natuurkunde ontdekken

NATUURKUNDE ONTDEKKEN
4 V
WERKBOEK 1
BEWEGING en KRACHT
Inhoud
Be 1 Gemiddelde snelheid ............................................................. ............. 5
Be 2 Nauwkeurigheid .................................................................. ............. 9
Be 3 Plaats en snelheid ........................................................................... . 18
Be 4 Snelheid en verplaatsing ................................................................. ... 30
Be 5 De eenparig veranderlijke rechtlijke rechtlijnige beweging ...................... ....... 38
Be 6 De snelheidsformule .................................................................... ..... 44
Be 7 De eenparige cirkelbeweging .................................................. ........... .. 49
BK 1 Vallende voorwerpen .......................................... ............................ . 54
BK 2 Kracht en versnelling. ........................................... ........................... . 67
Studiehulp Beweging .................................. ............... ............................ . 82
Studiehulp Beweging en Kracht .................................... ............................ . 98
Grootheden met eenheden en symbolen en formules ................................... ...... 108
Natuurkunde afdeling, St-Vituscollege,
Bussum, dec 2007, Schooljaar 08/09
© Delen uit deze uitgave mogen alleen worden gebruikt
na voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever .
4V werkboek 1
4
Bel gemiddelde snelheid
De natuurkunde bloeide pas echt op vanaf de tijd dat men nauwkeurig aan de verschijnselen
ging meten en daarbij op zoek ging naar wetmatigheden die wiskundig konden worden
geformuleerd. Natuurkundigen die hierbij een belangrijke rol speelden waren Galilei (15641642) en Newton (1642-1727).
In dit werkboek gaan we ons bezighouden met een nauwkeurige wiskundige beschrijving van
bewegingen. Plaats, tijd, snelheid, gemiddelde snelheid en versnelling zijn de grootheden die we
zullen definieren en onderzoeken op hun onderling verband.
Misschien valt deze keuze je wat tegen. Misschien had je je liever bezig gehouden met licht,
radiogolven, kernenergie, lasers of elektromotoren. Deze keus is gedaan omdat de leer van de
bewegingen en van de oorzaak van bewegingen een centrale plaats in de natuurkunde
inneemt. Zonder beweging zou het heelal niet bestaan; alle hemellichamen bewegen
voortdurend ten opzichte van elkaar. Planten, dieren en mensen zouden zonder beweging al
snel sterven. Denk maar aan de werking van het hart of de longen. Zelfs een dood stuk ijzer
bestaat niet meer als binnen de ijzeratomen de elektronen tot stilstand zouden komen. Bij al
het onderzoek van de natuur worden bewegingen nauwkeurig vastgelegd en worden
veronderstellingen gedaan over de oorzaak van die bewegingen.
Nu zijn er zeer veel verschillende bewegingen die in de natuur voorkomen;
De beweging van de slinger van een klok, de cirkelbeweging van de maan en de planeten, de
beweging van een aangeslagen gitaarsnaar, de valbeweging, de beweging van een raket of een
tennisbal .............Er is geen einde aan!
Laten we ons voorlopig beperken tot de rechtlijnige bewegingen.
Die zijn wat betreft de vorm van de baan het eenvoudigst terwijl er toch ook een hele
belangrijke bij zit, namelijk de valbeweging. Een nauwkeurig onderzoek van de
valbeweging zal ons meer leren over de zwaartekracht.
4V werkboek 1
Be 1
5
Bel gemiddelde snelheid
Gemiddelde snelheid
Opgave 1
Gebruik bij deze opgave eventueel hoofdstuk 1 uit Overzicht en Oefening.
a
Hoe bereken je de gemiddelde snelheid over een bepaald deel van een beweging?
b
Bij wat voor beweging kun je eenvoudig de snelheid berekenen?
c
Wat is een eenparige beweging?
d
Wat is een afstand-tijd-grafiek?
e
Hoe zie je in een afstand-tijd-grafiek dat een beweging, of een gedeelte van een
beweging, eenparig is?
f
Wat is een versnelde beweging en hoe zie je in een afstand-tijd-grafiek dat een
beweging, of een deel van een beweging, versneld is?
g
Wat is een vertraagde beweging en hoe zie je in een afstand-tijd-grafiek dat een
beweging, of een deel van een beweging, vertraagd is?
Opgave 2
Rudolf en Johan houden een fietswedstrijd over een afstand van 200 m.
Johan krijgt een voorsprong van 40 m.
In figuur 1-1 is de afstand-tijd-grafiek van de beide bewegingen tussen 0 en 24 seconden
gegeven.
a
Omschrijf globaal hoe de wedstrijd verloopt.
b
Bereken de gemiddelde snelheid van Johan tussen 0 s en 8,0 s.
c
Tussen welke tijdstippen beweegt Johan eenparig?
d
Bereken de snelheid tijdens deze eenparige beweging.
e
Hoe groot is de maximale snelheid van Rudolf?
f
Tussen welke tijdstippen is de beweging van Johan versneld?
4V werkboek 1
6
Bel gemiddelde snelheid
fig1-1
g
Bereken de gemiddelde snelheid van Johan tussen 2,0 s en 4,0 s.
h
Bereken de gemiddelde snelheid van Johan tussen 4,0 s en 6,0 s.
i
Zijn de uitkomsten uit g en h in overeenstemming met je antwoord in f? Leg uit.
Opgave 3
Sommige bewegingen worden eenparig rechtlijnige bewegingen genoemd.
a
Wat wordt aangegeven met eenparig?
b
Wat wordt aangegeven met rechtlijnig?
c
Beweegt een vallende regendruppel rechtlijnig?
d
Is de beweging van de maan rond de aarde eenparig?
4V werkboek 1
7
Bel gemiddelde snelheid
Opgave 4
Een auto legt in 10 minuten een afstand af van 5,0 km.
a
Bereken de gemiddelde snelheid op dit traject in m/s.
b
Weet je of de auto dit hele traject met die snelheid gereden heeft?
c
Bij welk soort beweging is de gemiddelde snelheid gelijk aan de snelheid?
Opgave 5
Een fietser rijdt 18 s met een snelheid van 4,0 m/s en daarna 18 s met een snelheid van
6,0 m/s.
a Bereken de totale afstand die de fietser aflegt.
b
Bereken de gemiddelde snelheid van de fietser voor het hele traject.
c
De fietser rijdt nu 18 s met een snelheid van 4,0 m/s en daarna 48 s met een snelheid
van 6,0 m/s.
Bereken de totale afstand die de fietser nu aflegt.
d
Bereken de gemiddelde snelheid van de fietser voor het hele
traject.
e
Leg uit waarom de gemiddelde snelheid nu geen 5,0 m/s is.
Opgave 6
Een auto trekt in 6,0 s op van 18 km/h naar 54 km/h. De gemiddelde snelheid
van de auto is daarbij 12,0 m/s.
a
Bereken de afstand die de auto in deze periode aflegt.
b
Reken 18 km/h en 54 km/h om van km/h naar m/s.
c
Bereken het gemiddelde van begin en eindsnelheid in m/s.
d
Geef een reden waarom je antwoord van c niet gelijk is aan 12,0 m/s
4V werkboek 1
8
Bel gemiddelde snelheid
Opgave 7
Een auto verandert in 3,0 seconden zijn snelheid van 20 m/s naar 10 m/s.
In die 3,0 seconden wordt door de auto een weg afgelegd van 38 meter, In figuur 1-2 zie je de
snelheid van de auto als functie van de tijd.
a Bereken de gemiddelde snelheid
gedurende die 3,0 s.
b
Leg met behulp van de grafiek uit waarom de
gemiddelde snelheid niet gelijk is aan het
gemiddelde van begin en eindsnelheid.
c
Welke afstand zou de auto gereden moeten
hebben als de gemiddelde snelheid wel het
gemiddelde van begin en eindsnelheid zou
zijn?
Hoe zou de grafiek dan gelopen hebben?
d
fig 1-2
Samenvatting Be1
■
afs tan d
.
tijdsduur
De gemiddelde snelheid kan voor de gehele beweging of voor een gedeelte
van de beweging berekend worden.
■
Een eenparige beweging is een beweging waarbij de snelheid gelijk blijft.
■
Een rechte lijn in de afstand-tijd-grafiek komt overeen met een eenparig deel
van de beweging.
■
Het gemiddelde van de begin- en eindsnelheid is niet altijd gelijk aan de
gemiddelde snelheid.
De gemiddelde snelheid wordt berekend met:
4V werkboek 1
Be 2
9
Be2 nauwkeurigheid
Nauwkeurigheid
We werken in de natuurkunde veel met meetwaarden. Een meetwaarde bestaat uit een getal en
een eenheid. Een meetwaarde bevat dus op twee manieren informatie. We kijken eerst naar de
eenheid.
Als de snelheid wordt opgegeven met 5,0 dan krijgt dit pas betekenis als er km/h of m/s achter
staat. Bovendien weten we door die toevoeging ook dat het om de grootheid "snelheid" gaat.
Daarnaast kunnen we aan de manier waarop het getal wordt opgeschreven zien hoe
nauwkeurig men de grootte van die snelheid berekend of gemeten heeft. Als een
natuurkundige opschrijft: "de snelheid is 5,0 m/s" dan bedoelt hij: "de snelheid ligt tussen de
4,9 en 5,1 m/s". En als hij opschrijft: "de temperatuur is 35°C", dan bedoelt hij: "ik weet dat
de temperatuur tussen 34°C en 36°C ligt.
chrijft hij 35,3 °C , dan bedoelt hij: "het zit tussen 35,2 en 35,4°C".
Bij een meting wordt het laatste cijfer van een getal geschat.
Bij een berekening wordt een getal afgerond. Het laatste cijfer dat we opschrijven is het
cijfer waarvan we niet helemaal zeker zijn.
Als bij een meting 7,3 cm wordt opgegeven, wil dat zeggen dat we zeker weten dat deze
afstand meer is dan 7 cm en dat we geschat hebben dat het ongeveer 0,3 cm meer is. Die 3 is
dus onzeker. Het zou ook 7,2 of 7,4 kunnen zijn. Of misschien wel 7,5.
We zeggen in dit geval: "De nauwkeurigheid is tot 0,1 cm ". Met die 0,1 cm geven we dan de
plaats van het geschatte of onzekere cijfer aan.
De meetwaarde 7,3 cm is opgegeven met twee significante cijfers.
Opgave 1
a
Leg uit wat je kunt zeggen over de nauwkeurigheid als 27,3 cm als lengte wordt
opgegeven.
b
Tussen welke waarden kan de opgegeven lengte in a liggen?
c
Hoeveel significante cijfers bevat het getal?
Opgave 2
In de tweede klas is afgesproken hoe je het resultaat van een meting in het juiste aantal
cijfers
moet opgeven. Beantwoord de volgende vragen en gebruik eventueel Overzicht en
efening 1.2.
a
Wat bepaalt de nauwkeurigheid van een meting met een meetapparaat?
b
Hoe nauwkeurig kun je met een geodriehoek meten?
4V werkboek 1
10
Be2 nauwkeurigheid
Opgave 3
De lengte van een staaf kan worden opgegeven als 23 m, als 23,0 m en als 23,00 m.
a
Wat kun je zeggen over de schaalverdeling op het meetlint als 23,0 m als lengte
wordt opgegeven?
b
Bij gebruik van een meetinstrument wordt de nauwkeurigheid bepaald door de
schaalverdeling. Als de schaalverdeling van een thermometer alleen gradenstreepjes
heeft, dan is de nauwkeurigheid van de meting 0,1 °C omdat op de plaats van de tienden geschat word
Opgave 4
Bij het meten met een stopwatch bepaalt ook het reactievermogen de nauwkeurigheid van een
meting. Bij deze opgave heb je 2 elektronische stopwatches nodig.
a
Geef 2 personen in de groep een stopwatch. Een derde persoon tikt met zijn pen op
tafel. Op dat moment moeten de stopwatches worden ingedrukt.
Na enige tijd tikt deze persoon onverwacht, maar duidelijk, weer op de tafel. Op dat
moment moeten de stopwatches worden stilgezet.
Voer deze proef nu met elkaar uit.
Welke tijd geven de stopwatches dan precies aan?
b
Hoe nauwkeurig kan de elektronische stopwatch worden afgelezen?
c
Hoe nauwkeurig heb je met de elektronische stopwatch bij a gemeten?
4V werkboek 1
11
Be2 nauwkeurigheid
Opgave 5
Bij deze opgave heb je nodig: een goot, kogel, statiefmateriaal en een elektronische
stopwatch. Klem het ene uiteinde van de goot op ongeveer!5 cm hoogte. Zie figuur 2-1.
fig 2-1
a
Meet de tijd die de kogel nodig heeft om langs de goot naar beneden te rollen,
b
Herhaal de meting van a vijf keer.
c
De elektronische stopwatch kan op een honderdste seconde nauwkeurig meten.
Hoe verklaar je dat de metingen bij b meer dan een honderdste seconde van elkaar
verschillen?
d
Bereken het gemiddelde van alle metingen en geef de uitkomst die op de rekenmachine
staat.
e
Wat kun je zeggen over de plaats van het onzekere cijfer als je naar het rijtje metingen
kijkt?
f
Schrijf het gemiddelde uit d op in het juiste aantal cijfers.
Opgave 6
Verschillende metingen bij een hardloper over 100 m leverden de volgende uitkomsten op:
10,27 s; 10,31 s; 0,20 s; 10,40 s; 10,28 s en 10,35 s.
Schrijf de op te geven tijd met het juiste aantal significante cijfers.
4V werkboek 1
12
Be2 nauwkeurigheid
Opgave 7
De besproken regels over het onzekere cijfer gelden ook voor het aflezen in grafieken.
a
Kijk nog eens naar de grafiek in fig 1-1 op blz 6. Hoe nauwkeurig kan de afstand uit de
grafiek worden geschat?
b
Op welke plaats is Johan op 10,5 s?
c
Hoe nauwkeurig kan de tijd in de grafiek uit figuur 1-1 worden geschat?
d
Op welk tijdstip is Rudolf bij 140 m? En bij 180 m?
En op 14,0 s?
Opgave 8
Bij het tekenen van een grafiek moeten we ook rekening houden met de nauwkeurigheid van
de metingen. De grafiek van figuur 2-2 is verkregen als resultaat van de volgende serie
metingen:
tijd(s)
0,9
plaats (m) 2
1,4
6
2,3
8
3,4
14
4,3
26
5,0
34
5,9
48
6,5
50
7,3
58
8,6
56
9,5
58
9,8
54
fig 2-2
De nauwkeurigheid van de opgegeven tijdstippen is 0,2 s en de nauwkeurigheid van de
opgegeven plaatsen is 2 m. In de grafiek wordt dit door middel van de rechthoekjes
aangegeven. De grafiek is zo getekend da t er een vloeiende lijn ontstaat die niet per se door
a l l e p u n t e n g a a t , m a a r we l d o o r a l l e r e c h t h o e k j e s .
4V werkboek 1
13
Be2 nauwkeurigheid
Tijdens het verwarmen van een stof zijn op een aantal tijdstippen de temperatuur gemeten.
Teken in figuur 2-3 de meetpunten en teken de grafiek met een vloeiende lijn.
tijd(s)
0,2
1,8
3,4
5,4
7,0
8,8
10,4
temp(°C) 12
26
42
51
55
55
53
fig 2-3
Opgave 9
We krijgen opgegeven dat een lift een afstand van 32,0 m in 7,2 s heeft afgelegd. De
opgegeven afstand kan 0,2 m meer of minder zijn en de opgegeven tijd kan 0,2 s meer of
minder zijn.
a
Tussen welke grenzen ligt de opgegeven afstand?
b
Tussen welke grenzen ligt de opgegeven tijd?
c
De grootst mogelijke waarde voor de gemiddelde snelheid krijg je door de grootste
waarde voor de afstand te delen door de kleinste waarde voor de tijdsduur.
Bereken de grootst mogelijke waarde voor de gemiddelde snelheid van de lift.
d
Wat is de laagst mogelijke waarde voor de gemiddelde snelheid?
e
Welk cijfer is volgens c en d het onzekere cijfer bij de gemiddelde snelheid van de lift?
f
Geef de gemiddelde snelheid van de lift in het juiste aantal cijfers.
4V werkboek 1
14
Be2 nauwkeurigheid
Opgave 10
In Overzicht en Oefening 1.4 wordt de afrondingsregel voor de uitkomst
van een vermenigvuldiging en deling gegeven.
De uitkomst moet in evenveel cijfers worden opgegeven als het aantal cijfers van het
onnauwkeurigste getal. De uitkomst bevat dus evenveel significante cijfers als het
onnauwkeurigste getal.
Daarbij tellen de nullen vóór het getal niet mee voor het bepalen van het aantal cijfers. Deze
nullen zijn er alleen om de plaats van de komma aan te geven en hangen af van de gebruikte
voorvoegsels (21 cm - 0,21 m = 0,00021 km).
a
Oefen met de applet "significante cijfers" in het benoemen van het juiste aantal cijfers.
Geef nu de uitkomsten van de volgende berekeningen in het juiste aantal
significante cijfers.
b
c
d
e
f
2,71 x 3,1
27,12 : 9,25
√7,283
(8,1)2
0,02 x 371
=
=
=
=
=
Opgave 11
Een auto rijdt 800 s lang met een snelheid van 2,3 m/s.
a
Bereken de afgelegde afstand. Hoeveel cijfers heb je nodig om de afstand op te geven?
b
In hoeveel cijfers moet de afgelegde afstand volgens de afrondingsregel
uit 10 worden opgegeven?
c
Lees de tekst in het kader en ga na of je dit begrijpt.
4V werkboek 1
15
Be2 nauwkeurigheid
Uit a en b blijkt dat niet in alle gevallen door afronding de nauwkeurigheid van het getal
kan worden opgegeven omdat we meer cijfers nodig hebben dan volgens de
afrondingsregels is toegestaan. De in b berekende afstand van 1840 m kan niet in twee
cijfers worden opgegeven, In de tweede klas werd dit probleem opgelost door de eenheid te
veranderen. Voor .1840 m kunnen we 1,84 km schrijven en dit kan zonder probleem in 2
cijfers worden afgerond door op te schrijven 1,8 km. Door gebruik te maken van
voorvoegsels kunnen we dus de uitkomst van een berekening opgeven in het juiste aantal
cijfers.
Het voorvoegsel k in 1,8 km betekent 1000 ofwel 103. Dus 1,8T03 m = 1,8 km. Zo'n
voorvoegsel is dus een macht van 10 waarmee vermenigvuldigd moet worden.
Opgave 12
Schrijf de volgende getallen als een getal tussen 1 en 10 gevolgd door een macht van 10.
Rond het antwoord af in twee cijfers. In a zie je een voorbeeld.
a
223
= 2,2.102
b
0,0050
=................
c
50373
d
=.............
3641
=.............
Opgave 13
Het voorvoegsel kilo (k) betekent 1000 of 103
Het voorvoegsel Mega (M) betekent 1000000 of 106
Het voorvoegsel Giga (G) betekent 1000000000 of 109
Het voorvoegsel milli (m) betekent 0,001 of 10-3
Het voorvoegsel micro (μ) betekent 0,000001 of 10-6
Het voorvoegsel nano (n) betekent 0,000000001 of 10-9
In tabel 2 van Binas staan alle voorvoegsels overzichtelijk bij elkaar. Binas is in de klas
aanwezig. Hieronder nog wat oefeningen:
18 μm = .................m
51 MJ =................................J
0,4 m = .................mm
15 g = .....................µg
50 C = ..............................nC
12 m = ..................Gm
In de natuurkunde wordt op de plaats van het voorvoegsel meestal direct de bijbehorende
macht van 10 geschreven. Dit voorkomt rekenfouten als de getallen in formules worden
ingevuld.
18-10-6 m in plaats van 18 µm
51-106 J in plaats van 51 MJ
40-10-3 m in plaats van..........
50-10-9 C in plaats van........
4V werkboek 1
16
Be2 nauwkeurigheid
Opgave 14
a
De berekening van 2,7T0 4: 6,3T0 -6 moet op de rekenmachine als volgt worden
uitgevoerd : 2.7 exp 4 : 6.3 exp -6 = Op het scherm verschijnt nu 4,3 E9 of 4,3 09. Je
moet dit opschrijven als 4,3T0 9. Vraagje docent eventueel hulp als er iets anders op je
scherm verschijnt.
Bereken op deze manier met je rekenmachine:
b
3,2-104 - 26-106 =
d
0,25-108 : 2,44-102 =
c
8-106 - 3-10"4
e
6,6: (0,10 x 33)
=
=
Opgave 15
Schrijf de volgende getallen op met 2 significante cijfers. Doe dit op twee manieren:
met exponent
met een voorvoegsel.
a
3300 V
b
210 mm
c
0,0210 A
Opgave 16
a
Bereken de afstand die een auto in 30 minuten aflegt als hij met een constante snelheid
van 12 m/s rijdt.
b
Hoe groot is de massa van 213 cm 3 ijzer? De dichtheid van ijzer is 7,9 g/cm 3 .
c
Een voorwerp heeft een volume van 1500 cm 3 en een massa van 2,4
kg.
Bereken de dichtheid.
d
Met de applet "significante cijfers" kun je oefenen in het herkennen van het juiste aantal
significante cijfers.
4V werkboek 1
17
Be2 nauwkeurigheid
Samenvatting Be 2
■
Het laatste cijfer dat bij een gemeten waarde is opgeschreven is het door
schatten onzekere cijfer. Bij een meting moet tussen de streepjes op de
schaalverdeling worden geschat.
■
De nauwkeurigheid van een meting wordt niet altijd alleen bepaald door het
gebruikte meetinstrument, maar soms ook door het reactievermogen van
degene die meet.
■
Het laatste cijfer dat bij een aflezing uit een grafiek wordt opgeschreven is
het door schatten onzekere cijfer. Bij een aflezing moet tussen de streepjes in
de grafiek worden geschat.
■
Het laatste cijfer dat bij een uitkomst van een berekening wordt
opgeschreven is het onzekere cijfer. Bij delen en vermenigvuldigen moet de
uitkomst in hetzelfde aantal cijfers worden opgegeven als het aantal cijfers
van het onnauwkeurigste getal.
■
Soms zijn er voor het opgeven van een uitkomst meer cijfers nodig dan
volgens de regel van het afronden is toegestaan. Dat kan opgelost worden
door machten van 10 te gebruiken of door een grotere eenheid te gebruiken.
4V werkboek 1
Be 3
18
Be3 plaats en snelheid
Plaats en snelheid
Aanwijzingen bij het maken van een grafiek.
-
Gebruik ruitjespapier van 5 mm.
Zet bij een afstand-tijd grafiek de tijd altijd horizontaal uit.
Vermeld bij de assen de uitgezette grootheid en de daarbij behorende eenheid.
Let bij de keuze van de schaalverdeling op de maximale waarde die moet worden
uitgezet.
Teken de punten en de lijn altijd eerst (of alleen) met potlood en bedenk dat de lijn niet
precies door alle punten hoeft te gaan.
-
We beperken ons voorlopig tot bewegingen langs een rechte baan. We spreken dan van
rechtlijnige bewegingen. Om de plaats op verschillende tijdstippen op te kunnen geven
gebruiken we een meetlat met een nulpunt in het midden. Zie figuur 3 -la. Ten opzichte van 0
kun je in twee richtingen bewegen. Een van die richtingen noemen we de positieve richting.
De andere is de negatieve richting. Een plaats rechts van 0 geef je met een positief getal aan
en links van 0 met een negatief getal.
a
fig 3-1
Opgave 1
In figuur 3-1b beweegt een voorwerp langs de meetlat
uit figuur 3-1a. De plaatsen zijn met tussentijden van
1,0 s aangeven.
De plaats op 1,0 s is de stip aangegeven met 1. De
plaats op 2,0 s de stip aangegeven met 2 De schaal is
1:1.
a
b
c
d
Wat is de plaats op 1,0 s? Teken dit punt in figuur
3-2.
Teken in figuur 3-2 de plaats-tijd-grafiek
van deze beweging.
Op welk tijdstip passeert het voorwerp het
punt 0 ?
In welk tijdsverloop beweegt het voorwerp
in negatieve richting?
b
e
Wanneer is de plaats negatief?
fig 3-2
4V werkboek 1
19
Be3 plaats en snelheid
Opgave 2
In figuur 3-3 is de plaats-tijd-grafiek gegeven van de rechtlijnige beweging van een bal die
verticaal omhoog wordt geslagen.
We spreken af dat de snelheid een negatief teken krijgt als de beweging in negatieve
richting is.
fig 3-3
a
Op welk tijdstip is de bal op zijn hoogste punt?
b
Beweegt de bal op 5,0 s in positieve of in negatieve richting?
c
Bereken de gemiddelde snelheid tussen 1,0 en 2,0 s.
d
Bereken de gemiddelde snelheid tussen 4,0 en 5,0 s.
4V werkboek 1
20
Be3 plaats en snelheid
Opgave 3
Een auto rijdt vanuit stilstand weg. Figuur 3-4 is de plaats-tijd-grafiek.
fig 3-4
a
Bereken de gemiddelde snelheid van 0 tot 5,0 s.
b
Bereken de gemiddelde snelheid over de gehele beweging.
c
Hoe blijkt uit a en b dat het geen eenparige beweging is?
d
Hoe blijkt uit de plaats-tijd-grafiek dat het geen eenparige
beweging is?
Tijdens deze beweging werd elke seconde de stand
van de snelheidsmeter opgeschreven:
4V werkboek 1
21
tijd(s)
0
1,0
snelheid
0 7,2
72,0
Be3 plaats en snelheid
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
14,4
21,6
28,8
36,0
43,2
50,4
57,6
64,8
10
(km/h)
snelhe
id
(m/s)
e
Reken al de bovenstaande snelheden om in m/s en noteer ze in de tabel.
Opgave 4
Je gaat nu leren hoe je uit een plaats-tijd-grafiek zoals die van figuur 3-4 op allerlei
afzonderlijke tijdstippen de snelheid kunt bepalen. We spreken over de snelh eid op een
bepaald tijdstip en over de gemiddelde snelheid. De gemiddelde snelheid kun je berekenen
met verplaatsing gedeeld door tijdsduur. Met de snelheid geef je aan hoe snel een voorwerp
op een bepaald moment beweegt. Bij een auto kun je op elk mome nt op de snelheidsmeter de
snelheid aflezen, niet de gemiddelde snelheid.
a
b
Hoe groot is de snelheid van de auto op 5,0 s volgens 3e?
Bereken met behulp van figuur 3-4 de gemiddelde snelheid tussen 0 en 5,0 s.
c
aarom is de gemiddelde snelheid uit b lager dan de snelheid van de auto op 5,0 s?
d
ereken de verplaatsing tussen 4,5 en 5,5 s.
e
ereken de gemiddelde snelheid van de auto tussen 4,5 en 5,5 s.
f
ergelijk de gemiddelde snelheid uit e met de in a opgeschreven snelheid van de auto
op 5,0 s.
g

De snelheid van de auto op 5,0 s is in f berekend door een kleine verplaatsing te delen
s
door de tijdsduur. In formule: v =
t
Het symbool voor de snelheid is v.
 Het symbool voor “verandering” wordt met letter  (delta) aangegeven.
 De verplaatsing wordt aangegeven met Δs en
 de bijbehorende tijdsduur wordt aangegeven met Δt.
Deze methode voor het berekenen van de snelheid noemen we de interval-methode.
h
eg uit waarom je het interval altijd zo kiest dat het gevraagde tijdstip er midden in ligt.
4V werkboek 1
22
Be3 plaats en snelheid
Opgave 5
Met de intervalmethode kun je ook de snelheid op
andere tijdstippen berekenen. Voor de snelheid op 3,0 s
moet je het interval tussen 2,5 en 3,5 s gebruiken.
a
Bereken met deze methode de snelheid van de
auto uit figuur 3-4 op 3,0 s.
b Dezelfde vraag, maar nu voor de snelheid op
6,0 s.
c Dezelfde vraag, maar nu voor de snelheid op
9,0 s.
d Maak een snelheid-tijd-grafiek voor de beweging
van de auto uit figuur 3-4.
e
Bij de beweging van de auto uit figuur 3-4 neemt de snelheid regelmatig toe. De
beweging is niet eenparig. Wei is de toename van de snelheid per seconde constant.
We noemen zo’n beweging een eenparig versnelde beweging.
f
Bereken de toename van de snelheid per seconde.
g Omschrijf het verschil tussen de snelheid-tijd-grafiek van een eenparige beweging en
die van een eenparig versnelde beweging.
h Tijdens het interval dat je kiest voor het berekenen van de snelheid verandert die
snelheid. Maar op een klein interval kan de snelheid maar weinig veranderen. De
berekende gemiddelde snelheid zal dan goed overeenkomen met de snelheid op
het gevraagde tijdstip.
i
Leg uit waarom je het interval ook weer niet te klein mag kiezen.
j
Hoe nauwkeurig kun je de plaats in figuur 3-4 aflezen?
Hoe groot moet het interval dan minstens zijn volgens
jou?
Je gaat nu kennis maken met een andere methode om in de plaats-tijd-grafiek de snelheid op
een tijdstip te bepalen.
4V werkboek 1
23
Be3 plaats en snelheid
Opgave 6
In figuur 3-5 is de plaats-tijd-grafiek uit figuur 3-4 nogmaals getekend. Bovendien is een
rechte stippellijn getekend. Veronderstel dat de auto vanaf 3,0 s met constante snelheid verder
rijdt.
De plaats-tijd grafiek zal dan volgens de stippellijn verder lopen. De helling van deze
stippellijn is even groot als de helling van de krommelijn op het moment t = 3,0 s.
fig 3-5
a
Bereken de snelheid die bij de stippellijn hoort en vergelijk dit met de snelheid
van de auto op 3,0 s zoals opgegeven bij opgave 3e.
Leg uit waarom je dezelfde snelheid vindt.
De snelheid van de auto op 3,0 s kan dus berekend worden door net te doen of de auto vanaf
dit punt met constante snelheid blijft rijden.
Het probleem bij deze methode is dat je enige handigheid moet hebben in het tekenen van de
bijbehorende eenparige beweging. Dat moet een rechte lijn zijn die op het gevraagde tijdstip
met de grafiek samenvalt en dus ook even steil is. In de wiskunde noemt men zo’n lijn een
raaklijn. We noemen deze methode van snelheid-berekening daarom de raaklijnmethode.
b
Teken de raaklijn op 5,0 s en bereken de snelheid van de auto op 5,0 s volgens de
raaklijnmethode.
4V werkboek 1
c
24
Be3 plaats en snelheid
Vergelijk de uitkomst in b met de berekende snelheid van de auto in 3e.
d Bereken met de raaklijnmethode ook de snelheid van de auto op 6,0 s en op 9,0 s en
vergelijk de uitkomst met de berekende snelheid uit 3e.
e
Wat is een goede raaklijn?
Als je een raaklijn in een punt van een kromme moet tekenen dan leg je je geo-driehoek zo
langs de grafiek dat deze zo goed mogelijk de richting van de grafiek heeft. Zie uitvergroting.
Opgave 7
a
Bereken met de intervalmethode de snelheid van Johan uit figuur 1-1 op
4,0 s.
b Bereken met de raaklijnmethode de snelheid van Johan uit figuur 1-1 op 14,0 s.
4V werkboek 1
25
Be3 plaats en snelheid
Opgave 8
Van een optrekkende auto wordt een film gemaakt en uit de filmbeelden wordt de plaats -tijd
grafiek in figuur 3-6 afgeleid.
fig 3-6
a
Hoe groot is de maximale snelheid van de auto in m/s?
b
Hoe zie je in figuur 3-6 dat de beweging vanaf 5,5 s eenparig is?
c
Bereken met de intervalmethode de snelheid van de auto op 1,0 s en 2,0 s en op 4,5 s.
d
Bereken met de raaklijnmethode de snelheid van de auto op 1,0 s en 2,0 s en op 3,5 s.
e
Teken de snelheid-tijd-grafiek voor de gehele beweging.
f
Tussen welke tijdstippen is de beweging van deze auto eenparig versneld? Hoeveel
neemt de snelheid van deze auto dan per seconde toe?
4V werkboek 1
26
Be3 plaats en snelheid
Opgave 9
Haal een goot met kogel, een spoel van 600 wikkelingen met kern, een schakelaar,
statiefmateriaal, 7 snoertjes, lineaal en de automatische elektronische tijdmeter. Klem het ene
uiteinde van de goot op 20 cm hoogte vast volgens figuur 3-7a en maak de schakeling volgens
figuur 3-7b.
fig 3-7a
fig 3-7b
4V werkboek 1
27
Be3 plaats en snelheid
a Laat de schakeling controleren voordat je de spanning inschakelt.
Voer voldoende metingen uit om de plaats-tijd-grafiek van de beweging van de kogel
langs de goot te kunnen maken. Omdat de beweging waarschijnlijk niet eenparig is
moet je dus voor meerdere afstanden de roltijd meten.
Houd bij het meten van de rolafstand rekening met de diameter van de kogel.
b Teken met een mooie vloeiende kromme de plaats-tijd-grafiek voor de beweging van de
kogel.
fig 3-8
c
Bereken de snelheid van de kogel op een aantal tijdstippen met de
interval- of
raaklij nmethode.
d
Teken de snelheid-tijd-grafiek.
e
Leg uit of de beweging van de kogel eenparig versneld is.
4V werkboek 1
28
Be3 plaats en snelheid
Opgave 10
Figuur 3-9a is de plaats-tijd-grafiek van een kogel die langs een hellende goot rolt. De goot is
2,0 m lang en het 0-punt is boven gekozen. De kogel beweegt dus in negatieve richting. De
snelheid is negatief.
a
Hoe blijkt uit de plaats-tijd
grafiek dat de beweging van de
kogel niet eenparig is?
b
Bereken met de raaklijn de
snelheid op 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 en
2,5 s en noteer deze in de tabel.
Verdeel de taken in je groep.
tijd (s)
snelheid (m/s)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
c
Teken in figuur 3-9b de
fig 3-9a
snelheid-tijd-grafiek voor de beweging van de kogel.
Met vaart wordt de grootte van de snelheid bedoeld zonder dat op de richting wordt
gelet.
De vaart wordt steeds groter in negatieve richting. De beweging is dus versneld.
Omdat bovendien de snelheid-tijd-grafiek een rechte lijn is, kunnen we zeggen dat de
beweging eenparig versneld is.
d Bereken met hoeveel m/s de
snelheid in 1,5 s verandert.
e Bereken met hoeveel m/s de
snelheid per seconde verandert.
fig 3-9b
4V werkboek 1
29
Be3 plaats en snelheid
Opgave 11
a
Omschrijf de beweging waarvan figuur 3-10 de plaats-tijd-grafiek is
fig 3-10
b
Bereken de snelheid op t = 2,0 s, op t = 7,0 s en op t = 9,0 s.
c
Teken de snelheid-tijd-grafiek voor deze beweging van 0 tot 10,0 s.
Samenvatting Be 3
 De snelheid op een bepaald tijdstip kan op twee manieren uit de plaats -tijd
grafiek worden afgeleid:
- de intervalmethode - De snelheid is de gemiddelde snelheid op een interval
rond dat tijdstip.
- de raaklijnmethode - De snelheid is gelijk aan de snelheid die hoort bij de
raaklijn aan de plaats-tijd-grafiek op dat tijdstip.

Een beweging waarbij de toename van de vaart per seconde constant is,
wordt een eenparig versnelde beweging genoemd. Deze toename kan in
negatieve of positieve richting zijn.

De snelheid-tijd-grafiek van een eenparig versnelde beweging is een schuine
rechte lijn die van de tijd-as afgaat.

Als de afname van de vaart constant is, spreken we van een eenparig
vertraagde beweging. De snelheid-tijd-grafiek is een rechte lijn die naar de
tijd-as toeloopt.
4V werkboek 1
Be 4
30
Be4 snelheid en verplaatsing
Snelheid en verplaatsing
Je gaat nu leren hoe je in de snelheid-tijd-grafiek kunt bepalen hoeveel een voorwerp tussen
twee tijdstippen is verplaatst.
Opgave 1
In figuur 4-la en figuur 4-lb zijn de snelheid-tijd-grafiek en de plaats-tijd-grafiek van de
beweging van een autogegeven.
fig 4-1a
fig 4-1b
a
In figuur 4-la kun je de afstand tussen 0 en 20 s uitrekenen met snelhcid-tijd = 10*20
= 200 m. Deze berekening komt overeen met het berekenen van het oppervlak onder
de grafiek tussen 0 en 20 s. Achter dit oppervlak staat de cenheid "meter". We
m
hebben namelijk de snelheid in m/s vermenigvuldigd met de tijd in s en
s = m.
s
b
Ga na dat de berekende afstand van 200 m overeenkomt met de verplaatsing van 0 tot 20 s uit
de plaats-tijd-grafiek in figuur 4-lb.
c
Bereken in de snelheid-tijd-grafiek de afstand tussen 25 en 50 s en ga met de
plaats-tijd-grafiek na of dit gelijk is aan de verplaatsing tussen 25 en 50 s.
4V werkboek 1
31
Be4 snelheid en verplaatsing
Opgave 2
Figuur 4-2 geeft de snelheid-tijd-grafiek van de beweging waarvan in figuur 3-4 de plaatstijd-grafiek te zien is.
a
Bepaal met behulp van
figuur 3-4 de
verplaatsing tussen 0 en
5,0 s.
b
Bereken de gemiddelde
snelheid tussen 0 en
5,0 s.
c
Ga na dat de verplaatsing
tussen 0 en 5,0 s ook
gevonden wordt als je
het gearceerde oppervlak
aangegeven met A in
figuur 4-2 berekent.
d
Bepaal met figuur 3-4 de
verplaatsing tussen 6,0
en 9,0 s.
fig 4-2
e
Bereken hiermee de
gemiddelde snelheid tussen 6,0 en 9,0 s.
f
Bepaal met figuur 4-2 de verplaatsing tussen 6,0 s en 9,0 s door het gearceerde
oppervlak B te berekenen en vergelijk met de uitkomst bij d.
g
Ga na dat de gemiddelde snelheid tussen 6,0 en 9,0 s de snelheid halverwege deze twee
tijdstippen is (op 7,5 s).
De afstand tussen 6,0 s en 9,0 s kan dus ook bepaald worden door de snelheid in het midden
van het tijdsinterval te vermenigvuldigen met het tijdsinterval zelf.
In dit geval krijg je dan: (snelheid bij 7,5 s)-(3,0 s) = 15-3,0 = 45 m.
De afstand die tussen 6,0 en 9,0 s wordt afgelegd is gelijk aan het gearceerde oppervlak: Je
kunt dit berekenen met: gemiddelde snelheid • tijd. = snelheid haivcrwege tijd
Bij een rechte snelheid-tijd-grafiek is de gemiddelde snelheid tussen twee tijden gelijk aan de
snelheid halverwege
4V werkboek 1
32
Be4 snelheid en verplaatsing
Opgave 3
In figuur 4-3 is van een fietser de snelheidtijd-grafiek gegeven.
a Bereken de verplaatsing van de
fietser tussen 55 en 60 s.
b Waarom kun je de verplaatsing van
de fietser tussen 0 en 55 s niet zo
gemakkelijk berekenen?
fig 4-3
Opgave 4
In 3 hebben we gezien dat het oppervlak tussen de kromme lijn en de tijd-as niet zo
gemakkelijk te berekenen is.
Op de volgende manier kun je toch een goede schatting van zo'n oppervlak maken.
In figuur 4-4a is de grafiek van de fietser nogmaals getekend.
Bij
de
kr o
m
me
lij
n
is
nu
oo
k
ee
n
rec
a
fig 4-4
b
hte lijn a getekend. Deze is zo getekend dat van 0 tot 55 s het oppervlak onder deze rechte lijn
op het oog gelijk is aan het oppervlak onder de kromme lijn.
Dit is gebeurd door de lijn zo te trekken dat de gearceerde stukjes even groot zijn.Volgens
deze middelende lijn is de gemiddelde snelheid tussen 0 en 55 s gelijk aan 5,8 m/s
(= snelheid halverwege).
a Bereken de verplaatsing tussen 0 en 55 s.
4V werkboek 1
33
Be4 snelheid en verplaatsing
In figuur 4-4b zijn nog twee manieren te zien waarop de middelende lijn getekend kan worden
(lijnen b en c). Merk op dat de snelheid halverwege (= gemiddelde snelheid) voor beide lijnen
even groot is.
b Bepaal nu de verplaatsing tussen 0 en 40 s door voor deze periode in figuur 4-3 eerst de
middelende lijn te tekenen.
Opgave 5
a
Bereken nu de verplaatsing tussen 0 en 4,0 s voor de beweging waarvan figuur 4-5 de
snelheid-tijd-grafiek is met behulp van een middelende lijn.
fig 4-5
b Hoe groot is de gemiddelde snelheid tussen 0 en 2,0 s?
Opgave 6
a
Met wat voor snelheid-tijd-grafieken kun je gemakkelijk de afstand, afgelegd
tussen twee tijdstippen, berekenen?
b Welke grafiek gebruik je het liefst voor het berekenen van een gemiddelde snelheid:
de plaats-tijd-grafiek of de snelheid-tijd-grafiek? Licht je keuze toe.
c
Kun je uit een snelheid-tijd-grafiek direct de snelheid op een bepaald tijdstip aflezen?
d Kun je uit een snelheid-tijd-grafiek direct de gemiddelde snelheid voor een
tijdsverloop aflezen?
4V werkboek 1
34
Be4 snelheid en verplaatsing
Opgave 7
In figuur 4-6 is een snelheid-tijd-grafiek gegeven van 0 s tot 6,0 s.
De plaats op t = 0 is 0 m.
fig 4-6
a
Leg uit dat dit een snelheid-tijd-grafiek van een eenparig versnelde beweging is.
b
Bereken de verplaatsing tussen 0 en 6,0 s.
c
Bereken de plaats op nog een aantal tijdstippen en teken de plaats-tijd-grafiek van
deze
beweging.
d
Bereken de gemiddelde snelheid tussen 0 en 6,0 s en ga na dat deze gemiddelde
snelheid hier gelijk is aan het gemiddelde van begin- en eindsnelheid.
Als de snelheid-tijd-grafiek een rechte lijn is dan is de gemiddelde snelheid over een
bepaalde tijd gelijk aan het gemiddelde van begin- en cindsnelheid. Deze gemiddelde
snelheid is ook gelijk aan de snelheid halverwege
e
Hoe groot is bij de beweging van figuur 4-6 de gemiddelde snelheid tussen 2,0 en 5,0 s?
f
Bereken nu de verplaatsing tussen 2,0 en 5,0 s met het antwoord van e.
4V werkboek 1
35
Be4 snelheid en verplaatsing
Opgave 8
Een auto vertrekt vanuit stilstand. Hieronder wordt voor een aantal tijdstippen de snelheid
gegeven in m/s.
tijd(s)
sneleid (m/s)
0
0
1,0 2,0
5,0 10
a
eken de snelheid-tijd grafiek.
b
ereken de verplaatsing van de
auto tussen 0 en 3,0 s.
c
ereken de verplaatsing van de
auto tussen 0 en 10 s.
3,0
15
4,0
18
6,0
23
8,0
26
10,0
28
12,0
29
14,0
30
16,0
30
Opgave 9
Een vertrekkende trein beweegt gedurende de eerste 30 seconden eenparig versneld en heeft
dan een snelheid van 15 m/s gekregen.
a
Bereken de gemiddelde snelheid tussen 0 en 30 s.
b
Bereken hoeveel de verplaatsing tussen 0 en 30 s.
4V werkboek 1
36
Be4 snelheid en verplaatsing
Opgave 10
Een fietser A staat voor een stoplicht en wordt op t = 0 s gepasseerd door fietser B. Op dat
tijdstip hebben A en B respectievelijk een snelheid van 0 m/s en 10 m/s. In figuur 4-7 is het
verdere verloop van de snelheid voor beide bewegingen weergegeven.
fig 4-7
a
In welke richting bewegen A en B?
b
Op welk tijdstip hebben A en B dezelfde snelheid?
c
Welke fietser ligt op 4,0 s voor? Bereken deze voorsprong.
d
Vanaf welk moment wordt de voorsprong van B kleiner?
e
A en B hebben dezelfde afstand afgelegd op het moment dat de oppervlakten onder hun
grafieken even groot zijn. Leid uit de snelheid-tijd-grafiek af op welk tijdstip B door A
wordt gepasseerd.
f
Teken in een figuur de plaats-tijd-grafieken voor de bewegingen van A en B vanaf
t = 0 s tot t = 20 s.
Ga na of het antwoord bij e in overeenstemming is met de plaats-tijd-grafieken.
g
4V werkboek 1
37
Be4 snelheid en verplaatsing
Samenvatting Be 4
■
■
■
Het oppervlak tussen de lijn van de snelheid-tijd-grafiek en de tijd-as is
gelijk aan de verplaatsing.
Bij een eenparig versnelde beweging is de gemiddelde snelheid tussen twee
tijdstippen gelijk aan de snelheid halverwege deze tijdstippen.
AIs je van een beweging weet dat hij eenparig versneld is, dan kun je snel de
verplaatsing uitrekenen met: (gemiddelde snelheid) x (tijdsduur).
4V werkboek 1
Be 5
38
Be5 eenparig veranderlijk
De eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging
Met "eenparig veranderlijk" wordt bedoeld dat de snelheid op een constante manier verandert.
Het is daarbij mogelijk dat de beweging versneld is maar de beweging kan ook vertraagd zijn.
De snelheid-tijd grafiek van een eenparig veranderlijke beweging is dus een rechte lijn.
Om duidelijk aan te geven hoe bij een eenparig veranderlijke beweging de snelheid verandert,
gaan we in dit hoofdstuk een nieuwe grootheid afspreken: de versnelling.
Opgave 1
Van een auto wordt opgegeven dat hij in de eerste 10 s optrekt van 0 tot 50 km/h. We
veronderstellen dat de beweging eenparig versneld is.
a Bereken met hoeveel km/u de snelheid dan per seconde toeneemt.
De verandering van de snelheid per seconde noemen we de versnelling.
De versnelling bij a bedraagt dus 5,0 km/h per seconde.
b Ga na of je de zin hierboven begrijpt.
Een auto rijdt 20 km/h en verhoogt de snelheid in 5,0 s tot 40 km/h.
c Bereken de versnelling.
Meestal wordt de snelheid in m/s opgegeven.
d Bereken de versnelling uit c in m/s per seconde.
Opgave 2
a Bereken bij de beweging van figuur 4-2 de versnelling in m/s per seconde.
b Bereken bij de beweging van figuur 4-6 de versnelling in m/s per s.
4V werkboek 1
38
Be5 eenparig veranderlijk
Opgave 3
In figuur 5-1 is de snelheid-tijd-grafiek gegeven van een auto die met een constante snelheid
van 25 m/s rijdt en op t = 1 s begint te remmen.
Op 0 s begint de auto te remmen.
a
Beweegt de auto in positieve of in
negatieve richting?
b Op welk tijdstip staat de auto stil?
c
Bereken de remweg.
De snelheid neemt hier af.
De snelheidsverandering per seconde is
negatief. De versnelling is dus negatief.
d Hoe groot is de snelheidsverande
ring tussen 1,0 en 6,0 s?
e Bereken de versnelling tijdens het
remmen.
fig 5-1
De auto heeft tijdens het remmen steeds minder vaart. Hij beweegt vertraagd. In dit voorbeeld
is de versnelling negatief. Je mag hierbij niet de onjuiste conclusie trekken dat vertraagd
bewegen en negatieve versnelling bij elkaar horen. In de volgende opgave kun je dit zien.
Opgave 4
Bij de plaats-tijd-grafiek van figuur 3-9a heb je in dezelfde opgave bij onderdeel c de
bijbehorende snelheid-tijd-grafiek in figuur 3-9b getekend.
a Bereken de snelheidsverandering tussen 1,0 en 2,0 s.
De snelheidsverandering is hier een snelheidstoename in negatieve richting. Er wordt
iedere seconde iets van de snelheid afgetrokken. De versnelling is daarom negatief.
b Moet je deze beweging nu versneld of vertraagd noemen?
c Hoe groot is de versnelling?
4V werkboek 1
•
40
Be5 eenparig veranderlijk
•
De eenheid van versnelling is m/s per seconde. We schrijven dit in het vervolg
als m/s 2 (spreekuit als: meter per seconde kwadraat).
Het symbool voor versnelling is de a van acceleratie.
•
Wiskundig opgeschrevcn luidt de del'initie van versnelling dus a =
•
•
De verandering van de snelheid wordt aangegevcn met ∆v.
De bijbehorende tijdsduur wordt aangegevcn met ∆t.
v
t
Opgave 5
In figuur 5-2 zijn vier verschillende snelheid-tijd-grafieken gegeven. Bereken in elk van de gevallen
de versnelling en ga na of het voorwerp steeds langzamer of steeds sneller gaat.
fig 5-2
Je ziet dat de vaart kleiner wordt als de lijn in de snelheid-tijd-grafiek naar de tijd-as toe gaat.
De vaart wordt groter als de lijn van de tijd-as weg gaat.
Verder zie je dat de versnelling wiskundig negatief genoemd moet worden als de snelheidtijd-grafiek daalt. Een negatieve versnelling betekent dus niet automatisch dat de vaart
mindert.
4V werkboek 1 __________________________ 41 ________________ Be5 eenparig veranderlijk
Opgave 6
In figuur 5-3a is de plaats-tijd-grafiek gegeven van een fietser die stopt met trappen en zich uit
laat rijden.
a Hoeveel meter wordt er nog
afgelegd?
b Bereken met de raaklijnmethode de
beginsnelheid van de fietser.
c Bereken de versnelling als je mag
veronderstellen dat de beweging
tussen 0 en 10 s eenparig
veranderlijk is.
fig 5-3a
(d) Met de applet "remgrafieken" kun je deze
opgave controleren en uitbreiden.
In figuur 5-3b zie je een grafiek die
precies dezelfde vorm heeft als in figuur
a. Het gaat echter over een heel andere
beweging. Langs de verticale as staat de
snelheid. Het is een snelheid-tijdgrafiek!
De grafiek is geen rechte lijn: de
versnelling is dus niet constant.
De versnelling op een bepaald moment
wordt nu met de raaklijnmethode
gevonden.
e Bepaal de versnelling op t = 0 s.
f Bepaal ook de versnelling op t = 5,0 s.
g Wanneer is de beweging eenparig?
fig 5-3b
Let bij berekeningen dus goed op over welk soort grafiek het gaat.
4V werkboek 1
42
Be5 eenparig veranderlijk
Opgave 7
Midden op een luchtrail wordt een glijdertje met draaiende propeller geplaatst. De kracht van
de propeller werkt in negatieve richting. Op 0 s krijgt het glijdertje een zetje in positieve
richting.
In figuur 5-4 is de bijbehorende
plaats-tijd-grafiek weergegeven en
in figuur 5-5 de bijbehorende
snelheid-tij d-grafiek.
a Tussen welke tij den is de
plaats negatief?
b Tussen welke tijden is de
snelheid negatief?
c Tussen welke tijden is de
versnelling negatief?
d Bepaal de versnelling
tussen 0 en 2,0 s.
fig 5-4
e Bepaal de versnelling
op 2,50 s
fig 5-5.
4V werkboek 1
42
Be5 eenparig veranderlijk
Samenvatting Be 5
Met versnelling wordt bedoeld: de snelheidsverandering per seconde.
Bij een eenparig versnelde beweging wordt de vaart steeds groter. De
versnelling kan positief of negatief zijn. De snelheid-tijd-grafiek is een rechte
lijn.
De versnelling bereken je met: a =
v
t
De eenheid van versnelling, m/s per seconde, wordt verkort geschreven als
m/s2.
Als een beweging minder vaart krijgt, dan loopt de lijn in de snelheid -tijdgrafiek naar de tijd-as toe.
Als een beweging meer vaart krijgt, dan loopt de lijn in de
snelheid-tijd-grafiek van de tijd-as af.
4V werkboek l
snelheidsformule
Be 6
44
Be6
de
De snelheidsformule
Bij de eenparig veranderlijke beweging is de snelheid-tijd-grafiek een rechte lijn.
In deze grafiek is de snelheid weergegeven als functie van de tijd.
Bij wiskunde heb je geleerd hoe je dan een formule kunt opstellen met een startgetal en een
richtingsgetal.
Om aan te geven dat de snelheid afhangt van de tijd schrijven we v(t) in plaats van v.
Opgave 1
In figuur 6-la t/m f zijn zes snelheid-tijd-grafieken gegeven.
fig 6-1
4V werkboek l
snelheidsformule
45
Be6
fig 6-1
a
Ga na dat bij figuur 6-la de snelheidsformule v(t) = 2,0 + 0,80-t hoort
b
Bepaal de snelheidsformule bij figuur 6-lb.
c
Bepaal de snelheidsformule bij figuur 6-lc.
d
Bepaal de snelheidsformule bij figuur 6-Id.
e
Bepaal de snelheidsformule bij figuur 6-le.
f
Bepaal de snelheidsformule bij figuur 6-If.
Opgave 2
Voor een beweging geldt de snelheidsformule: v(t) = 28 - 4,0-t.
a
Hoe groot is de snelheid op t = 0 s?
b
Bereken de snelheid op t = 3,0 s.
c
Hoe groot is de versnelling?
d
Bereken op welk tijdstip de snelheid 0 is.
de
4V werkboek l
46
Be6 de snelheidsformule
Bij de eenparig veranderlijke beweging hoort de snelheidsformule:
v(t) = v(0) + a t
•
•
•
•
v(t) is de snelheid op het tijdstip t
v(0) is de snelheid op 0 s
t is de tijd en
a is de versnelling.
Omdat a-t de snelheidsverandering tussen 0 en t s voorstelt, staat in de formule dus
cigenlijk: "De snelheid op een tijdstip t is gelijk aan de snelheid op 0 s plus de
snelheidsverandering tussen 0 en t s".
Opgave 3
Van een bewegend voorwerp is gegeven: de snelheid op 2,0 s is 0,80 m/s; de snelheid op 3,0 s
is 1,15 m/s.
a
b
Stel de snelheidsformule op voor deze beweging als we veronderstellen dat
de beweging eenparig versneld is.
Bereken de verplaatsing tussen 1,0 s en 3,0 s.
Opgave 4
Een bal wordt op t = 0 s langs een hellend vlak omhoog gegooid met een beginsnelheid van
24 cm/s. Gedurende de hele beweging is de versnelling - 4,0 cm/s2.
a
Stel de snelheidsformule op.
b
Op welk moment is de bal in het hoogste punt?
c
Bereken de verplaatsing van de bal tijdens de
beweging omhoog. Schets hiervoor de snelheid-tijdgrafiek in het diagram hiernaast.
d
Als de bal weer terug is bij zijn vertrekpunt dan is de
verplaatsing 0 m.
Bepaal met behulp van de snelheid-tijd-grafiek
wanneer de bal weer terug is in zijn vertrekpunt.
e
Hoe groot is de snelheid van de bal op het bij d
berekende moment.
4V werkboek 1
47
Be6 de snelheidsformule
Opgave 5
Van een eenparig versnelde beweging is gegeven dat de snelheid op
t = 1,0 s gelijk is aan 4,0 m/s en op t = 3,0 s gelijk is aan 7,0 m/s.
a
Teken de snelheid-tijd-grafiek.
b
Stel de snelheidsformule op voor deze
beweging.
c
Bereken de verplaatsing tussen 0 s en 5,0 s.
d
Bereken de gemiddelde snelheid tussen 0 en
5,0 s.
e
Bereken de versnelling tussen 0 en 5,0 s.
Opgave 6
In figuur 4-7 is de snelheid-tijd-grafiek gegeven van twee fietsers A en B.
a
Stel de snelheidsformule op voor A.
b
Stel de snelheidsformule op voor B.
c
Bereken met de snelheidsformules van A en B op welk tijdstip ze dezelfde snelheid
hebben.
4V werkboek 1
48
Be6 de snelheidsformule
Opgave 7
Van een beweging is de s,t-grafiek gegeven.
a
Bereken de snelheid op 0 s.
b
Bereken de snelheid op 5,0 s.
c
De beweging is eenparig versneld. Teken de snelheid-tijd-grafiek.
d
e
Stel voor deze beweging de snelheidsformule op.
Open de applet "plaats- en snelheidsgrafieken ". Onderzoek hiermee de invloed van
veranderingen in versnelling, beginsnelheid en beginplaats op de vorm van de grafiek.
Samenvatting Be 6
■
Bewegingen waarvan de snelheid-tijd- grafiek een rechte lijn is, hebben de
snelheidsformule v(t) = v(0) + a t
■
Als bij deze formules geen eenheid wordt vermeld, wil dat zeggen dat de
grootheid in de standaardeenheid wordt uitgerekend. De snelheid v is dan in
m/s en de plaats of verplaatsing s in m.
4V
Be 7
werkboek 1
49
Be7 de eenparige cirkelbeweging
De eenparige cirkelbeweging
Met een cirkelbeweging wordt een beweging bedoeld waarbij een voorwerp langs een
cirkelomtrek beweegt. Het voorwerp heeft tijdens de beweging een vaste afstand r tot een
bepaald punt M. Zie figuur 7-1.
Is de cirkelbeweging eenparig dan beweegt het voorwerp langs de
cirkelomtrek met een constante snelheid.
fig 7-1
Opgave 1
Een klok heeft drie wijzers. Een urenwijzer, die 7,0 cm lang is, een minuten wijzer, die 9,0
cm lang is, en een secondewijzer, die 11 cm lang is.
Figuur 7-2.
a
Hoe groot is de omlooptijd van de minuten wijzer?
b
Heeft elk stukje van de minuten wijzer dezelfde
snelheid?
c
Welke twee verschillen zijn er tussen de beweging
van de punt van de urenwijzer en de beweging van
de punt van de minuten wijzer?
fig 7-2
d
Bereken de snelheid van de punt van de secondewijzer in m/s.
e
Bereken de snelheid van de punt van de minuten wijzer in m/s.
Een eenparige cirkelbeweging is volkomen vastgelegd door de straal van de baan r en de
omlooptijd T. De omtrek van een cirkel is 2nr
4V
werkboek 1
50
De snelheid kan dus berekend worden met: v =
Be7 de eenparige cirkelbeweging
2r
T
Opgave 2
In tabel 31 van BINAS staan gegevens over ons planetenstelsel. De straal van de baan van de
maan om de aarde is 3 84-106 m. de straal van de baan van de aarde om de zon is 15O109 m.
a
Bereken de snelheid behorend bij de beweging van de maan rond de aarde.
b
Bereken ook de snelheid behorend bij de beweging van de aarde rond de zon
Opgave 3
Bijna alle mensen op aarde hebben een snelheid
als gevolg van het draaien van de aarde om haar
eigen as. Figuur 7-3. De straal van de aarde is
6,38-106 m. (BINAS 31)
a Berken de snelhed die een persoon op de
evenaar heeft als gevolg van de aardrotatie.
(b) Welke snelheid heb jij nu als gevolg van de
aardrotatie?
( Bussum ligt op 52°NB). Let bij de
berekening op datje rekenmachine in graden
werkt. In te stellen met: Shift Setup → Angle→Deg
fig 7-3
4V
werkboek 1
51
Be7 de eenparige cirkelbeweging
Opgave 4
Van een centrifuge wordt opgegeven dat het toerental 2800 toeren per minuut is. De trommel
heeft een diameter van 40 cm.
a
Bereken de snelheid die een sok in de centrifuge maximaal kan krijgen,
b
Waarom is het niet zeker dat de sok deze snelheid inderdaad krijgt?
Opgave 5
De wielen van een fiets hebben spaken van 38 cm. Bereken het aantal omwentelingen per
seconde voor deze fiets bij een snelheid van 22 km/u.
4V
werkboek 1
51
Be7 de eenparige cirkelbeweging
BEWEGING EN KRACHT
4V NG & NT werkboek 1
53
BK 1 vallende voorwerpen
In de Oudheid werden de bewegingen niet bestudeerd door er nauwkeurig aan te meten, maar
door er over na te denken.
Plato (429-348 v.Chr.) meende dat de hemellichamen wel cirkelbanen moeten beschrijven
omdat voor deze onveranderlijke lichamen (onsterfelijke goden) alleen de meest volmaakte
beweging gepast is. De cirkelbeweging heeft een begin noch een einde. Zij is eeuwig en
onveranderlijk. Dit in tegenstelling tot de aardse bewegingen die aan verandering onderhevig
zijn. Het bestuderen van deze, tijdelijke, bewegingen kan daarom volgens Plato nooit tot ware
kennis leiden.
Aristoteles (384-322 v.Chr.),een andere grote filosoof uit de Oudheid, hield zich wel bezig
met de aardse bewegingen. Voor de vier elementen (aarde, water, lucht en vuur) was volgens
hem de rechtlijnige beweging de natuurlijke beweging. Twee van deze elementen, aarde en
water, streven "van nature" naar het middelpunt van de wereld en daarom is de aarde in het
middelpunt van de wereld. De twee andere elementen trachten zich zoveel mogelijk van het
centrum van de wereld te verwijderen.
Aristoteles zoekt naar het wezen der dingen, datgene wat het maakt tot wat het is, hun natuur
(physis). Hier komt de naam fysica, natuurkunde, vandaan.
Van het genie Aristoteles zijn tot in onze tijd veel geschriften bewaard gebleven. Ze bevatten
verhandelingen over onder andere de logica en de psychologie, waarvan hij als grondlegger
kan worden beschouwd. Verder zijn er verhandelingen over politieke wetenschap en over
verschillende biologische problemen, in het bijzonder de classificatie van planten en dieren.
Aristoteles heeft op al deze gebieden van wetenschap reusachtige bijdragen geleverd.
Helaas hebben zijn opvattingen over de bewegingen van aardse voorwerpen en
hemellichamen de vooruitgang van de wetenschap waarschijnlijk meer geschaad dan gediend.
Bij de herleving van het wetenschappelijk onderzoek tijdens de Renaissance hadden mensen
als Galileï een harde strijd te voeren om het juk van de Aristotelische natuuropvatting, die in
die tijd algemeen als het laatste woord op wetenschappelijk gebied werd beschouwd, (zodat
elk verder onderzoek naar de aard van de dingen overbodig was), af te werpen.
Opvallend in de verhandelingen van de Griekse filosofen over bewegingen is dat het woord
"kracht" niet voorkomt. Men beschouwt de beweging van voorwerpen als iets dat tot het
wezen van die voorwerpen behoort. Wij gebruiken wel al heel snel, misschien wel te snel, het
woord "kracht". Als ons gevraagd wordt hoe het komt dat iets valt, dan zeggen we al gauw :
Dat komt door de zwaartekracht!
Maar veel meer kunnen we niet over de zwaartekracht zeggen. En als er wat over gezegd
wordt dan is het vaak nog fout ook. Zo kun je wel eens horen dat de zwaartekracht een
magnetische kracht is. We hebben in de derde klas gezien dat dit fout is. Ook kun je wel eens
horen dat de zwaartekracht niet verder rijkt dan de dampkring. Dat is ook fout. De maan heeft
geen dampkring en toch is er zwaartekracht.
Galileï was van mening dat het zoeken naar de oorzaak van een beweging begint met het
nauwkeurig opmeten van hoe iets beweegt. Met, naar onze maatstaven, zeer gebrekkige
meetapparatuur onderzocht hij de zwaartekracht door te meten aan voorwerpen die bewegen
als gevolg van de zwaartekracht.
Jij gaat dit onderzoek nu zelf met modernere apparatuur doen.
4V werkboek 1
BK1
54
Vallende voorwerpen
Opgave 1
Men laat een kogel vanaf 1,00 m hoogte vallen.
a
b
c
Is deze beweging rechtlijnig?
Is deze beweging eenparig rechtlijnig?
Schets de plaats-tij d-grafiek van deze beweging. Kies
daarbij het punt van loslaten als O-punt. Het laagste
punt dat de kogel bereikt is dus 1,00 m. Veronderstel
dat de kogel 0,50 s over de val doet.
d
Door welke kracht wordt de beweging veroorzaakt?
e
De proef wordt herhaald met een twee keer zo zware
kogel.
Hoe zal de grafiek veranderen denk je?
Galileï bestudeert de valbeweging
BK 1 Vallende voorwerpen
4V werkboek 1
55
BK 1 Vallende voorwerpen
Opgave 2
We gaan de beweging van vallende kogels nu nauwkeurig onderzoeken.
Bij onze meetopstelling kunnen we gelukkig gebruik maken van elektronische apparatuur (die
ten tijde van Galileï nog niet bestond).
Een kogel wordt opgehangen aan een elektromagneet. Met een druk op de knop wordt de
stroom in de spoel uitgeschakeld en
tegelijkertijd een elektronische klok
ingeschakeld. De kogel valt op een
schakelaar die de klok stil zet. De valtijd kan
worden afgelezen.
Vraag het materiaal voor de valproef en
maak de opstelling van figuur 1-lb volgens
het schema van figuur 1-la. Laat de
schakeling controleren voordat je de
spanning inschakelt.
Benodigdheden: moduul, 1 spoel van 1200
windingen met kern, 2 schakelaars, 1 teller,
fig 1-1b
fig 1-la
1 tafelklem, 1 statiefstang van 120 cm, 1 T klem, een stalen, een plastic en een houten kogel, 2
snoeren met zwarte stekers, 2 snoeren met rode stekers, 2 speciale snoeren en 1 meetlat.
a Hang de kogel op ongeveer 1 m hoogte boven de schakelaar aan de spoel. Meet
vervolgens nauwkeurig de valafstand. Houd hierbij rekening met de diameter van de
kogel en de hoogte van de schakelaar.
b Meet de valtijd van de kogel drie keer. Hoe nauwkeurig is deze meting ?
c Herhaal b met een houten kogel en met een plastic kogel (een stukje ijzer in de houten
en in de plastic kogel zorgt ervoor dat de kogel aan de magneet blijft hangen).
Wat is je conclusie ?
d Meet de voltijden van de ijzeren kogel ook voor valafstanden van ongeveer 90, 80, 70,
4V werkboek 1
56
BK 1 Vallende voorwerpen
60, 50, 40, 30, 20, 10 en 5,0 cm. Meet wel telkens nauwkeurig de werkelijk ingestelde
afstand. Noteer je waarnemingen in de tabel.
valafstand ongeveer
90
80
70
60
50
40
30
20
10
valafstand precies
valtijd
e
f
g
Verwerk nu in figuur 1-2 je meetresultaten uit d en teken met potlood een mooie
vloeiende kromme de afstand-tijd-grafiek van de vallende kogel.
Ga na of je grafiek klopt met de
volgende gemeten valtijden. Je
kunt hieraan zien of je
voldoende nauwkeurig gewerkt
hebt. Bij 36 cm hoort ongeveer
0,27 s; bij 53 cm 0,33 s en bij
75 cm hoort 0,39 s.
Hoe hoog is de kogel op 0,40 s.
Opgave 3
a
Bereken de snelheid van de
kogel op 0,30 s met de
raaklijnmethode.
b
Bereken de snelheid op andere
tijdstippen en maak een
snelheid-tijd-grafiek voor de
beweging van de vallende kogel.
c
Hoe blijkt uit je grafiek dat de
beweging van de vallende kogel een
eenparig versnelde beweging is?
d
Bereken de versnelling van de
vallende kogel.
e
Stel de snelheidsformule op voor de beweging van de vallende kogel.
fig 1-2
5
4V werkboek 1
f
g
57
BK 1 Vallende voorwerpen
Waarom mag je zeggen dat de houten en de plastic kogel ook vallen met de versnelling
uit d?
Bereken met de snelheid-tijd-grafiek de afstand op 0,27 s en vergelijk deze uitkomst
met de grafiek in figuur 1-2.
Opgave 4
a Haal een met olie gevulde buis, waarin een kogel zit en onderzoek wat voor soort
beweging deze kogel uitvoert als de buis verticaal gehouden wordt.
b Wat voor soort beweging zou de kogel uitvoeren als er geen olie, maar lucht in de buis
zou zitten?
c Welke krachten werken er op de kogel tijdens de beweging in de buis met olie?
Opgave 5
a
Laat tegelijkertijd een stalen kogel en een stukje schuimplastic van ongeveer 2,0 m
hoogte vallen en kijk welk voorwerp het eerste beneden is.
b
Haal een (vrijwel) luchtledige buis waarin een stalen kogel en een stukje schuimplastic
zitten en onderzoek of je daarbij hetzelfde verschil waarneemt als bij a.
c Wat was er bij a de oorzaak van dat de kogel en het stukje schuimplastic niet dezelfde
valtijd hadden?
d
•
•
•
•
e
f
In vacuüm is er geen luchtweerstand
Het blijkt dat in vacuüm alle voorwerpen op precies dezelfde manier vallen.
Als de invloed van de luchtweerstand verwaarloosd mag worden, blijkt de
Beweging van alle vallende voorwerpen eenparig versneld te zijn met een
versnelling van 9,8 m/s2.
De snelheidsformule is dan v = 9,8.t. Onthoud deze formule
Als men een stalen kogel en een tafeltennisballetje van dezelfde afmetingen laat vallen,
dan is er een duidelijk verschil in de valtijd over de eerste twee meter. Waarom heeft
hier de luchtweerstand wel een duidelijk merkbare invloed op de beweging van het
tafeltennisballetje, maar geen merkbare invloed op de beweging van de stalen kogel?
4V werkboek 1
•
58
BK 1 Vallende voorwerpen
Bij vallende voorwerpen hebben we altijd te maken met de luchtweerstand,
tenzij we de proef in het luchtledige uitvoeren.
De luchtweerstand is groter naarmate de snelheid van een voorwerp groter is.
Bij grote snelheden zal de luchtweerstand dus altijd een rol gaan spelen.
De luchtweerstand is ook groter naarmate de afmetingen van het vallende
voorwerp groter zijn.
We mogen de invloed van de luchtweerstand verwaarlozen als de zwaartekracht
veel groter is dan de luchtweerstand.
•
•
•
Nauwkeurige metingen leren dat de valversnelling op de noordpool 9,832 m/s2 is en op de
evenaar 9,780 m/s2. Dit komt doordat de aantrekkingskracht van de aarde niet overal even
groot is. Binas vermeldt als gemiddelde waarde 9,81 m/s2.
Het blijkt dat de getallen van de valversnelling precies hetzelfde zijn als de getallen voor de
zwaartefactor. De zwaartefactor geeft de zwaartekracht per kg. Het wordt weergegeven met
symbool g.
De zwaartefactor op de noordpool is 9,832 N/kg.
De valversnelling op de noordpool is 9,832 m/s2.
Het is niet zo verwonderlijk dat de zwaartefactor en de valversnelling met elkaar te maken
hebben. Een voorwerp krijgt immers een grotere versnelling als de kracht met de versnellende
werking groter is. Een grotere zwaartefactor heeft dus een grotere versnelling tot gevolg.
Opgave 6
Als we de metingen uit 2 met de stalen kogel herhalen in een luchtledige buis van 1,00 m
lengte, dan vinden we dezelfde plaats-tijd-grafiek. Hieruit volgt dat bij een proef als in 2 de
invloed van de luchtweerstand verwaarloosd mag worden.
a
Is het juist te veronderstellen dat voor een vallende kogel onbeperkt de
snelheidsformule v = 9,8.t geldt?
Licht het antwoord toe.
b
Als men van zeer grote hoogte een stalen kogel laat vallen, dan blijkt deze aanvankelijk
eenparig versneld te bewegen, maar het laatste gedeelte van de beweging is eenparig.
Wanneer is de luchtweerstand op de kogel niet meer verwaarloosbaar ten opzichte van
de zwaartekracht?
4V werkboek 1
59
BK 1 Vallende voorwerpen
Opgave 7
De stalen kogel uit vraag 2 valt met een versnelling van 9,8 m/s2. Als we aan deze kogel een
ballon bevestigen, dan heeft de luchtweerstand een duidelijk merkbare invloed op de
beweging. Bij een bepaalde ballon krijgt men een snelheid-tijd-grafiek zoals weergegeven
met A in figuur 1-3.
fig 1-3
a
Bij welke beweging hoort de onderbroken lijn?
b
Wat gebeurt er met de snelheid van de kogel vanaf 3,2 s?
c
Beweegt de kogel tussen 0 en 3,2 s versneld?
d
Wat kun je zeggen van de versnelling van de kogel tussen 0 en 3,2 s?
e
Hoe blijkt uit de proef dat de luchtweerstand van de snelheid afhangt?
f
Bij welke snelheid is de luchtweerstand gelijk geworden aan de zwaartekracht?
g
Teken in figuur 1-3 hoe de grafiek zou zijn als op 2,0 s de bevestiging tussen de kogel
en de ballon loslaat.
4V werkboek 1
60
BK 1 Vallende voorwerpen
Opgave 8
Op 1200 m hoogte hangt een helikopter. Op 0 s springt er een parachutist uit. Zie figuur 1-4.
De beweging is in het begin versneld, maar met het
toenemen van de snelheid wordt ook de luchtweerstand
groter, zodat na 6,0 s de beweging eenparig is met een
snelheid van 40 m/s naar beneden.
Op 10 s is de parachutist op 900 m hoogte.
a
Op welke hoogte is de parachutist op 20 s?
Op 25 s wordt de parachute opengetrokken. De
snelheid verandert dan in zeer korte tijd van 40 m/s tot
1,5 m/s. De parachutist valt verder eenparig met de
snelheid van 1,5 m/s tot hij op de grond is.
fig
1-4
b
Teken nauwkeurig de bijbehorende hoogte-tijd-grafiek van 0 s tot 100 s. Hierin kan dus
de hoogte van de parachutist direct worden afgelezen als functie van de tijd. Het
beginstuk tot 6,0 s mag je schetsen.
c
Teken nauwkeurig de snelheid-tijd-grafiek van de beweging van 0 s tot 100 s.
Neem hierbij de negatieve richting naar beneden.
d
Open de applet "parachutist". Je kunt tijdens de val de parachute openen.
Waaruit blijkt dat hier de luchtweerstand tijdens de vrije val verwaarloosd wordt?
Onderzoek ook hoe groot de parachute moet zijn om een parachutist van 75 kg met een
snelheid van 8,0 m/s neer te laten komen.
4V werkboek 1
60
BK 1 Vallende voorwerpen
4V werkboek 1
61
BK 1 Vallende voorwerpen
Opgave 9
Als aan het oppervlak van de planeet Mars op 6,0 m hoogte een steen wordt losgelaten dan is
de steen na 1,8 s bij de grond.
a
Bereken de gemiddelde snelheid tijdens de val.
b
Bereken de eindsnelheid.
c
Bereken de valversnelling op Mars.
d
Controleer in BINAS je uitkomst bij c.
e
Open de applet "vallen" en controleer de uitkomsten bij deze opgave,
f
Bereken met deze applet de valversnelling op aarde en op de maan.
Opgave 10
Een kogel wordt met een snelheid van 22,6 m/s van een toren naar beneden gegooid. Na
2,35 s bereikt de kogel de grond. De luchtweerstand mag worden verwaarloosd.
a
Hoe groot is de snelheid op 0 s (dat is direct na het loslaten)?
b
Stel de snelheidsformule op voor deze beweging.
c
Met welke snelheid komt de kogel beneden aan?
d
Bereken de gemiddelde snelheid voor het hele traject.
e
Bereken hoe hoog de toren is.
4V werkboek 1
62
BK 1 Vallende voorwerpen
Opgave 11
Een kogel wordt op 0 s op een hoogte van 1,00 m losgelaten. Van de beweging van de kogel
is een stroboscopische foto gemaakt. Bij een stroboscopische opname wordt in een donkere
ruimte met korte tussenpozen geflitst, terwijl de sluiter van de
camera open blijft staan. Zo komen er op één negatief
verschillende beelden van de kogel. Elk van deze beelden geeft
de plaats aan van de kogel tijdens een flits.
Figuur 1-5 toont de stroboscopische opname van de vallende
kogel.
De flitsfrequentie is 30 Hz. (30 flitsen per seconde). Op de
meetlat kun je de afstand aflezen. Op 0 s is de plaats van de
kogel 0 m.
a
Bereken de tijd tussen twee opeenvolgende flitsen.
b
Bereken de gemiddelde snelheid van de kogel tussen de
laatste twee opnamen.
c
Bereken met je antwoord uit b hoeveel afbeeldingen van
de kogel er op de foto staan.
fig 1-5
4V werkboek 1
63
BK 1 Vallende voorwerpen
Opgave 12
Een tennisbal wordt op 0,80 m boven een tafel losgelaten. Zie figuur l-6a. In figuur l-6b is
de snelheid van de bal gegeven als functie van de tijd, tot het moment dat de bal (na het
stuiteren) weer zijn hoogste punt bereikt.
a
fig 1-6
b
a
Op welk tijdstip stuitert de bal op de tafel?
b
Op welk tijdstip bereikt de bal na het stuiteren weer zijn hoogste punt?
c
Leg uit of de luchtweerstand tijdens het vallen verwaarloosbaar is.
d
Bereken hoe hoog de bal na de eerste keer stuiteren komt.
e
Schets hieronder de plaats-tijd-grafiek van de beweging van de bal tussen 0 en 0,6 s.
4V werkboek 1
64
BK 1 Vallende voorwerpen
In onderdeel e werd je gevraagd een grafiek te schetsen. Wat wordt daarmee bedoeld? Is dat
iets anders dan nauwkeurig tekenen?
We spreken nu af datje bij schetsen de belangrijke punten zoals begin- en eindpunt, hoogste
en laagste punt moet proberen aan te geven en dat verder bij het verloop van de grafiek alleen
de vorm juist moet zijn; loopt de lijn recht of steeds steiler of steeds minder steil? Voldoet je
grafiek bij e hieraan?
Als je een grafiek moet tekenen dan moeten alle punten van de grafiek correct zijn.
f
Teken hieronder de versnelling-tijd-grafiek van de beweging van de tennisbal tussen
0 en 0,6 s.
g
Wat is het verschil als men je vraagt een grafiek te schetsen of als men je vraagt een
grafiek te tekenen?
4V werkboek 1
65
BK 1 Vallende voorwerpen
Opgave 13
Een stalen kogeltje hangt aan een elektromagneet. Het hangt recht boven een cilinderglas
waarin zich glycerol bevindt (zie figuur l-7a). Deze figuur is niet op schaal getekend. De
stroom door de spoel van de elektromagneet wordt verbroken, zodat het kogeltje valt. De
valbeweging wordt onderzocht door de tijd te meten die verloopt tijdens het afleggen van de
afstand AX. Dit gebeurt als volgt: op het moment dat het kogeltje punt A passeert,
onderbreekt het een lichtstraal tussen lampje L1 en fotocel F1 Hierdoor start een klok (t = 0).
De klok stopt weer bij het onderbreken van de lichtstraal tussen L2 en F2. De aldus gemeten
tijd noemen we de valtijd tussen A en X. De plaats van A verandert gedurende het
experiment niet. Door de houder met L2 en F2 verticaal te verplaatsen kan de afstand AX
worden gevarieerd. In figuur 1 -7b is de hoogte uitgezet als functie van de bijbehorende
valtijd.
a
a
fig 1-7
b
b
Bepaal met behulp van figuur l-7b de grootte van de snelheid van de kogel op 15 cm
hoogte.
Wat voor beweging voert de kogel uit in de glycerol?
c
Bepaal de afstand tussen punt A en het vloeistofoppervlak.
d
Bepaal de grootte van de snelheid van het kogeltje op het moment t = 0 als het punt A
passeert.
4V werkboek 1
66
BK 1 Vallende voorwerpen
Samenvatting BK 1
■
Als voorwerpen uitsluitend onder invloed van de zwaartekracht bewegen
dan is die beweging eenparig veranderlijk. De snelheidsgrafiek is een rechte
lijn.
■
Als de luchtweerstand te verwaarlozen is dan vallen alle voorwerpen op
precies dezelfde manier.
■
De valversnelling hangt af van de plaats op aarde. De gemiddelde waarde
van de valversnelling is 9,81 m/s2.
■
De grootte van de luchtweerstand die een voorwerp ondervindt, hangt af van
de afmetingen van het voorwerp en van de snelheid van het voorwerp.
4V
werkboek 1
67
BK 2 Kracht en versnelling
BK 2 Kracht en versnelling
Over krachten hebben we al een aantal zaken geleerd:
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Een voorwerp dat stil ligt, komt in beweging onder invloed van een kracht. Als de
krachten elkaar opheffen dan blijft het voorwerp stil liggen.
Een kracht in de richting van de beweging noemen we een kracht met versnellende
werking.
Een kracht tegen de bewegingsrichting in noemen we een kracht met vertragende
werking.
Als de krachten met versnellende werking groter zijn dan de krachten met vertragende
werking dan is de beweging versneld.
Als de krachten met versnellende werking kleiner zijn dan de krachten met vertragende
werking dan is de beweging vertraagd.
Als de krachten met versnellende werking even groot zijn als de krachten met
vertragende werking dan beweegt het voorwerp eenparig.
In tekeningen worden krachten aangegeven met pijlen.
De richting van de pijl komt overeen met de richting van de kracht en de lengte van de
pijl komt overeen met de grootte van de kracht.
De pijlen, die de krachten op een voorwerp weergeven, worden getekend vanuit het
midden van het voorwerp.
Opgave 1
a
Welke krachten werken er op de kogel die in de buis met olie eenparig naar
beneden beweegt?
b
Zijn deze krachten even groot? Licht je antwoord toe.
Krachten meten we met een geijkte veer. Als eenheid van kracht is de newton
afgesproken. De grootheid massa kennen we als maat voor de hoeveelheid stof. Als
eenheid van massa is de kilogram afgesproken.
De zwaartekracht die op een massa van1,000 kg werkt, is niet overal even groot. Op de
evenaar is deze kracht 9,780 N en op de noordpool 9,832 N. Neem je dit stuk ijzer mee
naar het maanoppervlak dan is het nog steeds 1,000 kg ijzer, maar de zwaartekracht is
nu nog slechts 1,620 N want de geijkte veer geeft nu 1,620 N aan. De hoeveelheid ijzer
is nog steeds hetzelfde, maar de zwaartekracht die erop werkt is veel minder.
De zwaartefactor op de evenaar is 9,780 N/kg en de zwaartefactor op de noordpool is
9,832 N/kg en de zwaartefactor op de maan 1,620 N/kg.
De gemiddelde waarde van de zwaartefactor aan het aardoppervlak is 9,81 N/kg.
4V
werkboek 1
68
BK 2 Kracht en versnelling
Opgave 2
Beantwoord de volgende vragen en gebruik eventueel Overzicht en Oefening klas 2
hoofdstuk 4 St 1 tot en met St4 over hoeveelheid stof, volume, massa en gewicht.
a
Hoe is de eenheid van massa afgesproken?
b
Hoe bepaal je de massa van een voorwerp?
c
Waarom is de zwaartekracht die op een voorwerp werkt niet goed bruikbaar om een
hoeveelheid stof op te geven?
d
Wat is het volume van een voorwerp?
e
Waarom is het volume niet goed bruikbaar om een hoeveelheid stof op te geven?
f
Waarom is de massa van een voorwerp wel goed bruikbaar om de hoeveelheid stof van
een voorwerp op te geven?
Opgave 3
In Bussum geldt voor de zwaartefactor: g = 9,813 N/kg.
a
Bereken de zwaartekracht op 784 g lood in Bussum.
We laten dit stuk lood van twee meter hoogte vallen. De luchtweerstand mag dan
verwaarloosd worden.
b
Welke versnelling krijgt het stuk lood?
In BK1 merkten we al op dat de valversnelling gelijk is aan de zwaartefactor.
Om de zwaartekracht te berekenen moet de massa van een voorwerp vermenigvuldigd
worden met de zwaartefactor.
Fz = m.g
De valversnelling is gelijk is aan de zwaartefactor. Je kunt de zwaartekracht dus ook
berekenen met massa x valversnelling
Dit is een opvallend eenvoudig verband tussen de kracht op een voorwerp en de versnelling
die het voorwerp als gevolg daarvan krijgt.
4V
werkboek 1
69
BK 2 Kracht en versnelling
In 1687 werd het grote werk van Newton gepubliceerd; Phylosophiae naturalis principia
mathematica (Wiskundige beginselen van de natuurfilosofie). Een van de resultaten van deze
geschriften, die bekend staan als Newton's Principia, is dat het bovenstaande eenvoudige
verband tussen massa, kracht en versnelling niet alleen voor de bewegingen als gevolg van de
zwaartekracht geldt maar voor alle bewegingen.
Als er een kracht op een massa werkt, dan verandert de snelheid van die massa.
De versnelling die de massa dan krijgt kan berekend worden met de wet van
Newton :
F=m.a
a
m
F
is de versnelling in m/s2
is de massa in kg
is de kracht in N.
Als op een massa van 1 kg een kracht werkt die een versnelling van 1 m/s2 tot
gevolg heeft, dan is die kracht 1 N groot.
4V
werkboek 1
70
BK 2 Kracht en versnelling
Opgave 4
Voor vallende voorwerpen kenden we deze wet dus eigenlijk al. Beantwoord voor de
gegevens van opgave 3 de volgende vragen.
a
Hoe groot is de kracht?
b
Hoe groot is de massa?
c
Ga na dat hier met F = m.a inderdaad de versnelling wordt gevonden.
d
Leg uit waarom een voorwerp waarop een zwaartekracht werkt van 4,3 N en een
voorwerp waarop een zwaartekracht werkt van 9,5 N dezelfde valversnelling hebben.
Opgave 5
Als op de maan een voorwerp met een massa van 2,5 kg op 4,0 m hoogte wordt losgelaten
dan bereikt het na 2,2 s de grond. (In opgave 1 vind je de zwaartefactor)
a
Toon aan dat het voorwerp de grond bereikt met een snelheid van 3,6 m/s.
b
Bereken de versnelling tijdens de val.
c
Bereken de zwaartekracht die het voorwerp tijdens de val ondervindt
d
Hoe groot is de zwaartefactor op de maan?
In de nu volgende opgaven ga je leren hoe je met de wet van Newton moet omgaan als er
behalve de zwaartekracht ook nog andere krachten een rol spelen.
4V
werkboek 1
71
BK 2 Kracht en versnelling
Opgave 6
Op de luchtglijbaan wordt een glijdertje van 83 g in beweging gebracht door een propeller.
Zie figuur 2-1.Tijdens de proef is de kracht van de propeller voortdurend 0,53 N. Bij het
begin van de proef stond het glijdertje stil; v(0) = 0 m/s. De plaats van het glijdertje op de
verschillende tijdstippen werd nauwkeurig gemeten en is in de onderstaande tabel vermeld.
plaats (m) tijd (s)
0
0,10
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0
0,18
0,25
0,35
0,43
0,50
0,55
fig 2-1
a1 Bereken uit plaats en tijd op t = 0,35 s de gemiddelde snelheid tussen 0 en 0,35 s.
a2 Bereken hieruit de versnelling tussen 0 en 0,35 s.
b
Voer dezelfde berekening uit voor t = 0,55 s.
Je zou kunnen nagaan dat voor alle andere tijden dezelfde versnelling gevonden wordt.
De beweging is dus eenparig versneld.
c
Op het glijdertje werken drie krachten. Teken in figuur 2-1 de krachten volgens de
afspraken die aan het begin van KE 2 zijn genoemd. Geef aan hoe groot ze zijn.
d
Er zijn twee krachten die elkaars werking opheffen. Welke?
e
Leg uit waarom we in dit geval kunnen zeggen dat de versnelling veroorzaakt wordt
door een kracht van 0,53 N.
In deze opgave werken er drie krachten op de glijder. Het effect van deze drie krachten is
even groot als van één kracht van 0,53 N. We noemen deze kracht de resultante van de
drie krachten. De resultante is de "netto kracht"
4V
werkboek 1
72
BK 2 Kracht en versnelling
Opgave 7
Ga op de luchtglijbaan in het kabinet globaal na
a
welke soort beweging er ontstaat als een glijdertje met draaiende propeller wordt
losgelaten.
b
hoe deze beweging verandert als de massa verdubbeld wordt (dus als er een tweede
glijdertje bij geplaatst wordt).
c
hoe deze beweging verandert als het glijdertje door twee propellers wordt
aangedreven.
Opgave 8
Men heeft de volgende vijf proeven op een luchtglijbaan uitgevoerd. Bij verschillende
propellerkrachten en massa's werd de versnelling bepaald.
Bij elk van de vijf proeven wordt uitgegaan van een stilstaand glijdertje (v0 = 0 m/s).
I
II
III
IV
IV
Er wordt een glijdertje van 0,125 kg gebruikt. De propellerkracht is 0,050 N.
Er wordt met dezelfde propeller aan een glijdertje van 0,250 kg getrokken.
Er wordt met dezelfde propeller aan een glijdertje van 0,375 kg getrokken.
Er wordt een glijdertje van 0,125 kg gebruikt en er wordt aan het glijdertje met een
propellerkracht van 0,150 N getrokken.
Er wordt aan hetzelfde glijdertje met een propeller-kracht van 0,300 N getrokken.
De meetresultaten zijn in onderstaande tabel weergegeven.
I
II
III
IV
V
massa
propellerkracht
versnelling
0,125 kg
0,250 kg
0,375 kg
0,125 kg
0,125 kg
0,050 N
0,050 N
0,050 N
0,150 N
0,300 N
0,41 m/s2
0,20 m/s2
0,14 m/s2
1,2 m/s2
2,5 m/s2
a
Waarom heeft bij al deze experimenten de zwaartekracht geen invloed op de
versnelling?
b
Wat is hier telkens de resultante?
c
Ga voor alle proeven na dat geldt: F = m.a.
4V
werkboek 1
72
BK 2 Kracht en versnelling
Opgave 9
Op de luchtglijbaan wordt nog een meting gedaan met een glijder van 0,250 kg. Deze
beweging is eenparig versneld met een versnelling van 0,60 m/s2. De beweging begint vanuit
stilstand.
a Bereken de zwaartekracht.
b
Bereken de propellerkracht.
c
Hoe groot is de resultante?
d
Bereken de afstand die het glijdertje in de eerste 1,5 seconden zal afleggen.
Opgave 10
Op een glijder van 2,0 kg op een luchtglijbaan werkt een horizontale kracht van 3,0 N.
a
Bereken de versnelling.
b
Hoelang moet deze kracht werken om de snelheid op 15 m/s te brengen?
Opgave 11
Een kracht van 5,0 N geeft aan een voorwerp A een versnelling van 2,0 m/s2. Dezelfde kracht
geeft een voorwerp B een versnelling van 8,0 m/s2.
Beide voorwerpen worden aan elkaar vastgemaakt. Aan dit nieuwe voorwerp wordt met een
kracht van 5,0 N getrokken.
Bereken de versnelling die het voorwerp krijgt.
Opgave 12
Op een stilstaand glijdertje van 100 g op een luchtglijbaan werkt van 0 s tot 0,90 s een kracht
naar rechts. Tijdens deze 0,90 s verplaatst het glijdertje zich over 0,80 m.
a
Bereken de versnelling.
b
Bereken de kracht.
c
Open de applet "Wet van Newton". Een massa M wordt door een klein gewichtje aan
een touwtje versneld. Er wordt gemeten tot de glijder een poortje op de baan passeert.
Dit poortje kun je verschuiven. Voer de applet uit waarbij je de massa van de glijder
verdubbelt. Let op wat er met de versnelling gebeurt.
4V
werkboek 1
74
BK 2 Kracht en versnelling
Opgave 13
Op een glijdertje van 200 g wordt een horizontale kracht van 0,50 N uitgeoefend
a
Bereken de versnelling die het glijdertje krijgt.
b
c
Zou het dezelfde versnelling krijgen als er naast deze kracht van 0,50 N een tweede
kracht van 0,10 N zou werken in de tegengestelde richting?
Teken de krachten uit b schematisch met pijlen.
d
Welke kracht zou dezelfde uitwerking hebben als de twee getekende krachten uit c?
e
Hoe groot is nu de resultante?
f
Bereken met de resultante de versnelling die het glijdertje krijgt.
•
•
•
Als je de versnelling wilt berekenen en er werken meerdere krachten op een
voorwerp dan moeten eerst alle krachten vervangen worden door één kracht.
Deze kracht noemen we de resultante van de krachten. We geven deze aan met
ΣF. Het teken Σ (spreek uit sigma) is de Griekse hoofdletter S. Dit teken wordt
in de wiskunde algemeen gebruikt als sommatieteken. De resultante van de
krachten is dus de optelsom van alle krachten op het voorwerp.
De wet van Newton wordt geschreven als: ΣF = m.a.
4V
werkboek 1
75
BK 2 Kracht en versnelling
Opgave 14
Op een horizontaal tafelblad ligt een blok hout van 0,25 kg. Als men in horizontale richting
aan het blok hout trekt met een kracht van 2,3 N dan gaat het bewegen met een versnelling
van 5,6 m/s2. Zie figuur 2-2.
a Bereken de resultante van
krachten.
b Bereken de grootte van de
glijweerstand.
fig 2-2
c Welke vier krachten werken er tijdens de beweging op het blok hout? Geef van elke
kracht de naam en de grootte.
d Teken het blok hout en de vier krachten. Neem 1 cm voor 1 N.
Opgave 15
Een auto van 800 kg heeft een snelheid van 30 m/s. Op
0 s wordt geremd. De remweg van de auto is 60 m.
Figuur 2-3.
a Bereken de vertraging van de auto
b Bereken de kracht waarmee geremd wordt
fig 2-3
c Teken de remkracht in de figuur.
Opgave 16
De auto uit opgave 15 rijdt vanuit stilstand weg. De motorkracht bedraagt 2,0 kN
a
Bereken de versnelling die de auto zou krijgen als de weerstand te verwaarlozen zou
zijn.
In werkelijkheid is de versnelling 2,0 m/s2
b Bereken de resultante ΣF.
c
Bereken de grootte van de weerstand
4V
werkboek 1
76
BK 2 Kracht en versnelling
Opgave 17
Iemand laat vanaf de domtoren een kartonnen doos naar beneden vallen. In figuur 2-4 is de
snelheid-tijd-grafiek van doos gegeven. De massa van de doos is 80 g.
fig 2-4
a
Bereken de zwaartekracht (Fz) op de doos.
b
Hoe kun je zien dat de luchtweerstand tijdens de val steeds groter wordt?
c
d
Geef in de tekening de krachten aan die tijdens de val op de doos
werken en schrijf de namen erbij.
Bereken met de raaklijn-methode de versnelling op 0 s.
e
Leg uit hoe groot de luchtweerstand op 0 s is.
f
Bereken de versnelling op 1,0 s
g
Bereken de resultante ΣF van de krachten op 1,0 s.
h
Bereken de weerstand op 1,0 s
i
Bereken op dezelfde manier de weerstand op 2,0 s.
j
Hoe groot is de weerstand na 3,2 s?
k
Leg uit waarom de weerstand na 3,2 s niet meer toeneemt.
1
Schets hoe de grafiek verandert bij gebruik van een grotere doos van 80 g.
m
Schets hoe de grafiek zou lopen voor een loden kogel van 80 g.
4V
werkboek 1
77
BK 2 Kracht en versnelling
Opgave 78
In figuur 2-5 geeft lijn a de snelheid-tijd-grafiek van een auto die vanuit stilstand met vol gas
wegrijdt.
fig 2-5
a
Teken in figuur 2-6 de krachten die direct na 0 s op de
auto werken Schrijf de namen erbij.
b
Tussen welke tijdstippen is de beweging eenparig
versneld?
c
Hoe komt het dat de versnelling in de loop van de tijd kleiner wordt?
d
Vanaf welk tijdstip is de versnelling 0?
e
Wat kun je zeggen van de resultante tijdens deze beweging?
f
Bereken de versnelling op 0 s.
g
Bereken de resultante op 0 s als gegeven is dat de massa van de (niet beladen) auto
15,6.103kg is.
h
Als nog gegeven is dat de (constante) rolweerstand 20 kN bedraagt, bereken dan de
grootte van de motorkracht in het begin.
i
Vergelijk de grootte van de weerstand en de grootte van de motorkracht als de
versnelling nul is geworden.
fig 2-6
4V
werkboek 1
78
BK 2 Kracht en versnelling
Opgave 19
In figuur 2-5 geeft lijn b de snelheid-tijd-grafiek van de auto uit 18 wanneer deze beladen
vanuit stilstand vol gas wegrijdt.
a
Wat kun je over de grootte van de motorkracht zeggen bij beide bewegingen?
b
Tussen welke tijdstippen is bij lijn b de beweging eenparig versneld?
c
Tot welke snelheid is bij elk van de auto's de beweging eenparig versneld?
d
Welk verschil merk je op in het eenparig versnelde deel als je de bewegingen
vergelijkt?
De grootte van de weerstand bij een onbeladen en een beladen auto zal niet zoveel
verschillen. Dit komt doordat de weerstand voornamelijk veroorzaakt wordt door de
luchtweerstand en die is voor een beladen en een onbeladen auto hetzelfde.
e
Wat kun je over de topsnelheid bij beide bewegingen uit figuur 2-5 zeggen als je de
weerstand in beide gevallen even groot veronderstelt?
f
Bereken de versnelling van de beladen auto op 0 s.
g
Bereken de massa van de beladen auto.(De motorkracht heb je bij 18 h al
berekend)
4V
werkboek 1
79
BK 2 Kracht en versnelling
Opgave 80
In figuur 2-7 is weergegeven hoe voor een bepaalde auto met een massa van 960 kg de
weerstand afhangt van de snelheid. De vorm van de grafiek kan als volgt verklaard worden.
Een deel van de weerstand is de rolweerstand. Deze treedt op doordat tijdens het rollen de
banden steeds opnieuw op een andere plaats worden ingeduwd. De rolweerstand blijkt
nauwelijks afhankelijk van de snelheid te zijn. (In dit voorbeeld is de rolweerstand 100 N).
fig 2-7
Een ander deel van de weerstand is de luchtweerstand. Deze is bij lage snelheid nauwelijks
merkbaar en is wel duidelijk afhankelijk van de snelheid.
a
Hoe groot is bij 30 m/s de luchtweerstand?
b
Hoe groot moet de motorkracht zijn als de auto constant met een snelheid van 25 m/s
rijdt?
c
Bereken de versnelling van de auto bij een snelheid van 20 m/s als de
motorkracht 400 N is.
Als een voorwerp met niet al te grote snelheid over een oppervlak glijdt of gesleept wordt dan
is er glijweerstand. De glijweerstand hangt af van de aard van de oppervlakken die langs
elkaar heen glijden en van de mate waarin ze tegen elkaar aan gedrukt worden. De
glijweerstand is vrijwel niet afhankelijk van de snelheid.
We kennen nu dus drie typen weerstand: de luchtweerstand, de glijweerstand en de
rolweerstand. De eerste hangt sterk van de snelheid af. De andere twee nauwelijks.
4V
werkboek 1
80
BK 2 Kracht en versnelling
Opgave 21
Als je in het verkeer rijdt is het belangrijk voldoende afstand te houden. Een auto van 800 kg
rijdt met een snelheid van 10 m/s en ziet plotseling iemand oversteken. Hij besluit direct zo
snel mogelijk te stoppen. In figuur 2-8 is met lijn A de snelheid-tijd-grafiek getekend van
deze auto. Het moment dat de automobilist de persoon ziet is in de grafiek met een pijl
aangegeven. We verwaarlozen de luchtweerstand bij deze opgave.
fig 2-8
a
fig 2-9
b
De tijd die verstrijkt tussen het zien en het indrukken van de rem wordt veroorzaakt
door de reactietijd. Hoeveel bedraagt de reactietijd van de automobilist?
Bereken de afstand die hij bij beweging A in deze tijd nog aflegt.
c
Bereken de afstand die hij nog aflegt tijdens het afremmen.
d
Bereken de remkracht
e
Bij remmen maakt men wel onderscheid tussen de remafstand en de stopafstand. Met
remafstand bedoelt men de afstand die tijdens het remmen wordt afgelegd.
Hoe groot is de stopafstand hier?
f
In figuur 2-9 is de remafstand als functie van de snelheid weergegeven. Ga na dat de
remafstand bij 30 m/s juist is weergegeven.
4V
werkboek 1
81
BK 2 Kracht en versnelling
g
Open de applet "stopafstand". [leerl.menu-klas2-beweging] en onderzoek hiermee je
eigen reactietijd.
De stroefheid van de weg wordt aangegeven met een getal. Als je dit getal
vermenigvuldigt met de zwaartekracht vind je de maximale glijweerstand
h
Welk stroefheidsgetal is van toepassing op de grafiek van fig 2-9?
Samenvatting BK 2
■
Met een kracht kan een voorwerp versneld worden.
■
Als er meerdere krachten werken, dan moeten deze worden samengenomen.
De resultante van deze krachten (ΣF) en de massa (m) bepaalt de grootte van
de versnelling (a). De tweede wet van newton luidt: ΣF = m.a.
■
Als er geen versnelling is staat een voorwerp stil óf het beweegt eenparig. In
beide gevallen geldt dan dat ΣF = 0.
■
De luchtweerstand hangt sterk af van de snelheid; rolweerstand en
glijweerstand hangen niet noemenswaardig van de snelheid af.
Studiehulp 4V
82
Bel
Studiehulp Beweging
1a
b
c
d
e
f
g
Afstand delen door bijbehorend tijdsverloop.
Beweging met constante snelheid
Een beweging met constante snelheid.
Een grafiek waarbij de afstand is uitgezet als functie van de tijd.
De grafiek is dan een schuine rechte lijn. De helling is constant
Een beweging waarbij de snelheid steeds groter wordt. De grafiek loopt steeds steiler,
Een beweging waarbij de snelheid steeds kleiner wordt. De grafiek loopt steeds minder
steil.
2a
Vanuit stilstand komen beide op gang. Bij 172 m wordt Johan door Rudolf ingehaald.
Vanaf 20 s staat Rudolf stil bij 215 m en Johan bij 204 m.
→ Bereken eerst de afstand (65 m) en gebruik la.
8.1 m/s
2b
2c
2d
7,0-11,0s
15 m/s
→ Gebruik If.
→ Bereken eerst de afstand van het eenparige gedeelte (60 m) en
bedenk dat je voor een eenparige beweging de snelheid kunt
afstand
uitrekenen met.
tijdsduur
2e
20 m/s
→ Bereken de snelheid voor het steilste deel van de grafiek van
Rudolf met.
2f
0-7,0s
2g
6,0 m/s
2h
10,0 m/s
2i
ja
→ Bereken eerst de afstand tussen 2,0 en 4,0 s (12,0 m) en
gebruik la.
→ Bereken eerst de afstand tussen 4,0 en 6,0 s en gebruik la.
→ Gebruik lg.
Dat de snelheid constant is.
Dat de baan een rechte lijn is.
Ja.
Ja.
4a
8m/s
nee
tijdsduur
→ Gebruik lg
3a
3b
3c
3d
4b
afstand
→ Gebruik la.
→ Er is niet gegeven dat de beweging eenparig is.
Studiehulp 4V
83
Bel
afstand
4c
bij eenparige
beweging
→ Bij een eenparige beweging is de
gelijk aan de
tijdsduur
snelheid.
5a
0.18 km
→ Bereken eerst voor elk gedeelte de afstand uit de gegeven.
snelheid en tijdsduur (72 en 108m).
5b
5,0 m/s
→ Gebruik afstand
tijdsduur
5c
0,36 km
5d
5,5 m/s
→ Bereken eerst voor elk gedeelte de afstand uit de gegeven.
snelheid en tijdsduur (72 en 288m).
→ Gebruik afstand:tijd.
5e Hij rijdt veel langer met 6,0 m/s dan met 4,0 m/s.
6a
5,5 m/s
→ Gebruik de gemiddelde snelheid om de afstand uit te rekenen.
6b
5,0 en 15m/s
→ Bedenk dat 1 km = 1000 m en lh = 3600 s.
6c 10 m/s
→ ptellen en delen door 2.
6d Hij voert de snelheid niet gelijkmatig op.
7a
7b
7c
7d
→ Gebruik afstand:tijd.
De snelheid neemt niet gelijkmatig af. De auto rijdt langer met een lagere snelheid.
45 m
Een rechte lijn van 20 m/s naar 10 m/s.
10 m/s
Studiehulp 4V
1a 45 m
84
Be2
→ Zie afspraak in voorgaande tekst in boek.
1b Tussen 27,2 en 27,4
1c 3
2a De schaalverdeling.
2b Tot 0,1 mm. Je kunt tussen de mm-streepjes schatten.
3a
geen dm-streepjes
3b -
→ Let op het tussen de streepjes geschatte cijfer.
4a proef
4b tot 0,01s
→ Zie 2a.
4C tot ongeveer 0,1 s
→ Kijk naar de plaats van het onzekere cijfer in de proef bij a.
5 a/b proef
5c De manier van loslaten en de reactietijd zorgen voor verschillen van misschien wel
0,3 s.
5d Proef.
5e Het eerste cijfer achter de komma, want daar beginnen de verschillen. 5f
Afronden op het eerste cijfer achter de komma.
6
10,3 s
7a Tot 1 m
→ Bereken eerst het gemiddelde van alle metingen en gebruik.
→Net als 3b, je moet tussen de streepjes schatten.
7b 142 m/182 m
7c 142 m/182 m
→ Gebruik 7a.
7d 10,8 s/13,5 s
8 →
Zie uitleg in 8.
9a Tussen 31,8 en 32,2: het aantal dm is
onzeker.
9b Tussen 7,0 en 7,4 s.
9c v4,6 m/s
→ Neem 32,2 m voor de grootste waarde van de afstand en 7,0 s
voor de kleinste waarde in de tijd. Gebruik Bel-la.
Studiehulp 4V
85
Be3
→ Als 9c maar kies nu de kleinste waarde voor de afstand en de
9d 4,3 m/s
grootste waarde voor de tijd.
9e Eerste cijfer achter de komma, let op de cijfers die bij 9c en 9d verschillen.
9f
→ Zie 9e en de afspraak boven opgave 1.
4,4 m/s
10b 8,4 c 2,93 d 2,699 e 66 f 7
11a 1840m, du
vier cijfers
→ Bereken met de gegeven gemiddelde snelheid de afstand,
11b
2 cijfers
11c 12a 2,2-102
13
b
5,O10-3 c5,0-104d3,6-103
18-10-6m 51-106 J
15-106μg 50-109Nc
40 mm
50 nC
14b 8,3·1011
0,4-103mm
12-10-12Gm
→ Bij vermenigvuldigen worden machten opgeteld; bij delen
worden ze afgetrokken.
14c 2·103
14d 1,0·105
14e 1,0·105
15a 3,3·103 V en 3,3 kV
15b 2,1∙10-2 mm en 0,21m.
16a 22 km
16b 1,7 kg
16c 1,6 g/cm3
→ Bereken uit de gegeven snelheid de afstand. Gebruik 9f voor
het onzekere dus laatste cijfer.
Dichtheid is massa/volume en gebruik 9f voor het onzekere
dus laatste cijfer.
Studiehulp 4V
86
Be3
1a 1,3 cm
1b →
→ Bepaal met de gegeven lijn de plaats (boven) bij de tijd van 1 s (onder),
1c 8,4 s
→ Zie grafiek.
1d van 5,0-10,0s
→ Zie grafiek
1e van 5,0-10,0s
→ Zie grafiek
2a
2b
2c
2d
Op 3,0 s.
In negatieve richting.
15 m/s.
-15 m/s.
3a 5,0 m/s
→ Bepaal de verplaatsing
3b 10,0 m/s
uit grafiek Be3-4 (25,0m)
en gebruik Bel-la.
→ Als a.
3c Afstand : tijd geeft niet dezelfde uitkomst.
3d Steeds steiler wordende grafiek. Zie Bel-lg.
3e 2,0 4,0 6,0 8,0 10 12 14 16 18 en 20 m/s. Bedenk 1 km = 1000 m en 1 h = 3600 s.
4a 10m/s
→ Zie 3e.
4b 5,0 m/s
→ Lees afstand en tijd af..
4c Pas op 5,0 s is de snelheid 10 m/s daarvoor is hij kleiner.
4d
→ Bepaal dit uit de grafiek.
10m
10m/s
→ Gebruik Bel-la.
Gelijk.
Voor het tijdstip is de snelheid iets lager en na het tijdstip is de snelheid iets hoger; je
komt dan gemiddeld het beste uit.
.
s
5a 6,0 m/s
→ Bepaal eerst ∆s van 2,5 tot 3,5 s (6,0m) en gebruik v =
t
4e
4f
4g
4h
5b 12 m/s
→ Bepaal eerst ∆s van 5,5 tot 6,5 s(12m) en gebruik. v =
5 c 12 m/s
→ Bepaal eerst ∆s (18cm) en gebruik v=
s
t
s
t
Studiehulp 4V
5d
5e
5f
5g
5h
5i
5j
87
Be3
→
Je kunt de snelheden berekend in 3e gebruiken
2,0 m/s
Volgens de grafiek in d neemt de snelheid in 10 s toe van 0 tot 20 m/s
Bij de eenparige beweging is de snelheid-tijd-grafiek horizontaal. Bij de eenparig
versnelde beweging is de grafiek wel recht maar niet horizontaal dus schuin.
Bij hele kleine intervallen wordt het moeilijk om ∆s en ∆t nauwkeurig te bepalen.
Tot 1 m nauwkeurig.
Liefst meer dan 10 m want 1 m op 10 m is een fout van 10%.
→Gebruik v-∆s/∆t voor
het interval tussen 2,5 en
3,5 s, zoals in 4e/f.
→Trek de raaklijn in
grafiek bij 5,0 s bereken As
s van deze raaklijn
v
6a
6,0 m/s
6b
10,0 m/s
6c
6d
Klopt
als in b. De antwoorden moeten in
overeenstemming zijn met 3e.
Een lijn die de grafiek slechts in een punt snijdt;
lees de uitleg onder 6e voor het tekenen van een
raaklijn.
t
6e
7a
8,0 m/s
→ Als 4e/f, neem interval tussen 3,0 en 5,0 s
7b
7,0 m/s
→ Teken de raaklijn bij 14 s en bereken voor deze raaklijn.
8a
5,4 m/s
→ Ga na dat de auto vanaf 5,5 s eenparig rijdt en bereken voor
de beweging na 5,5 s.
8b Schuine rechte lijn in grafiek, zie Bel-lf.
8c 1,0,2,0
→ Bereken elke snelheid met v =
en 4,4 m/s
v
s
t
volgens 4e/f.
Studiehulp 4V
88
→ Teken voor elk punt de raaklijn,6e/b, en bereken v=∆s/∆t van
8d
1,0,2,0
en 4,4 m/s
8e
8f
→
Tussen 0 en 5,5 s. De snelheid neemt dan met 1 m/s per s toe, zie grafiek in e.
elke raaklijn.
9a t/m e Proef.
Bespreek de resultaten met de docent; de
beweging van de rollende kogel is eenparig
versneld.
10a Geen schuine rechte lijn
→Zie Bel-If.
→
10b -0,2;-0,4;
-0,6;-0,8;
-1,0 m/s
Gebruik voor elke snelheid de interval (4e/f) of raaklij nmethode(6e/b).
10c →
l0d -0,6 m/s
→
Gebruik de grafiek uit c.
10e -0,4 m/s
Be3
→Gebruik de
uitkomst van d.
Studiehulp 4V
89
Be3
11a Eerst eenparig, daarna eenparig met een hogere snelheid en tenslotte weer eenparig met
lagere snelheid.
2,5; 5,0;
11b En 1,7 m/s
→ Bedenk, dat elke gedeelte eenparig is en dat de snelheid
worden berekend met
llc →
v
s .
t
Studiehulp 4V
la
lb
Klopt; zie fig 4-lb.
lc
250m; klopt met
plaatstijd-grafiek
90
Be4
→Oppervlak is hoogte (10x basis 25) in snelheid-tijd-grafiek en
2a
25,0 m
verplaatsing is s2- s l in plaats-tijd-grafiek.2a 25,0 m
→Gebruik As = s2- s, en zoek s2 en S[ op in fig 3-4.
2b
5,0 m/s
→Gebruik Bel-la
2c
klopt
→het oppervlak van een driehoek is Vi • basis • hoogte.
2d
45 m
→Als a.
2e
15 m/s
→Gebruik Bel-la.
2f
45 m;klopt met d
Zie 2c
2g
Tussen 6 en 9 s 15 m/s. Dit is de snelheid op 7,5 s.
3a
3b
→De beweging heeft dan een contante snelheid; daarmee kun je
de verplaatsing uitrekenen.
Het oppervlak is moeilijk te berekenen omdat de grafiek niet recht is.
4a
37 m
4b
0,22 km (216 m)
37 m
→Zoek in fig 4-4 de gemiddelde snelheid (5,8m/s)en bereken
dan de verplaatsing.
→Teken een middelende lijn
(stippellijn). De snelheid halverwege is
de gemiddelde snelheid (5,4 m/s).
Bereken daarmee de verplaatsing.
Studiehulp 4V
91
Be4
5a 21 m
→Volgens de middelende lijn zal
de gemiddelde snelheid 5,3 m/s
zijn en bereken daarmee de
verplaatsing.
5b 71 m/s
6a
→ Zie a.
Die waarvan de grafiek een rechte
lijn is; want dan hoef je niet met een
middelende lijn de gemiddelde
snelheid te schatten.
6b De plaats-tijd-grafiek, want de verplaatsing kun je uit de grafiek aflezen en dan nog
delen door de tijdsduur.
6c Ja.
6d Nee, alleen als de snelheid niet verandert.
7a Ja, want de snelheid neemt in elke seconde evenveel toe.
7b 21m
→Bepaal eerst uit de grafiek de gemiddelde
snelheid en bereken daarmee de verplaatsing.
7c →
Bereken zoals in b een aantal verplaatsingen
en teken de grafiek.
7d 3,5m/s
→
Bereken verplaatsing: tijdsduur en dit is
gelijk aan het gemiddelde van 2,0 en 5,0 m/s.
7e
→Bereken als in d.
3,5m/s
7f 11m
→
Bereken gemiddelde snelheid x tijdsduur en
controleer in grafiek uit c.
Studiehulp 4V
92
Be4
8a →
8b 23 m
→bereken eerst in de B grafiek de
gemiddelde snelheid tussen O en 3,0 s en
daarmee de verplaatsing.
8c
0,19 km
→Bereken eerst in de grafiek de
gemiddelde snelheid met een
middelende lijn tussen O en 10 s (
ongeveer 19 m/s), en daarmee de
verplaatsing.
9a
7,5 m/s
→Bij een eenparig versnelde beweging
is de gemiddelde snelheid gelijk aan de
snelheid halverwege.
9b
→Bereken deze verplaatsing uit de gemiddelde snelheid.
0,23 km
10a positieve richting
→Ga na dat de beide snelheden steeds een positieve waarde
hebben.
10b 10s
→Let op het snijpunt van de lijnen in de grafiek.
!0c 32m
32m
→Bereken eerst de verplaatsing van B (36,8m) en daarna de verplaatsing van A(4,4m)
uit de gemiddelde snelheid van B en van A in deze periode.
lOd 10s
→Op 10 s wordt de snelheid van A
volgens de grafiek groter dan de
snelheid van B.
10e op 20 s
10f →
10e klopt
→A moet na
10 s eerst de
voorsprong die
B heeft inhalen.
Studiehulp 4V
93
Be6
la Met 5,0 km/h
1b Zo niet. Vragen!
1c 4,0 km/h per seconde
ld 1,1 m/s per seconde
→Reken 4,0 km/h om in m/s.
2a 2,0 m/s per s
→De snelheid verandert elke seconde met 2,0 m/s.
2b 2,0 m/s per s
→De snelheid verandert elke seconde met 0,5 m/s.
3a in positieve richting
→Ga in de grafiek na of de snelheid positief of negatief is.
3b Op 6,0 s
→Stilstaan wil zeggen dat de snelheid 0 is.
3c 63 m
→Bepaal eerst in de grafiek de gemiddelde snelheid tijdens het
remmen (12,5 m/s) en bereken daarmee de verplaatsing.
3d -25 m/s
3e -5,0 m/s per seconde
→Gebruik d en de remtijd.
4a -0,4 m/s
→Ga in de grafiek bij Be3-9 na dat de snelheid dan verandert
4b versneld
van - 0,4 m/s naar - 0,8 m/s.
→De snelheid wordt steeds meer negatief, het aantal m/s (het
getal achter het - teken) wordt steeds groter.
→Zie a
4c
-0,4 m/s per s
5a +0,50 m/s2
→Gebruik a = ∆v/∆t; dus raaklijn-/intervalmethode.
5b -0,17 m/s2
→Zie a
5c -0,50 m/s2
→Zie a
5d -0,50 m/s2
→Zie a
6a -0,50 m/s2
→Lees de eindplaats af in de grafiek.
6b -0,50 m/s2
→Bereken v  s
t
6c -0,50 m/s2
→Versnelling is de snelheidsverandering per seconde.
6d
met raaklijnmethode.
Studiehulp 4V
94
Be6
v
dus raaklijn- of intervalmethode.
t
6e 50 m/s2
→Gebruik a 
6f 2,5 m/s2
→Raaklijn.
6g na 10 s
→De snelheidsgrafiek is dan horizontaal.
7a tussen 2,0-3,0 s
7b tussen 1,0-3,0 s
7c
vanaf 0,0 s
→Zie figuur 5-5
→De snelheidsgrafiek daalt steeds
7d -0,20 m/s2
→
7e -0,20 m/s2
→Zie d, maar ook: de beweging is eenparig versneld dus is a
steeds hetzelfde.
a
v
t
;gebruik dus d v-t-grafiek.
Studiehulp 4V
1a klopt
1 b v(t)=2,0 m/s
l c v(t)=2,0 m/s
1d v(t)=2,0-0,80t
95
→Vul voor t = 5 s in en reken v(5) uit en controleer in grafiek.
Ook zo voor 10 s.
→De snelheid is overal hetzelfde; de beweging is eenparig.
→Zie b; maar nu is de snelheid negatief want de grafiek is
dalende.
→Vergelijk met de snelheidsformule in a en let op dalend of
stijgend.
1 e v(t)=2,0+0,80t
→Zie 1d
l f v(t)=2,0-0,80t
→Zie l d .
2a 28 m/s
→Vul voor t 0 i n en reken v uit.
2b 16 m/s
→Vul voor t 3 in en reken v uit.
2c -4,0 m/s2
→a is het getal voor t in de snelheidsformule.
2d -4,0 m/s2
→Vul voor v 0 i n en reken t uit.
3a V(t)=0,10+0,35t
3b 1,6
Be6
→Bereken eerst de versnelling a  v Bereken dan ook
t
v(0).
Bereken eerst de gemiddelde snelheid tussen 1,0 en 3,0 s en
dan de verplaatsing.
4a v(t)=24-4,0-t (cm/s)
4b 6,0 s
voor
4c 72 cm
t-
~~*v(0) en a z U n gegeven; gebruik blz 50 bovenaan.
—►Bedenk dat op het hoogste punt de snelheid 0 is; dus vul
v 0 i n en reken t uit.
—►Bepaal in een vschets de gemiddelde
snelheid voor dit
gedeelte van de
beweging en reken
dan de verplaatsing
uit.
4d op 12 s
—* Hetzelfde oppervlak moet dan negatief
worden afgelegd.
Studiehulp 4V
4e
96
-24 cm/s
→Vul voor 12 in in de snelheidsformule.
5a →
Eenparig versneld dus schuine rechte grafiek.
5b
V(t)=2,5+1,5t
→Bepaal v(0) en
5c
5d
5e
uit de grafiek.
31 m
→bepaal of bereken de gemiddelde snelheid
tussen 0 en 5,0 s en bereken dan de
verplaatsing.
6,2 m/s
→Zie 5c of gebruik B e l - l a
1,5 m/s2
→a
v
dus raaklijn-/intervalmethode.
t
6a
v(t)=0,6t
→Bepaal v(0) en a uit fig 4-7 voor A.
6b
v(t)=10-0,4t
→Bepaal v(0) en a u i t fig 4-7 voor B.
6c
op 10 s
→Dan moet vA = vB dus 0,6t = 10 - 0,4t en
bereken daaruit t.
7a
7b
7c
7d
5,0 m/s
30 m/s
→
→raaklijn op 0 s.
→raaklijn op 5,0 s
v(t)=5,0+5,0t
→ Bepaal v(0) en a in de grafiek.
Be6
Studiehulp 4V
1a
97
Be7
60 minuten
→Het uiteinde van de wijzer beschrijft in dezelfde tijd een
grotere cirkel dan een punt halverwege de wijzer,
l c De punt van de uren-wijzer draait langzamer en beschrijft een kleine cirkel,
ld
→Bereken de omtrek van de cirkel, die de punt van de
1,2∙10-2 m/s
secondewijzer maakt(2πr = 0,69 m) en bedenk dat hij daar 60 s
over doet.
Ie
→Als ld, maar nu voor de punt van de minuten wijzer.
1,6∙10-4 m/s
1b
nee
2a
1,02∙103 m/s
2b
1,02∙103m/s
3a
464 m/s
3b
0,29 km/s
4a
59 m/s
→Als ld/e; v = 2πr/T, waarbij r de straal van de maanbaan is
dus 384.106 m, en een omloop van de maan duurt 27,3 dag.
→Als 2a maar nu met de straal van de aardbaan dus met
150∙109 m.
→gebruik v = 2πr /T, waarbij r de straal van de aarde is dus
6,38-106 m.
→Reken met behulp van de 52° eerst de straal van de cirkel uit.
→bereken uit 2800
toeren per minuut
eerst de omlooptijd T
(0,0214 s) en gebruik
daarna v = 2πr/T.
4b
Hij moet tegen de wand aanzitten, anders is
de snelheid kleiner.
5
2,6 omwenteling per →uit de straal kun je
s.s.
de omtrek van een omwenteling bereken. Daarna kun je
berekenen dat er voor 22 km 9214 omwentelingen nodig zijn.
Dan nog even omrekenen naar 1 s.
Studiehulp 4V
108
BK2
Studiehulp 4V
109
BK2
Studiehulp 4V
98
Studiehulp Beweging en Kracht
la
lb
1c
1d
1e
ja.
nee, de beweging is versneld
→ Zie linker figuur
zwaartekracht.
?
2a
2b
2c
2d
2e
2f
2g
proef.
op 0,01 s.
proef; dezelfde valtijd.
proef.
→ zie rechter figuur
klopt?
Bij 0,40 s hoort een valafstand van 78 cm. De kogel is dan op 100 - 78 = 22 cm hoogte
2,9 m/s
3a
→Zie fig 1-2. Raaklijn voor
het gemak verschoven naar 0. →snelheid 2,9/s.
3b
3c
3d
→zie figuur
rechte lijn in v-t-grafiek.
3e
3f
3g
9,8 m/s2
→a = ∆v/∆t voor
interval of raaklijn.
v = 9,8.t
uit proef 2c heb je dezelfde tijden gevonden.
v = 9,8.t
Bereken eerst de
gemiddelde snelheid van 0 tot 0,27 s (l,3m/s).
Dit is de snelheid halverwege en bereken
hiermee de verplaatsing.
BK1
Studiehulp 4V
99
4a
4b
4c
eenparig rechtlijnig.
eenparig versneld rechtlijnig.
zwaartekracht en weerstand van de olie.
5a
5b
5c
5e
de kogel.
nu geen verschil
de luchtweerstand
Bij de kogel is het verschil tussen de zwaartekracht en de luchtweerstand veel groter.
6a
6b
Nee, want bij zeer grote snelheid wordt de luchtweerstand wel merkbaar.
Als de snelheid groot is.
7a
7b
7c
7d
Bij de beweging van de vrij vallende kogel.
De snelheid blijft constant.
ja want de snelheid neemt toe..
De versnelling is in het begin 9,81 m/s2 en wordt steeds kleiner, want de helling van de
grafiek wordt steeds kleiner.
Bij grotere snelheden is de versnelling kleiner.
7e
7f
16 m/s
7g dan zal vanaf
2,0 s de versnelling
weer 9,81 m/s2 zijn.
→als de snelheid constant is, want dan is de beweging eenparig
en zijn de krachten evengroot en tegengesteld.
BK1
Studiehulp 4V
8a
8b
8c
8d
8e
9,8 m/s2
100
BK1
→Bereken de valafstand tussen 10 en 20 s en trek die af van de
op 10 s gegeven hoogte.
→Zie linker figuur
Vanaf 6,0 tot 25 s is de beweging eenparig met een snelheid van 40 m/s. Omdat op 10 s de hoogte 900 m
is moet de hoogte op 6,0 s 1040 m en op 25 s 300 m zijn. Na 25 s is de beweging eenparig met een
snelheid van 1,5 m/s.
Zie rechter figuur.
Voor de eenparige gedeelten van de beweging zijn de snelheden gegeven. Voor de eerste 6,0 s schets je
een versnelde beweging met een steeds kleiner wordende versnelling.
De snelheidsgrafiek is een rechte lijn
22 m2
9a
9b
3,3m/s
9c
3,7m/s2
6,6m/s
afstand
.
→Gebruik <v> =
tijdsduur
→<v> is de snelheid halverwege.
→Bereken met de gemiddelde snelheid eerst v(l ,8) →(6,6m/s)
en bereken daarmee dan a = ∆v/∆t
9d
klopt
10a
22,6m/s
10b
22,6+9,8t
10c
10d
45,6m/s
34,1m/s
→Als s = 0 boven is en de beweging naar de grond een
beweging in de positieve richting is.
→De weerstand is verwaarloosbaar dus de valversnelling is
9,81 m/s2.
→Gebruik de snelheidsformule en de gegeven valtijd.
→Gebruik de begin- en de eindsnelheid om de gemiddelde
snelheid uit te rekenen.
Studiehulp 4V
101
BK1
10e
80m
11a
0,33s
→Gebruik de gemiddelde snelheid uit d en de gegeven tijd om
de verplaatsing te berekenen.
→Bereken met 30 flitsen per 1 s de tijd tussen twee flitsen.
11b
4,2m/s
. = 14 (cm) : 0,033.
→Genruik <v> = -------------------
11c
12a
12b
12c
12d
afstand
tijdsduur
→Op 84 cm is de snelheid 4,2 m/s, a = 9,81 m/s2, dus op 0,43 s
is de kogel op 84 cm. Dit zijn 0,43/0,033 = 13 flitsen. flits op 92 cm.
→De snelheid zal dan op zijn grootst zijn en bij het stuiteren
op 0,40s
verandert de richting van de snelheid.
→Op het hoogste punt keert de bewegingsrichting om en is de
op 0,60s
snelheid dus even 0.
Ja want de beweging is eenparig versneld met een versnelling van 9,8 m/s2.
→Bereken eerst de gemiddelde snelheid voor dit deel van de
0,20m
beweging (tussen 0,40 en 0,60 s) en dan de verplaatsing.
14 afbeeldingen
12e
12f
→zie linker figuur
→Zie rechter figuur.
12g
Bij het schetsen geef je de belangrijke punten zoals beginpunt, eindpunt, hoogste of laagste punt en
verder moet de vorm van de grafiek juist zijn. Bij tekenen van een grafiek moet elk punt kloppen.
→ v = ∆s/∆t van interval of raaklijn..
13a
0,14m/s
13b
Eerst vertraagd maar al snel eenparig.
Studiehulp 4V
13c
50cm
13d
-0,97 m/s
102
→Bepaal eerst in de grafiek het tijdstip/de hoogte waarop de
vertraging begint (0,25s) en bereken dan de afstand.
→Gebruik raaklijn.
BK1
Studiehulp 4V
103
1a
Zwaartekracht en weerstand van de olie.
1b
Ja, want de kogel beweegt eenparig.
BK2
2a De massa van een voorwerp is 1 kg als het evenveel weegt als 1 liter water van 4°C. 2b
evenwicht te maken op een balans of door het gewicht te delen door de
zwaartefactor of met een weegschaal die voor die plaats geijkt is.
2c De zwaartekracht verandert bij verplaatsen zonder dat de hoeveelheid verandert, want
je hebt er geen stof bijgedaan of afgehaald. 2d de
ruimte die het voorwerp inneemt.
2e Als een stuk ijzer bij verwarmen uitzet, verandert het volume wel maar de hoeveelheid
niet wantje hebt er geen stof bijgedaan.
2f De massa verandert alleen als je er iets bij doet of afhaalt, de massa verandert niet bij
verwarmen of verplaatsen.
3a
7,69N
→Gebruik de zwaartefactor.
3b
9,81 m/s2
→Zonder weerstand vallen alle voorwerpen met deze
versnelling, zie BKl-5g.
4a
7,69N
→Zie 3a.
4b
4c
4d
0,784kg
Door
→Zie 3a.
Ja, deel 7,69 door 0,784 want a = F/m.
de massa's van de voorwerpen zijn in verhouding met de gewichten. Dus als je een gewicht deelt door
de massa komt er steeds hetzelfde uit.
5b
1,6m/s2kg
→bereken eerst de gemiddelde snelheid <v> = ∆s/∆t. Deze
uitkomst geeft de snelheid halverwege en bereken daarna de eindsnelheid
; de beginsnelheid bij loslaten is 0.
→Gebruik a = ∆v/∆t voor interval of raaklijn.
5c
4,0N
→Gebruik F = m.a.
5d
1,6N/kg
→Fz = m.g.
6a1
1,14 m/s2
→Gebruik <v> = ∆s/∆t. Bedenk dat <v> = v halverwege. Gebruik
5a
a2
6c
6d
6e
0,784kg
daarna a = ∆v/∆t6b
→ zie a
6,5m/s2
6,5m/s2 0,53 N en zwaartekracht 0,81 N, en kracht van de baan omhoog 0,81 N.
Propellorracht
De twee verticale krachten heffen eikaars werking op.
Zie d.
Studiehulp 4V
104
7a
7b
7c
versneld.
versneld maar met kleinere versnelling.
versneld maar nu met grotere versnelling.
8a
In verticale richting heffen de krachten elkaar op. 8b
De propellerkracht.
Klopt mooi.
8c
9a
2,5N
→Gebruik F7= m.g.
9b
0,15N
→Gebruik F= m.a.
9c
0,15N
9d
68nm
→Bedenk dat F? wordt tegengewerkt door de opwaartse kracht
van de uitstromende lucht.
→Bereken eerst v( 1,5), bereken dan <v> tussen 0 en 1,5 s en
bereken daarmee de verplaatsing.
→Bereken eerst a=F/m
10a
1,5m/s2
b
10s
11
1,6m/2
→Bereken eerst mA (massa van A) en mB met F= m.a en daarna
a=F/(mA+ mB).
12a
2,0 m/s2
→Bereken eerst <v>, bereken dan v(0,90) en bereken daarmee
a, a=∆v/∆t.
12b
0,20/N
→F = m-a
13a
2,5m/s2
→Gebruik F=m.a.
en dan met de snelheidsformule de tijd.
13b Nee, 0,10 N werkt remmend dus
kleinere a.
13c →
13d Een kracht van 0,40 N naar rechts.
13e
0,40N
13f
2,0M/S2
→Gebruik F=m.a
14a
1,4N
→ Gebruik ∑F=m.a
14a
2,0M/S2
→ Gebruik ∑F=m.a
14c
→zie figuur
trekkracht is 2,3 N, glijweerstand is 0,9 N,
zwaartekracht is 2,5 n, en steunkracht van de
tafel is 2,5 N.
BK2
Studiehulp 4V
14d
→ zie figuur
15a
7,5 m/s2
6,0 kN
15b
105
vgen tijdens het remmen is 15 m/s
2F = m-a
15c
16a
16b
16c
2,5 m/s2
1,6 kN
0,4 kN
17a
2,0M/S2
17b
17c
17d
17e
17f
17g
17h
17i
→∑F = m-a
→∑F = m-a
De grafiek gaat steeds minder steil lopen
Zwaartekracht (Fz) en weerstand (Fw)
9,8m/s2
0N
6,7 m/s2
0,54N
0,24N
0,44N
0,78N
→gelijk aan de valversnelling.
→De snelheid is nog 0.
→teken raaklijn aan de grafiek en bepaal Av/At.
→SF=m.a = F z - F w
→IF = F Z - F W . F Z = 0 , 7 8 N
→ = 4,3 m/s2
17j
→Gelijk aan Fz want SF=m.a=0.
17k De snelheid wordt niet meer groter.
171 De helling op t = 0 blijft even groot maar daarna loopt de grafiek sneller horizontaal.
17m De snelheidgrafiek blijft recht
18a
18b
Zwaartekracht en steunkracht van de weg in verticale
richting. De zwaartekracht en de steunkracht zijn
evengroot en tegengesteld.
Motorkracht en rol weerstand in horizontale richting.
De auto beweegt nog niet, dus er is geen
luchtweerstand.
→Dan is de grafiek van a nog
18c
18d
een rechte lijn.
De luchtweerstand wordt steeds groter.
→Bedenk dat de grafiek dan horizontaal is.
0 tot 3,0s
Vanaf 15 s
BK2
Studiehulp 4V
18e
18f
18g
18h
18i
19a
19b
19c
19d
19e
19f
106
Die wordt steeds kleiner omdat de luchtweerstand groter wordt.
→Teken raaklijn, let erop dat de snelheid in de grafiek in km/u
0 tot 3,0s
is. Je moet dus nog omrekenen.
→Gebruik EF=m.a..
65kN
→ΣF=Fm - Frol∙
85kN
evengroot
→ΣF=0 dus F1=F2en tegengesteld.
evengroot, de motor is hetzelfde
bij b:0-5,0s
→Het stijgende deel is een rechte lijn.
Voor beide tot 50 km/u.
De beladen auto heeft een kleinere versnelling bij dezelfde motorkracht.
Dezelfde topsnelheid.
→Bereken a = ∆v/∆t met raaklijn voor grafiek b, maar reken
2,5m/s2
eerst km/u om in 19g
SF=m.a4kg
→Gebruik 2,6.10
20a
3,2∙102N
→Totale weerstand (zie grafiek) - rolweerstand (zie grafiek).
20b
3,3∙102N
→Gebruik grafiek.
20c
21a
21b
0.16m/s2
5,0 m
3,2∙102N
21d
3,2∙102N
21e
3,2∙102N
21g
→Bereken eerst ΣF=F,+F2 en bereken dan a=2F/m.
0,5 s
21c
21f
BK2
< v > = 15 m/s en t = 6,0 s
0,7 ongeveer
→ s= v.t
→<v>= 5,0 m/s en t = 2,0 s
→a = 5,0 m/s2Fw = 4,0 kN
→reactieafstand + remafstand
Studiehulp 4V
106
BK2
Studiehulp 4V
109
BK2
Index
eenheid van kracht .......................................................................................................................... 67
eenparig veranderlijke beweging .................................................................................................... 38
eenparig versnelde beweging ......................................................................................................... 22
eenparige cirkelbeweging .............................................................................................................. 49
gemiddelde snelheid ........................................................................................................ ....5, 7, 31, 34
glijweerstand ................................................................................................................................. 79
grafiek ............................................................................................................................................ 64
interval-methode ............................................................................................................................ 21
kilogram.......................................................................................................................................... 67
kilogram ........................................................................................................................................ 67
luchtweerstand .......................................................................................................................... .58, 79
middelende lijn ............................................................................................................................... 32
nauwkeurigheid ......................................................................................................................... .9, 12
newton ...................................................................................................................................... .67, 69
oppervlak ........................................................................................................................................ 31
raaklijnmethode .............................................................................................................................. 23
reactievermogen ............................................................................................................................. 10
rechtlijnige bewegingen.....................................................................................................................6
resultante ................................................................................................................................. ..71, 74
rolweerstand ................................................................................................................................... 79
significante cijfers ........................................................................................................................... 9
snelheidsformule ........................................................................................................................... 46
stroboscopische opname ................................................................................................................ 62
tweede wet van newton ..................................................................................................................81
vallende voorwerpen ..................................................................................................................... 57
valversnelling ..................................................................................................................................58
varversnelling ............................................................................................................................... 58
verplaatsing ................................................................................................................................... 30
versnelling ............................................................................................................................... ..38, 40
wet van Newton .............................................................................................................................. 74
zwaartefactor ......................................................................................................................... 58, 67, 68
Studiehulp 4V
109
BK2
Grootheden met eenheden en symbolen en formules.
Symbool
Grootheid
afstand
Eenheid
m
snelheid
m/s
a
versnelling
m/s2
m
massa
kg
F
kracht
N
ΣF of Fres
kracht
N
s
v
Formules:
ΔS
1 vgem =
Δt
Toepassing 1:
Met de raaklijnmethode kun je uit een (s, t)-diagram de snelheid v op tijdstip t bepalen.
Toepassing 2:
Met een middelende lijn kun je de gemiddelde snelheid bepalen in een (v, t)-diagram.
2 a =
Δv
Δt
Toepassing: met de raaklijnmethode kun je uit een (v,t)-diagram de versnelling a op tijdstip t
bepalen.
3 v(t) = v(0) + a .t voor een eenparig versnelde beweging
2π . r
4 v =
T
5
v(t) = 9,8 .t bij een valbeweging zonder beginsnelheid
6
ΣF = Fres = m .a
7
FZ. = m .g
De tweede wet van Newton
Formule voor zwaartekracht.