Optica - Quickprinter
advertisement
2de bach HIR Optica Smvt - Peremans Q 231 uickprinter Koningstraat 13 2000 Antwerpen www.quickprinter.be 3.00 EUR Trillingen 1. Eenparige harmonische beweging Trilling =een ladingsdeeltje beweegt herhaaldelijk heen en weer over de oorsprong van een x-as. Frequentie ݂ = aantal trillingen per seconde (SI eenheid = Hertz (Hz) ݖܪൌ ݁݀݊ܿ݁ݏݎ݈݈݁݃݊݅݅ݎݐൌ Periode ܶ = duur tijd van één trilling ܶൌ Periodieke beweging / harmonische beweging = ͳ ݏ (seconden per trilling) ͳ ݂ een beweging die zich op een bepaalde manier herhaalt. Een harmonische beweging waarbij de afwijking t.o.v. de x-as zich in de tijd verhoudt volgens: ݔሺݐሻ ൌ ܺ ሺ߱ ݐ ߶ሻ noemt men een eenparige harmonische trilling: de massadeeltjes volgen een sinusoïde curve in de tijd. x x ܺ : amplitude Maximale uitwijking van het massadeeltje t.o.v. de x-as. De cosinusfunctie varieert tussen ሾെͳǡͳሿ, dus de uitwijking varieert tussen േܺ ሺ߱ ݐ ߶ሻ: fase Het deel van de vergelijking dat varieert in de tijd o ߶: faseconstante / fase hoek Deze is afhankelijk van de snelheid en positie van het deeltje op ݐൌ Ͳ o ߱: hoekfrequentie / hoeksnelheid Na één periode ܶ moet de uitwijking ݔሺݐሻ terug op zijn beginpositie vallen. M.a.w. (veronderstel ߶ ൌ Ͳ): ݔሺݐሻ ൌ ݔሺ ݐ ܶሻ ֞ ܺ ሺ߱ݐሻ ൌ ܺ ൫߱ሺ ݐ ܶሻ൯ ֞ ܿݏሺ߱ݐሻ ൌ ൫߱ሺ ݐ ܶሻ൯ ֞ ߱ ݐ ʹߨ ൌ ߱ሺ ݐ ܶሻ ֞ ߱ ݐ ʹߨ ൌ ߱ ݐ ߱ܶ ֞ ߱ܶ ൌ ʹߨ ֞ ߱ ൌ ʹߨ ܶ 67 1.1. De snelheid van een EHB Herinner dat: ݒሺݐሻ ൌ ௗ௫ሺ௧ሻ , ௗ௧ we krijgen dus: ݒሺݐሻ ൌ െ߱ܺ ሺ߱ ݐ ߶ሻ Dit houdt in dat de snelheid fluctueert tussen ܺ߱ט en dat als de uitwijking maximaal is, de snelheid minimaal is en als de uitwijking nul is, de snelheid maximaal is. 1.2. De versnelling van een EHB Herinner dat: ܽሺݐሻ ൌ ௗ௩ሺ௧ሻ , ௗ௧ we krijgen dus: ܽሺݐሻ ൌ െ߱ଶ ܺ ሺ߱ ݐ ߶ሻ ֜ ܽሺݐሻ ൌ െ߱ଶ ݔሺݐሻ In de EHB is de versnelling proportioneel aan de uitwijking, maar tegengesteld in zin. 68 2. De krachtwetten voor een eenparige harmonische beweging Nu we de versnelling kennen, kunnen we via de wet van Newton de kracht uitgeoefend op het trillend deeltje berekenen: ܨൌ ݉ ή ܽ ֞ ܨൌ െሺ݉߱ଶ ሻݔ Hierin herkennen we duidelijk de wet van Hoek voor een veer: ܨൌ െ݇ݔ Met ݇ de veerconstante: ݇ ൌ ݉߱ଶ De Eenparige Harmonische Beweging is de beweging uitgevoerd door een massadeeltje veroorzaakt door een kracht die proportioneel is met de uitwijking van het deeltje, maar met tegengesteld teken. Een veer is een voorbeeld van een lineaire EHB: ݇ ݉ ߱ ൌ ඨ ܶ ൌ ʹߨට ݉ ݇ Een trillend systeem bestaat steeds uit: x x Een verende component gekenmerkt door veerconstante ݇: Een weerstand of massa ݉: verhoogt de hoekfrequentie verlaagt de hoekfrequentie In het systeem hier afgebeeld zijn die componenten respectievelijk de massaloze veer en het blok. 69 3. Energie in een eenparige harmonische beweging De mechanische energie van een trillend systeem gaat over van potentiële energie naar kinetische energie, maar de totale hoeveelheid mechanische energie blijft constant over de tijd. Potentiële energie hangt af van de verende component ͳ ͳ ଶ ܧ௧ ሺݐሻ ൌ ݇ ݔଶ ൌ ݇ܺ ଶ ሺ߱ ݐ ߶ሻ ʹ ʹ Kinetische energie hangt af van de snelheid van de weerstand of massacomponent ͳ ͳ ଶ ܧ ሺݐሻ ൌ ݉ ݒଶ ൌ ݉߱ଶ ܺ ଶሺ߱ ݐ ߶ሻ ʹ ʹ Totale mechanische energie ͳ ͳ ଶ ଶ ܧൌ ܧ௧ ܧ ൌ ݇ܺ ଶሺ߱ ݐ ߶ሻ ݉߱ଶ ܺ ଶሺ߱ ݐ ߶ሻ ʹ ʹ ݉߱ଶ ଶ ͳ ଶ ͳ ଶ ሾ ଶሺ߱ ݐ ߶ሻ ଶሺ߱ ݐ ߶ሻሿ ቈ ଶሺ߱ ݐ ߶ሻ ሺ߱ ݐ ߶ሻ ֞ ܧൌ ݇ܺ ֞ ܧൌ ݇ܺ ʹ ݇ ʹ ͳ ଶ ֞ ܧൌ ݇ܺ ʹ Merk duidelijk op dat de totale mechanische energie niet afhankelijk is van de tijd. De verende component zorgt voor de opslag van potentiële energie, de massacomponent voor de opslag van kinetische energie. 4. eenparige harmonische hoektrilling Als we deze plaat een hoekuitwijking ߠ geven, dan zal de plaat beginnen draaien, trillen, tussen േߠ. Het draaimoment dat deze trilling veroorzaakt wordt gegeven door: ߬ ൌ െߢߠ Dit is de hoek vorm van de wet van Hoek: ߢ is de equivalente van de veerconstante ݇. De equivalente van de massa ݉ is het traagheidsmoment ܫ. We krijgen dan dat: ܶ ൌ ʹߨඨ ܫ ߢ 5. Slingers Bij slingers kan de veercomponent in verband gebracht worden met de zwaartekracht i.p.v. met een fysieke component zoals een veer of touw. 70 5.1. y De eenparige slingerbeweging x We nemen een bal met massa ݉ en hangen die op aan een massaloos touw met lengte ܮ. We geven de bal een kleine uitwijking ߠ t.o.v. de neutrale positie en laten dan los. Een eenparige slingerbeweging ontstaat. Op de bal spelen volgende krachten in: x x ሬԦ van het touw De trekkracht ܶ De zwaartekracht ܨԦ We kunnen de zwaartekracht ontbinden in: x Een component volgens de y-richting: ܨ ߠ: ሬԦ op heft ܶ x Een component volgens de x-richting: െܨ ߠ: kracht die zorgt voor beweging We weten uit het verleden (mechanica) dat de hoekversnelling gegeven wordt door: ߙൌ ݀ଶ ߠ ݀ଶ ߠ ֜ ሬሬሬԦ ܽ ൌ ݈ ή ௧ ݀ ݐଶ ݀ ݐଶ We kunnen dan de wet van Newton toepassen: ܨൌ݉ήܽ ሬሬሬԦ௧ ֞ ܨൌ ݈݉ ݀ଶ ߠ ݀ ݐଶ Dit moet gelijk zijn aan de resulterende kracht op de bal: െܨ ߠ ൌ െ݉݃ ߠ: െ݉݃ ߠ ൌ ݈݉ ݀ଶ ߠ ݀ ݐଶ Deze differentiaalvergelijking kunnen we herschrijven naar standaard vorm: െ݃ ߠ ൌ ݈ ݀ଶ ߠ ݀ଶ ߠ ݀ଶ ߠ ݃ ֞ ݈ ݃ ߠ ൌ Ͳ ֞ ߠ ൌ Ͳ ݀ ݐଶ ݀ ݐଶ ݀ ݐଶ ݈ Voor zeer kleine hoeken ߠ (in rad) geldt dat ߠ ൎ ߠ (vb. ߠ ൌ ͷι ൌ ͲǡͲͺ͵ ;݀ܽݎͷι ൌ ͲǡͲͺʹ) We krijgen dan: ݀ଶ ߠ ݃ ߠൌͲ ݀ ݐଶ ݈ 71 Of naar analogie met een lineaire veer: ݀ଶ ߠ ߱ଶ ߠ ൌ Ͳ ݀ ݐଶ Waarin ݃ ݈ ߱ൌට We hebben nu een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten die we gaan oplossen via de methode van de karakteristieke vergelijking: x Karakteristieke vergelijking: ߣଶ ߱ଶ ൌ Ͳ ֞ ߣଶ ൌ െ߱ଶ ֞ ߣ ൌ ඥെ߱ ଶ ֞ ߣ ൌ ඥ߱ ଶ ࣻ ଶ ֞ ߣ ൌ േ߱݅ x Homogene vergelijking: ߠு ൌ ݐ߱ ܣ ݐ߱ ܤ Met ܣǡ א ܤԹ te bepalen via randvoorwaarden x (geen want ܳሺݐሻ ൌ Ͳ) Particuliere vergelijking: We bekomen dus als algemene oplossing: ߠሺݐሻ ൌ ݐ߱ ܣ ݐ߱ ܤ 5.2. De fysische slinger We nemen nu een willekeurige slinger en hangen hem op. De fysische slinger heeft een massa ݉ en de afstand tussen zijn zwaartepunt en het ophangpunt is ݄. We geven de slinger weer een kleine uitwijking ߠ, waardoor een trillende beweging ontstaat. De krachten die inwerken op het zwaartepunt van de slinger zijn: x ሬԦ De trekkracht ܶ x De zwaartekracht ܨԦ , ontbindbaar in: o o ሬԦ compenseert Component volgens y-as: ܨ ߠ die ܶ Component volgens x-as: െܨ ߠ die de beweging veroorzaakt 72 Als we de wet van Newton voor draaimomenten toepassen dan krijgen we dat het moment ܯ: ሬሬԦ ൌ െߙܫ ܯ Met ܫhet traagheidsmoment langs de rotatie-as en ߙ de hoekversnelling. ߙൌ ݀ଶ ߠ ݀ ݐଶ Het moment wordt dus: ሬሬԦ ൌ െܫ ܯ ݀ଶ ߠ ݀ ݐଶ Dit moet gelijk zijn aan het moment dat door de rotatie-as loopt: ܯൌ หݎԦ ൈ ܨԦ ห ൌ ݄݉݃ ߠ Stellen we beiden gelijk dan krijgen we: െܫ ݀ଶ ߠ ݀ଶ ߠ ݀ଶ ߠ ݄݉݃ ൌ ݄݉݃ ߠ ֞ ݄݉݃ ߠ ܫ ൌ Ͳ ֞ ߠ ൌ Ͳ ܫ ݀ ݐଶ ݀ ݐଶ ݀ ݐଶ Voor kleine hoeken ߠ geldt dat ߠ ൎ ߠ. We krijgen dan een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten: ݀ଶ ߠ ߱ଶ ߠ ൌ Ͳ ݀ ݐଶ Met ݄݉݃ ߱ൌඨ ܫ 6. De elektrische LC kring Condensator: ݍൌ ܥή ܷ ֞ ܷ ൌ Zelfinductie van de spoel (wet van Lenz): De definitie van stroom stelt dat: ݅ ൌ ௗ ܷ ൌ െ ܮௗ௧ ௗ ௗ௧ 73 Invullen in de wet van Lenz geeft dan: ܷ ൌ ܮ ݀ଶ ݍ ݀ ݐଶ Toepassing van de wet van Kirchoff geeft: ܷ ܷ ൌ Ͳ ֞ ܮ ݀ଶ ݍ ݍ ݀ଶ ݍ ͳ ൌ Ͳ ֞ ݍൌͲ ଶ ଶ ܥ ܥܮ ݀ݐ ݀ݐ Dit geeft volgende differentiaalvergelijking: ݀ଶ ݍ ߱ଶ ݍൌ Ͳ ݀ ݐଶ Met ߱ൌ ͳ ξܥܮ 7. Eenparige harmonische beweging en een parige cirkelbeweging Een eenparige harmonische beweging is de projectie van een eenparige cirkelvormige beweging op de diameter van de cirkel waarin de cirkelvormige beweging plaats vindt. P’ is een deeltje dat een eenparige cirkelvormige beweging uitoefent tegen hoeksnelheid ߱. De straal van de cirkelbaan is ܺ en op tijdstip ݐmaakt de plaatsvector van P’ een hoek van ߱ ݐ ߶ met de x-as. We projecteren nu P’ en haar plaatsvector op de x-as (diameter van de cirkel). De plaatsvector geeft ons de positie ݔሺݐሻ van het punt P. Toepassing van goniometrie leert ons dat: ሺ߱ ݐ ߶ሻ ൌ ݔሺݐሻ ֞ ݔሺݐሻ ൌ ܺ ሺ߱ ݐ ߶ሻ ܺ De projectie van P’, P maakt dus inderdaad een eenparige harmonische beweging. Hetzelfde kunnen we doen voor de snelheid en de versnelling: de snelheid van P’ is ȁݒԦȁ ൌ ߱ܺ projectie naar de x-as geeft: ݒሺݐሻ ൌ െሺ߱ܺ ሻ ሺ߱ ݐ ߶ሻ గ (hoek met x-as is ߱ ݐ ߶ ଶ dus sin ipv cos. Snelheidsvector in negatieve zin). 74 de versnelling van P’ is ȁܽԦȁ ൌ ߱ଶ ܺ projectie naar de x-as geeft: ܽሺݐሻ ൌ െሺ߱ଶ ܺ ሻ ሺ߱ ݐ ߶ሻ 8. Gedempte trillingen (trillingen met wrijving) VOORBEELD 1 We nemen een blok met massa ݉ en hangen het aan een veer met veerconstante ݇. Aan het blok zelf hangen we een gewichtloze pendel die in een vloeistof zweeft. (we maken abstractie van de zwaartekracht) Op het blok werkt de veerkracht in: ܨ௩ ൌ െ݇ݔ De vloeistof zorgt voor een extra wrijvingskracht op het systeem: ܨ௪ ൌ െܾݒ Deze kracht werkt de beweging tegen (vandaar het minteken), is afhankelijk van de eigenschappen van de vloeistof (uitgedrukt in weerstandscoëfficiënt ܾ) en is gerelateerd aan de snelheid ݒ. De wet van Newton zegt dat: ܨ ൌ ݉ ή ܽ ֞ ܨ௩ ܨ௪ ൌ ݉ ή ܽ ֞ െ݇ ݔെ ܾ ݒൌ ݉ ή ܽ Hierin kunnen we de snelheid en versnelling vervangen door hun definities zodat we kunnen komen tot een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten: െ݇ ݔെ ܾ ݀ݔ ݀ଶ ݔ ݀ଶ ݔ ݀ݔ ൌ݉ ଶ ֞ ݉ ଶ ܾ ݇ ݔൌ Ͳ ݀ݐ ݀ݐ ݀ݐ ݀ݐ Deze differentiaalvergelijking lossen we op via de methode van de karakteristieke vergelijking: Ö Karakteristieke vergelijking: ݉ߣଶ ܾߣ ݇ ൌ Ͳ ξ ܦൌ ඥܾ ଶ െ Ͷ݉݇ െܾ േ ξܾ ଶ െ Ͷ݉݇ ܾ ܾଶ Ͷ݉݇ ܾ ܾ ଶ ݇ ඨ ඨ ߣൌ ൌെ േ െ ൌെ േ ൬ ൰ െ ʹ݉ ʹ݉ ʹ݉ ݉ ʹ݉ Ͷ݉ଶ Ͷ݉ଶ 75 Voor een kleine wrijvingscoëfficiënt geldt dat: ܾ ଶ ݇ ܾ ଶ ݇ ൬ ൰ ൏ ֜൬ ൰ െ ൏Ͳ ݉ ʹ݉ ݉ ʹ݉ We stellen: ߱ଶ ൌ ݇ ܾ ଶ െ൬ ൰ ݉ ʹ݉ We krijgen dan: ߣൌെ ܾ ܾ ܾ േ ඥെ߱ ଶ ൌ െ േ ඥ߱ ଶ ࣻ ଶ ֞ ߣ ൌ െ േ ߱ࣻ ʹ݉ ʹ݉ ʹ݉ Ö Homogene vergelijking: ݔு ൌ ି ݁ܣଶ௧ ߱ ݐ ି ݁ܤଶ௧ ߱ݐ Met ܣǡ א ܤԹ te bepalen via randvoorwaarden Ö Particuliere vergelijking: (geen) We bekomen als algemene oplossing: ݔሺݐሻ ൌ ି ݁ܣଶ௧ ߱ ݐ ି ݁ܤଶ௧ ߱ݐ Wat leidt tot de eindoplossing: ݔሺݐሻ ൌ ܺ ݁ ିଶ௧ ሺ߱ ݐ ߶ሻ మ Met ߱ ൌ ට െ ସమ 76 VOORBEELD 2 We voegen aan de eerdere LC kring een weerstand toe: We passen de wet van Kirchoff toe: ௗ x Zelfinductie van de spoel: ܷ ൌ ܮௗ௧ x Weerstand: (wet van Ohm): ܷோ ൌ ܴ ή ݅ x Condensator: ܷ ൌ ܮ ݍ ݀݅ ܴ݅ ൌ Ͳ ܥ ݀ݐ Hierin vervangen we de stroom door haar definitie: ݅ ൌ ܮ ௗ ௗ௧ ݀ݍ ݍ ݀ଶ ݍ ܴ ൌͲ ଶ ݀ܥ ݐ ݀ݐ 9. Gedwongen trillingen en resonantie Wanneer iemand op een schommel schommelt dan maakt hij een vrije trillende beweging. Als iemand de schommel duwt dan spreken we van een gedwongen trilling. Een externe bron beïnvloedt de beweging. Bij een gedwongen trilling zijn er twee hoekfrequenties: x x natuurlijke hoekfrequentie ߱ (hoekfrequentie die zou gelden bij een vrije trilling) uitwendige hoekfrequentie ߱ௗ Voor een gedwongen trilling geldt: ݔሺݐሻ ൌ ܺ ሺ߱ௗ ݐ ߶ሻ De snelheid van de trillingen (en bij benadering ook de uitwijking ܺ ) is maximaal als: ߱ ൌ ߱ௗ Dit verschijnsel noemt men resonantie: de externe bron laat het systeem trillen aan haar eigenfrequentie. De uitwijking ܺ is een functie van de wrijvingscoëfficiënt ܾ. 77 Golven 1. Types golven Er zijn drie types van golven: 1) Mechanische golven (water, geluid, seismografisch, …) x Gedragen zich volgens de wetten van Newton x Hebben een medium nodig om zich voort te planten (water, lucht, gesteente) 2) Elektromagnetische golven (licht, radio- en tv-golven, microgolven, radargolven, x-stralen,…) x Hebben geen medium nodig (vacuüm) x Planten zich voort aan de lichtsnelheid ܿ ൌ ͵ ή ͳͲ଼ ݉Ȁݏ 3) Materiegolven (kwantummechanisch: elektronen, protonen, …) 2. Transversale en longitudinale golven Transversale golven Uitwijking loodrecht op bewegingsrichting. Stel je beweegt het uiteinde van een gespannen touw op en neer. Het eerste stukje touw trekt het volgende naar boven en daarna weer naar beneden en zo verder. Het gevolg is een golfbeweging die zich voortplant langs het touw. Longitudinale golven Uitwijking langs de bewegingsrichting. Stel je beweegt een zuiger in en uit een koker. Hierdoor verplaatst er zich lucht doorheen de koker ten gevolge van een drukverandering en ontstaat er geluid. In beide gevallen gaat het om de golf die zich voortplant, de materie zelf blijft ter plaatse 78 3. Golflengte en frequentie De uitwijking van een golf op een bepaald tijdstip ݐen op positie ݔwordt gegeven door: ݕሺݔǡ ݐሻ ൌ ݕ ሺ݇ ݔെ ߱ݐሻ 3.1. Amplitude en fase ݕ is de amplitude: Maximale uitwijking t.o.v. evenwichtstoestand v/e deeltje wanneer de golf daar passeert ሺ݇ ݔെ ߱ݐሻ is de fase: Lineaire functie van de tijd: beschrijft de trilling van een deeltje ten gevolge van het passeren van de golf doorheen de tijd. 3.2. Golflengte en golfgetal golflente ߣ = afstand tussen twee gelijke vormen van de golf Aan uiteinde golflente is uitwijking ݕis gelijk: op ݔൌ ݔଵ en ݔൌ ݔଵ ߣ Beschouw een vaste tijd ݐൌ Ͳ: ݕሺݔଵ ǡ Ͳሻ ൌ ݕ ሺ݇ݔଵ ሻ ൌ ݕ ൫݇ሺݔଵ ߣሻ൯ ֞ ݇ݔଵ ൌ ݇ሺݔଵ ߣሻ െ ʹߨ ֞ ݇ݔଵ െ ݇ݔଵ ݇ߣ ൌ ʹߨ ֞ ݇ ൌ ʹߨ ߣ ݇ is het golfgetal 3.3. Periode, hoekfrequentie en frequentie Beschouw een vaste positie ݔൌ Ͳ: ݕሺͲǡ ݐሻ ൌ ݕ ሺെ߱ݐሻ ൌ െݕ ሺ߱ݐሻ Elk deeltje ݔwaar de golf passeert beschrijft een eenparige harmonische beweging (trilling). Periode ܶ = tijd waarin een deeltje een volledige trilling uitvoert De uiteinden van dit tijdsinterval hebben een gelijke uitwijking ݕ ݕሺͲǡ ݐሻ ൌ െݕ ߱ ݐൌ െݕ ߱ሺ ݐ ܶሻ ֞ ߱ ݐൌ ߱ሺ ݐ ܶሻ െ ʹߨ ֞ ߱ ݐെ ߱ ݐ ߱ܶ ൌ ʹߨ ֞ ߱ ൌ ʹɎ ߱ is de hoekfrequentie / hoeksnelheid, uitgedrukt in rad/s 79
