Aftelbaar oneindige verzamelingen

Aftelbaar oneindige verzamelingen
1.
is de verzameling van de natuurlijke getallen uitgezonderd 0. Eén element werd dus weggenomen
uit Zijn er nu minder elementen? Is
gelijkmachtig met
Indien ja, dan kan de onderstaande
tabel ingevuld worden om de elementen van
in lijst te brengen. Zie je een algemeen verband? Is
het een bijectie?
0
2.
3.
1
2
3
4
n
Stel is de verzameling van alle even natuurlijke getallen en
is de verzameling van de oneven
natuurlijke getallen. Toon aan dat beide verzamelingen aftelbaar zijn door de elementen op te lijsten
in onderstaande tabellen. Kun je een algemene formule vinden voor de verbanden? Zijn de verbanden
wel degelijk bijecties?
0
…
0
…
1
…
1
…
2
…
2
…
3
…
3
…
n
…
n
…
We beschouwen nu
de verzameling van alle gehele getallen. We hebben dus oneindig veel
elementen toegevoegd aan de verzameling van de natuurlijke getallen. De vraag rijst of de
kardinaliteit nu wel veranderd is. Denk eraan dat door oneindig veel elementen weg te nemen
(probleem 2), we niets gewijzigd hebben aan de kardinaliteit. Het komt er dus op neer om te proberen
de gehele getallen in een lijst te plaatsen:
0
…
1
…
2
…
3
…
…
4.
In de volgende figuur loopt het patroon oneindig door naar rechts. Zijn er meer zwarte of meer witte
bolletjes? Bouw een redenering op.
5.
Geef minstens drie voorbeelden van verzamelingen die aftelbaar oneindig zijn, maar die op een
andere wijze worden opgebouwd.