Voorbeeld van Rapport met Hoofdstukken

Vrije Universiteit Amsterdam
Afdeling Wiskunde
Voorbeeld van Rapport met
Hoofdstukken
F. van Schagen
2008
Inhoudsopgave
Inleiding
1
1 Differentieren en Integreren
1.1 Verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Differentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Integreren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3
2 Sommen en reeksen
2.1 Sommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
3 Nummering
5
3
Inleiding
Dit is een voorbeeld van een rapport met een indeling in Hoofdstukken en paragrafen. In
het Engels is dat Chapters and Sections.
1
Hoofdstuk 1
Differentieren en Integreren
1.1
Verzamelingen
Eerst een paar in de wiskunde veel voorkomende verzamelingen
N is de verzameling van de natuurlijke getallen, dus {1, 2, 3, . . .}.
Z is de verzameling van de gehele getallen, dus {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Q is de verzameling van de rationale getallen (de breuken).
R is de verzameling van de reële getallen.
Merk op dat het getal 0 niet tot de natuurlijke getallen wordt gerekend. Om de verzameling
van de niet-negatieve gehele getallen {0, 1, 2, . . .} aan te geven gebruiken we de notatie Z+ .
Dus
Z+ = {0, 1, 2, . . .}.
Zoals we hierboven in feite al gedaan hebben, kan een verzameling worden aangegeven door
een opsomming van de elementen. Voorbeelden:
{1, 2, 3},
{3, 1, 2},
{2, 3, 4, . . . , 10},
{6, 7, 8, . . .},
{1, 1, 2, 3}.
Er zijn nog een paar notaties die gebruikelijk zijn bij het noteren van een verzameling.
We illustreren die notaties aan de verzameling A van de even natuurlijke getallen. In de
eerste plaats
A = {n ∈ N : n is even}.
(1.1)
Je kunt nu zien dat de bovenstaande gelijkheid een nummer heeft. Daar kun je naar
verwijzen met (1.1).
Tenslotte geven we voor de volledigheid nog de notaties voor de intervallen op de reële
rechte:
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) := {x ∈ R : x > a},
[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b},
[a, ∞) := {x ∈ R : x ≥ a},
(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b},
(−∞, b) := {x ∈ R : x < b},
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b}.
2
HOOFDSTUK 1. DIFFERENTIEREN EN INTEGREREN
3
Het symbool := gebruiken we hier om aan te geven dat de uitdrukking links van het
symbool (aan de kant van de dubbele punt) wordt gedefinieerd door de uitdrukking aan de
rechter kant (die van het gelijkteken). Let er op dat we vanaf nu de notaties kiezen die in
de wiskunde meer gebruikelijk zijn: dus bijvoorbeeld niet meer de speciale VWO-notatie
< a, →> voor (a, ∞).
De verzameling van de reële getallen die niet negatief zijn noteren we ook als
R+ = [0, ∞).
Tenslotte geven we twee voorbeelden van verzamelingen waarvan de elementen geen
getallen zijn. De verzameling A van alle deelverzamelingen van {1, 2, 3} is
A = Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} .
1.2
Differentieren
Voor de afgeleide van een functie zijn verschillende notaties in gebruik. Laten we de functie
noteren met f (x). Dan kunnen we de afgeleide noteren als f 0 (x). Maar als y = f (x)
dy
, en dus is
schrijven we ook dx
dy
= f 0 (x)
(1.2)
dx
1.3
Integreren
Het omgekeerde van differentieren is intergreren. Dus als formule (1.2) geldt, dan is
Z
y = f 0 (x) dx.
(1.3)
Simpel gezegd zijn de formules (1.2) en (1.3) tegenhangers.
Om er een stelling van te maken doen we
Rx
Stelling 1.3.1 Als g(x) = 0 f (t) dt dan is g 0 (x) = f (x).
Dit klopt.
Lemma 1.3.2 Als g 0 (x) = f (x) dan g(x) =
Rx
0
f (t) dt.
Dan is Stelling 1.3.1 goed, maar Lemma 1.3.2 klopt niet.
Stelling 1.3.3 De functie f : R → R gegeven door f (x) = x2 voor iedere x ∈ R is
differentieerbaar.
Hoofdstuk 2
Sommen en reeksen
In dit hoofdstuk hebben we het over eindige en oneindige reeksen.
2.1
Sommen
Bekijk de som
3
X
n2 = 12 + 22 + 32
n=1
terwijl
3
X
2n = 21 + 22 + 23 .
(2.1)
n=1
De gelijkheid (2.1) heeft dus een andere uitkomst dan de eerste vergelijking van deze
paragraaaf.
2.2
Reeksen
Je kunt ook kijken naar
∞ n
X
1
2
n=1
wat convergent is. Maar
∞
X
,
2n
n=1
is divergent. Dus (2.2) is convergent en (2.3) is divergent.
Opmerking 2.2.1 (2.2) is convergent en (2.3) is divergent.
Let op het effect op het font van de nummers.
4
(2.2)
(2.3)
Hoofdstuk 3
Nummering
Let op de nummering afhankelijk van de paragraaf. Dat kan ook anders. Zie de handleidingen. Om de nummerng goed te krijgen moet je gewoonlijk tweemaal PDFLaTeX doen.
Dan worden bij de eerste keer de nummers geteld en er bij de tweede keer ingezet. Je kunt
ook andere dingen, bijvoorbeeld plaatjes en grafieken nummeren. Merk ook op dat er voor
is gekozen de inhoudstabel niet mee te nummeren. Bekijk ook de nummering in de file die
speciaal voor de formules is.
Tenslotte: er is veel meer mogelijk dan in dit korte voorbeeld kan worden getoond.
5