en
dan is P = FM · v = 900·33,333 = 30 (kW). Dat is (30.000 – 19.000) / 19.000 ·100% = 58% meer (!),
misschien een verassend hoog antwoord: bij geringe snelheidsverhoging is het verbruik van brandstof
(dit hangt samen met het vermogen dat geleverd moet worden) dus veel hoger.
Arbeid en Energie
7