Wiskunde AEO V

Afdeling Kwantitatieve Economie
Wiskunde AEO V
Tentamen
9 januari 2008, 1300 –1600
Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven. Wees precies. Vermeld welke stellingen je gebruikt, en verifieer van elke
stelling die je gebruikt eerst de hypotheses. Een antwoord is geheel fout als er geen argumenten worden gegeven.
Voorbeelden of tekeningen gelden niet als argumenten. Juist beantwoorde deelvragen brengen 6 punten op, tenzij
anders vermeld. Rekenmachines zijn niet toegestaan.
1. Een stelling (10 punten)
Formuleer de stelling over de onderlinge relatie tussen pseudo-concave en quasi-concave functies.
2. Topologie (18 punten)
a Geef definities van de begrippen “open verzameling” en “continue functie”.
b Laat V ⊂ Rn een verzameling zijn, en f : Rm → Rn een continue functie. Laat verder x ∈ f −1 (V ) een
gegeven punt zijn, dat wil zeggen, een punt waarvoor geldt dat y = f (x) ∈ V .
Bewijs dat als y inwendig punt is van V , dat dan x inwendig punt is van f −1 (V ).
c Bewijs met behulp van het resultaat van opgave 2b de volgende stelling: als f : Rm → Rn een continue
functie is, en O ⊂ Rn een open verzameling, dan is f −1 (O) ook open.
3. Impliciete functiestelling (18 punten)
Een dekpunt van een functie f : R → R is een punt x ∈ R waarvoor geldt dat f (x) = x.
a Laat f : R → R gegeven zijn door f (x) = 2x − x3 . Bereken de dekpunten van f .
b Laat g : R → R gegeven zijn door g(x) = 2x − x3 + ε. Laat zien dat als |ε| voldoende klein is, dat dan g
evenveel dekpunten heeft als f . Maak de enigzins vage uitdrukking “voldoende klein” precies.
c Laat zien dat de dekpunten gevonden bij vraag 3b continu differentieerbare functies zijn van ε, en bereken
hun afgeleides in het punt ε = 0.
4. Optimalisatie onder nevenvoorwaarden. (48 punten)
Laat f, g : R2 → R gegeven zijn door
f (x) = (x1 − 10)2 − 4x22 ,
g(x) = x21 + 4x22 .
Laat verder de verzameling V gegeven zijn door
n
o
V = x ∈ R2 g(x) ≤ 169 .
a Schets V en een paar hoogtelijnen van f .
b Is de verzameling V convex? Compact? Zo ja, geef bewijzen, zo nee, tegenargumenten.
c (12 punten) Bepaal alle kandidaatextrema (kritieke punten) van f beperkt tot V met behulp van de stelling
van Lagrange.
d (12 punten) Bepaal van de kandidaatextrema van f beperkt tot V de lokale geaardheid met behulp van
vermenigvuldigers en gerande Hessianen.
e Heeft f beperkt tot V globale extrema? Zo ja, bewijs dit en geef aan welke dit zijn. Zo nee, laat zien dat f
beperkt tot V onbegrensd is.
f Zijn er een verzameling V ⊂ R2 en een een continu differentieerbare functie h : R2 → R te vinden,
zodanig dat h beperkt tot V in precies twee punten een minimum aanneemt, geen maximum aanneemt, en
verder geen ander kritiek punt heeft?
Zo ja, geef een schets van V en de hoogtelijnen van h, zo nee, geef een tegenargument.
5. Quasi-concaviteit (6 punten)
Geef de definitie van “quasi-concave functie”, en bepaal of de functie f : R2 → R, gegeven door
2
2 3
1
−
log(x
+
2x
x
+
5x
)
1
2
1
2
f (x) = 3 + e
,
al dan niet quasi-concaaf is.