1. De versnelling van elk deel van de trein is hetzelfde, dus wordt de

1. De versnelling van elk deel van de trein is hetzelfde, dus wordt de kracht op de koppeling tussen de 3e en 4e wagon bepaald door de fractie van de massa die er achter hangt,
en wordt dus gegeven door
F = ma = 11 × 53, 000 kg × 0.26 m/s2 = 583, 000 × 0.26 N.
2. Om de steen omhoog te trekken in de kortste tijd moeten we een constante kracht
uitoefenen zodanig dat het touw net niet breekt. Voor de versnelling geldt dan:
a = (Fmax − Fg )/m = (10.8 N − 9.8 N)/1.0 kg = 1.0 kg.m/s2 .
r
r
2h
2 × 10 m √
De tijd die daarvoor nodig is: t =
=
= 20 s.
a
1.0
Als de sterkt van het touw met de helft toeneemt is a = (Fmax − Fg )/m = 6.4 kg.m/s2 ,
en kan de versnelling dus
p verhoogd
p worden met met een factor 6.4. Dan neemt de tijd af
met een factor t2 /t1 = a1 /a2 = 1/6.4 = 0.40
3. Arbeid is kracht × afgelegde weg. In beide gevallen levert de kangeroe dezelfde hoeveelheid arbeid, en dus is ook de som van kinetische en potentiële energie aan het eind
van de afzet dezelfde. De potentiële energie op het hoogste punt is dus in beide gevallen
gelijk, want dan is de kinetische energie gelijk aan nul. M.a.w.
m1 gh1 = m2 gh2
m1 g, h1 en h2 zijn gegeven, zodat m2 kan worden berekend, en dus ook het gewicht m2 g −
m1 g, of de massa m2 − m1 van de baby-kangeroe.
4. Maak een tekening:
a. De component van de zwaartekracht evenwijdig aan de helling is
Fk = Fg cos 60◦ = 0.59Fg = 0.59mg = ma
De versnelling wordt dus gegeven door a = 0.59g.
b. De kracht ten gevolge van wrijving en luchtweerstand is evenredig met de snelheid, en
is tegengesteld gericht aan de snelheid. Daardoor wordt de versnelling kleiner naarmate
de snelheid toeneemt, en uiteindelijk gelijk aan nul. Dat betekent dat de netto kracht
gelijk is aan nul, m.a.w. de wrijvingskracht = Fk , maar tegengesteld gericht. De skier
glijdt dan met een constante snelheid verder.
1
5. Maak een tekening:
a. De netto kracht is F = (m1 − m3 )g = (4.85 − 3.62)g = 1.23g N.
Tevens geldt a = F/m, dus:
a=
(m1 − m3 )g
1.23 g N
=
= 0.13 g m/s2
m1 + m2 + m3
(4.85 + 3.62 + 0.840) kg
b. (let op de + en − tekens!)
m1 a = m1 g − T1 , dus T1 = m1 (g − a) = ...
m3 a = T2 − m3 g, dus T2 = m3 (g + a) = ...
m2 a = T1 − T2
optellen:
m1 a + m2 a + m3 a = (m1 g − T1 ) + (T2 − m3 g) + (T1 − T2 ) = (m1 − m3 )g, als onder a.
6. a. ω = ∆θ/∆t = 2π rad/s
b. v = 2πr m/s
c. ar = v 2 /r = 4π 2 r m/s2
7. ω = ∆θ/∆t = 2.36( rad)/(0.19 s) = 12.4 rad/s. Tevens is v = ωr, dus
r = v/ω = 2.87/12.4 = 0.23 m
8. Inelastische botsing, dus wet van behoud van impuls toepassen: m1 v1 = (m1 + m2 )v2 .
m1 en v1 zijn de massa en snelheid van de dart, m1 + m2 de massa van dart+bord, en v2
de snelheid die dart+bord krijgen op het moment van inslag. Dus
v2 =
0.025 kg
× 32 m/s = 0.49 m/s
0.025 kg + 1.60 kg
De kinetische energie wordt omgezet in potentiële energie van de veer:
1
1
(m1 + m2 )v22 = kA2 , waar A = 0.024 m de maximale uitwijking uit evenwicht is.
2
2
k = 0.5 × 1.625 kg × (0.48 m/s)2 /(0.024 m)2 = ... N/m.
9. F = mv 2 /r
2
10. Maak een tekening:
In bijbehorende figuur zijn de krachten getekend die op de wielrenner uitgeoefend worden. Als de centripetale kracht mar horizontaal is, dan is de component daarvan evenwijdig aan het oppervlak gelijk aan mar cos θ. Deze moet gelijk zijn aan de som van de
evenwijdige component van de zwaartekracht plus de wrijvingskracht (zie figuur), dus
(mv 2 /r) cos θ = mg sin θ + fs .
waar fs de wrijvingskracht is. Niet slippen betekent dat er geen wrijvingskracht evenwijdig aan het oppervlak werkzaam is. Als we eisen dat de wijvingskracht fs nul is, volgt
dat
(mv 2 /r) cos θ = mg sin θ.
De helling θ van de baan wordt dus gegeven door
tan θ =
[62.3 × 103 /3600 m/s]2
v 2 /r
= 0.40
=
g
9.8 m/s2 × 77 m
ofwel θ = 21◦
11. Maak een tekening:
tan θ = v 2 /rg =
272
= ...
9.8 × 300
12. F = mv 2 /r, ofwel
p
p
v = F r/m = 1.34 N × 2.37 m/0.452 kg = 2.65 m/s
Omlooptijd T = 2πr/v = (2π × 2.37 m)/(2.65 m/s) = . . . s.
3
13. Maak een tekening:
R = L sin θ , v = 2πL sin θ/T ,
invullen in tan θ =
r
T = 2π
v2
, dan volgt:
gR
L cos θ
, etc.
g
14. Maak een tekening:
Het hellende vlak maakt een hoek α = 36◦ met de horizontaal. Wat de kracht betreft,
√
p
Fx /Fy = 2, dus tan β = 12 , en de totale kracht F = Fx2 + Fy2 = Fx 5
F maakt een hoek van β = 26.5◦ met de horiz. x-as, en de hoek tussen F en het hellend
vlak is α − β = 9.5◦ .
De component van F evenwijdig aan het hellend vlak is Fk = F cos 9.5◦ .
De hoeveelheid arbeid die is verricht bij het verslepen van het boek kan dus geschreven
worden als
Fk s = F cos 9.5◦ × 13.3 m = 46.3 J
Hieruit kan F worden berekend, vervolgens Fx en tenslotte Fy .
1
15. s = v0 t + at2
2
Bereken a, en daaruit de wrijvingskracht met F = ma
4
16. Maak een tekening:
Netto opwaartse kracht is (15.3 N − 11.7 N) = 3.6 N, m = (11.7 N)/g kg.
F
3.6 N
=
= . . .. etc.
m
(11.7/g)
3.6
v = at =
× 6.53 s = . . .
(11.7/g)
1
K = mv 2 = . . .
2
1 2
3.6
h = at =
× 6.532 . . .
2
2 × (11.7/g)
a=
U = mgh = 11.7 h = . . .
17. Simpel
18. Simpel
19. Maak een tekening:
De spanning in het koord op het laagste punt is m1
v2
+g .
r
Als de snelheid groot genoeg is wordt dus het gewicht van m2 = 1.00 kg op dat moment
van de grond gelicht.
2
v
Voorwaarde: m1
+ g ≥ m2 g
r
5
Invullen en oplossen −→ v, en daaruit volgt de noodzakelijke (kinetische) energie, en dus
de hoogte (potentiële energie) van waaruit m1 moet worden losgelaten, want (1/2)m1 v 2 =
m1 gh, met h = L(1 − cos θ), en daaruit kan tenslotte de hoek θ worden berekend.
20. Bedenk dat het zwaartepunt voor en na de botsing in dezelfde richting beweegt, en
met dezelfde snelheid.
Of: behoud van impuls + behoud van kinetische energie toepassen.
21. Kinetische energie van het wiel bestaat uit kinetische energie van translatie en rotatie:
K = 12 mv 2 + 12 Iω 2 ,
waar v = ωR de snelheid van de fiets is (R is de straal van het wiel, I is het traagheidsmoment van het wiel). Rest is simpel.
22. a. W = K = 12 Iω 2
b. Verdubbelde energie geeft een factor
√
2 hogere hoeksnelheid.
23. Behoud van hoekmoment toepassen
I1 ω1 = (I1 + I2 )ω2
I1 is het traagheidsmoment van de draaitafel, I2 dat van de plaat.
24. De glijdende hoepel heeft een hogere snelheid, alleen translatie energie. De rollende
hoepel heeft kinetische energie van rotatie + translatie.
√
Glijdend: 12 mv 2 = mgh, dus v = 2gh
√
Rollend: 12 mv 02 + 21 Iω 2 = mgh, dus v 0 = gh
In het tweede geval vulden we in: I = mR2 ,
√
v
Verhouding: 0 = 2
v
25. I = 25 mR2
en ωR = v invullen in
1
mv 2 + 12 Iω 2 =
2
1 2
v + 15 v 2 = gh
2
mgh, daarna delen door m:
r
v=
en ωR = v 0
10
gh
7
26. Zie antw. 24: v =
r
1p
gh
ω=
gh =
r
r2
√
gh, met v = ωr volgt:
27. I = 25 mR2 , ω = v/R uitrekenen en invullen in:
Erot = 12 Iω 2
Etransl = 12 mv 2
6
28. I = 12 mR2
29.
30. Kinetische energie, met substitutie van I = 12 M R2 en ωR = v, m1 = M , m2 = 2M :
K2 = 12 m1 v 2 + 21 m2 v 2 + 21 Iω 2 = 74 M v 2
Verandering van potentiële energie:
U1 = (m2 − m1 )gh = M gh
4
K = U , dus v 2 = gh
7
2
2
substitutie in v = v◦ + 2a∆s met ∆s = h levert:
2
a= g
7
Het kan ook als volgt:
De energie van de katrol bestaat alleen uit kinetische energie. De gewichten oefenen
een krachtmoment uit op de katrol die de rotatieversnelling teweeg brengt. We kunnen
gebruik maken van de arbeid die op de katrol wordt verricht, in combinatie met de verandering van kinetische energie, om de versnelling te bepalen.
Het moment van de kracht (m2 −m1 )g die werkt op de katrol kunnen we schrijven als τ =
Iα, waarbij α = a/R de hoekversnelling van de katrol is (a is de tangentiële versnelling).
τ verricht een hoeveelheid arbeid op de katrol die voor een hoekverplaatsing ∆θ gelijk is
aan
Wkatrol = τ ∆θ = 12 M ah,
waarbij we invulden: τ = Iα = 12 M R2 × (a/R), en R∆θ = h.
Verder is de kinetisch energie van de katrol gelijk aan
Kkatrol = 12 Iω 2 = 41 M v 2 = 17 M gh,
waarbij we gebruik maakten van de uitdrukking die we eerder vonden voor v 2 .
Omdat Wkatrol = Kkatrol volgt hieruit dat
1
1
M ah = M gh
2
7
2
ofwel: a = g
7
31. K2 = U1 , dus
1
m v2
2 1
+ 12 m2 v 2 + 12 Iω 2 = (m2 − m1 )gh
We kunnen substitueren: Iω 2 = 21 mp v 2 , zodat
1
(m1
2
+ m2 + mp /2)v 2 = (m2 − m1 )gh
En dus:
s
v=
2(m2 − m1 )gh
(m1 + m2 + mp /2)
7