REKENEN MET BREUKEN

REKENEN MET BREUKEN
BREUKEN MET GETALLEN.
1) Een breuk blijft gelijk als we de teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen
of door het zelfde getal delen.
2) We mogen een min-teken van de teller naar de noemer verplaatsen (of andersom)
en voor de breuk zetten.
5
5
−5
=
=− .
Voorbeeld:
9
−9
9
3) Wanneer we een geheel getal met een breuk vermenigvuldigen mogen we de teller
met dat getal vermenigvuldigen.
11
77
Voorbeeld: 7 ·
= .
15
15
4) Twee breuken kunnen worden opgeteld door ze gelijknamig te maken, dat wil
zeggen door hun noemers gelijk te maken.
2 3
16 21
37
Voorbeeld: + =
+
= .
7 8
56 56
56
5) Twee breuken kunnen worden vermenigvuldigd door hun tellers te vermenigvuldigen
en hun noemers te vermenigvuldigen.
11 · 8
11
11 8
· =
= .
Voorbeeld:
16 3
16 · 3
6
6) Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met zijn omgekeerde.
Voorbeeld:
5 4
20
5/7
= · = .
9/4
7 9
63
1
2
BREUKEN MET ALGEBRAISCHE UITDRUKKINGEN.
Precies dezelfde bewerkingen kunnen worden gedaan met breuken met algebraı̈sche
uitdrukkingen in plaats van getallen.
1) Vermenigvuldigen of delen van teller en noemer met de zelfde uitdrukking.
Voorbeelden:
x2 − 3x + 2
(x − 1)(x − 2)
x−1
=
=
.
2
x − 4x + 4
(x − 2)(x − 2)
x−2
√
√
√
( x + 4) · ( x + 5)
x+4
√
√
= √
x−5
x − 5)( x + 5)
√
√
√
( x)2 + 4 x + 5 x + 20
√
=
( x)2 − 52
√
x + 9 x + 20
=
(als x > 0).
x − 25
2) Verplaatsen van min-teken.
Voorbeeld:
x2 − 7x
−(x2 − 7x)
x2 − 7x
=
=−
.
−(x − 4)
x−4
x−4
3) Vermenigvuldigen van breuk met algebraı̈sche uitdrukking.
Voorbeeld:
√
√
√
2+1−1
2 + 1 + 1)( x2 + 1 − 1)
√
(
x
x
=
( x2 + 1 + 1) ·
x
x
√
2
2
( x + 1) − 12
=
x
x2 + 1 − 1
x2
=
=
= x.
x
x
3
4) Optellen van breuken door hun noemers gelijk te maken.
Voorbeeld:
x
x+3
x(x − 2)
(x − 1)(x + 3)
+
=
+
x−1 x−2
(x − 1)(x − 2)
(x − 1)(x − 2)
=
x(x − 2) + (x − 1)(x + 3)
(x − 1)(x − 2)
=
x2 − 2x + x2 + 2x − 3
2x2 − 3
=
.
x2 − 3x + 2
x2 − 3x + 2
5) Vermenigvuldigen van breuken.
Voorbeeld:
x+2 x−5
(x + 2)(x − 5)
·
=
x + 1 2x + 2
(x + 1)(2x + 2)
=
x2 − 3x − 10
.
2x2 + 4x + 2
6) Delen van breuken.
Voorbeeld:
x/(x2 − 1)
x
x−1
= 2
·
(x + 1)/(x − 1)
x −1 x+1
x(x − 1)
x(x − 1)
=
− 1)(x + 1)
(x + 1)(x − 1)(x + 1)
x
x
=
= 2
.
(x + 1)(x + 1)
x + 2x + 1
=
(x2
4
OEFENOPGAVEN.
Bewijs de volgende identiteiten:
1)
2)
3)
4)
5)
x2
x2 + 1
x2 − x + 2
−
= 2
x−2
x−1
x − 3x + 2
x + 2 x + 4
1
2
·
−
=−
x+1
x+3 x+5
(x + 1)(x + 3)(x + 5)
√
√ !
x+1
x−1 . x− 2
x+ 2
+
= 2·
x+2
x−2
x−2
x+2
(x2 + x + 1)/(x2 − 1)
x3 − 1
=
.
(x2 + 1)/(x − 1)
x4 − 1
√x2 + 4x − x
√
2
x + 4x + x ·
= 36
1
x
9
6)
x8 − 3x4 + 2
x4 − 2
=
x8 − 5x4 + 4
x4 − 4
7)
x+y
x−y
x2 + y 2
+
= 2· 2
x−y
x+y
x − y2
8)
x+
9)
10)
1
x+
1
x
=
x3 + 2x
.
x2 + 1
y−1
1
=
y5 − 1
1 + y + y2 + y3 + y4
√
√
1
z 4 + 2z 2 − z 4 + z 2
√
√
=
z2
z 4 + 2z 2 + z 4 + z 2