cos sin 1 x x + sin lim 1 x x =

CALCULUS SCHAKEL
Ongelijkheden, absolute waarde, oplossen van ongelijkheden.
Vergelijkingen van rechte lijnen.
Definitie functie, polynoomfuncties, rationale functies.
Grafiek van een functie.
Nulpunten kwadratische vergelijking (ontbinden in factoren; abc-formule)
Nulpunten derdegraadsvergelijking indien een factor uitgedeeld kan worden.
Snijpunten van een lijn en een parabool.
De inverse functie van een functie.
De functies sinus, cosinus en tangens. Periodiciteit.
Verband tussen sin x en cos x, cos 2 x  sin 2 x  1 (Pythagoras)
Somformules, herschrijven van sommen van sinussen en cosinussen.
De inverse van de sin, cos en tan.
Vereenvoudigen van uitdrukkingen met arcsin, arccos en arctan.
Rekenregels voor exponenten, de exponentiële functie, het getal e
Grafieken van e-machten, de logaritmische functies, natuurlijke logaritme ln x.
Vergelijkingen met logaritmen, grafiek van logaritmische functies
Rekenregels voor logaritmen.
De hyperbolische functies sinh, cosh en tanh.
Vergelijkingen met hyperbolische functies oplossen.
sin x
1
x 0
x
Het begrip limiet, eenzijdige limiet, lim
Het berekenen van limieten, rekenregels, insluitstelling.
Continuïteit in een punt en op een interval, discontinuïteiten, continuïteit van
sommen, producten en quotiënten van continue functies,
de tussenwaardestelling.
Oneindige limieten en limieten in oneindig, limieten van rationale functies,
verticale (VA) en horizontale (HA) asymptoten.
Differentiequotiënt, raaklijn, richtingscoëfficiënt. Snijlijn vs raaklijn.
De afgeleide van een functie in een punt, differentiëren van functies,
differentieerbaarheid impliceert continuïteit.
Berekenen afgeleiden, rekenregels voor som, verschil en constante factor.
2DB03
Productregel, quotiëntregel en kettingregel.
Een tweetal standaardlimieten voor sin en cos.
De afgeleide van sin, cos en tan.
De afgeleiden van sommen, producten, quotiënten en samengestelde functies
waarin goniometrische functies voorkomen.
Afgeleiden van exponentiële- en logaritmische functies.
Afgeleide van inverse functies, bijv arcsin, arccos en arctan
Functieonderzoek en het schetsen van grafieken van functies.
Domein en Bereik.
Globaal/lokaal maximum, globaal/lokaal minimum, (lokale) extreme waarde,
extremewaardestelling, definitie kritiek punt, extreme waarden worden
aangenomen in kritieke punten.
Stijgende en dalende functies, tekenschema’s en extreme waarden.
Buigpunten en tweede afgeleide test voor extreme waarden.
Primitieve functie. Oppervlakteberekening dmv integreren.
Bepaalde en onbepaalde integraal. Riemann som.
Gemiddelde waarde van een functie.
Hoofdstelling van de integraalrekening.
Substitutiemethode.
Standaard integralen.
Kwadraat afsplitsen.
Partieel integreren.
Omgekeerde (o.a. goniometrische) substituties.
Integralen van rationale functies: drie varianten (criterium is aantal nulpunten
van de noemer: breuksplitsen, basisfunctie en arctan).
Zwaartepunt.
Lineaire functie (lijn)
y  ax  b
a=rc=∆y/∆x
Kwadratisch (parabool)
y  ax 2  bx  c (a  0)
 a( x  xtop )  ytop
xtop  b
2a
Opstellen: mbv 2pten
invullen
a en b bepalen mbv
eliminatie/substitutie
1
c
xb
(a 0)
dalparabool als a>0; top=minimum
bergparabool als a<0;
top=maximum
x-as: y=0 mbv abc formule
(D>0: 2 opl; D=0: 1 opl; D<0 geen
opl)
y-as: x=0 en y=b
symmetrie-as: x=xtop
domein alle x
bereik vanaf ytop; resp. t/m ytop
Opstellen mbv top of nulpunten of
punten op de grafiek (kies beste
methode)
Goniometrisch
y  sin x
 cos x
 tan x (evt. trafo's)
Wortel (halve parabool)
HBO1
y  ax  b of y  a x  b
(a 0)
Zowel wortel zelf als argument zijn ≥0.
y  af ( x)  b met f ( x)  sin x, cos x of tan x
en ytop via invullen
b  D
x
2a
2
met D  b  4ac
domein alle x
bereik alle y
y  a
2
 a( x  nulpt1 )( x  nulpt2 )
stijgend als a>0 en
dalend als a<0
x-as: (-b/a,0)
y-as: (0,b)
Gebroken lineair
(hyperbool)
stijgend als a<0 en
dalend als a>0
VA: x=-b (nulpt
noemer)
HA: y=c (vrije
constante)
Puntsymmetrie tov
(-b,c) het snijpt van
de asymptoten
x-as (y=0): x= via
invullen
y-as (x=0): y=a/b +c
domein alle x, muv -b
bereik alle y muv c
Opstellen mbv
punten op de grafiek,
asymptoten, punt van
symmetrie (kies
beste methode)
Grafiek: lijn door 2
pten.
Grafiek: mbv waardentabel
Grafiek: mbv
waardentabel
Vergelijking
oplossen/snijpt
- gelijkstellen en
- oplossen
Vergelijking oplossen/snijpt
- gelijkstellen en - oplossen
Vergelijking
oplossen/snijpt
- gelijkstellen
- oplossen
Controle: noemers ≠0
a= amplitude = (max-min)/2 bij sin en cos Let op ± !
b=evenwichtsstand = (max+min)/2 bij sin en cos
sinx , cosx zijn golfpatronen
tussen -1 en 1.
tanx loopt van –oneindig naar +oneindig
sinx maximaal 1 in π/2 en minimaal -1 in -π/2 (toppen)
cosx maximaal 1 in 0, 2π en minimaal -1 in π (toppen)
periode (herhaling): 2π
tanx onbegrensd
asymptoten (VA) x= π/2 en x= -π/2
periode (herhaling): π
sin en cos
domein: alle x tenzij kleiner gebied aangegeven
bereik: -1≤y≤1
tan: domein alle x muv x= π/2 + πk; bereik alle y
overstaande zijde
schuine zijde
aanliggende zijde
cos( ) 
schuine zijde
overstaande zijde sin( )
tan( ) 

aanliggende zijde cos( )
sin( ) 
Eenheidscirkel
Rechthoekige driehoek
Pythagoras: a 2  b 2  c 2 en sin 2 ( )  cos 2 ( )  12  1
met a en b rechthoekszijden en c de schuine zijde
Grafiek: mbv waardentabel
Bereken eerst amplitude en evenwichtstoestand.
Vergelijking oplossen/snijpt bepalen (plaatjes!)
sin x  c  sin( ) dan x    2 k of x      2 k
cos x  c  cos( ) dan x    2 k of x    2 k
tan x  c  tan( ) dan x     k met k geheel
Controle: op gegeven domein
Halve liggende parabool
y  ax  b dus y  0 en ax  b  0
y  a x  b dus x  b  0
top=meest linkse of rechtse pt (onder wortel staat
0), eindpt van de grafiek
xtop  b / a , resp.  b en ytop  0
y  ax  b stijgend vanuit de top naar links of rechts
y  a x  b stijgend naar rechts indien a>0
en dalend indien a<0
domein en bereik volgen uit bestaanscriteria
Opstellen mbv top of punten op de grafiek
(kies beste methode)
y  x 2 en y   x kunnen via spiegeling
in de lijn y=x gemaakt worden.
Vb. y 
x
,
y x
,
y   x en
y    x met plaatjes.
Grafiek: mbv waardentabel
Vergelijking oplossen/snijpt
- gelijkstellen, evt kwadrateren
- oplossen
Controle: invullen in startvergelijking op
geldigheid.
Transformaties:
basisfunctie
y  f ( x)
Vermenigvuldigen
met factor 1/q tov de
y-as:
y=f(x)  y=f(qx)
(voor 0<q<1
uitgerekt, voor q>1 in
elkaar gedrukt)
Handige tip: vervang
eerst x door (x) en
dan binnen de
haakjes x door qx.
Indien q=-1 wordt de
grafiek gespiegeld in
de y-as.
Verschuiven in
horizontale richting
over h:
y=f(x)  y=f(x-h)
(naar rechts als h>0
en naar links als h<0)
Handige tip: vervang
eerst x door (x) en
dan binnen de
haakjes x door x-h.
Vermenigvuldigen
met factor p tov de xas: y=f(x)  y=pf(x)
(rechterlid wordt in
zijn geheel met p
vermenigvuldigd)
Indien p=-1 wordt de
grafiek gespiegeld in
de x-as.
Exponentieel
y  b gx
Grafiek stijgend als
g>1 en dalend als
0<g<1: g = groeifactor=grondtal,
x= exponent.
Domein: alle x.
Bereik y>0 (als
b>0) en y<0 (als
b<0) (dus geen
snijpunten x-as).
Startwaarde x=0:
y=b: x-as (y=0) is
HA (horizontale
asymptoot).
g x  a  x  g log a
g-logaritme van a
is de macht
waartoe ik het
grondtal moet
verheffen opdat
ik a krijg
Functievoorschrift:
Opstellen mbv
punten op de
grafiek en/of
asymptoot.
Logaritmisch
HBO1
Rekenmethoden
Haakjes: verdrijven of maken:
Gonio
y  a  g log( x  b)
Grafiek stijgend als g>1 en
dalend als 0<g<1 voor a>0.
Domein: x>0 (dus geen
snijpten y-as).
Bereik alle y
De lijn x=0 is VA (verticale
asymptoot).
Wegwerken/verdrijven:
Boogjes / tabel
(a  b)(a  b)  a  b
2
log a  g log b  g log(a  b)
a
g
log a  g log b  g log( )
b
p  g log a  g log(a p )
log a 
10
60
π/3
(a  b)  (a  b)(a  b)  a  2ab  b
90
π/2
180
270
360
π
3π/2
2π
2
2
Ontbinden in factoren:
som-productmethode
x 2  pq  q  ( x  s )( x  t )met s  t  p en st  q
g
log(1/ g )  1
g
log g  1/ 2
g
log g  1
g
g
log g 2  2
g p  gq  p  q
g
log p  g log q  p  q
dan p=q oplossen
dan p=q oplossen
Evt. controle
Controle op het bestaan van
de logaritmen
1
4 1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
2
tan
0
1
3
3
1
1
2
2
1
2
3
1
2
1
4 1
1
2
0 0
1
2
sin( )   sin( )
1
0
1
sin(   )  sin( )
cos( )  cos( )
cos(   )   cos( )
3
-
0
0
tan(  )   tan( ) mbv eenheidscirkel
Breuken:
Machten: a m  a n  a m  n
a / b ad

(delen van breuken)
c / d bc
a c
  ad  bc (kruislings product)
b d
(ab) n  a n b n
1
an  n
a
a0  1
log g k  k
Vgl oplossen/
snijpten →
1
2
0
1
0
Vereenvoudigen van breuken (elimineren
gemeenschappelijke delen formule)
Optellen/aftrekken van breuken: gelijknamig
(gelijknoemerig) maken
Vermenigvuldigen van breuken (teller * teller;
noemer * noemer, vereenvoudigen)
Oplossen van gebroken vergelijkingen (gelijknamig
maken; kruislings product en dan oplossen)
(a) n  (1) n a n (a1/ 2  a )
q
Wortels:
( a )n  a n
ab  a  b
p
a / b  a/b
p
p
p
p
p
p
a
p
a p  a q  (a1/ q ) p  (a p )1/ q
a  a  a 2  a als a≥0; a als a≤0;
p
a
( a m ) n  a mn
( a / b) n  a n / b n
1
am / an  amn  nm
a
q
Vgl oplossen/
snijpten →
0 0
1
2
a1/ q  a
Verschuiven in
verticale richting over
v: y=f(x)  y=f(x)+v
(omhoog als v>0 en
omlaag als v<0)
cos
1
2
sin( / 2   )  cos( )
cos( / 2   )  sin( ) mbv eenheidscirkel
log a
b
log a  g
log b
log1  0
π/6
π/4
log a
g
30
sin
45
g
Functievoorschrift:
Opstellen mbv punten op de
grafiek en/of asymptoot.
rad
0
(a  b) 2  (a  b)(a  b)  a 2  2ab  b 2
2
g
2
(º)
0
p
 a en
1
a

1
a

a q  a s a r als q  ps  r
p
a
a

1
a
a
Werkmodel
1. Informatie
(structureren)
2. Modelbouw
(doelfunctie)
3. Oplossen
(berekenen)
4. Toepassen
(haalbaarheid)
Snijlijn gaat door twee
punten (van de grafiek)
Raaklijn raakt de
grafiek in een punt.
Lijnen te bepalen met
twee punten op die lijn
danwel de rc en een
punt.
Differentiëren
Gemiddelde verandering van f ( x ) :
f ( x) f (eind )  f (begin) f ( x  x)  f ( x)


eind  begin
x
x
differentiequotiënt
Het differentiequotiënt is de rc van de snijlijn door
(x,f(x)) en (x+∆x,f(x+∆x)) aan de grafiek.
Momentane/marginale verandering van f ( x) :
f ( x )
y
f ( x  x )  f ( x )
f '( x )  lim
 lim
 lim
x  0  x
x  0 x
x  0
x
differentiaalquotiënt
y  ax  b
rc  a  y x
Daarna b uitrekenen
door het punt in te
vullen.
Vb. Mechanica:
v=s’(t) en a=v’(t) met
s=plaats(weg),
v=snelheid en
a= versnelling
Som SR
Verschil VR
s ( x)  f ( x)  g ( x)
s '( x)  f '( x)  g '( x)
v( x)  f ( x)  g ( x)
v '( x)  f '( x)  g '( x)
Product PR
p( x)  f ( x)  g ( x)
p '( x)  f '( x)  g ( x)  f ( x)  g '( x)
Quotiënt QR
q( x) 
q '( x) 
f '( x)  g ( x)  f ( x)  g '( x)
( g ( x)) 2
f ( x)  v(u ( x))
f '( x)  v '(u ( x))  u '( x)
(KR: functie in stapjes opdelen; daarna afgeleiden van de stapjes vermenigvuldigen)
f ( x)  x 2  4
x  x 4
||
Standaardfunctie
f ( x)  c
f ( x)  x
f ( x)  g log x
x  0
Differentieerbaarheid → continuïteit,
andersom niet altijd.

2 u
x2  4
Afgeleide
f '( x)   x 1
f '( x)   sin x
Raaklijn van rechts bestaat:
Differentieerbaar:
raaklijn van links = raaklijn van rechts dus lim
2 u
x
1
f ( x)  cos x
f ( x)  ln | x |
f ( x  x)  f ( x)
x

 u 1/ 2 
f '( x)  cos x
Raaklijn van links bestaat:
f ( x  x)  f ( x)
x
2 u
2
f ( x)  sin x
f ( x)  tan x
x  0
1
2x
1
Bij toepassing van deze regels
kan het nuttig zijn eerst het
functievoorschrift uit te werken
en/of te vereenvoudigen.
f '( x)  0

Differentieerbaarheid: (let op domein)
lim
2x
u  u  u1/ 2
f '( x)  2 x 
Synoniemen:
afgeleide f ’(x) =df(x)/dx
rc van de raaklijn
tangens van de hellingshoek
helling,
afgeleide
2
Vb. KR
x  0
f ( x)
g ( x)
Ketting KR
Het differentiaalquotiënt is de rc van de raaklijn in
(x,f(x)) aan de grafiek van f(x).
lim
HBO2
afgeleide
g '( x)  c  f '( x)
Gebruik desgewenst haakjes om de stappen te bepalen.
Voor de rc geldt:
rc=∆y/∆x= verandering
van y gedeeld door de
verandering van x.
Lijn:
Regels en standaardformules
Regel
functie
Constante factor
g ( x)  c  f ( x)
CR
f ( x)  e x
1
 1  tan 2 x
cos 2 x
1
f '( x) 
x
1 g
1 1
f '( x)   log e  
x
x ln g
f '( x) 
f '( x)  e x
f ( x)  a x
f '( x)  a x  ln a
Bij toepassing van deze regels kan het nuttig zijn eerst het functievoorschrift uit te werken en/of te
vereenvoudigen. Hulpmiddel: goniowieltje, formulekaart.
Tekenen van grafieken van functies
HBO2
1. Bepaal Domein D(efinitiegebied) (en B(erei)k B) van
de functie.
2. Maak een waardentabel voor enkele eenvoudig te
tekenen punten op de grafiek,
vb. x= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 of bij gonio
2 ,  32  ,   ,  12  , 0,  12  ,  , 32  , 2
Functieonderzoek

Functie f(x) daalt als rc raaklijn <0 dus als f’(x)<0 dus f(x) 
Functie f(x) stijgt als rc raaklijn >0 dus als f’(x)>0 dus f(x)
Als f’(x)=0 dan rc raaklijn=0 (horizontaal) mogelijke situaties:
f ’(x)
f(x)
x
f ’(x)
++++++ 0 ++++++

buigpunt

- - - - - - 0 ++++++
f ’(x)
f(x)
x
f ’(x)
 
++++++ 0 - - - - - - - -

3.
4.

maximum
------ 0--------


f(x)
f(x)
x
minimum
x
buigpunt
Extreme/uiterste waarden zijn maxima en minima (lokaal/globaal).
Extreme waarden treden dus op als f ‘(x)=0 en een tekenwisseling van f ‘(x)
Extreme/uiterste waarden zijn maxima en minima. (bijv. top bij parabool)
Extreme waarden treden dus op
- als f ‘(x)=0 en een tekenwisseling van f ‘(x) (+0- of -0+)
- als f ‘(x)=0 en f “(x)>0 (dan heeft f(x) een minimum)
grafiek f(x) is convex (bol)
of
als f ‘(x)=0 en f “(x)<0 (dan heeft f(x) een maximum)
grafiek f(x) is concaaf (hol)
Beide methoden mogen gebruikt worden (kies de handigste!).
Randextremen zijn eindwaarden van het domein waar mogelijk een uiterste waarde optreedt.
Vanaf links (in domein): f’(x) ++++ dan is er een randminimum; evenzo tot rechts (in domein) f’(x) ++++ randmaximum.
Vanaf links (in domein) f’(x) ------ dan is er een randmaximum; evenzo tot rechts (in domein) f’(x) ------ randminimum.
Buigpunten: f(x) heeft in x=a een buigpunt als f "(a )  0 en f "( x ) heeft een tekenwisseling rond x=a :dus =+0- of -0+
(dus f ’(x) maximaal of f ’(x) minimaal)
f “(x)
++++++ 0 - - - - - - - f “(x)
---------- 0 +++++++




f ’(x)
max
f ’(x)
min
f(x) concaaf (hol) convex(bol)
f(x) convex (bol) concaaf (hol)
x
buigpunt
x
buigpunt
De raaklijn in het buigpunt aan de grafiek van f(x) heet de buigraaklijn.
Deze ‘raak’lijn gaat dus eigenlijk dwars door de grafiek heen.
Cirkel met straal r: omtrek 2 r en oppervlakte  r 2
Cilinder straal r en hoogte h: Inhoud=grondvlak*h=  r 2 h ; opp(zijkant)= 2 r  h
Bepaal snijpunten met de x-as (oplossen f(x)=0).
Bepaal eventuele horizontale en verticale
asymptoten: HA en VA.
5. Bepaal f ‘(x), geef een tekenschema en bepaal de
extremen van f(x).
6. Bepaal f ”(x) en bereken eventuele buigpunten.
7. Schets de grafiek.
Afgeleiden van basisfuncties uit P1WIS
Functie
Afgeleide
f ( x)  ax  b
f '( x)  a
f ( x)  ax 2  bx  c
f ( x) 
a
c
xb
f ( x)  a sin(bx  c)  d
f ( x)  a cos(b( x  c))  d
f ( x)  ax  b
f ( x)  b  g
x
f ( x)  a  g log(bx  c )
f '( x)  2ax  b
f '( x) 
a
( x  b) 2
f '( x)  ab cos(bx  c)
f '( x)  ab sin(b( x  c))
f '( x) 
a
2 ax  b
f '( x)  b  ln g  g x
ab
ln g  (bx  c)
Let hierbij op het gebruik van haakjes!
Voorbeeldmodel:
f '( x) 
b
K (r )  a  r 2   c heeft extreme waarden voor
r
b
K '(r )  2ar  2  0 zodat
r
b
b
2ar  2  r 3 
 ropt  3 b / 2a
2a
r
Tekenschema geeft minimum aan ( -0+) voor r=ropt.
Rechthoek met lengte l en breedte b:
omtrek=2(b+l) oppervlakte=b*l
Driehoek: oppervlakte=basis*hoogte/2
Gelijkzijdige driehoek, gelijkbenige driehoek.
Werkmodel
Differentiëren
1. Informatie
(structureren)
2. Modelbouw
(doelfunctie)
3. Oplossen
(berekenen)
4. Toepassen
(haalbaarheid)
Gemiddelde verandering van f ( x ) :
f ( x) f (eind )  f (begin) f ( x  x)  f ( x)


eind  begin
x
x
Regels en standaardformules voor het differentieren
Regel
functie
Constante factor CR
g ( x)  c  f ( x)
differentiequotiënt
Het differentiequotiënt is de rc van de snijlijn door
(x,f(x)) en (x+∆x,f(x+∆x)) aan de grafiek.
Integralen:
Momentane/marginale verandering van f ( x) :
- bepaald (grenzen) vs.
f ( x )
y
f ( x  x )  f ( x )
onbepaald (functie)
f '( x)  lim
 lim
 lim
x  0 x
x  0 x
x  0
x
- oneigenlijk: grenzen
en/of functie zijn
differentiaalquotiënt=afgeleide f ’(x) =df(x)/dx
onbegrensd (±∞)
Het differentiaalquotiënt is de rc van de raaklijn in
Integralen kunnen
(x,f(x)) aan de grafiek van f(x). Ook: tangens van
positief, nul of negatief
de hellingshoek, helling van de raaklijn.
zijn, oppervlakten zijn
altijd niet-negatief.
Zwaartepunt Z=(xZ,yZ)
Oppervlakte tussen f(x)=boven en g(x)=onder:
HBO3
afgeleide
g '( x)  c  f '( x)
Som +R
Verschil -R
s ( x)  f ( x)  g ( x)
v( x)  f ( x)  g ( x)
s '( x)  f '( x)  g '( x)
v '( x)  f '( x)  g '( x)
Product PR
p( x)  f ( x)  g ( x)
p '( x)  f '( x )  g ( x)  f ( x)  g '( x)
Quotiënt QR
q( x) 
f ( x)
g ( x)
q '( x) 
f '( x)  g ( x)  f ( x)  g '( x)
( g ( x)) 2
f ( x)  v(u ( x))
f '( x)  v '(u ( x))  u '( x)
(KR: functie in stapjes opdelen; daarna afgeleiden van de stapjes vermenigvuldigen)
Ketting KR
Gebruik desgewenst haakjes om de stappen te bepalen.
Standaardfunctie f(x)
f ( x)  c
b
Afgeleide f’(x)
f '( x)  0
A   f ( x)  g ( x) dx (evt g(x)=0 dan onder grafiek f(x))
f ( x)  x
Statische momenten (afleiden mbv Δx-methode) en coördinaten
Moment M=?·arm met ?=massa, kracht, oppervlakte etc.
f ( x)  sin x
f '( x)  cos x
f ( x)  cos x
f '( x)   sin x
a
b
tov y-as:
S y   x( f ( x)  g ( x)) dx → xz 
a
Sy
A
bijv


f ( x)  tan x
b
1
x( f ( x)  g ( x))dx
A a
f ( x)  ln | x |
Sx 1 d
y

  y ( xrechts  xlinks )dy
S x   y ( xrechts  xlinks )dy → z
A
Ac
c
d
tov x-as:
f ( x)  g log x
b
1
( f ( x) 2  g ( x) 2 )dx
Eenvoudiger: y z 

2A a
met a, b op de x-as en c, d grenzen op de y-as.
Eventueel g(x)=0 dan onder grafiek f(x)).
Symmetrie
Zwaartepunt ligt op alle symmetrie-assen. (Tov symmetrie-as is statisch moment 0)
Snijpunt van symmetrie-assen is het zwaartepunt.
Toepassing mechnica: zwaartepunt is het aangrijpingspunt van een kracht,
Bijv. gravitatie F=mg.
f ( x)  e x
f '( x)   x 1
1
 1  tan 2 x
cos 2 x
1
f '( x) 
x
1
1 1
f '( x)   g log e  
x
x ln g
f '( x) 
f '( x)  e x
f ( x)  a x
f '( x)  a x  ln a
Bij toepassing van deze regels kan het nuttig zijn eerst het functievoorschrift uit te werken en/of te
vereenvoudigen. Hulpmiddel: goniowieltje, formulekaart.
Differentiëren en integreren zijn omgekeerde/tegengestelde bewerkingen:
Deze tabel : → lezen is differentiëren en ← lezen is integreren.
Tabel andere kant A4tje: → lezen is integreren en ← lezen is differentiëren
Cirkel met straal r: omtrek 2 r en opp  r 2 Bol: opp 4 r 2 en volume 4 r 3 / 3
Cilinder straal r en hoogte h: volume=grondvlak*h=  r 2 h ; opp(zijkant)= 2 r  h
Kegel met grondvlak G (evt. cirkel) en (loodrechte)hoogte h: volume =Gh /3.
Rechthoek met lengte l en breedte b:
omtrek=2(b+l) oppervlakte=b*l
Driehoek: oppervlakte=basis*hoogte/2
Gelijkzijdige driehoek, gelijkbenige driehoek.
Zwaartelijnen: verhouding 1:2
Werkmodel
1. Informatie
(structureren)
2. Modelbouw
(doelfunctie)
3. Oplossen
(berekenen)
4. Toepassen
(haalbaarheid)
Primitieve F(x):
F ( x)   f ( x)dx met
integrand f ( x ) .
F’(x)=f(x) dus ook
f ( x)   f '( x)dx
Indien nodig constante
c toevoegen
(dus F(x) is niet uniek)
Vb. Mechanica:
v=s’(t) en a=v’(t) met
s = plaats(weg),
v = snelheid en
a = versnelling.

Dus s (t )  v(t )dt

en v(t )  a (t )dt .
Maak plaatjes!
Vb.
Eenparige
beweging:
v(t)=constant=v
dus a(t)=0
s (t )  s (0)  vt
Eenparig
versnelde
beweging:
a(t)=constant =a
v(t )  v(0)  at
Regels en standaardformules voor het integreren
functie
Oppervlakte onder grafiek van f ( x ) tussen x  a en b : Regel
b
Constante factor CR
g ( x )  c  f ( x)
A   f ( x) dx  F (b)  F (a )  Af
Som +R
s ( x)  f ( x)  g ( x)
a
Verschil
-R
v( x)  f ( x)  g ( x)
Oppervlakte tussen grafieken van f ( x) en g ( x)
Integreren
van x  a tot b:
Substitutie SR
b
A   boven( x)  onder ( x) dx  Aboven  Aonder
a
Punten a en b eventueel te bepalen als twee
opeenvolgende snijpunten. Daartussen in een punt
boven en onder bepalen.
Riemann-benadering: Δx=(b-a)/n
ΔA=lengte(x)·Δx opp. strookje bij x met breedte Δx
A=Σ ΔA= Σ lengte(x)·Δx
Integraalstap (limiet ) Δx→dx en Σ→∫
b
A   lengte( x) dx (oppervlakte)
Evenzo:
ΔV=opp(x)·Δx volume strookje bij x met dikte Δx
V=Σ ΔV= Σ opp(x)·Δx
Integraalstap (limiet ) Δx→dx en Σ→∫
SR: Kies voor u wat tussen binnenste haakjes staat, of wat complex lijkt:
u= ; du/dx=u’(x) ; du=u’(x)dx en herkennen/vervangen.
Controle mbv de kettingregel + differentiëren
a
Eigenschappen:
 f ( x)dx  F (a)  F (a)  0 (lege integraal);
a
b

a
a
f ( x)dx  (  f ( x) dx) (grenzen verwisselen) en
b
c

a
f ( x) 
1
cos 2 x
F  P ( h)  A( h, h  h)  P ( h)  (h)h 
 F   P ( h)  (h)dh    gh  (h)dh
Omwentelingslichaam: (rond de x-as van functie f(x))
V   r 2 x   f ( x) 2 x  V    r 2 dx
(rond de x-as tussen f(x)=buiten en g(x)=binnen)
Vtussen  Vbuiten  Vbinnen    ( f ( x)  g ( x) ) dx
2
2
1
 f ( x)dx
n 1
 f ( x)dx  ln | x | c
f ( x)  a x
 f ( x)dx  ln a  a
Volume door een buis: V=v·A (mbv debieten)
V  v(t ) A(t )t  V   v(t ) A(t )dt
Primitieve / integraal
1
x
f ( x)  e x
f ( x) 
Hydrostatische kracht: P(h)=F/A=ρgh met diepte h
b
 f ( x)dx  n  1  x  c
 f ( x)dx   cos x  c
 f ( x)dx  sin x  c
 f ( x)dx  tan x  c
f ( x)  cos x
 W    a  ( seind  s ) ds
a
f ( x)  x n (mits n  1)
a
W  m  a  s  ( s )  a  ( seind  s ) 
c
 f ( x)dx  ax  c
f ( x)  sin x
Bovensom, ondersom, trapeziumregel
Toepassingen. Teken plaatjes!
Arbeid W=F·s mbv F=ma bijv.
b
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx (gebiedsplitsing)
f ( x)  a
b
V   opp( x) dx (volume)
 s( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
 v( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
 f (u( x))u '( x) dx   f (u) du  F (u)  c  F (u( x))  c
Standaardfunctie f(x)
a
HBO3
primitieve (integraal)
 g ( x)dx  c   f ( x)dx
 f ( x)dx  e
x
c
1
x
c
Bij toepassing van deze regels kan het nuttig zijn eerst het functievoorschrift uit te werken en/of te
vereenvoudigen. Hulpmiddel: goniowieltje, formulekaart.
Handig:
Vb.


xdx  23 x x  c ,  x xdx  52 x 2 x  c ;
x
n
ln xdx 
1
n 1
ln x
1
1
1
dx  u 2  c  (ln x) 2  c  ln 2 x  c mbv u  ln x
x
2
2
2
x n 1 ln x  ( n 11)2 x n 1  c
(SR)