Harmonische Trillingen ECOLOGISCH

Harmonische trillingen
Inleiding
• Verschijnselen met een periodiek
karakter komen in de fysica veelvuldig
voor
• Basis van de studie van
golfverschijnselen (zowel mechanische
als elektromagnetische)
Voorbeelden
Massa aan veer
• Massa losgelaten 
op en neer
schommelen rond
haar
evenwichtstoestan
d
• = trilling
Besluit
• Een veerkrachtig voorwerp trilt wanneer
dit voorwerp uit de evenwichtsstand
wordt gebracht en daarna losgelaten.
• Het voorwerp voert een periodieke
beweging uit.
• Periodieke beweging = reeks
opeenvolgende identieke bewegingen =
cyclussen
• Periode T = tijd voor
één cyclus
• Frequentie f = aantal
cyclussen per
tijdseenheid
• Elektrische
tandenborstel
• Heinrich Hertz
(1857-1894)
Drie soorten trillingen
• De vrije ongedempte harmonische
trilling
• De vrije gedempte harmonische trilling
• De gedwongen harmonische trilling
Trilling
• Of oscillatie
• Een periodieke beweging
• Wordt vaak veroorzaakt door de
verstoring van een stabiele
evenwichtsituatie
Harmonische trilling
• Stand ten opzichte
van haar
evenwichtsstand 
sinusfunctie
Harmonische trillingen
De vrije ongedempte harmonische
trilling
Inleiding
• Een harmonische
trilling gebeurt altijd
onder invloed van
een kracht die
evenredig is en
tegengesteld aan de
uitwijking
De vrije ongedempte
harmonische trilling
• Stel dat we de wrijving van de bewegende
massa in de lucht verwaarlozen, dan zal de
trilling onveranderd blijven voortduren
• De massa m beweegt dan op en neer met
een bepaalde frequentie, die niet afhangt van
de amplitude van de trilling. We noemen deze
frequentie de natuurlijke trillingsfrequentie
van de massa aan de veer.
Bewegingsvergelijking
• We kunnen deze trilling theoretisch
beschrijven door gebruik te maken van
de wet van Hooke en de tweede wet
van Newton
Afleiding
Intermezzo –
differentiaalvergelijkingen
• Functies als oplossing!
• Zijn vergelijkingen waarin één of
meerdere afgeleiden van de te zoeken
functie voorkomen.
• Oplossingen van
differentiaalvergelijkingen leveren y(t)
We zoeken nu een oplossing voor vergelijking (2) een
functie van y(t) dat aan de tweede orde
differentiaal vergelijking voldoet.
Oplossing van de eenvoudige
harmonische oscillator
Uitwijking
Kenmerken van de
harmonische trilling
Kenmerkende grootheden
Een massa voert een harmonische trilling uit als haar
uitwijking op elk ogenblik voldoet aan
de vergelijking:
Uitwijking ifv tijd
• A = de absolute waarde van de
maximale uitwijking die de massa kan
hebben
• A = amplitude
• (ωt + φ) = fase
• ω = fasesnelheid of pulsatie
• φ = beginfase = positie van de massa
op het ogenblik t = 0 s
• Periode T = 2π/ω en frequentie f = 1/T
Eigenfrequentie
• f = natuurlijke of eigenfrequentie van de vrije
ongedempte trilling
Grafische voorstelling
Harmonische trilling met beginfase gelijk aan 0 rad (1)
Harmonische trilling met beginfase gelijk aan π\2 rad (2)
Voorstelling van een
harmonische trilling met
fasoren
Uitwijking : fasorvoorstelling
• Fasor : vector met
lengte gelijk aan
amplitude die
ronddraait met
hoeksnelheid gelijk
aan pulsatie.
• Uitwijking = projectie
op de Y-as.
Fasoren of draaiende
vectoren
• Voorstelling door middel van een fasor of
draaiende vector
• Voorstelling van twee trillingen die ten
opzichte van elkaar een faseverschil vertonen
• Het faseverschil van een tweede trilling t.o.v.
een eerste wordt bepaald door:
• - Indien Δφ < 0 rad dan ijlt de tweede trilling
na op de eerste
• - Indien Δφ > 0 rad dan ijlt de tweede trilling
voor op de eerste
• - Indien Δφ = 0 rad dan zijn beide trillingen in
fase
• - Indien Δφ = π rad dan zijn beide trillingen in
tegenfase
Snelheid - berekening
dy (t )
dt
v y  A cos(t  0 )
vy 
v y  A sin(t  0 

2
)
• is opnieuw een trilling met amplitude A
• is /2 uit fase ten opzichte van y(t)
• ‘loopt /2 voor op’ y(t)
Snelheid - grafisch
Besluit:
• Snelheid is maximaal bij doorgang door
evenwichtstand
• Snelheid is nul bij maximale uitwijking
Versnelling - berekening
d2y
ay 
 2
dt
dt
a y   A 2 sin(t  0 )
dv y
a y   2 y (t )
• is opnieuw een trilling met amplitude A².
• is  uit fase ten opzichte van y(t) en /2 uit fase ten
opzichte van snelheid.
Versnelling - grafisch
Besluit:
• Versnelling is maximaal als uitwijking maximaal is
• Versnelling is nul bij doorgang door evenwichtspositie
Snelheid en versnelling
Fasorvoorstelling (2)
• Fasor snelheid
loodrecht op
fasor A
• Fasor versnelling
hoek 180° met
fasor A.
Kracht
F  ma
Kracht is recht evenredig met
de uitwijking.
Fy  ma y
Fy   m 2 y
Fy   ky
Kracht is tegengesteld gericht
(k  m 2 ) aan de uitwijking.
Kinetische energie
• Kinetische energie – definitie
1 2
Ek  mv
2
• Kinetische energie op tijdstip t
1
Ek  mA2 2 cos 2 (t  0 )
2
Potentiële energie
• Ep bij y is arbeid verricht door resultante bij
verplaatsing van y naar evenwichtstand.
• Arbeid is oppervlak onder Fy, y diagram.
1
1 2
E p  F  y  y  ky
2
2
Totale energie
E  E p  Ek
1 2 1
E  ky  k ( A2  y 2 )
2
2
1
1
2 2
2
E  m A cos (t  0 )  m 2 A2 sin 2 (t  0 )
2
2
1 2
E  kA
2
Totale energie is recht evenredig met kwadraat
van amplitude
Totale energie (2)
E
E
Ep
Ek
t (s)
Waar passeert op bovenstaande grafiek de massa de evenwichtstand ?
Opdrachten
Wiskundige slinger
• Idealisatie :
– Onuitrekbaar en
massaloos touw
– Puntmassa
• Puntmassa beweegt
op cirkelboog.
• Elongatie : afstand
Ds langs de
cirkelboog.
Wiskundige slinger krachtwerking
• Te bewijzen : kracht die heen – en weergaan
veroorzaakt voldoet aan nodige en voldoende
voorwaarde.
• Welke kracht is dat ?
 Tangentiële component van resultante.
• Spankracht : alléén maar normaal-component.
• Kracht die we zoeken
 Tangentiële component van zwaartekracht.
Wiskundige slinger –
krachtwerking (2)
• Tangentiële
component
zwaartekracht :
Fz ,t  mg sin 
• Voor kleine hoeken
:
Fz ,t  mg
Ds
Fz ,t  mg
l
Wiskundige slinger conclusies

Fz ,t  k  Ds
mg
k  m 
l
2
g
l
1
f 
2
g
l
l
T  2
g
Y
Gedempte trillingen
t (s)
• Realiteit : energie gaat
verloren door niet
conservatieve krachten
zoals wrijving =>
Amplitude gaat
afnemen : trilling wordt
gedempt.
• Amplitude gaat
exponentieel afnemen
y (t )  Ae

b
t
2m
sin(t  0 )
Resonantie
• Oscillerend systeem kan
energie overdragen naar
andere oscillator door
koppeling.
• Energie-verdracht is
maximaal, als frequentie
van bron (emittor) gelijk is
aan eigenfrequentie van
ontvanger (resonator).
• Resonantievoorwaarde :
femittor = fresonator
• Zie ook applets website.
Resonantie-catastrofe
• Bij continue energietoevoer bij resonantievoorwaarde, kan amplitude zéér groot
worden.
• Amplitude kan zo groot worden, dat
elasticiteitsgebied overschreden wordt, en
systeem kan permanent vervormd worden =>
RESONANTIE-CATASTROFE.
• Berucht voorbeeld : Tacoma Narrows Bridge
Resonantie – catastrofe (2)