Opgave 3a - de Wageningse Methode

STERREN VOUWEN
Opdracht
a Teken nauwkeurig een regelmatige vijfhoek op niet te dik papier. Knip die uit.
Vouw de punten naar binnen; de vouwlijnen lopen tussen de middens van de zijden.
Hieronder is dat voor één punt gebeurd.
middens
van de
zijden
Als je alle vijf de punten naar binnen vouwt, ontstaat een kleinere vijfhoek. Houd die tegen het licht.
In het midden zie je dan een regelmatige vijfpuntige ster, het zogenaamde pentagram.
b Zoek informatie over het pentagram en vertel die in je eigen woorden.
c Hoe groot zijn de hoeken van de vijfpuntige ster?
d Kun je ook zoiets doen met een regelmatige zeshoek? Hoe groot zijn dan de hoeken?
En met een regelmatige achthoek? Hoe groot zijn dan de hoeken?
e Maak je eigen vouwsel.
© 2011
Op dit werk zijn de bepalingen van Creative Commons van toepassing. Iedere gebruiker is vrij het materiaal voor
eigen, niet-commerciële doeleinden aan te passen. De rechten blijven aan de Wageningse Methode.
Buiten het boekje bij Hoeken en bij Symmetrie
1
Toelichting voor de docent
Deze lessuggestie is een mooie afrondende opdracht van het hoofdstuk Hoeken. Om een regelmatige
vijfhoek te tekenen moet met hoeken gerekend worden en moeten de leerlingen met de geodriehoek om
kunnen gaan.
Hij heeft een creatieve component en het resultaat is bijzonder fraai.
Bovendien biedt hij de mogelijkheid tot redeneren; zie variaties.
Waar
Deze lessuggestie hoort bij het hoofdstuk 8 – Hoeken, in het bijzonder bij paragraaf 8.6 – Veelhoeken.
Hij kan de opgaven 53 t/m 56 vervangen.
Regelmatige veelhoeken kwamen al eerder voor, namelijk in de derde paragraaf van hoofdstuk 5 – De
ruimte in. Ze komen – op een heel andere manier – terug in hoofdstuk 13 – Symmetrie.
Duur
De lessuggestie kost ongeveer een halve les. Hij kan ook goed als huiswerk worden opgegeven.
Hoe
Het nauwkeurig tekenen van een regelmatige vijfhoek is niet zo eenvoudig.
Het is de moeite waard de producten op een ruit te plakken. Gekleurd papier geeft mooie effecten.
De lessuggestie kan zonder verdere introductie aan de leerlingen gegeven worden. Bij tijdgebrek zouden
de regelmatige vijfhoeken al van tevoren getekend kunnen zijn. Merk op dat Word de regelmatige vijfhoek
als standaard figuur kent.
Nodig
 Vellen A4-papier, 80 grams, of vouwblaadjes.
 Schaar, hobbylijm
 Bot voorwerp om de vouwlijnen te ritsen
Tips en variaties
Het vouwen levert geen ster op bij de regelmatige driehoek of het vierkant. (Waarom niet?) Wel bij alle
andere regelmatige veelhoeken.
Een variatie krijg je door niet de verbindingen van de middens van de zijden
als vouwlijnen te kiezen, maar punten die bijvoorbeeld op 1/3 zijde van een
hoekpunt liggen, zoals hiernaast.
Merk op dat de hoeken van de punten 36° zijn, evenals wanneer in de
middens wordt gevouwen.
Terug naar het geval wanneer de vouwlijnen door de middens van de zijden gaan bij
een regelmatige vijfhoek. (Het volgende geldt ook voor andere regelmatige n-hoeken,
als n ≥ 5.) De zijden van de punten van de vijpuntige ster liggen in elkaars verlengde.
Een aardige vraag is dit te laten beredeneren.
[Door het vouwen maak je congruente ruiten op de hoeken van de regelmatige vijfhoek. Dus zijn de de
zijden van de punten van het pentagram evenwijdig aan de zijden van de regelmatige vijfhoek en op
gelijke afstand daarvan.]
Ingewikkelder is het als de startfiguur geen regelmatige veelhoek is, maar misschien wel lijnsymmetrisch.
Misschien dat leerlingen dit onderzoeken bij hun eigen vouwsel (vraag e).
Buiten het boekje bij Hoeken en bij Symmetrie
2
Oplossingen
a
b Van Wikipedia (bewerkt)
Het pentagram of pentakel is een vijfpuntige ster werd reeds meer dan
4000 jaar voor Christus gebruikt. Het woord stamt van het Griekse
πεντάγραμμον (pentagrammon), hetgeen vijf lijnen betekent. In Griekenland
wordt het pentagram ook wel pentalfa (= vijf alfa's) genoemd, omdat er vijf
letters A in zijn te herkennen.
Het pentagram was het symbool van de wiskundige Pythagoras. Het is een
sterveelhoek, welke je kunt laten ontstaan door de zijden van een veelhoek
met stompe hoeken naar buiten te verlengen.
Je ziet het symbool op ontzettend veel plaatsen terug, denk hierbij aan de logo's van bijvoorbeeld
militaire organisaties. Het pentagram wordt gebruikt als symbool in de esoterie en het occultisme. In het
modern satanisme wordt een omgekeerde versie van het pentagram gebruikt.
Het pentagram is oorspronkelijk een heidens, voor-christelijk symbool. Wiskunde of mathematica was in
de middeleeuwen één van de zeven verboden kunsten. Door zijn band met de wiskunde werd het
pentagram daarom een negatief symbool. Door sommige mensen wordt dit teken daarom ook wel gezien
als het teken van Satan (de duivel) en het komt ook veel voor in Wicca-kringen. Het pentagram zou
verworden zijn tot duivels symbool door Constantijn de Grote om "heidenen" te bekeren tot het
christendom. Halverwege de 19de eeuw is hierin onderscheid gemaakt: met de punt omhoog zou goed
zijn, gericht naar de hemel. Met de punt omlaag: naar de duivel.
Het wordt ook gezien als het symbool van volmaaktheid en vrouwelijkheid:
 De lange lijnstukken zijn ϕ keer zo lang als de korte lijnstukken; ϕ =
≈ 1,618
 Het pentagram staat voor de vijf elementen: water, vuur, aarde, lucht, ruimte
 Het pentagram staat voor de vijf klassieke zintuigen: voelen, zien, ruiken, horen en proeven.
c De scherpe hoeken van de pentagram zijn 36°. Deze kunnen als volgt
berekend worden.
* De hoeken van een regelmatige vijfhoek zijn 108°.
* De hoeken van een grijze driehoek zijn dus 108°, 36° en 36°.
* Tussen twee grijze driehoeken blijft over: 108° 36° 36° = 36°.
De andere (inspringende) hoeken zijn 360°  108° = 252°.
d Bij een regelmatige zeshoek krijg je de davidsster met hoeken van 60° en 240°.
Bij een regelmatige achthoek krijg je een ster met hoeken van 90° en 135°.
Bij een regelmatige n-hoek krijg je een ster met hoeken van
Buiten het boekje bij Hoeken en bij Symmetrie
⋅ 180° en
⋅ 180°.
3