Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4
4.4.1 Basis
Lijnen en hoeken
1
Het assenstelsel met genoemde lijnen ziet er als volgt uit:
5
4
3
2
l
k
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
n
-2
m
-3
-4
-5
Hieruit volgt:
a Lijn k en lijn l snijden elkaar, namelijk in punt (3,3). Dat geldt ook voor lijn l en lijn n in
(0,0), lijn k en lijn n in (3,–5), lijn l en lijn m in (–3, –3) en lijn m en lijn n in (1,8, −3).
b Lijn k loopt evenwijdig aan de verticale as. Dat zie je al aan de punten waardoor deze
lijn gaat: bij een toenemende y-waarde blijft namelijk de x-waarde gelijk (zie coördinaten van de punten).
c Lijn m loopt evenwijdig aan de horizontale as. Dat zie je al aan de punten waardoor
deze lijn gaat: bij een toenemende x-waarde blijft namelijk de y-waarde gelijk (zie coördinaten van de punten). Dat maakt dat deze lijn een horizontale lijn is.
d Omdat lijn k verticaal is (en daarmee evenwijdig aan de verticale as), maakt lijn k eenzelfde hoek met de horizontale as als met de verticale, namelijk: 90⁰.
e Lijn l gaat precies door de punten (2,2) en (4,4) en dus ook door de punten (1,1), (0,0),
(−1,−1) enzovoort. Deze lijn snijdt dus ieder hokje precies doormidden: het is de diagonaal van elk rastervierkantje. De lijn halveert dus de hoek tussen de horizontale as
1 van 13
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
en de verticale as en maakt daarom een hoek van 45⁰ met zowel de horizontale as als
de verticale as.
f Zie antwoord bij e.
g Omdat lijn m horizontaal is (en daarmee evenwijdig aan de horizontale as), maakt lijn
m eenzelfde hoek met de verticale as als met de horizontale, namelijk: 90⁰.
2
Figuur 1
Dit is een driehoek. Van een driehoek is bekend dat de som van de drie hoeken altijd 180˚
is. Dus ? + 89 + 48 = 180, waaruit volgt: ? = 180 − 89 − 48 = 43˚.
Figuur 2
Dit is een vierhoek. Een vierhoek is te verdelen in twee driehoeken. Alle hoeken samen zijn
dus 360˚. 92˚ + 92˚ + ? + ? = 360˚, waaruit volgt: ? + ? = 176˚ en dus ? = 88˚.
Figuur 3
Dit is een vierhoek. Een vierhoek is te verdelen in twee driehoeken. Gezamenlijk vormen
alle vier de hoeken dus 360˚: 2 × ? + 96˚ + 87˚ = 360˚, waaruit volgt: 2 × ? = 177˚, ofwel: ?
= 88,5˚.
3
Als je van twee kanten iets dichtvouwt, vouw je het eigenlijk in tweeën. 180° in tweeën is
90°.
Dit kan als volgt getekend worden.
Als je het A4’tje van bovenstaande tekening openvouwt, krijg je:
α
α
β
β
De twee hoeken links zijn even groot. De twee
driehoeken links zijn namelijk ook gelijk. We noemen deze hoeken α. Analoog volgen rechts twee
hoeken β.
Je ziet dat 2α + 2β = 180°. Waaruit volgt dat a + b dan 90° is.
2 van 13
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Veelhoeken
4
a a rechthoek of vierhoek (een rechthoek is een bijzondere vierhoek)
bdriehoek
c vijfhoek of pentagram
d ruit of vlieger
etrapezium
f vierkant, vierhoek of rechthoek
gparallellogram
hvlieger
b Dat zijn de figuren c en f. Zij hebben gelijke zijden en gelijke hoeken. Figuur d heeft wel
gelijke zijden, maar niet gelijke hoeken en is daardoor niet geheel regelmatig. Figuur a
heeft wel gelijke hoeken, maar niet gelijke zijden.
c Een trapezium is een vierhoek waarvan ten minste één paar tegenoverliggende zijden
evenwijdig is. In de afbeelding geldt dat voor figuren a, d, e, f en g.
d Er zijn meerdere antwoorden mogelijk. Let erop dat de figuur die je moet tekenen
een vierhoek moet zijn. Een figuur dus met vier hoeken en vier zijden. Verder hebben
bijzondere vierhoeken of gelijke zijden en/of gelijke hoeken. In dit geval moet dat dus
juist niet zo zijn, het moet juist onregelmatig zijn.
5
Dit antwoord is gemakkelijker te vinden wanneer je zoekt naar regelmaat. In een vierhoek
kun je minimaal twee driehoeken tekenen. In een vijfhoek heb je minimaal drie driehoeken nodig om het figuur te verdelen in driehoeken. Voor een zeshoek geldt dat er minimaal vier driehoeken nodig zijn. Kennelijk is het kleinste aantal driehoeken dus het aantal
hoeken – 2. Voor een 37-hoek zijn dus minimaal 35 driehoeken nodig.
6
a Een diagonaal verbindt twee niet-aangrenzende hoeken in een veelhoek. In een driehoek is er dus geen diagonaal te tekenen. In een vierhoek zijn twee diagonalen te tekenen, door in beide gevallen niet de aanliggende hoeken met elkaar te verbinden, maar
juist de andere twee. Vanuit elk hoekpunt van een vijfhoek kun je vier lijnstukken naar
de andere punten trekken. Dat zijn in totaal (5 × 4)/2 = 10 lijnstukken. (We delen door
2 omdat je alle lijnstukken anders twee keer meetelt). Vijf daarvan zijn zijden van de
vijfhoek zelf (en verbinden dus twee aanliggende hoeken met elkaar), er zijn dus altijd
vijf diagonalen te tekenen in een vijfhoek.
b Dan zijn er (10 × 9)/2 – 10 = 35.
c (100 × 99)/2 – 100 = 4850
d Neem a = aantal hoeken. Dan geldt (a × a – 1)12 – a.
7
a Waar. In elk vierkant staan de aangrenzende zijden loodrecht op elkaar.
b Waar. In elk vierkant zijn de zijden even lang.
c Onwaar. In een ruit hoeven de aangrenzende zijden niet loodrecht op elkaar te staan.
d Waar. Dit geldt in elke ruit en ook in elke vlieger.
e Onwaar voor alle rechthoeken die niet ook een vierkant vormen.
3 van 13
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
8
Een praktische manier om dit te doen is drie bakstenen op een rijtje leggen en dan de
middelste weghalen. Dan kun je de lichaamsdiagonaal meten met een liniaal.
Je kunt het natuurlijk ook formeel uitrekenen door twee keer Pythagoras uit te voeren. Je
hebt namelijk eerst de diagonaal van het voorvlak nodig, om vervolgens de diagonaal van
het ‘zo ontstane bovenvlak’ te berekenen.
Voorvlak baksteen:
hoogte
schuine zijde = basis 2 + hoogte2
basis
Zo ontstane bovenvlak:
basis
schuine zijde voorvlak*
*merk op dat deze in dit vlak
loodrecht op de basis staat
schuine zijde ‘zo ontstane bovenvlak’= (basis voorvlak 2 + (basis 'zo ontstane bovenvlak)2
4 van 13
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Dat leidt tot een lichaamsdiagonaal van
schuine zijde voorvlak 2 + (hoogte voorvlak) 2 + basis 'zo ontstane bovenvlak') 2
Lokaliseren en oriënteren
9
a Nee. Zoals je ziet wordt er elke 50 meter een nieuwe kring op de kaart getekend. De
kring waarbinnen de camping van Sarah zich bevindt, ligt op een hoogte tussen 400 en
450 meter. 460 meter is dus niet mogelijk.
b Kijk hiervoor in de hoogtekaart. De pijl wijst het hoogste gedeelte van dit gebied aan.
Dit gebied heeft een hoogte van 450 tot (maximaal) 500 meter.
300
300
350
400
350
400
C
Q
450
250
250
300
350
P
A
Z
c Nee. Sarah staat dan wel op een hoogte van 350 meter, terwijl de trekkershut op een
hoogte tussen de 300 en 350 meter ligt. Maar tussen punt A en de trekkershut zit nog
wel een gedeelte van meer dan 350 meter.
d Sarah gaat van 350 m hoogte naar 300 m hoogte. Zij zal dus in totaal 50 m dalen. De
temperatuur stijgt bij elke 100 m dalen met 0,4 graden. Sarah gaat 50 m naar beneden.
1
De temperatuur zal dus 2 × 0,4 graden = 0,2 graden stijgen.
e Martijn gaat van een hoogte van 250 m naar een hoogte van 300 m. Hij stijgt dus 50
meter. Zoals hiervoor aangegeven komt 50 m stijgen overeen met −0,2 graden. Zijn
horloge gaf aan dat het in punt P 18,9 graden was. In punt Q zal het dus 18,7 graden
zijn.
Visualiseren en representeren
10
Francien heeft weer 54 cl verf nodig. Van de kleine kubussen zijn namelijk al drie van de
zes vlakken geverfd. Dat kostte haar 54 cl verf. Nu wil zij ook de andere drie vlakken van
alle kubussen blauw verven. Daar zal ze dus weer 54 cl verf voor nodig hebben.
5 van 13
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Transformeren, spiegelen en symmetrie
11
kustlijn
d
a
c
b
observatiepunt
De twee driehoeken zijn gelijkvormig. Op de kant kun je alle (delen van) zijden meten.
Door de verhoudingen te gebruiken kun je ook de (delen van) zijden uitrekenen die je niet
kunt meten.
Als a = 6 m, b = 5 m en c = 18 m, dan kan in een verhoudingstabel de oplossing zichtbaar
gemaakt worden:
a=6
c = 18
b=5
d = 15
Hieruit volgt d = 15 m.
Er geldt dus altijd: als je de landdelen a, b en c meet en je vult de drie gevonden waarden
in in de verhouding a : b = c : d, dan kun je uitrekenen hoe ver het schip uit de kust ligt.
Je ziet dat de basis van de kleine driehoek (a) 6 m is. De basis van de grote driehoek (c) is
drie keer zo groot. De hoogte van de grote driehoek (d) zal dus ook drie keer zo groot zijn
als de hoogte van de kleine driehoek (b).
6 van 13
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Construeren
12
Bij deze opgave kun je kiezen voor een exacte weergave. Dat wil zeggen dat we de hoogte
van de driehoeken die de zijvlakken van de piramide vormen, moeten uitrekenen. Als we
ons beperken tot de kern, het maken van uitslagen van een piramide, dan is dat minder
noodzakelijk. Voor de volledigheid laten hier beide aanpakken zien.
De hoogte van een zijvlak is: 6,25 + 36 = 42,25 = 6,5.
6,5
6,5
5
5
5
5
5
5
5
6,5
5
6,5
13
Om dit precies te tekenen, is de omtrek van de cirkel nodig: 2 × π × 4 ≈ 25,1.
7 van 13
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
14
Er zijn minimaal zes plakranden nodig:
De plakranden kunnen ook getekend worden op een iets andere plaats, namelijk op de
andere zijde die met bovenstaande plakrand verbonden wordt
4.4.2 Repertoire
Bijzondere veelvlakken
15
Aangezien hier sprake is van ruimtelijke figuren, moet je minimaal drie vlakken aan elkaar
laten grenzen in één hoekpunt. Omdat deze vlakken allemaal hetzelfde moeten zijn (dat
ligt besloten in de definitie van ‘platonische figuur’) en ook nog regelmatig, zijn er een
aantal opties:
■■ regelmatige driehoek
■■ regelmatige vierhoek
■■ regelmatige vijfhoek
■■ …
Eerst kijken we naar de regelmatige (d.w.z. gelijkzijdige) driehoek. Wanneer we er drie laten samenkomen in ieder punt kunnen we het volgende Platonische figuur maken:
Wanneer we 4 regelmatige driehoeken in ieder punt laten samenkomen ontstaat het volgende Platonische figuur:
8 van 13
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Wanneer we 5 regelmatige driehoeken in ieder punt laten samenkomen ontstaat het volgende Platonische figuur:
Je zou kunnen denken dat je ook zes regelmatige driehoeken kunt laten samenkomen in
ieder punt. De hoeken binnen een regelmatige driehoek zijn echter alle drie 60⁰. Omdat
iedere ruimtelijk figuur uit vlakken bestaat kan er een uitslag van gemaakt worden. Dit betekent dat als er in een punt zes van deze hoeken tegen elkaar komen te liggen. Dat zou
bij elkaar 360⁰ zijn. Dan is er geen hoekpunt meer, maar er ontstaat een plat vlak.
Analoog volgt met de regelmatige vierhoek (drie in ieder punt) de volgende platonische
figuur:
Analoog volgt ook dat het niet mogelijk is om vier regelmatige vierhoeken (4 × 90⁰ =
360⁰) in ieder punt te laten samen komen.
Analoog volgt met de regelmatige vijfhoek (drie in ieder punt) de volgende platonische
figuur:
Merk op dat hier elke hoek wel 108⁰ moet zijn en dat er dus slechts drie in ieder punt kunnen samenkomen.
9 van 13
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Voor de zekerheid proberen we ook een platonisch lichaam te maken met regelmatige
zeshoeken.
Een regelmatige zeshoek is opgebouwd uit regelmatige driehoeken. Hierdoor is elke hoek
van een regelmatige zeshoek 1200. Drie regelmatige zeshoeken tegen elkaar aan levert
weer een hoek van 3600, dus een plat vlak. Er is dus geen Platonisch lichaam te maken uit
regelmatige zeshoeken.
16
Het parallellepipidum bestaat uit zes dezelfde veelvlakken, namelijk allen pallellogrammen. Daarentegen is het parallellogram geen regelmatig veelvlak. Op zich zou ieder parallellogram wel gelijke zijden kunnen bevatten, maar de hoeken zijn nooit gelijk in een
parallellogram (voor zover het geen vierkant is).
Functies
17
a
C
6
5
A
4
3
2
B
1
0
1
2
3
4
5
6
b De oppervlakte is nu het eenvoudigst te berekenen wanneer we de driehoek
­inkaderen.
6
5
F
C
A
4
3
2
B
D
1
0
1
2
3
4
5
6
10 van 13
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Zo ontstaat vierhoek CDEF van 4 cm × 4 cm = 16 cm2
Vervolgens is driehoek ABC de oppervlakte van deze vierhoek min de drie driehoeken
(ABE, BDC en ACF).
Zo krijgen we:
Δ ABE =
1
2
× 2 × 3 = 3 cm2,
Δ BDC =
1
2
× 2 × 4 = 4 cm2,
Δ ACF =
1
2
× 1 × 4 = 2 cm2.
Zodat: Δ ABC = 16 cm2 – 9 cm2 = 7 cm2.
4.4.3 Landelijke kennisbasis
Oefeningen kennisbasistoets
18
a (gebaseerd op paragraaf 4.2.5)
19
b (gebaseerd op paragraaf 4.2.1)
20
a (gebaseerd op paragraaf 4.2.2)
21
a (gebaseerd op paragraaf 4.2.1)
22
a De twee rechthoeken zijn gelijkvormig: de zijden zijn namelijk naar verhouding gelijk.
De driehoeken lijken misschien gelijkvormig, maar hebben geen hoeken van dezelfde
grootte en zijn daardoor juist niet gelijkvormig.
179,3
120
b De vergrotingsfactor is 42,5 = 63,5 = 2,8.
23
De poster is gelijkvormig aan het glas van de deur (70 bij 126). De breedte van de poster is
20 cm smaller dan het glas en dus 50 cm breed. De verhouding breedte glas : breedte poster = 70 : 50. We zien dan dat de breedte van de poster 1,4 keer zo klein is dan de breedte
van het glas (70 : 1,4 = 50). De lengte van de poster zal dus ook 1,4 keer zo klein zijn als de
lengte van het glas. Hieruit volgt voor de lengte 126 : 1,4 = 90 cm.
11 van 13
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
24 De afmetingen van een baksteen zijn: 190 × 90 × 50 mm. Hoe groot is de lengte van de
lichaamsdiagonaal?
De baksteen ziet er als volgt uit (de donkerblauwe stippellijn stelt de lichaamsdiagonaal
voor):
H
G
F
E
90 mm
C
D
50 mm
A
190 mm
B
Samen met de lijn BG vormt ABG een driehoek waarvan de lichaamsdiagonaal de schuine
zijde is:
G
?
A
AB = 190 mm
BG = schuine zijde van driehoek BCG, waarvan:
BC = 50 mm en CG = 90 mm.
12 van 13
190 mm
B
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 4 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Dan volgt via de stelling van Pythagoras dat BG2 = 502 + 902 = 2500 + 8100 = 10.600 en
AG2 = AB2 + BG2 = 1902 + 10.600 = 36.100 + 10.600 = 46.700.
Dus AG = 46.700 = 216 mm.
(gebaseerd op paragraaf 4.2.1)
25
De middens van ieder vlak kun je het beste (en het nauwkeurigst) bepalen door in ieder
vlak de diagonalen te tekenen. Het snijpunt van de diagonalen zijn de middens van ieder
vlak.
Wanneer je vervolgens deze punten met elkaar verbindt, ontstaat de volgende figuur:
Een octaëder dus.
(gebaseerd op paragrafen 4.2.1 en 4.3.1)
13 van 13