pi-weetjes - Scilogs.be

pi-weetjes
Wist je dat . . .
(Met dank aan Moretus, Ekeren)
• . . . het vandaag π-dag is? Waarom? Omdat
in de Amerikaanse schrijfwijze de datum 14
maart genoteerd wordt als 3/14 en 3,14 is een
benadering voor het getal π.
Bovendien is het vandaag een erg speciale πdag, want de Amerikaanse notatie van de datum van vandaag is 3/14/15, en π is gelijk
aan 3,1415926 . . . Hieraan zie je dat het eten
van taart (’pie’ in het Engels) best uitgesteld
wordt tot 9u26.
Geniet van deze speciale π-dag, want het
duurt een eeuw voor er weer een aankomt.
• . . . het getal π (nog steeds) de verhouding
geeft van de omtrek van een cirkel tot de diameter?
• . . . het getal π tot op 500 cijfers na de komma
gelijk is aan:
3.141592653589793238462643383279502
88419716939937510582097494459230781
64062862089986280348253421170679821
48086513282306647093844609550582231
72535940812848111745028410270193852
11055596446229489549303819644288109
75665933446128475648233786783165271
20190914564856692346034861045432664
82133936072602491412737245870066063
15588174881520920962829254091715364
36789259036001133053054882046652138
41469519415116094330572703657595919
53092186117381932611793105118548074
46237996274956735188575272489122793
818301194913
• . . . het woord ‘pikant’ recent een heel nieuwe
betekenis heeft gekregen?
naar het getal van Euler e = 2,718281828 . . .,
en daarom gevierd op 2 juli.
Dit jaar is er ook een Pythagorasdag, op 12
september (dus 9/12/15), omdat 9, 12 en 15
een Pythagoreı̈sch drietal vormen:
92 + 122 = 152
De drie getallen zijn dus de zijden van een
rechthoekige driehoek!
(Je krijgt overigens een tweede kans om deze
Pythagorasdag te vieren op 9 december.)
• . . . er absoluut geen regelmaat of periode zit
in de decimalen van het getal π? Er is dan
ook geen breuk met gehele teller en noemer
te vinden die als waarde π heeft.
• . . . in plaats van de decimalen van π uit het
hoofd te leren je dat ook kan doen met de rij
getallen die begint met 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1,
1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2,. . . ? Het
is namelijk zo dat je met deze getallen de kettingbreuk voor het getal π kan maken:
π =3+
1
7+
1
15 +
1
1+
1
292 +
(Bedankt, Nien, voor het klossen!)
• . . . 14 maart niet de enige dag is die wiskundigen vieren?
Je kan π ook vieren op 22 juli, dan is het π approximation day, naar de klassieke rationale
benadering van het getal π: 22
= 3,142857.
7
Niet slecht als benadering!
Er is ook τ -dag, op 28 juni (τ = 2π).
En we mogen ook e-dag zeker niet vergeten,
1
1 + ...
enzovoort. Je kan benaderingen voor π berekenen door deze oneindig lange breuk af te
breken op een bepaalde plaats, bijvoorbeeld
na de 7:
1 22
3+ =
7
7
De beste benaderingen krijg je door af te
breken net voor een grote noemer, bijvoorbeeld net voor 292. Dat geeft 355
oftewel
113
3,14159292035 . . ., ook wel Zu’s breuk genoemd, naar de Chinese wiskundige Zu Chongzhi (429-500).
En neen, in die rij getallen waarmee we gestart
zijn zit (ook) geen regelmaat!
• . . . er in 2014 weer een nieuw π-record gevestigd is? Een wiskundige die anoniem wenst te
blijven heeft in oktober onder de naam houkouonchi de eerste 13 300 000 000 000 decimalen berekend. De berekening heeft 208 dagen
in beslag genomen, en er werd gewerkt met de
formule van Chudnovsky:
∞
X (−1)k (6k)!(13591409 + 545140134k)
1
=
12π
(3k)!(k!)3 6403203k+3/2
k=0
die per term 14 extra decimalen geeft van π.
• . . . in Canada pi2 een veelgebruikte eenheid
is? Het gaat dan om pied carré, of vierkante
voet. (Bedankt, Cris!)
• . . . dat de te winnen trofee bij de wedstrijd
Wiskunnend Wiske (georganiseerd door de
VUB voor leerlingen van het SO) er zo uitziet? (Bedankt, Sabien!)
• . . . Drs. P. een lied heeft over een berekenaar
van het getal π? De titel is Griekse Tango en
dit is de tekst: (https://www.youtube.com/watch?v=OyfIkFyn_Co)
Verleden week bezocht ik voor de eerste maal mijn bovenbuur.
Het had te maken met lekkage, naar ik meen, of met de huur.
Er hing een levensecht portretje van een cirkel aan de muur.
En hij ontpopte zich als vriend, een ascetische figuur.
Die zich in leven hield met brokjes en augurken in het zuur.
‘Het schikt me slecht, ik moet veel werk verrichten’ sprak hij overstuur.
‘Ik heb al jaren een obsessie en ik geef mij rust nog duur,
daar ik verslaafd ben aan de cirkelkwadratuur.’
‘Als men de omtrek van een cirkel’ zo begon hij zijn verhaal
‘gaat delen door de doorsnee, uiteraard is die twee keer de straal,
dan komt er een quotiënt, ja mag ik even stilte in de zaal.
Vaak zegt men tweeëntwintig zevenden maar dat is te globaal.
In feite is het 2 pi r en dat is lang niet zo banaal,
Het blijkt dat pi irrationeel is en daarbij transcendentaal.
En een computer heeft het uitgerekend, is dat niet geniaal?
Tot in de weet ik veel hoeveelste decimaal.
Ja deze pi, dat staat te lezen in de encyclopedie,
is eeuwenoud en wetenschappelijk en Grieks en vol magie.
Als ik zo pieker over pi spreekt u wellicht van een manie
Maar zijn wij allen niet neuro-, fana-, roman- of mystici?
Een ander heeft een kolibrie, een relikwie of een fobie
Maar ik verdiep me onophoudelijk en zonder compromis
In dit unieke en verheven wonder der planimetrie
Ik zoek het antwoord op het grote raadsel pi.’
Na deze woorden onderbrak hij spastisch hijgend zijn gepraat
En er verscheen een onrustbarend kleurenspel op zijn gelaat
Dus ik begon al rond te kijken naar een zuurstofapparaat
Maar hij bedaarde en hervatte zijn verhandeling kordaat
Er is een andere formule die is ook niet van de straat
De oppervlakte van een cirkel immers is pi r kwadraat
En om de waarde van die pi nou eens te zien in vol ornaat
Dat is wat mij als ideaal voor ogen staat
Aldus weet ik 3,14159265 etcetera etcetera
Ja, het heeft heel wat om het lijf
Zodat ik elke morgen na het opstaan eventjes verstijf
Bij de gedachte aan de eindeloosheid van dit tijdverdrijf
Waarna ik mij toch altijd weer verman en in mijn handen wrijf
Ik grijp de rekenliniaal maar ook wel eens de rekenschijf
Ik zet me neer en calculeer en schrijf en calculeer en schrijf
En ik zal blijven zoeken tot ik er in blijf.
• . . . er ook π-gerelateerde Apps zijn? Bijvoorbeeld een digitale klok die aangeeft waar in
de decimale ontwikkeling van π (of e, of . . . )
de opeenvolging van cijfers voorkomt die het
huidige uur en de huidige datum aangeven:
• . . . we met behulp van het getal π kunnen
bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen
zijn? We gebruiken hiervoor deze formule van
Euler:
π
3 5 7 11 13 17 19 23 29
= · · ·
·
·
·
·
·
...
4
4 4 8 12 12 16 20 24 28
waar in de tellers in het rechterlid alle oneven
priemgetallen staan, en in de noemer telkens
het viervoud dat het dichtst bij de teller ligt.
Stel nu dat er maar eindig veel priemgetallen
zijn, dan heeft het rechterlid maar eindig veel
factoren, en staat daar dus een breuk. Dan
zou het getal π een rationaal getal zijn (een
breuk), en we weten dat dit niet zo is. (Bij
een breuk is er overigens regelmaat in de cijfers na de komma.)
• . . . het getal π ook in de natuur voorkomt?
(Bedankt, Adhemar!)
(2015 - zie ook http://www.scilogs.be/wiskunde-is-sexy/)