êÍt ar:3.an-t -2.an-, voor alle natuurlijke getallen n) 2

Fundamentele Informatica
Dit tentamen bestaat uit
22 decernber 20L5, 14-1"7 a.
L
zeven opgaven, met totaal
twintig onderdelen die elk
een half
punt waard
zijn.
Geef steeds voldoende
1)
.
uitleg.
Succes!
We bekijken verzamelingen in een universum [/.
a. Vereenvoudig (AU B")
U (B n,4"), gebruikmakend van rekenregels uit de verzamelingenalgebra. Benoem de gebruikte regels.
b. Formuleer
het princi,pe uan inclus'ie en erclus'ie voor het tellen van het aantal elementen
in een vereniging V UW.
, c. Bereken het aantal getallen rit (J :
{L,2,.. . ,6000} dat deelbaar is door 2,3, of 6.
Let op: het antwoord is dus één getal, niet drie!
2)
,
a.
Vy'anneer heet een verzameling aftelbaar?
b.
V enW zodat de machtsverzameling P(V) aft,elbaar
is en P(W) niet aftelbaar is. Geef uitleg.
Geef twee aftelbare verzamelingen
- c. ,Al is de verzameling van alle deelverzamelingen van N met 3 elementen,
zoals {10, 0, 1024}, {0, L,2}, of {100, 1, 10000}.
Is,Af aftelbaar?
3) ' a. Een relatie heet een equivalentierelatie
als zij reflexief, symmetrisch en transitief is.
V/at betekenen deze begrippen gegeven een relatie ,R op een verzameling A7
Bekijk verzameling A: {a,b,c,d,e,Í} en relatie Q: {(a,b),(e,"),(f ,c)} op A.
.
b. Van een equivalentierelatie R op Ais bekend
c.
4)
dat 8Ç .R en dat (d,,b) # R.
pijldiagram
Geef Q als
en gerichte graaf en beredeneer dat (e, Í) e R en dat (a,d) f R.
Geef de equivalentieklassen van alle mogelijke equivalentierelaties R op A met de eigenschappen dat Q Ç ,R en dat (d,,b) ê R.
De reeks a,, wordt gedefinieerd door as : 1, a,!:2
êÍt ar:3.an-t -2.an-, voor alle natuurlijke getallen
Bewijs met volledige inductie dat an
:2n.
n)
2
F\rndamentele fnformatica
*
5)
-a.
en
0 zijn hier binaire
Deexpressie
22 december 2O1.5, L4-17 u.
L
0t012b
bewerkingen (op gehele getallen).
OB* i
Bis in preorde notatie (poolsenotatie).
Teken de bijbehorende boom.
"
b.
Nummer de knopen van uw boom volgens postordening.
Wandel langs de knopen van de boom (in postorde) en bereken de waarde bij elke
knoop. Hierbij zijn I en $ respectievelijk de bewerking minimum en maximum.
, c. Van binaire
boom T zijn de knopen in pre-orde A,B,C,D,E,F,G,H,I,K en in sym_
metrische ordening D,C, B, F, E, A,G, I, H, K.
Reconstrueer boom ?, dus teken er een plaatje van. hi,nt: wat is de wortel?
' d. In onderdeel
a) is de boom uit de pre-orde notatie af te leiden, terwijl in c) zowel de
pre-orde als de symmetrische ordening nodig zijn.
Wat is het essentiële verschil?
6)
Met Zs bedoelen we de verzameling restklassen modulo
a. Bepaal 12, n3 en 14 voor elke r € Zs.
'
' b. Bewijs dat na - 1 deelbaar is door 8 als n niet deelbaar
' c. Bepaal de rest van 100100 + TT77 bij deling door g.
7)
g.
is door 2.
Gegeven is
K
: {w e {a,b}. I als tu eindigt op een ð dan begint u met een ö }
- a. Zijn de volgende woorden element van K?
)., aaa,, aab, baa, bab.
b. Geef een deterministische
'
eindige automaat voor
c. Toon aan dat het complement van K
K.
reguli,er is, maw. druk de taal Kc uit in eindige
talen mbv. de operaties vereniging, concatenatie en ster (U, ., *).