Deel 1: Basisbewerkingen

VBC WisA 2014
[Typ hier]
Deel 1: Basisbewerkingen
Rekenen met gehele getallen




Gehele getallen zijn onderdeel van de reële getallen.
Gehele getallen kunnen positief of negatief zijn.
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen.
o Gebruik de distributieve wetten in zowel sommen als producten:
a + b + c + d = d + c + b + a = c + a + d + b = …..
a x b x c x d = d x c x b x a = c x a x d x b .= …..
o Regels:
 Je rekent van links naar rechts
 Vermenigvuldigen/delen heeft voorrang over plus/min
o Let op bij vermenigvuldigen:
positief x positief = positief
3x3=9
positief x negatief = negatief
3x-3=-9
negatief x positief = negatief
- 3 x 3 = -9
negatief x negatief = positief
-3x-3=9
(hetzelfde geldt voor delen)
Delen met staartdeling: quotiënt en rest. (getal:deler=quotiënt + rest)
De rest van een deling kan je als breuk uitdrukken. Voorbeeld:
123  8  15 rest 3  15

3
8
Ontbinding in factoren: als de rest bij een deling nul is kan je het getal als product van
quotiënt en deler uitdrukken (de quotiënt is dan in feite ook een deler).

120  8 15 dus 120 15  8
15 en 8 zijn dus delers van 120 (andere delers zijn bijvoorbeeld 12, 10, 6…)

Priemgetallen
en priemontbindingen



Een priemgetal is een geheel getal dat door geen ander geheel getal dan 1 (en zich zelf)
deelbaar is. (1 telt niet als priemgetal) De eerste 15 priemgetallen zijn:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Alle andere gehele getallen kunnen opgesplitst worden in een product van priemgetallen; dat
noem je dan ‘ontbinding in priemfactoren’ (begin met de kleinste priemgetal(2) en blijf delen,
met oplopende priemgetallen als delers, tot de quotiënt zelf een priemgetal is). Voorbeeld:
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
Je kunt dan alle delers van het getal vinden door alle mogelijke onderdelen van deze
ontbinding te gebruiken:
2=2
2x2=4
2x3=6
2 x 5 = 10
3 x 5 = 15
2x2x2=8
2 x 2 x 3 = 12
2 x 2 x 5 = 20
2 x 3 x 5 = 30
2 x 2 x 2 x 3 = 24
2 x 2 x 2 x 5 = 40
2 x 2 x 3 x 5 = 60
2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
Alle delers van 120 zijn dan: 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 30, 24, 40, 60, 120
Een truc om te zien of een getal door drie te delen is: tel de cijfers van het getal bij elkaar op
(herhaal zo nodig) – als de som door drie deelbaar is dan is ook het getal door drie deelbaar.
Voorbeeld: 129 1 + 2 + 9 = 12; 12 is deelbaar door 3, dus moet 129 ook deelbaar zijn door
3 (is het ook 129 : 3 = 43.
5
VBC WisA 2014

[Typ hier]
Ontbinding in priemfactoren is handig om ggd en kgv te vinden (zie onderaan).
Grootste gemene deler (ggd) en kleinste gemene veelvoud (kgv)





De ggd vinden: maak de priemontbindingen voor alle getallen; bepaal het gedeelte ervan dat
voor allebei de getallen hetzelfde is.
Voorbeeld:
120
450
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
450 = 2 x 3 x 3 x 5 x 5
In allebei de ontbindingen zit 2 x 3 x 5 = 30; dus 30 is het grootste getal waardoor je allebei
120 en 450 kan delen. ggd (120,450) = 30
Het kgv vinden: maak de priemontbindingen voor alle getallen; verzamel alle unieke factoren
tot je een nieuwe, grotere priemontbinding hebt waarin alle enkele priemontbindingen
onthouden zijn.
Voorbeeld:
120
450
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
450 = 2 x 3 x 3 x 5 x 5
De ontbinding die allebei de individuele ontbindingen bevat (maar meer niet) is:
2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 1800; dus 1800 is het kleinste getal dat door allebei 120 en 450
deelbaar is. kgv (120,450) = 1800
Het product van kgv en ggd van twee getallen is gelijk aan het product van de twee getallen.
Kgv (120,450) x ggd (120,450) = 1800 x 30 = 54000 = 120 x 450
Je kunt de methode net zo eenvoudig voor meer dan twee getallen gebruiken.
De ggd van twee getallen moet ook een deler zijn van het verschil tussen de twee getallen (dat
maakt het soms makkelijker te berekenen).
Het verschil tussen 120 en 450 is 330. Het ggd van 120 en 450 was 30; dit is ook een deler
van 330. Stel dat je nu twee getallen hebt 129 en 134. Het verschil tussen deze getallen is 5,
maar 5 is geen deler van 129 en ook niet van 134. De grootste gemene deler van deze twee
getallen is dan 1.
6
VBC WisA 2014
[Typ hier]
Rekenen met breuken




Een breuk bestaat uit twee gehele getallen (positief of negatief), waarvan een de teller is en
een de noemer. De breukstreep betekent hetzelfde als ‘gedeeld door’.
123
 123  8
8
noemer: 8
De noemer mag nooit 0 zijn (de teller wel).
Getallen die je als een breuk kan schrijven behoren bij de rationale getallen (). Rationale
getallen vormen onderdeel van de reële getallen ().

De gehele getallen () zijn onderdeel van de rationale getallen.
Op de getallenlijn vullen breuken de ‘ruimtes’ tussen de gehele getallen (bijna alle ruimtes,
zie volgende les onder ‘wortels’), maar elk geheel getal kan je ook als breuk schrijven:
3

teller: 123
3
1
177 
177
1
en zo voort
Als bij een breuk de teller groter is dan de noemer kan je hem als geheel getal en rest
schrijven

123
3
 15
8
8
19
1
 3 en zo voort
6
6
Vermenigvuldigen van breuken

Voor het vermenigvuldigen van breuken gelden dezelfde regels en wetten als voor gewone getallen –
dat wil zeggen de wissel-, schakel- en verdeelwetten. Je moet alleen het verschil weten tussen het
vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal en met en ander breuk:
1. Vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal
In dit geval vermenigvuldig je alleen de teller van de breuk met het getal
(vanwege de wisselwet maakt het niets uit of je getal x breuk of breuk x getal schrijft)
2. Vermenigvuldigen van een breuk met een tweede breuk:
In dit geval vermenigvuldig je teller met teller en noemer met noemer
Vereenvoudigen van breuken
Als je een getal als breuk kunt schrijven, dan kun je dat op heel veel verschillende manieren doen.
Bijvoorbeeld de delingen 8 : 2, 12 : 3, 32 : 8, 144 : 36 en 4 : 1 hebben allemaal de uitkomst 4 (en je
zou nog veel meer van deze delingen kunnen verzinnen – oneindig veel). Dat betekent dus:
8 12 32 144 4



  4
2 3
8
36 1
Al deze breuken staan voor hetzelfde getal. Om er wat orde in de zaak te brengen heeft men
afgesproken dat er voor elk getal (dat je als breuk kunt schrijven) een meest eenvoudige breuk bestaat
– namelijk die met de kleinst mogelijke noemer. In het voorbeeld boven zou dat dan
4
zijn.
1
7
VBC WisA 2014
[Typ hier]
Het vinden van deze meest eenvoudige vorm heet dan ook vereenvoudigen van de breuk. Om een
breuk te vereenvoudigen kijk je eerst of teller en noemer een gemene deler hebben, en dan liefst
gelijk de grootste gemene deler (ggd). Je schrijft dan teller en noemer als product waarin deze gemene
deler voorkomt:
8 4 2

2 1 2
12 4  3

3 1 3
32 4  8

8 1 8
144 4  36

36 1  36
Je ziet dat je nu overal de meest eenvoudige breuk hebt staan, maar dan met een factor erbij –
dezelfde factor in teller en noemer. Als je nu nog eens even boven bij het vermenigvuldigen van
breuken kijkt, dan zie je dat je zo een breuk – met een vermenigvuldiging in teller en noemer – ook
zou kunnen schrijven als een vermenigvuldiging van twee breuken:
4 2 4 2
 
1 2 1 2
Telkens vermenigvuldig je dan
aan 1 (
43 4 3
 
1 3 1 3
48 4 8
 
1 8 1 8
4  36 4 36
 
1  36 1 36
4
met een breuk die dezelfde teller en noemer heeft – en dus gelijk is
1
2 3 8 36
  
 1 ). En als je iets vermenigvuldigt met 1 dan blijft het getal hetzelfde.
2 3 8 36
Je mag dus in feite een gemene deler van teller en noemer gewoon wegstrepen uit de breuk.
In stappen werkt dus vereenvoudigen als volgt:
72
met deler 6
96
72 12  6

2. schrijf teller en noemer als product waarin deze deler voorkomt:
96 16  6
1. vind een gemene deler van teller en noemer: voorbeeld
3. als in teller en noemer dezelfde factor staat, mag je die wegstrepen:
4. kijk of teller en noemer nog een gemene deler hebben
(als je meteen de grootste gemene deler – de ggd – gebruikt dan ben je in een keer klaar!
)
LET OP! WEGSTREPEN MAG ALLEEN UIT EEN PRODUCT , NIET UIT EEN SOM!!
(waarom zie je nog bij sommen van breuken)
Delen van breuken
Ook bij delen gelden weer de bekende wetten zoals bij het delen van gehele getallen. Belangrijk is dat
de wisselwet dus NIET geldt. Delen van een getal door een breuk is dus NIET hetzelfde als delen van
een breuk door een getal, en ook bij delen van een breuk door een ander breuk mag je de volgorde van
de breuken niet zomaar wisselen:
1. Delen van een breuk door een geheel getal
In dit geval vermenigvuldig je alleen de noemer van de breuk met het getal
2. Delen van een breuk door een tweede breuk:
8
VBC WisA 2014
[Typ hier]
Hier vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk
(let op: de volgorde van de breuken is belangrijk!)
3. Delen van een geheel getal door een breuk
Dit werkt net als delen van een breuk door een tweede breuk. Je vermenigvuldigd met het
omgekeerde van de breuk waardoor je wilt delen.
Breuken vergelijken – gelijknamig maken
Stel dat je zou moeten zeggen welke van twee gegeven breuken groter is, zoals
5
7
en
.
12
20
Om de waarde van twee breuken te vergelijken moet je daarom eerst zorgen dat je de breuken
dusdanig verandert dat de twee noemers hetzelfde zijn. Je moet de breuken gelijknamig maken.


Wij hebben eerder gezien dat je noemer (en teller) van een breuk kunt veranderen door noemer én
teller met hetzelfde getal te vermenigvuldigen (het omgekeerde van vereenvoudigen). Bij gelijknamig
maken van breuken is het doel om een noemer te vinden die een veelvoud van allebei de
oorspronkelijke noemers is. Er zijn twee manieren om dit te doen:
1. vermenigvuldig de twee noemers met elkaar; de uitkomst is dan zeker een veelvoud van
allebei de noemers, maar kan wel heel groot worden
2. vind het kleinste gemene veelvoud (zie Deel 1) van de twee noemers
In ons voorbeeld zijn de noemers 12 en 20. Je krijgt dan met de twee methodes:
1. met elkaar vermenigvuldigen: 12 x 20 = 240
2. het kgv (12,20) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Kleinere getallen betekent meestal minder rekenwerk en minder vereenvoudigen later (dus minder
kans op fouten) – de tweede methode is daarom vaak handiger, maar allebei werken even goed als het
alleen erom gaat breuken te vergelijken.
Als je het gewenste gemene veelvoud hebt gevonden met je de breuken dan natuurlijk nog
veranderen:
1.
Met veelvoud 240:
5
moet je teller en noemer met 20 vermenigvuldigen:
12
7
b. Voor
moet je teller en noemer met 12 vermenigvuldigen:
20
a. Voor
2.

Met veelvoud 60:
5  20 100

12  20 240
7  12
84

20  12 240

5
moet je de teller en noemer met 5 vermenigvuldigen:
12


7
b. Voor
moet je de teller en noemer met 3 vermenigvuldigen:
20
a. Voor

Met allebei de noemers wordt duidelijk dat


5  5 25

12  5 60
7  3 21

20  3 60
 7
5
100 84
25 21


groter is dan
, want
en
.
12
20
240 240
60 60




9
VBC WisA 2014
[Typ hier]
Optellen/aftrekken van breuken
Het gelijknamig maken van breuken heb je ook nodig als je twee breuken met verschillende noemers
bij elkaar op wilt tellen of het verschil bepalen. Je kunt namelijk twee breuken pas van elkaar
aftrekken of bij elkaar optellen als zij dezelfde noemer hebben. Stel dat je
5
7
pizza en
pizza aan
12
20
elkaar legt – dat kan, en je hebt dan nog geen hele pizza, maar hoe veel van een hele pizza heb je dan
precies? Met dezelfde noemer kun je dat wel, want dan tel je stukjes van dezelfde grootte bij elkaar
op:
5
7 25 21 46 23





(vereenvoudigd).
12 20 60 60 60 30


Stappenplan voor optellen en aftrekken van breuken:

1. maak de breuken gelijknamig
2. bereken de som of het verschil van de tellers
3. de noemer blijft
4. vereenvoudig de uitkomst zo ver mogelijk
Dit stappenplan werkt ook voor meer dan twee breuken – je moet dan alleen een gemene noemer van
alle noemers in de som vinden. Bijvoorbeeld in de som
2 1 3
   heb je noemers 7, 2 en 4. Het
7 2 4
kleinste veelvoud van alle drie deze getallen is 28. Je kunt ook hier weer methode 1 gebruiken om bij
een gemeen veelvoud van 7 x 2 x 4 = 56 te komen.

Rekenregels voor breuken samengevat:






a a
a

of
b
b
b
a a x

b b x
a
c ac
 a 
b
b
b
 
c
a b a  d b  c (a  d )  (b  c)
 


c d cd d c
cd
a b ab
 
c d cd
a
( )
c  a  d  ad
b
c b bc
( )
d

10
VBC WisA 2014
[Typ hier]
Rekenen met procenten
Decimalen en breuken
Wij hebben gezien dat de breukstreep voor een deling staat. Als je deze deling uitvoert (op papier of
met een rekenmachine), dan krijg je een decimaal. Bij sommige breuken is het decimaal eindig – dat
wil zeggen dat je een eindig aantal cijfers achter de komma krijgt. Bij andere breuken is het decimaal
oneindig en moet je afronden om het op papier te zetten:
1
 1: 2  0,5
2
1
 1: 8  0,125
8
1
 1: 3  0,333333333........  0,33
3
Met afronden moet je voorzichtig zijn. Als je bij lange berekeningen tussendoor te ver afrondt, dan
kan het kleine verschil uiteindelijk heel groot worden. Een derde van een miljard bijvoorbeeld kan,
 waar je afrond, heel snel om een paar miljoen verschillen:
afhankelijk van
0,3  1.000.000.000  300.000.000
0,333  1.000.000.000  333.000.000
Vaak is het dus handig om zo ver mogelijk met exacte getallen (breuken, maar ook wortels, zoals je in
de vervolgmodule nog zult zien) door te rekenen.
De cijfers achter de komma hebben natuurlijk in het decimaal systeem ook bepaalde waarden. De
eerstecijfer achter de komma zijn dan tiende, de tweede honderdste, de derde duizendste en zo voort.
Sommige breuken kun je dan ook makkelijk als decimalen schrijven en andersom.
Van breuk naar (eindig) decimaal:
Als je namelijk de breuk zodanig verandert dat er een veelvoud van 10 in de noemer staat, en een
geheel getal in de teller, dan
- geeft de noemer aan hoeveel plaatsen je achter de komma hebt (namelijk het aantal nullen)
- geeft de teller aan welk getal je op deze plaatsen achter de komma moet zetten
(deze methode werkt alleen voor breuken met noemers die in een veelvoud van 10 te veranderen
zijn):
Breuk:
1
2
breuk veranderen:
1 1 5 5


 0,5
2 2  5 10
Breuk:
3
50
breuk veranderen:
3
32
6


 0,06
50 50  2 100
1
80
breuk veranderen:

Breuk:




1
1  125
125


 0,0125
80 80  125 10000
Van (eindig) decimaal naar breuk:

Hier moet je vooral op het aantal plaatsen achter de komma letten, en kijken of je de breuk
uiteindelijk nog kunt vereenvoudigen
- het aantal plaatsen achter de komma wordt het aantal nullen van het veelvoud van 10 in de
noemer
- het getal achter de komma wordt de teller van de breuk
(deze methode werkt natuurlijk alleen voor eindige decimalen)
11
VBC WisA 2014
[Typ hier]
als breuk: 0,7 
Decimaal: 0,7
7
10
25
1  25
1


1000 40  25 40
16
1  16
1


als breuk: 0,0016 

10000 625  16 625
als breuk: 0,025 
Decimaal: 0,025

Decimaal:
0,0016

(er is trouwens ook nog
een manier om een oneindig decimaal in een breuk te veranderen, als dit
decimaal een herhalend patroon heeft, zoals 0,33333333….. of 0,123123123123….. ; als je wilt

 je bij Khan Academy onder ‘repeating decimals’ kijken)
weten hoe dat werkt moet
Procenten
Breuken met noemer 100 kun je ook nog anders schrijven dan een decimaal met twee plaatsen achter
de komma. De breuk
25
, bijvoorbeeld, kun je namelijk ook lezen als ’25 delen van 100’ – of 25%.
100
‘Procent’ betekent namelijk niets anders dan ‘van honderd’.
Andersom kun je ook decimalen met twee plaatsen achter de komma als percentages schrijven. Een

percentage van 37% zou je dan schrijven als
Voorbeelden:
Breuk

1 5
50


2 10 100
3 75

4 100
3
15

20 100

37
.
100
Decimaal
Percentage
0,5
50%
0,75
75%
0,15
15%
 eindige decimalen met meer dan twee plaatsen achter de komma kun je in percentages
Ook
veranderen. Hier moet je het komma in decimalen weten te schuiven:
  als je een decimaal door 10 deelt, dan schuift het komma een plaats naar links
 als je een decimaal met 10 vermenigvuldigt, dan schuift het komma een plaats naar rechts
Voorbeeld:
Als je dan een decimaal met meer dan twee plaatsen achter de komma hebt, of een breuk met een
veelvoud van 10 groter dan 100 in de noemer, dan kun je deze op dezelfde manier als boven in een
percentage veranderen, maar je moet de breuk dan zodanig veranderen dat er een 100 in de noemer
komt te staan:
12
VBC WisA 2014
Voorbeeld:
0,057 
[Typ hier]
57
57 :10
5,7


 5,7%
1000 1000 :10 100
0,0013 
13
1,3
0,13


 0,13%
10000 1000 100
Als je de breuk niet makkelijk naar een noemer 100 kunt brengen, of met een wat langer (of zelfs
oneindig) decimaal , dan moet je gewoon het decimaal berekenen en dan voor de percentage afronden.
De eerste
 twee plaatsen na de komma in het decimaal worden dan de eerste twee plaatsen voor het
komma in je percentage, bijvoorbeeld:
0,2467362  24,67%
0,0357823  3,58%
0,0029983  0,3%
Promille
Je komt af en toe de term promille tegen (symbool: ‰). Promille betekent letterlijk ‘van 1000’ en is
dus gerelateerd aan een breuk
met noemer 1000 of een decimaal met 3 plaatsen na de komma. Om
van promille naar procent te komen moet je dus het komma een positie naar rechts schuiven, voor
procent naar promille schuif je een positie naar links:
2,5% 
2,5
25

 25‰
100 1000
3,5‰ = 0,35%

Rekenen met procenten
Een percentage geeft een bepaald deel van een geheel aan, net als de bijbehorende breuk. Deze
verhouding kun je gebruiken om een gewenst percentage te berekenen.
6
van de bevolking werkloos.
100

Als 6% van de bevolking werkloos is, dan zijn 6 van 100 of

In een bevolking van 16.000.000 totaal zitten 160.000 keer 100 mensen, dus zijn er 6 x
160.000 = 960.000 mensen werkloos.
In plaats van eerst door 100 te delen en dan met 6 te vermenigvuldigen kun je ook gelijk met


6
6
 960.000
vermenigvuldigen: 16.000.000 
100
100
In plaats van met de breuk te vermenigvuldigen kun je ook gelijk met het decimaal
vermenigvuldigen: 16.000.000  0,06  960.000
 Om bij een gegeven percentage

de waarde te berekenen vermenigvuldig je met de breuk of met het
decimaal dat bij de percentage hoort.

Om andersom een gegeven hoeveelheid als percentage van een bepaald geheel uit te gaan drukken
keer je de berekening om:
 In het volgend jaar waren in dezelfde bevolking nog maar 870.000 mensen werkloos. Voor
16.000.000 heb je dus 870.000 werklozen, dat zijn
870.000
87

 0,0544  5,44%
16.000.000 1600
Om een gegeven waarde als percentage van een geheel uit te drukken deel je deze waarde door het
geheel. De uitkomst is dan een decimaal dat je dan nog als percentage moet schrijven.

13
VBC WisA 2014
[Typ hier]
Vaak worden percentages ook gebruikt om een stijging of daling (korting) aan te geven. De
percentages in allebei de gevallen zijn altijd ten opzichte van de beginwaarde.

Een reis die vroeger 20 minuten duurde, duurt nu 25 minuten. Dat is een stijging van 5
minuten ten opzichte van de oorspronkelijke 20 minuten, dus

Een pak melk kostte een jaar geleden €1,42. Nu betaal je nog maar €1,37. De prijs is dus met
€0,05 gedaald. Ten opzichte van de oorspronkelijke €1,42 is dit een daling van
0,05
5

 0,035  3,5%
1,42 142

5
25

 25%
20 100

Als je bij stijging of korting een eind- of beginwaarde moet berekenen, dan kun je in allebei de
gevallen een korte/slimme route gebruiken:
Stijging - eindwaarde
 Je krijgt bijvoorbeeld 6% rente op je spaartegoed. Aan het einde van het jaar heb je dan €6
extra voor elke €100 die er op de rekening stonden. Bij elkaar heb je dan €106 voor elke €100
die je had, of 106%. Om te bereken hoeveel je dan bij een gegeven inzet aan het einde van het
jaar zou hebben vermenigvuldig je dus met de bijbehorende breuk (

106
) of decimaal (1,06).
100
Als je €1375 spaartegoed had zou je dus aan het einde van het jaar €1375 x 1,06 = €1457,20
hebben.
Op een verkoopprijs van €27 moet nog 19% btw komen. Voor elke €100 betaal je dus €19
 het oorspronkelijk bedrag, en om
extra, of €119 totaal. Met btw wordt de prijs dus 119% van
dit te berekenen vermenigvuldig je dus met 1,19 of met
De eindprijs is dan €27 x 1,19 = €32,13
119
.
100
Om de eindwaarde van een stijging te berekenen vermenigvuldig je dus met een getal groter dan 1

(het decimaal dat gelijk is aan 100 + het stijgingspercentage).
Korting/daling – eindwaarde
 Je krijgt 25% korting op een product dat oorspronkelijk €279, 50 kostte. Voor ieder €100 euro
zou je dus €25 minder betalen. Je betaald dus nog maar €100 – €25 = €75 voor elke €100 van
de oorspronkelijke prijs, of 75%. Om de nieuwe prijs te berekenen kun je dus met de
bijbehorende breuk (

3
) of decimaal (0,75) vermenigvuldigen. Je betaald dus nog maar €279,
4
50 x 0,75 = €209,63
De koers van een aandeel op de beurs was eerst €46,22 en is in de loop van de dag met 3,7%
gedaald. Voor elke €100 heb je nu €3,70 minder – of nog maar €96,30 van elke €100, dus

96,3%. Om de eindwaarde te berekenen kun je dus met 0,963 of met
vermenigvuldigen. De nieuwe koers is dan €46,22 x 0,963 = €44,51.
963
1000
Om de eindwaarde van een daling/korting te berekenen vermenigvuldig je dus met een getal kleiner
dan 1 (het decimaal dat gelijk is aan 100 – het dalingspercentage).
Beginwaarde
Als je de eindwaarde na een stijging of daling kent, en de percentage, dan kun je de beginwaarde
berekenen . Je draait dan de berekeningen om:
 Als een product na een prijsstijging van 8% nu €560 kost, wat was de oude prijs?
14
VBC WisA 2014
[Typ hier]
o
o

De nieuwe prijs is gelijk aan 108% van de oude prijs.
Om de oude prijs te vinden moet je daarom eerst door 108 delen en dan met 100
vermenigvuldigen. Dit is hetzelfde als delen door 1,08 – het decimaal dat voor de
percentage van de nieuwe prijs staat. In dit geval dus €560 : 1,08 = €518,50
o Om de beginwaarde voor een (bekende) procentuele toename te berekenen moet je
dus delen door een getal groter dan 1 (het decimaal dat gelijk is aan 100 + het
stijgingspercentage).
Als een product na een prijsverlaging van 25% nog maar €33,50 kost, wat was dan de oude
prijs?
o De nieuwe prijs is nog maar 75% van de oude prijs.
o Om de oude prijs te vinden moet je daarom eerst door 75 delen en dan met 100
vermenigvuldigen. Dit is hetzelfde als delen door 0,75 – het decimaal dat voor de
percentage van de nieuwe prijs staat. In dit geval dus €33,50 : 0,75 = €44,67
o Om de beginwaarde voor een (bekende) procentuele afname te berekenen moet je dus
delen door een getal kleiner dan 1 (het decimaal dat gelijk is aan 100 – het
dalingspercentage).
BTW
Voor snelle berekeningen van prijzen met of zonder btw geldt dan:
- als je de prijs incl btw weet: delen door 1,21 om de prijs zonder btw te vinden
- als je de prijs zonder btw weet: vermenigvuldigen met 1,21 om de prijs incl btw te vinden
Meervoudige toename of afname
Als je bijvoorbeeld 20% van 30% van 12.370 moet berekenen, dan kun je dit in twee stappen doen:
1. 30% van 12.370 = 0,3 x 12.370 = 3711
2. 20% van 3711 = 0,2 x 3711 = 742,2
Je kunt echter ook in een stap rekenen:
0,2 x 0,3 x 12.370 = 0,06 x 12.370 = 742,2
Voor meervoudige procentuele veranderingen kun je dus de beginwaarde gewoon met alle stijgingsof dalingsfactoren vermenigvuldigen.
Voorbeeld:
Een koers op de beurs had een beginwaarde van €35. In de loop van de dag daalt deze koers
eerst met 3,4% en stijgt dan weer met 5,7%. Wat is de waarde aan het einde van de dag.
In twee stappen:
- een daling van 3,4%: vermenigvuldigen met 0,966 (het decimaal gelijk aan een
percentage 100 – 3,4); €35 x 0,966 = €33,81
- een stijging van 5,7%: vermenigvuldigen met 1,057 (het decimaal gelijk aan een
percentage 100 + 5,7); €33,81 x 1,057 = 35,74
In een stap:
€35 x 0,966 x 1,057 = €35,74
Als je zowel een daling als ook een stijging achtereenvolgend hebt maakt het dus niets uit of je eerst
de daling en dan de stijging of andersom berekent. Je kunt echter niet de stijgingen en daling eerst
samenvatten (-3,4% + 5,7% = + 2,3%) en dan de toename berekenen (€35 x 1,023), want dit is een
andere berekening:
0,966 x 1,057 = 1,021 ≠ 1,023
15
VBC WisA 2014
[Typ hier]
Rekenen met machten
Je spreekt van een ‘macht’ als je aan een grondtal (behalve 0) een exponent toevoegt. De exponent
geeft daarbij aan hoe vaak je het getal met zichzelf vermenigvuldigd.
4  4  4  4  4  4 5  1024
grondtal 4; exponent 5
Als het grondtal negatief is, dan hangt het teken van de uitkomst af van de exponent, want:
(2) 4  (2)  (2)  (2)  (2)  16 (de mintekens heffen elkaar in paren op)
maar (2) 3  (2)  (2)  (2)  8 (er blijft een minteken staan)
Met oneven exponenten bij een negatief grondtal krijg je dus een negatief uitkomst.
Dit is niet te verwarren met een minteken dat voor de gehele macht staat, bijvoorbeeld
 2 4  (2  2  2  2)  16
In het eerste geval, (2) 4 , hebben namelijk de haakjes voorrang over de macht, dus moet je de macht
toepassen op alles wat binnen de haakjes staat. In het tweede geval,  2 4 , heeft de macht voorrang,
dus moet je eerst de macht berekenen en het minteken laten staan.
Er zijn verder nog twee afspraken over machten die je moet onthouden:
1. De exponent (de macht) is 0:
De uitkomst van elke machtsverheffing met exponent 0 is 1. Dit is geheel onafhankelijk van
het grondtal, dus (9) 0  1 en 0,75 0  1 en 2765998 0  1 enzovoort…
2. De exponent (de macht) is 1:
Wellicht ten overvloede, maar een macht 1 heeft als uitkomst het grondtal zelf. De macht 1
schrijf je er dan meestal niet bij – maar voor het rekenen met machten is het soms handig om
te onthouden dat als er geen macht staat, je er ook een macht 1 zou kunnen schrijven, dus
 9  (9)1 en 5  51 en 0,4  0,41
Je kunt de rekenregels voor machten (zie ook helemaal onderaan) proberen te onthouden, maar zij zijn
ook eenvoudig af te leiden.
1. Sommen (+ of -) van machten kun je niet zo maar vereenvoudigen.
2. Als je machten vermenigvuldigd of deelt kan je wel vereenvoudigen:
 Voor hetzelfde grondtal en verschillende exponenten: exponenten optellen (voor product van
machten) of aftrekken (voor delen van machten).
2 3  2 5  (2  2  2)  (2  2  2  2  2)  2 8  2(35)


25 2  2  2  2  2 2  2

 2 2  2(53)
3 
2
222
1
Voor verschillende grondtallen met dezelfde exponent: je mag eerst machten uitvoeren en dan
het product (of delen), of andersom.
33  5 3  (3  3  3)  (5  5  5)  (3  5)  (3  5)  (3  5)  (3  5) 3  153
3
63 6  6  6 6 
    33
3 
2
2  2  2 2 
16

VBC WisA 2014

[Typ hier]
Bij een macht van een macht wordt de nieuwe exponent het product van de machten.
(33 )2  (3  3  3)  (3  3  3)  36  3(32)
N.B. (dit wordt niet getoetst): machten kunnen ook negatief zijn:

1
 a n
n
a
Rekenen met wortels
Wij hebben gezien dat delen het omgekeerde is van vermenigvuldigen. Machtsverheffen heeft ook
een omgekeerde operatie, en dat is wortel trekken:
Het omgekeerde van een tweede (kwadraat-) macht is een kwadraat (of tweedemachts) wortel:
6 2  36
dan is
36  6
Je kunt dan ook een kwadraatwortel gebruiken om de kantlengte van een vierkant te vinden
als je de oppervlakte kent:
Een paar handige definities:

Het kwadraat van een wortel is gelijk kaan het getal onder de wortel:
( 4)2  4  4  4

Voor hogeremachtswortels geldt een soortgelijke definitie, namelijk w = n√a als wn = a.
(bijvoorbeeld is 2 = 3√8 omdat 23 = 8)
 Binnen de reële getallen bestaan er alleen vierkantwortels (of hogeremachtswortels met een
 even macht) van positieve getallen (dus a≥0). Bij hogeremachtswortels met een oneven macht
kan het getal a wel negatief zijn (dus 2√-64 bestaat niet, maar 3√-64 wel, want (-4)3 = -64)
 Wortels behoren tot de irrationale getallen – wat betekent dat je de waarde van het getal w
niet als breuk kunt schrijven – bijvoorbeeld √2.
De wortel van een product is gelijk aan het product van de individuele wortels (dus je kunt de wortel
‘verdelen’).
120  4x30  4  30
De wortel van een breuk is gelijk aan de breuk met de individuele wortels van teller en noemer (dus
ook hier kun je de wortel ‘verdelen’).

4

30
4
30
Wortels kun je vereenvoudigen tot een zogenaamde standaardvorm. Dit doe je door alle kwadraten
die je onder de wortel kan vinden ‘buiten de wortel’ te halen. Je draait eigenlijk gewoon het ‘wortelsplitsen’
 van hierboven om). Om verwarring te voorkomen schrijf je aan het einde de wortel als
laatste in het product.
17
VBC WisA 2014
[Typ hier]
112  7 16  7  16  7  4  4 7
N.B. (dit wordt niet getoetst): je kunt een wortel ook als gebroken macht schrijven:
 De definitie voor gebroken machten is: am/n = n√am
4 4
2
1
2
2
43  4
3
2
Dus je kunt een wortel altijd als een macht uitdrukken. Dat is handig, want dan kan je voor
rekenen met wortels de rekenregels voor machten gebruiken.

Alle regels voor rekenen met wortels en machten:
 an  am  an m
 an  bn  (a  b)n
 (a n ) m  a nm





1
 a n
n
a

an  n a

n
1
a
p
q
m
a
m
n
 a  (a )
p
1
q
18