Tussentijdse Toets SRT

Tussentijdse Toets SRT - nov 2006
Uiterlijk in te leveren op:
hoorcollege 30 november 2006
Vermeld op het eerste blad uw naam, adres,
studierichting, en collegekaartnummer, en op ieder
apart antwoordvel uw naam en collegekaartnummer.
Universiteit van Amsterdam
1
1
Speciale Relativiteits Theorie
1.1
Tweelingparadox
Op Nieuwjaarsdag 2010 vertrekt een astronaut A van de aarde met snelheid
β = 0.8, om naar de dichtsbijzijnde ster te gaan, α-centauri. Deze ster staat
4 lichtjaren weg, gemeten in het coordinatenstelsel verbonden met de aarde.
Nadat A de ster heeft bereikt, keert hij onmiddellijk om en keert terug naar
aarde met dezelfde snelheid, om aan te komen op Nieuwjaarsdag 2020 (aardse
tijd). De astronaut heeft een broer B die achterblijft op aarde, en ze spreken af
elkaar elk jaar op Nieuwjaarsdag een radiobericht te sturen totdat de reiziger
terug is.
1. Laat zien dat A 6 boodschappen stuurt (inclusief die op de dag van
aankomst) terwijl B 10 boodschappen verstuurd.
2. Teken een ruimte-tijd diagram van de reis van A in aardse coordinaten.
Teken ook de wereldlijnen van de boodschappen die B verstuurd. Laat met
dit diagram zien dat A slechts 1 bericht heeft ontvangen op het moment
dat hij omkeert, en dat hij er vervolgens 9 ontvangt tijdens de tweede helft
van zijn reis.
3. Teken een nieuw ruimte-tijd diagram, weer in aardse coordinaten, en teken
daarin de wereldlijnen van de astronaut en al de berichten die hij verstuurd. Laat zien dat zijn broer op aarde elke 3 jaar een bericht ontvangt
gedurende de eerste 9 jaar en dan tijdens het laatste jaar, een totaal van
6.
4. Interpreteer deze resultaten in termen van het Doppler effect.
1.2
Deeltjes verval
Pionen zijn sub-atomaire deeltjes en vervallen na verloop van tijd. In een rust
systeem is hun halfwaarde-tijd, de tijd waarin de helft van de deeltjes is vervallen, gelijk aan 1.8 × 10−8 sec. Een bundel pionen is versneld tot de relativistische snelheid van β = 0.99. Eenmaal op constante snelheid zou volgens de
klassieke, niet-relativistische, fysica de bundel al na 5.3 m te hebben afgelegd,
voor de helft aan intensiteit hebben verloren.
1. Bereken tot op de decimeter nauwkeurig op welke afstand de intensiteit
van de relativistische bundel in werkelijkheid met de helft is afgenomen.
2. Leg het verschil tussen beide afstanden uit; gebruik daarbij of tijd-dilatatie,
of lengte-contractie.
2
2
Klassieke Mechanica
Gebruik voor de volgende opgave de klassieke mechanica.
2.1
Deeltjes botsing
Een proton met massa mp en snelheid v0 botst elastisch met een helium atoom
in rust, met massa 4mp . Het proton schiet uit het punt van interactie onder een
verstrooingshoek van 45◦ met zijn oorspronkelijke baan.
1. Bereken de uiteindelijke snelheid van beide deeltjes.
2. Bereken de verstrooingshoek van het proton, maar dan in het massamiddelpuntsysteem.
2.2
Stuiterende bal
Een kleine bal met massa m ligt bovenop een grotere bal met massa M , samen
worden ze losgelaten van een hoogte h = 2 meter boven de grond. Er is geen
luchtweerstand; neem M = 0.1 kg, en m = 0.01M .
m
M
h
1. Wat is de gravitationele potentiaal horende bij de zwaartekracht?
2. Bereken de snelheid van de ballen op het moment dat de grote bal de
grond bereikt.
3. Bereken de snelheid waarmee de kleine bal omhoog stuitert. Neem hiervoor aan dat de kleine en de grote bal een minieme afstand tussen zich
hebben; eerst is er dan de botsing van de grote bal met de grond, en direct erna de botsing van de opstuiterende grote bal en de kleine bal. Beide
botsingen zijn elastisch.
4. Hoe hoog komt de kleine bal uiteindelijk? Gebruik dat de kinetische energie van de kleine bal omgezet moet worden in potentiele energie. De
straal van beide ballen mag verwaarloosd worden.
3