Hoofdstuk 1: Basis verzamelingentheorie en logica

MATHEMATICS A: EUCLID
HOOFDSTUK 1: BASIS VERZAMELINGENTHEORIE EN LOGICA
1.1 DEFINITIES EN NOTATIES VAN VERZAMELINGEN
1.1.1 BASISBEGRIPPEN VERZAMELINGEN
Een VERZAMELING is een duidelijk omschreven, ongeordende collectie van verscheidene elementen.
‘Duidelijk omschreven’ wil zeggen dat het voor elk element mogelijk is om vast te stellen of het wel dan wel
niet tot de verzameling behoort. ‘Ongeordend’ wil zeggen dat we de elementen in elke volgorde kunnen
plaatsen die we maar willen. Elementen kunnen allerlei objecten zijn. Vaak zijn het getallen, maar het kunnen
bijvoorbeeld ook zelf verzamelingen zijn.
NOTATIE
Een verzameling kan worden genoteerd als alle elementen gescheiden door komma’s binnen
accolades.
𝐴 = {1, 3, 4}
Grote verzamelingen kunnen, wanneer er enige logica in de opvolging van de elementen zit, ook deels
worden opgeschreven. Met puntjes geef je dan aan dat de verzameling op dezelfde manier voortgaat.
𝐵 = {2, 4, 6, 8, … }
Grote verzamelingen kunnen ook expliciet worden beschreven.
𝐵 = {𝑥 |𝑥 is een positief, even getal}
De verticale balk betekent ‘zodanig dat’.
Wanneer 𝑥 een element is van 𝐴, schrijven we
𝑥∈𝐴
Zo niet, schrijven we
𝑥∉𝐴
Een LEGE VERZAMELING ∅ heeft een soortgelijke functie als het getal 0 in de rekenkunde.
∅={}
Wanneer 𝐴 een verzameling is met exact 𝑛 elementen, dan noemen we 𝐴 een EINDIGE VERZAMELING en is
𝑛 de KARDINALITEIT van 𝐴.
|𝐴| = 𝑛
Wanneer de verzameling oneindig veel elementen heeft, spreken we van een ONEINDIGE VERZAMELING.
Speciale verzamelingen:
 Getallen
o ℕ = {𝑥 | 𝑥 is een NATUURLIJK GETAL} = {1, 2, 3, … }
o ℤ = {𝑥 | 𝑥 is een GEHEEL GETAL} = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, … }
𝑎
o ℚ = {𝑥 | 𝑥 is een RATIONAAL GETAL} = {𝑥 |𝑥 = waarbij 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ en 𝑏 ≠ 0}
𝑏
o ℝ = {𝑥 | 𝑥 is een REËEL GETAL}
Een reëel getal kan geschreven worden als een geheel getal gevolgd door een komma en een
(evt. eindeloze) reeks decimalen.
Reële getallen die niet rationeel zijn, zijn IRRATIONELE GETALLEN. Deze getallen kunnen niet
worden geschreven als een breuk.
 Intervallen: Een INTERVAL is een verzameling van reële getallen met de eigenschap dat wanneer
twee getallen tot de verzameling behoren, alle getallen hiertussen ook tot de verzameling behoren.
o Gesloten interval: Een GESLOTEN INTERVAL heeft twee eindpunten die de grenzen
aangeven. Een eindpunt kan wel of niet tot het interval behoren. Wanneer een eindpunt tot
o
het interval behoort, wordt dat aangegeven met een vierkante haak. Wanneer dit niet het
geval is, gebruiken we een ronde haak.
(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
[𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
(𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
Open interval: Een OPEN INTERVAL heeft nul of één eindpunt.
[𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 𝑎}
(𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 > 𝑥}
(−∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 𝑏}
(−∞, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 𝑏}
(−∞, ∞) = ℝ
1.1.2 EXTREME WAARDEN
Wanneer 𝑉 een niet-lege verzameling getallen is, dan definiëren we de volgende concepten:
 Het MAXIMUM van 𝑉, max(𝑉), is het getal 𝑣 zodanig dat voor alle 𝑥 ∈ 𝑉: 𝑥 ≤ 𝑣;
 Het MINIMUM van 𝑉, min(𝑉), is het getal 𝑣 zodanig dat voor alle 𝑥 ∈ 𝑉: 𝑥 ≥ 𝑣;
 Het SUPREMUM van 𝑉, sup(𝑉), is het getal 𝑣 waarvoor geldt dat
o 𝑣 is een bovengrens van 𝑉, oftewel, voor elke 𝑥 ∈ 𝑉: 𝑥 ≤ 𝑣;
o 𝑣 is de laagste bovengrens van 𝑉, oftewel, wanneer 𝑣′ ook een bovengrens van 𝑉 is, dan
moet gelden 𝑣 ′ ≥ 𝑣.
 Het INFIMUM van 𝑉, inf(𝑉), is het getal 𝑣 waarvoor geldt dat
o 𝑣 is een ondergrens van 𝑉, oftewel, voor elke 𝑥 ∈ 𝑉: 𝑥 ≥ 𝑣;
o 𝑣 is de hoogste bovengrens van 𝑉, oftewel, wanneer 𝑣′ ook een bovengrens van 𝑉 is, dan
moet gelden 𝑣′ ≤ 𝑣.
Er zijn verzamelingen waarvoor een aantal of alle extreme waarden niet bestaan. Voor intervallen die begrensd
zijn door vierkante haken zijn het maximum en minimum gelijk aan respectievelijk het supremum en het
infimum.
1.1.3 SOMMATIE VAN D E ELEMENTEN IN EEN VERZAMELING
Een SOMMATIE is het optellen van een verzameling getallen. Stel 𝐴 = {1, 2, 5, 7}, dan geldt
∑ 𝑎 = 1 + 2 + 5 + 7 = 15
𝑎∈𝐴
Rechts van het sommatieteken staan de objecten die opgeteld moeten worden, de waarden van 𝑎. Welke
objecten mee moeten worden genomen staat onder het sommatieteken.
We kunnen ook gebruik maken van een index. Wanneer we bijvoorbeeld de getallen 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 en 𝑎5 willen
optellen, schrijven we dit als
5
∑ 𝑎𝑖
𝑖=1
De index is 𝑖. De eerste waarde staat onder het sommatieteken. Deze waarde moet voor de 𝑖 achter het
sommatieteken worden ingevuld. Dit doe je voor alle opeenvolgende waarden voor 𝑖 tot en met het getal
boven het sommatieteken en je telt alle uitkomsten bij elkaar op.
1.1.4 DEELVERZAMELINGEN
Een verzameling kan een DEELVERZAMELING zijn van een andere verzameling. Wanneer een element van
een verzameling 𝐴 ook een element is van verzameling 𝐵, dan altijd wanneer 𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐵, dan is 𝐴 een
deelverzameling van 𝐵. Wanneer 𝐴 een deelverzameling is van 𝐵 en 𝐵 een deelverzameling van 𝐴, dan zijn 𝐴
en 𝐵 gelijk aan elkaar. Wanneer dit niet het geval is, dus wanneer 𝐴 alle elementen van 𝐵 bevat, maar 𝐵 ten
minste 1 element bevat dat 𝐴 niet bevat, dan is 𝐴 een STRIKTE DEELVERZAMELING van 𝐵.
NOTATIE
Wanneer 𝐴 een deelverzameling is van 𝐵, schrijven we
𝐴⊆𝐵
Zo niet, schrijven we
𝐴⊈𝐵
Wanneer 𝐴 een strikte deelverzameling is van 𝐵, schrijven we
𝐴⊂𝐵
1.1.5 VERENIGING EN DOORSNEDE
𝐴 en 𝐵 zijn verzamelingen. De VERENIGING (unie) van 𝐴 en 𝐵, genoteerd als 𝐴 ∪ 𝐵, is de verzameling die alle
elementen bevat die tot 𝐴, tot 𝐵 of tot beide verzamelingen behoren.
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 of 𝑥 ∈ 𝐵}
De DOORSNEDE van 𝐴 en 𝐵, genoteerd als 𝐴 ∩ 𝐵, is de verzameling van alle elementen die tot 𝐴 en tot 𝐵
behoren.
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 en 𝑥 ∈ 𝐵}
𝐴 en 𝐵 zijn DISJUNCT wanneer ze geen enkel element gemeen hebben, dus wanneer
𝐴∩𝐵 =∅
Ook de vereniging en doorsnede van meerdere verzamelingen kunnen bepaald worden. Om lange notaties te
voorkomen kan dit op soortgelijke wijze als een sommatie geschreven worden.
𝑛
⋃ 𝐴𝑖 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ … ∪ 𝐴𝑛−1 ∪ 𝐴𝑛
𝑖=1
𝑛
⋂ 𝐴𝑖 = 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ∩ … ∩ 𝐴𝑛−1 ∩ 𝐴𝑛
𝑖=1
1.1.6 UNIVERSELE VERZAMELINGEN
De RUSSELL’S PARADOX is een probleem waarbij het onmogelijk is om verzamelingen te definiëren, zoals de
verzameling 𝑋 = {𝑥 | 𝑥 ∉ 𝑥}. Wanneer 𝑋 ∈ 𝑋, dan moet het aan de gestelde eigenschap voldoen, namelijk dat
𝑋 ∉ 𝑋.
Om aan Russell’s paradox te ontkomen werken we alleen met constructies van de vorm {𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑃(𝑥)} voor
bekende verzamelingen A, zogenoemde UNIVERSELE VERZAMELINGEN. Een universele verzameling kan op
verschillende manieren gedefinieerd worden.
Wanneer 𝐴 een verzameling is en 𝑈 een universele verzameling, dan bestaat het COMPLEMENT van 𝐴 uit alle
elementen van 𝑈 die niet tot 𝐴 behoren. Dit wordt genoteerd als
𝐴̅ = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑈 en 𝑥 ∉ 𝐴}
Het VERSCHIL van de verzamelingen 𝐴 en 𝐵, 𝐴 − 𝐵, bestaat uit alle elementen die behoren tot 𝐴 maar niet tot
𝐵.
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 en 𝑥 ∉ 𝐵} = 𝐴 ∩ 𝐵̅
1.1.7 VENN DIAGRAMMEN
VENN DIAGRAMMEN weergeven relaties tussen verzamelingen. Het oppervlak binnen een gebied staat voor
alle elementen van de betreffende verzameling.
Figuur 1: Venndiagrammen die a) de doorsnede en b) de vereniging van twee verzamelingen weergeven
1.2 BASIS LOGICA
1.2.1 WAARHEIDSTABEL LEN
Een PROPOSITIE is een bewering die waar of onwaar kan zijn. Wanneer het waar is, noteren we een 1 of een
T, bij onwaar een 0 of een F. Om redeneringen op een wiskundige manier op te kunnen schrijven, krijgt elke
propositie een korte naam, bijv. een letter.
Proposities kunnen gecombineerd worden tot een nieuwe propositie. Hiervoor kunnen verschillende operators
gebruikt worden:
→
ALS … DAN
𝑝 → 𝑞 betekent: als 𝑝 waar is, dan moet 𝑞 ook waar zijn
NB: Als 𝑝 niet waar is, maakt het niet uit of 𝑞 waar is of niet. De prepositie
𝑝 → 𝑞 is in beide gevallen waar.
↔ ALS EN SLECHTS DAN ALS 𝑝 ↔ 𝑞 betekent: als 𝑝 waar is, dan moet 𝑞 ook waar zijn en als 𝑞 waar is,
dan moet 𝑝 ook waar zijn
∨
OF
𝑝 ∨ 𝑞 betekent: de bewering is waar als 𝑝 en/of 𝑞 waar is
∧
EN
𝑝 ∧ 𝑞 betekent: de bewering is waar als 𝑝 en 𝑞 waar zijn
¬
NIET
¬𝑝 is waar als 𝑝 niet waar is en ¬𝑝 is niet waar als 𝑝 waar is
Waarheidstabellen maken het mogelijk om van ingewikkelde beweringen vast te stellen of ze waar zijn of niet.
Voor de basisproposities vul je alle mogelijke combinaties van nullen en enen in en vervolgens vul je de tabel in
voor alle gecombineerde proposities.
𝑝
𝑞
¬𝑝
𝑝∧𝑞
𝑝∨𝑞
𝑝→𝑞
𝑝↔𝑞
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
Tabel 1: Waarheidstabel voor een aantal gecombineerde preposities
Wanneer 𝑠1 en 𝑠2 samengestelde proposities zijn bestaande uit (basis)proposities 𝑝, 𝑞, 𝑟, …, dan zeggen we dat
𝑠1 en 𝑠2 logisch gelijk zijn wanneer 𝑠1 waar is dan en slechts dan als 𝑠2 waar is. Oftewel, hun kolommen in de
waarheidstabel zijn gelijk. Dit noteren we als
𝑠1 ⟺ 𝑠2
Een bewering die altijd waar is, onafhankelijk van de waardes van de basis proposities, heet een TAUTOLOGIE.
Wanneer een bewering geen tautologie is, bestaat er ten minste één tegenvoorbeeld, een combinatie van
beginproposities waarbij de bewering niet waar is.
Een bewering die nooit waar is, is een CONTRADICTIE.
Wanneer de bewering 𝑠1 → 𝑠2 een tautologie is, dan zeggen we dat 𝑠1 logischerwijs 𝑠2 impliceert. 𝑠2 is een
logisch gevolg van 𝑠1 . Dit wordt genoteerd als
𝑠1 ⇒ 𝑠2
1.2.2 SAMENSTELLINGSTABELLEN
Ook beweringen over verzamelingen kunnen onderzocht worden door middel van waarheidstabellen. De
basisproposities zijn dan bijvoorbeeld 𝑥 ∈ 𝐴 en 𝑥 ∈ 𝐵.
(𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴)
𝑥 ∈𝐴 𝑥 ∈𝐵 𝑥 ∈𝐴∨𝑥 ∈𝐵
𝑥 ∈𝐵∨𝑥 ∈𝐴
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Tabel 2: Waarheidstabel voor (𝒙 ∈ 𝑨 ∨ 𝒙 ∈ 𝑩) ↔ (𝒙 ∈ 𝑩 ∨ 𝒙 ∈ 𝑨)
Voor het gemak wordt het ‘ 𝑥 ∈ ’-deel vaak weggelaten.
SAMENSTELLINGSTABEL (membership table).
(𝐴 ∨ 𝐵) ↔ (𝐵 ∨ 𝐴)
𝐴
𝐵
𝐴∨𝐵
𝐵∨𝐴
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
De waarheidstabel heet
nu
een
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Tabel 3: Waarheidstabel voor (𝑨 ∨ 𝑩) ↔ (𝑩 ∨ 𝑨)
Tabel 4 weergeeft het verband tussen verzamelings- en logische operators.
Verzamelingsoperator
Logische operator
𝑥 ∈𝐴∪𝐵
𝑥 ∈𝐴∨𝑥 ∈𝐵
𝑥 ∈𝐴∩𝐵
𝑥 ∈𝐴∧𝑥 ∈𝐵
¬(𝑥 ∈ 𝐴)
𝑥 ∈ 𝐴̅
𝑥 ∈ (𝐴 − 𝐵)
𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬(𝑥 ∈ 𝐵)
𝐴⊆𝐵
𝑥∈𝐴→𝑥∈𝐵
𝐴=𝐵
𝑥∈𝐴↔𝑥∈𝐵
Tabel 4: Relaties tussen verzamelings- en logische operators
Voorbeelden van tautologieën betreffende verzamelingen zijn de WETTEN VAN MORGAN. Twee wetten van
Morgan zijn
̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅
̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅
1.2.3 PREDICATEN EN KWANTOREN
Een PREDICAAT is een bewering waarvan de waarheid niet direct bepaald kan worden omdat het variabelen
bevat wiens waarden invloed hebben of de waarheid van de bewering. Een voorbeeld van een predicaat is
𝑥>0
Elk predicaat heeft een domein, de waarden van 𝑥 waarvoor de propositie 𝑝(𝑥) bepaald wordt.
De bewering dat een predicaat voor alle waarden van 𝑥 waar is, is een UNIVERSEEL GEKWANTIFICEERDE
BEWERING. Het symbool dat staat voor ‘voor alle 𝑥’ is
∀𝑥
De bewering dat er ten minste één 𝑥 bestaat waarvoor het predicaat 𝑝(𝑥) waar is, is een EXISTENTIEEL
GEKWANTIFICEERDE BEWERING. Het symbool dat staat voor ‘er is een 𝑥’ is
∃𝑥
Wanneer 𝑝(𝑥) een predicaat is, dan zijn de volgende proposities allebei waar of allebei onwaar.
¬(∀𝑥𝑝(𝑥)) en ∃𝑥(¬𝑝(𝑥))
Hetzelfde geldt voor de volgende twee proposities.
¬(∃𝑥𝑝(𝑥)) en ∀𝑥(¬𝑝(𝑥))
HOOFDSTUK 2: BEWIJZEN
Het bewijzen van een bewering is een soort puzzel. Er is geen standaard procedure, maar er zijn wel een aantal
richtlijnen die je kunt volgen.
1. Bepaal wat is gegeven en wat je aan kunt nemen over het probleem. Bepaal daarnaast wat je moet
aantonen of vinden.
2. Schrijf de wiskundige definities op die je moet aantonen en de definities van concepten die je kunt
gebruiken.
3. Kijk naar het probleem om te zien of de bewering redelijk is. Dingen die hierbij helpen zijn het maken
van een tekening, het uitproberen van een voorbeeld, of het bediscussiëren van het probleem met
anderen. Wanneer je denkt dat de bewering niet waar is, kun je een tegenvoorbeeld proberen te
vinden. Vind je die, dan ben je klaar.
4. Wanneer het niet duidelijk is waarom de bewering waar is, zoek dan naar gerelateerde theorieën en
voorbeelden die je verder zouden kunnen helpen.
5. Wanneer je het gevoel hebt dat de bewering waar is, analyseer dan waarom. Een bewijs bestaat vaak
uit een aantal stappen die van het gegeven naar het gewenste resultaat leiden.
6. Kijk of wat je hebt opgeschreven een goed argument is. Kloppen alle stappen en missen er geen
stappen?
Het einde van een bewijs wordt aangegeven met een ∎.
Er zijn verschillende methodes die gebruikt kunnen worden bij het opstellen van een bewijs.
1. TEGENVOORBEELD
Een tegenvoorbeeld kan gebruikt worden wanneer een theorie niet waar is. Het is een voorbeeld dat
voldoet aan de gestelde voorwaarden, maar niet aan de conclusie van de theorie. Wanneer dit het
geval is, dan is de theorie in het algemeen niet waar.
Een tegenvoorbeeld kan ook worden gebruikt om de noodzaak van bepaalde voorwaarden te bepalen.
Hoe minder voorwaarden, des te breder toepasbaar de theorie. Om aan te geven dan een bepaalde
voorwaarde noodzakelijk is, kun je deze voorwaarde weghalen en een tegenvoorbeeld geven.
2. BEWIJS UIT HET ONGERIJMDE
Het idee achter deze bewijstechniek is dat we de bewering niet direct proberen te bewijzen, maar
aannemen dat de bewering niet waar is. Wanneer we aantonen dat dit onacceptabele consequenties
is, oftewel, dat de bewering niet niet waar kan zijn, dan hebben we daarmee aangetoond dat de
bewering waar moet zijn.
3. DIRECT BEWIJS
Een direct bewijs is een reeks van logische argumenten die van de gegevens leiden tot de gewenste
conclusie. Vaak worden andere theorieën en resultaten gebruikt als argument.
4. BEWIJS DOOR APARTE GEVALLEN
Soms is het moeilijk om een direct bewijs op te stellen en is het makkelijker om aparte gevallen te
onderscheiden.
5. WISKUNDIGE INDUCTIE
Wiskunde inductie is een bewijstechniek die vaak wordt gebruikt om te bewijzen dat beweringen 𝑆(𝑛)
waar zijn voor alle positieve waardes van 𝑛. In andere woorden, wanneer voor elke 𝑛 ∈ ℕ, 𝑆(𝑛) een
bewering is en geldt dat wanneer
o 𝑆(1) waar is;
o en voor elke 𝑘 ∈ ℕ, wanneer 𝑆(𝑘) waar is, dan ook 𝑆(𝑘 + 1) waar is;
dan is 𝑆(𝑛) waar voor elke waarde van 𝑛. Let op dat we helemaal niet weten of 𝑆(𝑘) waar is. We
moeten alleen bewijzen dat als 𝑆(𝑥𝑘) waar is, dat dan ook 𝑆(𝑘 + 1) waar moet zijn.
HOOFDSTUK 3: FUNCTIES EN TELLEN
3.1 FUNCTIES
𝑋 en 𝑌 zijn niet-lege verzamelingen. Een FUNCTIE 𝑓 van 𝑋 naar 𝑌 is een toewijzing die alle elementen van 𝑋
koppelt aan exact één element van 𝑌. We schrijven 𝑓(𝑥) = 𝑦 wanneer 𝑦 het unieke1 element van 𝑌 is dat is
gekoppeld door de functie 𝑓 aan het element 𝑥 van 𝑋. Wanneer 𝑓 een functie is van 𝑋 naar 𝑌, dan schrijven we
𝑓: 𝑋 → 𝑌. 𝑋 is nu het DOMEIN van 𝑓 en 𝑌 het CODOMEIN van 𝐹.
Wanneer 𝑓(𝑥) = 𝑦, dan is 𝑦 de AFBEELDING van 𝑥 onder 𝑓 en is 𝑥 de VOORAFBEELDING van 𝑦. Het BEREIK
van 𝑓 is de verzameling van de afbeeldingen van alle elementen van 𝑋.
3.1.1 SURJECTIEVE, INJECTIEVE EN BIJECTIEVE FUNCTIES
Stel 𝑓 is een functie is van 𝑋 naar 𝑌. Wanneer voor elke 𝑦 ∈ 𝑌 er ten minste één 𝑥 ∈ 𝑋 bestaat zodat 𝑓(𝑥) = 𝑦,
dan is 𝑓 OP (ONTO) 𝑌. Het codomein en het bereik zijn gelijk. We spreken ook wel van een SURJECTIEVE
functie.
Wanneer voor elke 𝑦 ∈ 𝑌 hooguit één 𝑥 ∈ 𝑋 bestaat zodat 𝑓(𝑥) = 𝑦, dan is 𝑓 ÉÉN-OP-ÉÉN (ONE-TO-ONE).
Wanneer een functie één-op-één is, is het niet mogelijk een horizontale lijn door de grafiek van deze functie te
tekenen die de grafiek meer dan één keer snijdt. Om te bewijzen dat een functie 𝐹: 𝑋 → 𝑌 één-op-één is, moet
je laten zien dat dat voor elke 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 de gelijkheid 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) noodzakelijk impliceert dat 𝑎 = 𝑏. We
spreken nu van een INJECTIEVE functie.
Een functie 𝑓 die zowel surjectief als injectief is, noemen we BIJECTIEF. De functie is een BIJECTIE. Dit is het
geval wanneer alle elementen van 𝑌 in het bereik van 𝑓 liggen en elk element van 𝑌 ten minste één matsch
heeft in 𝑋 onder 𝑓. Oftewel, voor elke 𝑦 ∈ 𝑌 is er exact één 𝑥 ∈ 𝑋 zodanig dat 𝑓(𝑥) = 𝑦.
1
Het is dus wel mogelijk dat er twee 𝑥-waarden zijn die zijn gekoppeld aan dezelfde 𝑦-waarde, maar het is niet mogelijk dat
er één 𝑥-waarde is gekoppeld aan meer dan één 𝑦-waarde.
Figuur 2: Schematische weergave van a) een surjectieve, b) een injectieve en c) een bijectieve functie 𝒇: 𝑿 → 𝒀
3.1.2 INVERSE FUNCTIES EN SAMENSTELLINGE N
Een bijectie 𝑓: 𝑋 → 𝑌 is omkeerbaar. Er moet een andere functie 𝑔 zijn die elk element van 𝑦 in 𝑌 afbeeldt als
een element 𝑥 = 𝑔(𝑦) in 𝑋. Deze functie 𝑔 is de INVERSE FUNCTIE van 𝑓, 𝑓 −1 . Deze inverse is gedefinieerd
door 𝑓 −1 : 𝑌 → 𝑋 en 𝑓 −1 (𝑦) = 𝑥 wanneer 𝑓(𝑥) = 𝑦. Uiteraard is 𝑓 −1 net als 𝑓 een bijectie.
𝑋 , 𝑌 en 𝑍 zijn verzamelingen. 𝑔 is een functie van 𝑋 naar 𝑌 en 𝑓 een functie van 𝑌 naar 𝑍 . De
SAMENSTELLING van de functies 𝑓 en 𝑔, genoteerd als 𝑓 ∘ 𝑔, is gedefinieerd als
(𝑓 ∘ 𝑔): 𝑋 → 𝑍; (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)).
Let op, 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓.
𝑓: 𝑋 → 𝑌 en 𝑔: 𝑌 → 𝑍 zijn functies. Voor 𝑔 ∘ 𝑓 geldt dan dat
 wanneer 𝑓 en 𝑔 ‘onto’ zijn, 𝑔 ∘ 𝑓 dat ook is;
 wanneer 𝑓 en 𝑔 één-op-één zijn, 𝑔 ∘ 𝑓 dat ook is.
3.2 TELLEN
Er zijn twee voor de hand liggende maar belangrijke regels bij het tellen.
 PRODUCTREGEL: Stel dat een procedure kan worden opgedeeld in twee taken. Wanneer 𝑛1
manieren zijn om taak 1 uit te voeren en 𝑛2 manieren om taak 2 uit te voeren, dan zijn er 𝑛1 𝑛2
manieren om de procedure uit te voeren.
 SOMREGEL: Wanneer een taak gedaan kan worden op één van 𝑛1 manieren of op één van 𝑛2
manieren, waarbij geen element van verzameling 𝑛1 gelijk is aan een element van verzameling 𝑛2 , dan
zijn er 𝑛1 + 𝑛2 manieren om de taak uit te voeren.
Wanneer bij de somregel de verzamelingen 𝑛1 en 𝑛2 wel gemeenschappelijke elementen hebben, dan tel je
deze elementen dubbel en moet je ze er dus één keer aftrekken. Dit is het PRINCIPE VAN INSLUITINGUITSLUITING (principle of inclusion-exclusion). Wanneer 𝐴, 𝐵 en 𝐶 eindige verzamelingen zijn, dan geldt
|𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵|
|𝐴 ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
De toevoeging van de term ‘+|A ∩ B ∩ C|’ lijkt misschien onlogisch, maar is noodzakelijk omdat deze
verzameling een deelverzameling is van alle 6 de verzamelingen die nog meer genoemd worden in de
vergelijking. Zonder de laatste term tel je hem drie keer op en trek je hem drie keer af.
3.2.1 PERMUTATIES
Een PERMUTATIE van 𝑛 verschillende objecten 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 is een ordening van deze 𝑛 objecten. Het aantal
permutaties van 𝑛 verschillende objecten is gelijk aan 𝑛!, waarin 𝑛! staat voor ‘𝑛 faculteit’.
𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) … ∙ 2 ∙ 1
Alleen positieve, gehele getallen 𝑛 hebben een 𝑛!. In sommige gevallen is het nuttig om te definiëren 0! = 1.
Het is ook mogelijk dat er meer elementen aanwezig zijn dan nodig. Stel, 𝑆 is een verzameling met 𝑛 elementen
en 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛. Een 𝑟-PERMUTATIE (van elementen van 𝑆) is een permutatie van 𝑟 verschillende elementen
van 𝑆. Het aantal 𝑟-permutaties van een verzameling van 𝑛 elementen wordt genoteerd als 𝑃(𝑛, 𝑟). Er geldt
𝑃(𝑛, 𝑟) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
3.2.2 COMBINATIES
In tegenstelling tot bij permutaties doet bij COMBINATIES de volgorde van de elementen er niet toe. Stel, 𝑆 is
een verzameling van 𝑛 elementen en 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛. Een 𝑟-COMBINATIE is een selectie uit een verzameling van 𝑛
elementen genoteerd. Het aantal 𝑟-combinaties uit een verzameling van 𝑛 elementen wordt genoteerd als
𝑛
( ). Deze uitdrukking is een BINOMIAALCOËFFICIËNT en wordt uitgesproken als ’n kiest 𝑟’. De selectie van 𝑟
𝑟
𝑛
elementen is een deelverzameling van 𝑆. Er zijn ( ) deelverzamelingen met 𝑟 elementen.
𝑟
𝑛!
𝑛
( )=
𝑟
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
Dit is gelijk aan 𝑃(𝑛, 𝑟)⁄𝑟! . 𝑃(𝑛, 𝑟) geeft de mogelijkheden om 𝑟 elementen uit een verzameling van 𝑛
elementen te nemen. Deze 𝑟 elementen kunnen op 𝑟! manieren worden geordend. Oftewel, 𝑃(𝑛, 𝑟)⁄𝑟! geeft
het aantal combinaties.
Stel, 𝑆 is een verzameling van 𝑛 elementen en 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛. Dan geldt
𝑛
𝑛
 ( ) = 1 en ( ) = 1
0
𝑛
𝑛
𝑛
 ( )=(
)
𝑟
𝑛−𝑟
𝑛
𝑛
𝑛+1
 (
)=(
)+( )
𝑟−1
𝑟
𝑟
We kunnen de binomiaalcoëfficiënten ordenen in een schema, dat bekend staat als de DRIEHOEK VAN
𝑛
PASCAL. De 𝑛 -de rij in de driehoek bevat de binomiaalcoëfficiënten ( ) voor 𝑟 = 0, 1, … , 𝑛 . Figuur 3
𝑟
weergeeft de bovenste rijen van de driehoek van Pascal. De rechterdriehoek bevat de waardes van de
bijbehorende binomiaalcoëfficiënten in de linkerdriehoek.
Figuur 3: De bovenste rijen van de driehoek van Pascal
Stel 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ en 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}. Dan geldt
𝑛
𝑛
(𝑥, 𝑦)𝑛 = ∑ ( ) 𝑥 𝑘 𝑦 𝑛−𝑘
𝑘
𝑘=0
Deze vergelijking staat bekend als het BINONIUM VAN NEWTON.
BEWIJS Wanneer 𝑛 = 0 geldt het binonium, de linker- en rechterhelft zijn beide gelijk aan 1. Wanneer 𝑛 ≥ 1,
dan schrijven we (𝑥 + 𝑦)𝑛 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) … (𝑥 + 𝑦). Wanneer we dit product van 𝑛 factoren uitschrijven,
dan krijgen we een som van 𝑛 + 1 termen van de vorm 𝑥 𝑘 𝑦 𝑛−𝑘 waarin 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1, 𝑛. We moeten nu
𝑛
enkel nog bewijzen dat de coëfficiënt van elke term 𝑥 𝑘 𝑦 𝑛−𝑘 gelijk is aan ( ). Om een term 𝑥 𝑘 𝑦 𝑛−𝑘 te krijgen,
𝑘
moeten we wanneer we het product uitschrijven 𝑘 maal de 𝑥 van de 𝑛 factoren (𝑥 + 𝑦) kiezen, en daarmee
𝑛
kiezel we automatisch 𝑛 − 𝑘 maal de 𝑦. Er zijn dus ( ) manieren om tijdens het uitschrijven de term 𝑥 𝑘 𝑦 𝑛−𝑘 te
𝑘
krijgen.
3.2.3 KARDINALITEIT EN TELBAARHEID
De KARDINALITEIT van een eindige verzameling 𝑆, genoteerd als |𝑆|, is simpelweg het aantal elementen in 𝑆.
Je kunt ook zeggen dat de kardinaliteit van een niet-lege verzameling 𝑆 gelijk is aan 𝑛 omdat er een bijectie 𝑓
bestaat van 𝑆 naar {1, … , 𝑛}. Elk element uit 𝑆 is gekoppeld aan een getal in {1, … , 𝑛}, wat een manier
impliceert om de elementen van 𝑆 te tellen. De definities die nu genoemd gaan worden gelden voor
verzamelingen met dezelfde kardinaliteit.
Twee verzamelingen 𝑋 en 𝑌 zijn GELIJKMACHTIG (equinumerous) wanneer er een bijectie 𝑓: 𝑋 → 𝑌 bestaat.
Oftewel, er is een functie 𝑓 die elk element 𝑥 ∈ 𝑋 koppelt aan exact één, uniek element 𝑦 ∈ 𝑌
Een verzameling is TELBAAR wanneer het eindig is of gelijkmachtig met ℕ. Wanneer een verzameling niet
telbaar is, is hij ONTELBAAR.
De verzameling van positieve, rationale getallen
{𝑥 ∈ ℚ | 𝑥 > 0} is telbaar.
BEWIJS We noemen ℚ+ = {𝑥 ∈ ℚ | 𝑥 > 0}. We moeten
bewijzen dat er een bijectie 𝐹: ℕ → ℚ+ bestaat. Elk
element van ℚ+ kan geschreven worden als 𝑦⁄𝑥 , met
𝑥, 𝑦 ∈ ℕ . We ordenen deze elementen zoals
weergegeven in Figuur 4. Eerst noemen we de
elementen 𝑦⁄𝑥 waarvoor 𝑥 + 𝑦 = 2. Dit is enkel 1⁄1 .
Dan komen de elementen 𝑦⁄𝑥 waarvoor 𝑥 + 𝑦 = 3. Dit
zijn 1⁄2 en 2⁄1. Enz. Wanneer we bij een getal komen
dat we al hebben, slaan we dat over en gaan we door
naar de volgende. Deze methode levert een lijst met alle
elementen van ℚ+ . We definiëren de functie 𝐹: ℕ → ℚ+
nu als 𝑓(𝑛) = "𝑛𝑑𝑒 getal op de lijst" . Aangezien alle
positieve rationale getallen exact eenmaal op de lijst
staan, is 𝑓 een bijectie van ℕ naar ℚ+ . Hiermee is
bewezen dat ℚ+ telbaar is. ∎
Een hele hoop verzamelingen zijn ontelbaar, zoals ℝ. Figuur 4: De verzameling van positieve rationale getallen
Ook het interval (0,1) is een ontelbare verzameling.
Wanneer je alle getallen binnen het interval met een bepaald aantal decimalen noteert, en je schrijft
vervolgens alles op één decimaal nauwkeuriger, dan komen tussen alle genoemde getallen 9 nieuwe getallen te
zitten. Dit kun je eindeloos herhalen.