Uittreksel boek Calculus 5e editie hoofdstuk 1 t/m 4

Uittreksel Analyse B
Inhoudsopgave
Voorwoord ..................................................................................................................... 1
5. Integralen .................................................................................................................. 2
5.1 Oppervlakte en afstand ........................................................................................ 2
5.2 De bepaalde integraal .......................................................................................... 2
5.3 De hoofdstelling van de analyse .......................................................................... 4
5.4 Onbepaalde integralen......................................................................................... 5
5.5 De substitutiemethode ......................................................................................... 6
6. Toepassingen van het integreren .............................................................................. 7
6.1 Oppervlakte tussen twee grafieken ...................................................................... 7
6.2 Inhouden.............................................................................................................. 7
6.3 Inhouden via cilindrische schillen ......................................................................... 8
6.4 Berekenen verrichte arbeid .................................................................................. 8
6.5 Gemiddelde functiewaarde .................................................................................. 8
7. Inverse functies ......................................................................................................... 9
7.1 Inverse functies.................................................................................................... 9
7.2 Exponentiële functies ......................................................................................... 10
7.3 Logaritmische functies ....................................................................................... 11
7.4 De afgeleide van een logaritmische functie ........................................................ 12
7.5 Inverse goniometrische functies ......................................................................... 13
7.6 Hyperbolische functies ....................................................................................... 14
7.7 De regel van l'Hospital ....................................................................................... 15
Samenvatting standaard integralen ............................................................................. 16
Samenvatting standaard afgeleiden ............................................................................ 18
Gebruik van de TI-89 bij Analyse B ............................................................................. 19
Voorwoord
Dit is een uitgebreid uittreksel van hoofdstuk 5 t/m 7 uit het boek Calculus 5e editie. Het
bevat alle begrippen en formules in de volgorde waarin die in het boek aan bod komen.
Als er in de studiewijzer staat dat bewijzen gereproduceerd moeten worden, heb ik die
in dit uittreksel opgenomen.
Het uittreksel sluit af met een samenvatting van de standaard integralen en afgeleiden.
Als bijlage bespreek ik enkele belangrijke functies m.b.t. het integreren op de TI-89.
Succes met de module Analyse B.
Bert Kraai
Uittreksel Analyse B
5. Integralen
5.1 Oppervlakte en afstand
De oppervlakte onder een grafiek op het interval [ a, b] is te bepalen door het gebied te
verdelen in n rechthoeken en de oppervlakte van deze n rechthoeken op te tellen.
Deze n rechthoeken kunnen we op 2 manieren tekenen:
 linkerbovenhoek raakt de grafiek. Optellen levert de linkersom Ln .
 rechterbovenhoek raakt de grafiek. Optellen levert de rechtersom Rn .
De werkelijke oppervlakte van dit interval kunnen we bepalen door n naar oneindig te
laten naderen.
Een andere methode is om het interval [ a, b] te verdelen in n rechthoeken en in iedere
rechthoek een willekeurige waarde x i* te kiezen.
ba
. Nu ontstaat de volgende formule voor
n
De breedte van iedere rechthoek is x =
het bepalen van de oppervlakte A van een gebied S onder de grafiek van een continue
functie op het interval [ a, b] :
2, 3, 4
Oppervlakte A = lim Ln  lim Rn  lim
n 
n 
n 

n
i 1
f ( xi* )x .
Een soortgelijk probleem speelt met het berekenen van de afgelegde afstand
d = snelheid x tijd. Bij variërende snelheden op een tijdinterval [a, b] is deze afstand
op eenzelfde wijze te benaderen als bij het berekenen van de oppervlakte:
afgelegde afstand d = lim Ln  lim Rn  lim
n 
n 
n 

n
i 1
f (t i )t .
Hierbij is s  f (t ) de functie van de snelheid ten opzichte van de tijd.
Andere praktijkvoorbeelden zijn: het berekenen van de verrichte arbeid (aantal Joules,
berekend uit tijd x aantal Joules per seconde) of de pompcapaciteit van het hart
(volume bloed, berekend uit tijd x volume per seconde).
2
5.2 De bepaalde integraal
Als f een continue functie is die bestaat voor a  x  b , dan kunnen we het interval
ba
[a, b] opdelen in n even grote subintervallen met breedte x =
.
n
x0  a en xn  b en x1* , x 2* ,..., x n* zijn willekeurige punten in ieder subinterval, waarbij
x i* ligt in het i e subinterval [ xi 1 , xi ] .
b
3
De bepaalde integraal van f van a tot b is
 f ( x)dx  R
n
a
 Ln  lim
n

n
i 1
f ( xi* )x .
Deze som heet de Riemann-som.
Het berekenen van de waarde van een bepaalde integraal heet integreren.
f (x) heet de integrand, a heet de ondergrens en b de bovengrens.
Versie 2.0
blz. 2 van 19
Uittreksel Analyse B
Gebieden boven de x-as tellen positief mee, gebieden onder de x-as negatief.
Het benaderen van de oppervlakte met behulp van een Riemann-som gaat in het
algemeen het beste met de middens van de deelintervallen.
b
 f ( x)dx  lim 
n
i 1
n 
a
f ( x i )x waarbij x 
1
( xi 1  xi ) = midden van elk deelinterval.
2
De volgende rekenregels gelden bij het uitrekenen van integralen met behulp van de
definitie van de bepaalde integraal. Zie ook eventueel appendix E.
n 1
n(n  1)
want het gemiddelde is
, maal n levert de totale som.
2
2
i 1
n
n(n  1)( 2n  1)
i2 
, te bewijzen via wiskundige inductie, zie appendix blz. A36.

6
i 1
n
4
5
i 
 n(n  1) 
i 
, bewijsschema zie blz. A38 exercise 40.

 2 
i 1
2
n
6
3
n
7
 c  nc
( c is een constante)
i 1
8
9
10
n
n
i 1
i 1
 cai  c ai
( a is een reeks van n getallen)
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
 (ai  bi )   ai  bi
 (ai  bi )   ai  bi
Daarnaast gelden de volgende eigenschappen voor een integraal:
b
1.
 cdx  c(b  a)
a
2.
b
b
a
a
 cf ( x)dx  c f ( x)dx
b
3.
4.
b
a
a
a
b
b
b
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
5.
b
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
a
c
b
b
a
c
a
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b
6.
Als f ( x)  0 voor a  x  b dan
 f ( x)dx  0
a
b
7.
Als f ( x)  g ( x) voor a  x  b dan

b
f ( x)dx   g ( x)dx
a
a
b
8.
Als m  f ( x)  M voor a  x  b dan m(b  a) 
 f ( x)dx  M (b  a) .
a
Conclusies uit exercise 25 en 29 bij deze paragraaf
Versie 2.0
blz. 3 van 19
Uittreksel Analyse B
Een bepaalde integraal berekenen als een limiet van een Riemann-som werkt als volgt.
b
 f ( x)dx  lim 
n
i 1
n 
a
f ( xi* )x

Vervang x in de functie door x i en dx door xi .

Bereken xi =

Bereken x i = ondergrens a + ixi (dit levert de rechtersom, echter bij een
integraal is de rechtersom gelijk aan linkersom).
Substitueer x i en xi in de Rieman-som.

ba
.
n
5.3 De hoofdstelling van de analyse
Het eerste deel van de hoofdstelling van de analyse luidt:
Als f continu is op interval [ a, b] dan is de functie g gedefinieerd door
x
g ( x)   f (t )dt met a  x  b continu op [a, b] en g ' ( x)  f ( x) .
a
Bewijs
Als x en x  h zich beiden in het interval [ a, b] bevinden dan geldt dat g ( x  h)  g ( x)
=

xh
a
x
x
xh
a
a
x
f (t )dt   f (t )dt =  f (t )dt  
x
x h
a
x
f (t )dt   f (t )dt = 
f (t )dt .
g ( x  h)  g ( x ) 1 x  h
  f (t )dt .
h
h x
We kiezen nu twee waarden u en v in het interval [ x, x  h] zodanig dat f (u )  m =
het absolute minimum op dit interval en f (v)  M = het absolute maximum op dit
Daarmee geldt voor alle h  0 dat
interval. Nu geldt dat mh 

xh
x
f (t )dt  Mh  f (u)h  
xh
x
Omdat h  0 kunnen we delen door h :
f (u ) 
f (t )dt  f (v)h .
1 xh
f (t )dt  f (v) 
h x
g ( x  h)  g ( x )
 f (v) . Als we h naar 0 laten naderen gebeurt het volgende:
h
lim f (u )  lim f (u )  f ( x) en ook lim f (v)  lim f (v)  f ( x) . Dus geldt volgens de
f (u ) 
h 0
ux
h 0
inklemmethode dat g ' ( x)  lim
h 0
Versie 2.0
v x
g ( x  h)  g ( x )
 f ( x) .
h
blz. 4 van 19
Uittreksel Analyse B
Het tweede deel van de hoofdstelling van de analyse luidt:
Als f continu is op interval [ a, b] dan is

b
a
f ( x)dx  F (b)  F (a)  F ( x)a
b
waarbij F een primitieve functie is van f . Met andere woorden: F '  f .
Bewijs
Stel dat g ( x) 

x
a
f (t )dt .
We weten nu uit deel 1 dat g ' ( x)  f ( x) , dus dat g een primitieve functie is van f .
Als F eveneens een primitieve is van f , dan geldt dat F ( x)  g ( x)  C .
Invullen van x  a levert g (a) 

a
a
f (t )dt  0 .
Invullen van x  b en x  a in het tweede deel van de hoofdstelling levert F (b)  F (a )
= [ g (b)  C ]  [ g (a )  C ] = g (b)  g (a ) = g (b)  0 =

b
a
f ( x)dx .
De afgeleide van de integraal levert weer de functie zelf op:
d x
f (t )dt  f ( x) .
dx a
De integraal van de afgeleide van een primitieve levert de algemene vorm van de
primitieve op, zonder constante:

b
a
F ' ( x)dx  F (b)  F (a) .
TIP: bekijk de uitwerking van opgaven 49 en 55 van deze paragraaf nog eens goed
(blz. 197/198 Student Solution Manual).
5.4 Onbepaalde integralen
Een onbepaalde integraal is een integraal zonder grenswaarden.
De onbepaalde integraal f ( x)dx  F ( x)  C betekent dat F ' ( x)  f ( x) .

Let op: een bepaalde integraal levert een bepaalde functiewaarde op, terwijl
een onbepaalde integraal resulteert in een (familie van) primitieve functie(s)!
De volgende tabel met onbepaalde integralen is belangrijk om uit het hoofd te kennen:
cf ( x)dx  c f ( x)dx

( c is een constante)






 [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
 kdx  kx  C
x n 1
C
n 1
 sin xdx   cos x  C
n
 x dx 

 cos xdx  sin x  C

 cos

 sin


1
2
(n  1)
dx  tan x  C
1
 C   cot x  C
tan x
x
tan x
sin x
1
 cos x dx   cos 2 x dx  cos x  C  sec x  C
1
cos x
1
 sin x tan x dx   sin 2 x dx   sin x  C   csc x  C
Versie 2.0
1
x
( k is een constante)
2
dx  
blz. 5 van 19
Uittreksel Analyse B
We maken de afspraak dat de onbepaalde integraal
 f ( x)dx
= F ( x )  C alleen geldig
is op een bepaald interval (namelijk een interval waarop f (x ) continu is).
De integraal van een wijzigingspercentage (bv. verplaatsingssnelheid in m/s) levert de
netto wijziging op (bv. verplaatsing in meters).

b
a
F ' ( x)dx  F (b)  F (a)  F ( x)a .
b
LET OP
De verplaatsing berekenen we met
b
 v(t )dt  s(t
a
2
)  s(t1 ) , waarbij s (t ) de positiefunctie is.
De afgelegde weg daarentegen berekenen we door ook de achteruit gereden afstanden
mee te tellen, dus
b
 | v(t ) | dt . Hierbij moeten we de integralen van afzonderlijke intervallen
a
berekenen (vooruit, achteruit) en deze optellen. Zie voorbeeld 6.
De eenheid van de integraal is gelijk aan het product van de eenheid van de
wijzigingsfunctie f (x ) (bv. m/sec, ) en de eenheid van x (bv. sec.)
5.5 De substitutiemethode
Het lukt lang niet altijd om de primitieve van een functie te vinden. Naast het gebruik
van standaardprimitieven zijn er daarom allerlei handigheidjes, regels en technieken
bedacht. Eén daarvan is de substitutiemethode. Hierbij speelt de kettingregel een
sleutelrol.
 F ( g ( x)) g ( x)dx  F ( g ( x))  C
'
4
'
want
d
[ F ( g ( x))]  F ' ( g ( x)) g ' ( x) .
dx
Als u  g (x) een differentieerbare functie met een bereik op interval A en f is continu
op A, dan geldt dat
 f ( g ( x)) g ( x)dx   f (u)du , immers du  g ( x)dx .
'
'
De uitdaging bij de substitutieregel is om een passende substitutie te vinden.
5
De substitutieregel bij bepaalde integralen werkt als volgt:
Als g ' ( x) continu is op interval [ a, b] en f is continu op het bereik van u  g (x) , dan
g (b )
b
geldt dat
 f ( g ( x)) g ( x)dx   f (u)du .
'
a
g (a)
Voordeel hiervan is dat we na de substitutie niet terug hoeven te keren naar de
variabele x , maar simpelweg kunnen volstaan met het uitrekenen van de onder- en
bovengrens van u .
Als f continu is op interval [  a, a ] en
a
(a)
f is een even functie: f ( x)  f ( x) , dan is

a
a
f ( x)dx  2 f ( x)dx
0
a
(b)
f is een oneven functie: f ( x)   f ( x) , dan is
 f ( x)dx  0 .
a
Versie 2.0
blz. 6 van 19
Uittreksel Analyse B
6. Toepassingen van het integreren
6.1 Oppervlakte tussen twee grafieken
1, 2
De oppervlakte van gebied A dat begrensd wordt door 2 grafieken y  f (x) en
y  g (x) en de lijnen x  a en x  b , waarbij geldt dat f en g continu zijn en
f ( x)  g ( x) voor alle x in [a, b] , is gelijk aan
n
b
i 1
a
A  lim [ f ( xi* )  g ( xi* )]x   [ f ( x)  g ( x)]dx .
n
In het algemeen is het handig om eerst een schets of plot te maken van het gebied
waarvan de integraal moet worden berekend.
Wanneer we de oppervlakte willen bepalen van een gebied dat wordt ingesloten door
de grafieken van 2 functies, bepalen we eerst de snijpunten = onder- en bovengrens
van de integraal.
Als grafieken van 2 functies elkaar snijden binnen het te berekenen interval, moeten we
de oppervlakte van de verschillende deelgebieden optellen. De som wordt dan:
b
3
A   | f ( x)  g ( x) | dx .
a
Soms is x te beschouwen als een functie van y . In die gevallen zijn er 3 mogelijkheden:
b

1.
Integreren naar y in plaats van x ( y  a en y  b ): A  [ f ( y )  g ( y )]dy .
2.
3.
Splitsen van het te berekenen gebied.
Eerst alles spiegelen in de lijn x  y (zie studiewijzer).
a
6.2 Inhouden
Voor het volume van rechthoekige balken geldt: V  l * b * h .
Het volume van een rechte cilinder is gelijk aan de oppervlakte van de basis maal de
hoogte: V  A * h . De oppervlakte van de basis is r 2 , dus geldt: V  r 2 h .
Het volume van onregelmatige figuren kan gevonden worden door kleine plakjes van de
figuur af te snijden voor x en hiervan steeds de oppervlakte te berekenen. Door de
limiet te nemen op het aantal plakjes n ontstaat de volgende definitie van een volume:
Stel dat S een vast lichaam is dat ligt tussen x  a en x  b . Als de dwarsdoorsnede
van S in het vlak P door x en haaks op de x -as gelijk is aan A(x ) , waarbij A een
continue functie is, dan is het volume van S gelijk aan V  lim
n
b
n
 A( x )x   A( x)dx .
i 1
*
i
a
Voor het berekenen van het volume is het dus belangrijk om eerst de functie van de
oppervlakte te kennen of samen te stellen.
Versie 2.0
blz. 7 van 19
Uittreksel Analyse B
In voorbeeld 1 wordt aangegeven dat de oppervlakte van een bol, waarvan het
middelpunt in de oorsprong van een assenstelsel geplaatst is, gelijk is aan
A( x)  y 2   (r 2  x 2 ) . Uit
r
 A( x)dx volgt dat deze oppervlakte gelijk is aan
r
4 3
r .
3
In het algemeen kunnen we het volume van een doorsnede van een omgewentelde
figuur berekenen:

als het een massieve schijf is: A   (radius ) 2

als het een massieve ring is: A   (uitwendigeradius ) 2   (inwendiger adius ) 2 .
6.3 Inhouden via cilindrische schillen
1
Bij sommige omwentelingslichamen schiet de aanpak uit § 6.2 te kort. De grenzen van de
horizontale doorsnede zijn dan niet of slechts met veel moeite te bepalen. In die gevallen
kan het een uitkomst zijn om de oppervlakte van een verticale cilindrische schil te bepalen
via de formule V  2rhr . Hierbij is straal r het gemiddelde van de buitenste en de
binnenste straal, h de hoogte van de cilindrische schil en r de breedte.
Het volume van een cilindrische schil is dus: [omtrek middelste straal]*[hoogte]*[breedte].
2
De formule voor het roteren van een lichaam onder de grafiek y  f (x) rond de y -as
van a tot b wordt dan: V  lim
n
b
n
 2 x
i 1
i
f ( xi )x   2xf ( x)dx als 0  a  b .
a
In sommige gevallen is de methode uit § 6.2 met de ringen eenvoudiger dan de
methode uit § 6.3 met de cilindrische schillen. Zie voorbeeld 3.
6.4 Berekenen verrichte arbeid
De verrichte arbeid is bij een constante kracht gedefinieerd als:
arbeid W = kracht * weg = F * d .
Bij een variërende kracht is de arbeid gelijk aan W  lim
n 
b
n
 f (x
i 1
*
i
)x   f ( x)dx .
a
Bij het uitrekken van een veer geldt dat kracht f ( x )  kx , waarbij k een constante is.
NB: Als de massa gegeven is in bv. kg., moeten we vermenigvuldigen met de
zwaartekracht = 9,8 m/s2 om de kracht te krijgen die uitgeoefend wordt. Als het gewicht
is gegeven in bv. Engelse ponden (lb), is al rekening gehouden met de uitgeoefende
zwaartekracht. Zie de verschillen bij voorbeeld 1 a/b en opgaven 15 / 17.
6.5 Gemiddelde functiewaarde
De gemiddelde functiewaarde op een interval is te berekenen met
b
1 n
1
f gem  lim
f ( xi* )x 
f ( x)dx .

n  b  a
b  a a
i 1
Als f continu is op [ a, b] , dan bestaat er een waarde c in [ a, b] waarvoor geldt dat
b
 f ( x)dx  f (c)(b  a) . Dit is de middelwaardestelling voor integralen.
a
Versie 2.0
blz. 8 van 19
Uittreksel Analyse B
7. Inverse functies
1
7.1 Inverse functies
Een functie f is injectief (one-to-one) als hij nooit twee keer dezelfde waarde
aanneemt, dus als geldt dat f ( x1 )  f ( x2 ) voor alle x1  x2 .
Dit is na te gaan met behulp van de horizontale lijntest: elke horizontale lijn snijdt de
grafiek slechts hooguit één keer.
2
3
4
Als f een injectieve functie is met domein A en bereik B, dan heeft inverse functie f 1
domein B en bereik A. De inverse functie wordt gedefinieerd als
f 1 ( y)  x  f ( x)  y voor elke y in B.
Omdat x meestal de rol vervult van onafhankelijke variabele en y van afhankelijke
variabele, worden bij inverse functies de rollen van x en y in 2 meestal omgedraaid.
f 1 ( x)  y  f ( y)  x .
Hieruit volgen de volgende vergelijkingen die elkaars bewerking opheffen:
f 1 ( f ( x))  x voor elke x in domein A en
f(f
5
1
( x))  x voor elke x in bereik B.
Stappen om de inverse functie van een injectieve functie f te vinden:
1.
Schrijf y  f (x) .
2.
Los deze vergelijking op voor x in termen van y (zo mogelijk)
Om f
3.
1
uit te drukken als functie van x , wissel x en y om.
Het resultaat is de vergelijking y  f
1
( x) .
Het omwisselen van x en y brengt ons tot de volgende conclusie:
De grafiek van f
6
1
is de grafiek van f gespiegeld in de lijn y  x .
Als f een injectieve, continue functie is op een bepaald interval, dan is zijn inverse
functie f
1
eveneens continu.
Door spiegeling in de lijn y  x wordt punt (b, a) op de grafiek van f met r.c. 
afgebeeld als punt (a, b) op de grafiek van de inverse functie f
1
 g met r.c.  .
De som van deze hoeken    is 90 =  / 2 . g (a) is de afgeleide van de inverse
'
0
functie g = r.c. in punt (a, b) = tan  = tan(
7

2
 ) =
1
1
1
= '
= '
.
tan 
f (b ) f ( g (a ))
Conclusie: als f een injectieve differentieerbare functie is met inverse functie g  f
f
1
( g (a))  0 , dan is de inverse functie differentieerbaar bij a en g ' (a ) 
Versie 2.0
1
1
.
f ( g (a))
'
blz. 9 van 19
en
Uittreksel Analyse B
7.2 Exponentiële functies
Het grondtal a van een exponentiële functie a x is groter of gelijk aan 0, omdat we
1
anders in de problemen komen met bijvoorbeeld (2) 2   2 (bestaat immers niet).
Functies met een grondtal 0  a  1 zijn dalend, functies met grondtal a  1 stijgend.
De functie met grondtal a  1 is de horizontale lijn y  1 .
De functiewaarde van a x > 0 voor alle waarden van x .
Alle exponentiële functies gaan door het punt (0,1) omdat a 0  1 .
De exponent x in a x kan zowel een rationaal als een irrationaal getal zijn.
Rationale getallen kun je schrijven als breuken, dus
2
2
en .
1
3
Irrationale getallen kun je niet als een breuk schrijven, bijvoorbeeld
1
2 of  .
Via de rationale getallen kunnen we een waarde toekennen aan exponenten met
irrationale waarden middels de afspraak a x  lim a r , waarbij r een rationaal getal is.
r x
Uiteindelijk wint elke exponentiële functie a met een grondtal a  1 het van iedere
machtsfunctie x a .
x
1
a
x
De grafiek van   
1
 a  x en is een spiegeling van a x in de y -as.
x
a
2
Enkele rekenregels: a x  y  a x a y , a x  y 
3
Als a  1 dan geldt dat
ax
, (a x ) y  a xy , (ab) x  a x b x .
y
a
x
lim a   en lim a x  0 .
Als 0  a  1 dan geldt dat
lim a  0 en lim a x   .
x
x 
x
x 
x 
De x -as is een horizontale asymptoot.
Toepassingen van de exponentiële functie n 0 a t komen we tegen bij de groei van een
populatie ( a  1 ) of bij de afname van radioactiviteit ( 0  a  1 ).
5
De afgeleide van een exponentiële functie a x , die differentieerbaar is voor x  0 , is
ah 1
 f ' (0)a x . In woorden betekent dit dat het wijzigingspercentage
h 0
h
proportioneel is met de functie zelf, oftewel: de r.c. is proportioneel met de x -waarde.
f ' ( x)  a x lim
8
Er is een getal tussen 2 en 3 waarvoor geldt dat f ' (0)  1 .
ah 1
 1.
h 0
h
Dit getal wordt aangeduid met de letter e . De definitie van e is: lim
Benadering van e  2,71828 .
Versie 2.0
blz. 10 van 19
Uittreksel Analyse B
9
Als we de afgeleide van functie e x bepalen is de uitkomst f ' (0)e x = e x .
Deze functie is dus gelijk aan zijn eigen afgeleide! Dit betekent dat de r.c. van de
raaklijn aan de grafiek e x gelijk is aan de y -waarde van het betreffende raakpunt.
10
Combineren we dit met de kettingregel, dan geldt dat
11
De grafiek van f ( x)  e x heeft de volgende eigenschappen, omdat grondtal e  1.
De grafiek is stijgend op het domein R en het bereik is (0, ) .
d u
du
(e )  e u
.
dx
dx
lim e x   en lim e x  0 . De x -as is een horizontale asymptoot.
x 
12
e
x
x
dx  e x  C .
7.3 Logaritmische functies
Omdat exponentiële functies met een grondtal a groter dan 0 EN ongelijk aan 1
ófwel stijgende functies ( a  1) ófwel dalende functies ( a  1) zijn, hebben zij een
inverse functie. De inverse functies van exponentiële functies worden logaritmische
functies genoemd met grondtal a . Zij zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn x  y .
Er bestaan 2 schrijfwijzen: y  a log x en y  log a x . In Nederland wordt meestal de
eerste schrijfwijze gebruikt; het boek gebruikt de tweede.
1
Er geldt dat
y  log a x  a y  x .
2
Verder geldt
log a (a x )  x voor elke x  R
en
a loga x  x voor elke x  0 .
4
De eigenschappen van een logaritmische functie zijn omgekeerd aan die van een
exponentiële functie.
Domein van een logaritmische functie = bereik van een exponentiële functie = (0, ) .
Bereik van een logaritmische functie = domein van een exponentiële functie = R .
Alle logaritmische functies gaan door het punt (1,0).
lim log a x   en lim log a x   .
Als a  1 dan geldt dat
x 
Als 0  a  1 dan geldt dat
x 0
lim log a x   en lim log a x   .
x 
x 0
De y -as is een verticale asymptoot.
3
Voor x en y groter dan 0 en r  R geldt dat:
1.
2.
log a ( xy)  log a x  log a y
x
log a    log a x  log a y
 y
log a ( x r )  r log a x
3.
Bewijs van de eerste vergelijking
Stel log a x  p en log a y  q . Dan geldt dat a p  x en a q  y  xy  a p  q 
log a ( xy)  p  q  log a x  log a y . Bewijzen van de andere twee: zie studiewijzer blz. 33.
Versie 2.0
blz. 11 van 19
Uittreksel Analyse B
Natuurlijke logaritmen
We werken bij voorkeur met het natuurlijke logaritme log e x  ln x , omdat zijn inverse
functie e x zo eenvoudig te differentiëren is en omdat de afgeleide van ln x eenvoudig
te bepalen is.
7
Logaritmen met een ander grondtal kunnen eenvoudig worden uitgedrukt in natuurlijke
logaritmen via de formule log a x 
ln x
.
ln a
Bewijs
Stel y  log a x  a y  x  y ln a  ln x  y 
1
ln x
.
ln a
7.4 De afgeleide van een logaritmische functie
1
De afgeleide van f ( x)  ln( x) is f ' ( x)  .
x
Bewijs
Stel y  ln( x ) . Dan geldt dat e y  x .
Als we deze vergelijking impliciet differentiëren naar x krijgen we
ey
dy
dy
1 1
1
 y  .
dx
dx e
x
d
1 du
d
g ' ( x)
(ln u ) 
oftewel:
.
[ln g ( x)] 
dx
u dx
dx
g ( x)
2
In het algemeen geldt dat
3
De afgeleide van f ( x)  ln | x | is f ' ( x) 
4
Dus geldt tevens dat
1
voor alle x  0 .
x
1
 x dx  ln | x | C .
Hiermee is het gat opgevuld in de formule voor het integreren van exponentiële functies
n
 x dx 
x n 1
C
n 1
sin x
(n  1) . Immers als n  1 geldt
1
1
 x dx  ln | x | C .
5
 tan xdx   cos x dx   ln | cos x | C  ln | cos x |  C
6
d
d ln x
1 d
1
(log a x) 

(ln x) 
( ln a is immers een constante).
dx
dx ln a ln a dx
x ln a
7
(voorbeeld 11).
d x
d ln a x d (ln a ) x
d
(a ) 
(e ) 
e
 e (ln a ) x
(ln a) x  e (ln a ) x ln a  a x ln a .
dx
dx
dx
dx
x
a
 C voor a  1 .
Hieruit volgt dat  a x dx 
ln a
Versie 2.0
blz. 12 van 19
Uittreksel Analyse B
De afgeleide van gecompliceerde functies met producten, delingen of machten kunnen
vaak vereenvoudigd worden door de methode van logaritmisch differentiëren. Zie
voorbeeld 16 op blz. 447. Volg de volgende stappen:
1.
Neem het natuurlijk logaritme van beide zijden van de vergelijking y  f (x) en
gebruik de eigenschappen van natuurlijke logaritmen om te vereenvoudigen.
2.
Differentieer de vergelijking ten opzichte van x .
3.
Stel de vergelijking op voor y ' en substitueer y door f (x ) .
Bij differentiëren van exponentiële functies is het belangrijk om de volgende 4 gevallen
te onderscheiden:
d b
(a )  0
dx
d
 f ( x)b  b f ( x)b1 f ' ( x)
dx
d g ( x)
a
 a g ( x ) (ln a ) g ' ( x)
dx
d
 f ( x)g ( x )
dx
1.
2.

3.
4.

a en b zijn beide constanten
exponent is een constante
grondtal is een constante
grondtal en exponent zijn beide functies 
gebruik logaritmisch differentiëren.
Tot slot: het getal e is te definiëren als de volgende 2 limieten:
8, 9
e  lim (1  x)
x 0
1
x
n
en
 1
e  lim 1   .
n 
 n
7.5 Inverse goniometrische functies
De inverse sinus functie schrijven we als sin y  x , y  sin 1 x of y  arcsin x .
  
,
.
 2 2 
Het domein [-1,1] en het bereik 
De afgeleide van y  sin 1 x vinden we met impliciet differentiëren van x  sin y .
Bewijs
dy
dy
dy
1
( x  sin y )  1  cos y
. Omdat sin 2 y  cos 2 y  1 en cos y  0


dx
dx
dx cos y


dy 1
1
voor   y 
geldt dat cos y  1  sin 2 y  1  x 2 . Dus
.
sin x 
2
2
dx
1 x2
De inverse cosinus functie schrijven we als cos y  x , y  cos 1 x of y  arccos x .
Het domein [-1,1] en het bereik 0,   .
dy
1
.
cos 1 x 
dx
1 x2
Het bewijs is vergelijkbaar met dat van de inverse sinus functie.
Versie 2.0
blz. 13 van 19
Uittreksel Analyse B
De inverse tangens functie schrijven we als tan y  x , y  tan 1 x of y  arctan x .
1
    dy
tan 1 
, .
.
1 x2
 2 2  dx
Het domein is R en het bereik 
Ook deze afgeleide vinden we met impliciet differentiëren van x  tan y .
Bewijs
1 dy
dy
dy
( x  tan y )  1 

 cos 2 y .
2
dx
dx
cos y dx
sin y
x  tan y 
 sin y  x cos y  sin 2 y  x 2 cos 2 y 
cos y
1
1  cos 2 y  x 2 cos 2 y  (1  x 2 ) cos 2 y  1  cos 2 y 
.
1 x2
Belangrijk om te onthouden is dat y  
Uit het bovenstaande volgt dat:
12
13, 14

1
dx  sin 1 x  C
1 x2
1
1
 x 2  1 dx  tan x  C
en
en


2
en y 
1

2
horizontale asymptoten zijn.
dx  cos 1 x  C
en
1 x2
1
1
1  x 
 x 2  a 2 dx  a tan  a   C
7.6 Hyperbolische functies
Sommige combinaties van de exponentiële functies e x en e  x komen zoveel voor dat
ze speciale namen hebben gekregen. Deze functies worden hyperbolische functies
genoemd en hebben overeenkomsten met goniometrische functies.
e x  ex
2
x
e  ex
cosinushyperbolicus cosh x 
2
sinh x
tangenshyperbolicus tanh x 
cosh x
sinushyperbolicus
sinh x 
Domein = Bereik = R
Domein = R, Bereik = [1, )
Domein = R, Bereik = (1,1)
De bijbehorende grafieken op blz. 486 moet je kennen.
De eigenschappen van deze functies moet je af kunnen leiden. Zie bijvoorbeeld
opgaven 7, 9, 11 en 15 bij deze paragraaf.
Versie 2.0
blz. 14 van 19
Uittreksel Analyse B
7.7 De regel van l'Hospital
Bij het berekenen van limieten hebben we tot nu toe gebruik gemaakt van:
 standaardlimieten
(zie § 2.3 blz. 83 e.v.)
 directe substitutie
(zie § 2.3 blz. 85)
 insluitstelling
(zie § 2.3 blz. 88).
Bij limieten waarbij zowel de teller als de noemer naar 0 of  gaan, hebben we te
maken met de onbepaalde vorm van het type
0

of
.
0

Soms kunnen we gemeenschappelijke factoren elimineren (zie § 2.3 blz. 85)
sin x
 1 (zie § 3.5 blz. 170).
x 0
x
Soms kunnen we standaardlimieten toepassen, zoals lim
Soms kunnen we delen door de hoogste macht van de noemer (zie § 4.4 blz. 253)
In alle andere gevallen kunnen we de regel van l'Hospital toepassen:
f ( x)
f ' ( x)
MITS voldaan wordt aan de volgende voorwaarden:
lim
 lim '
x a g ( x)
x a g ( x)
f en g zijn differentieerbaar en g ' ( x)  0 in de omgeving van a .
lim f ( x)   EN lim g ( x)   .
2. lim f ( x)  0 EN lim g ( x )  0
OF
1.
xa
xa
xa
xa
'
3. lim
x a
f ( x)
bestaat of is   .
g ' ( x)
De regel van l'Hospital gaat ook op voor enkelzijde limieten of limieten naar   .
Bewijs voor de situatie dat lim f ( x)  0 en lim g ( x )  0 :
xa
xa
f ( x)  f ( a )
f ( x ) f ( a ) x a
f ( x)  f (a)
f ( x)
xa
.
lim '
 '

 lim
 lim
x a g ( x)
g ( x)  g ( a ) x a g ( x )  g ( a ) x a g ( x )
g (a)
lim
x a
xa
'
'
lim
De regel van l'Hospital is ook toepasbaar bij andere onbepaalde vormen, zoals
lim f ( x) g ( x) waarbij lim f ( x)  0 en lim g ( x)   . In die gevallen herschrijven we
xa
x a
xa
het product op de volgende manieren:



f
g

1
1
g
f
2
f  g2
f g =
f g
g
g ( x ) ln f ( x )
f e
fg 
lim f ( x)  0 en lim g ( x)   of omgekeerd.
xa
xa
lim f ( x ) = lim g ( x)  
x a
xa
lim f ( x)  0 en lim g ( x)   of omgekeerd.
xa
xa
Tot slot de middelwaardestelling van Cauchy:
Als f en g continue functies zijn op [ a, b] en differentieerbaar op (a, b) en g ' ( x)  0
voor alle x in (a, b) , dan bestaat er een getal c in (a, b) waarvoor geldt dat
f ' (c) f (b)  f (a)

.
g ' (c) g (b)  g (a)
Versie 2.0
blz. 15 van 19
Uittreksel Analyse B
Samenvatting standaard integralen
Uit § 5.2
b

 cdx  c(b  a)
a

b
b
a
a
 cf ( x)dx  c f ( x)dx
b


b
a
a
a
b
b
b
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a

b
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
a
c
b
b
a
c
a
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b

Als f ( x)  0 voor a  x  b dan
 f ( x)dx  0
a
b

Als f ( x)  g ( x) voor a  x  b dan

b
f ( x)dx   g ( x)dx
a
a
b

Als m  f ( x)  M voor a  x  b dan m(b  a) 
 f ( x)dx  M (b  a) .
a
Uit § 5.4
cf ( x)dx  c f ( x)dx







 [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
 kdx  kx  C
x n 1
 x dx  n  1  C (n  1)
 sin xdx   cos x  C
n

 cos xdx  sin x  C

 cos

 sin


1
2
1
x
dx  tan x  C
1
 C   cot x  C
tan x
x
tan x
sin x
1
 cos x dx   cos 2 x dx  cos x  C  sec x  C
1
cos x
1
 sin x tan x dx   sin 2 x dx   sin x  C   csc x  C
2
Versie 2.0
dx  
blz. 16 van 19
Uittreksel Analyse B
Uit § 5.5
F ' ( g ( x)) g ' ( x)dx  F ( g ( x))  C .


Uit § 7.2
e x dx  e x  C


Uit § 7.4
1

 x dx  ln | x | C

 tan xdx  ln | cos x |  C

ax
 a dx  ln a  C
1
x
Uit § 7.5





1
1 x
1
2
dx  sin 1 x  C
dx  cos 1 x  C
1 x
1
1
 1  x 2 dx  tan x  C
Versie 2.0
2
blz. 17 van 19
Uittreksel Analyse B
Samenvatting standaard afgeleiden
Uit § 7.2

d u
du
(e )  e u
dx
dx
Uit § 7.4







d
1
ln( x) 
dx
x
d
1
ln | x |
dx
x
d
1 du
d
g ' ( x)
(ln u ) 
oftewel:
[ln g ( x)] 
dx
u dx
dx
g ( x)
d
1
(log a x) 
dx
x ln a
d x
(a )  a x ln a
dx
d g ( x)
a
 a g ( x ) (ln a ) g ' ( x)
dx
d
 f ( x)g ( x )
TIP: logaritmisch differentiëren
dx


Uit § 7.5



dy 1
1
sin x 
dx
1 x2
dy
1
cos 1 x 
dx
1 x2
dy
1
tan 1 x 
dx
1 x2
Versie 2.0
blz. 18 van 19
Uittreksel Analyse B
Gebruik van de TI-89 bij Analyse B
Kijk allereerst naar de aanwijzingen voor het gebruik van de TI-89 in de bijlage bij
Analyse A. Ik heb mij hier beperkt tot de specifieke functies voor Analyse B.
Een onbepaalde integraal kun je bepalen met de toets 2nd

.
Voer de te integreren functie in, een komma en de naam van de variabele ten opzichte
waarvan geïntegreerd moet worden.
Voorbeeld: x 2 dx voer je in als ( x 2 , x) .


Bij een bepaalde integraal doe je hetzelfde, alleen geef je tevens de ondergrens en de
bovengrens aan, gescheiden door komma's.
4
Voorbeeld:
x
2
dx voer je in als  ( x 2 , x,2,4) .
2
Een inverse functie kun je plotten de functie DrawInv() in te typen met als argument
de functie waarvan je de inverse wilt afbeelden. Het geeft een goede indruk van hoe de
inverse functie er uit ziet. Vervelend is wel dat je bij deze functie geen gebruik kunt
maken van de functionaliteit die je bij gewone grafieken hebt, zoals aanpassen van de
schermgrootte, tracen en rekenen aan de grafiek.
Het getal e kun je gebruiken in een berekening door e ^ (1) in te voeren met behulp van
de toets e x .
Het natuurlijke logaritme kun je berekenen via LN.
Het logaritme met grondtal 10 kun je invoeren door intypen van log() of door
selecteren van deze functie via het menu Catalog.
Voor het berekenen van logaritmen met andere grondtallen gebruiken we de
omrekenformule: log a x 
Versie 2.0
ln x
(zie § 7.3 stelling 7).
ln a
blz. 19 van 19