Lineaire Algebra en Analytische Meetkunde I

Lineaire Algebra en
Analytische Meetkunde I
Charles Thas & Bart De Bruyn
ste
1
Bert Seghers
bachelor in de wiskunde
Universiteit Gent
Inhoudsopgave
1 Vectorruimte Rn
1.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Norm van een vector - orthogonale vectoren . . . . .
1.3 Deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Lineaire afbeeldingen - isomorfismen - automofismen
1.6 Dimensiestelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Directe sommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Orthonormale basissen van een Eucl vectorruimte . .
1.9 Orthogonale deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2 Matrices en determinanten
2.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Determinanten . . . . . . . . . .
2.3 Inverse van een vierkante matrix
2.4 Rang van een matrix . . . . . . .
2.5 Toepassingen en voorbeelden . .
2.6 Lineaire afbeeldingen . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
4
4
5
5
5
3 Stelsels lineaire vergelijkingen
3.1 Invarianten van een lineaire afbeelding . . . . . . . . . . . . .
3.2 Stelsels lineaire vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
4 Eigenwaarden en eigenvectoren
4.1 Echelonvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Eigenwaarden en eigenvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Stelling van Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
7
5 Euclidische ruimten
5.1 Rechten, vlakken, hypervlakken in de Euclidische ruimte . . .
5.2 Kwadrieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Isometrieën . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
11
15
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1.1
Vectorruimte Rn
Inleiding
D R2 (met scalaire verm en optelling ñ samen lin comb)
Zelfde voor R3 en ook uitbreiding naar Rn tpa1 , a2 , ..., an q|ai P Ru
=
n-dimensionale vectorruimte.
1.2
Norm van een vector - orthogonale vectoren
Lengte, norm
}vt} b
a21
a2n .
...
ņ
y
t
, vtq cospu
Inproduct
R R ÑR
n
n
ņ
b2i
i 1
vtw
t a1 b1
Orthogonaal als: a1 b1
y
t
, vtq cospu
1.3
ai bi
d i 1
ņ
a2i
i 1
a2 b2
a2 b2 ...
vtw
t
}vt} }wt}
an bn
...
0
an bn
Deelruimten
Deelruimte W = deelverzameling van Rn die gesloten is voor optelling en
vermenigvuldiging met een scalair.
Rvt = vectorrechte = deelruimte.
ņ
Je kan een deelruimte definieren door één of meer lin vgln
ai xi
0.
i 1
1.4
Basis
Definitie
Definitie
combinaties
Definitie
Lineaire combinatie
Span(vectoren): Verz van alle vectoren gevormd door lineaire
van die vectoren.
Lin (on)afh: lin comb = 0 ñ enkel nuloplossing, dus
a1 vt1
a2 vt2
...
an vtn
0
heeft alleen nuloplossing voor a1 tot an .
Definitie Basis van Rn ô verzameling lin onafh vectoren die Rn opspannen. (Span(B) = Rn ^ B lin onafh)
Stelling
B is basis ô elke vector van Rn op unieke wijze kan geschreven
worden als unieke lin comb van de vectoren van B. (+ Bewijs)
Stelling
Elk stel lin onafh vectoren vt1 , . . . , vtk kan uitgebreid worden tot
een basis van Rn met n k vectoren tvtk 1 , . . . , vtn u (+Bewijs)
2
1.5
Lineaire afbeeldingen - isomorfismen - automofismen
Definitie Lin afb = f : V Ñ W met f pavt1 bvt1 q af pvt1 q bf pvt2 q
Definitie Isomorfisme = Bijectieve lin afb
Definitie Automorfisme = lin afb met V = W
Stelling
Elke deelruimte V van Rn is isomorf met een Rk en kan dus
met Rk geidentificeerd worden. (+Bewijs)
Definitie Hom(V,W) = verz lin afb f : V Ñ W
1.6
Dimensiestelling
Definitie
V1
Som van deelruimtes:
...
Vk
tvt1
vt2
vtk |vti
...
P Vi u t
ķ
vti |vti
P Vi u
i 1
Dimensiestelling
wijs)
1.7
dimpV1 X V2 q
dimpV1
V2 q dim V1
dim V2 (+Be-
Directe sommen
Definitie
Directe som van deelruimtes V1 en V2 :
V1
V2 met dimpV1 X V2 q 0 : V1 ` V2
Stelling
Rn V1 ` V2 ô elke vt P Rn kan op unieke wijze geschreven
worden als vt1 vt2 . (+Bewijs en analoog voor meer als 2)
Stelling Rn `ki1 Vi ô (+Bewijs)
Rn ^
hun som Rn ^
• hun som
•
1.8
X °ij Vi tt0up@j kq
°
dim Vi n
Vj
Orthonormale basissen van een Eucl vectorruimte
Stelling
Orthogonale vectoren zijn lineair onafhankelijk (+Bewijsje)
Stelling
Men kan een orthogonale basis van Rn construeren met elke
basis tvt1 , . . . , vtn u (+Bewijs: Gram-Schmidt)
1.9
Orthogonale deelruimten
Definitie
Orthogonale deelruimtes: alle elementen staan loodrecht op
alle elementen. Ledige X. V1 ` V2 V1 k V2
t P
Definitie Orthogonaal complement van W W K tvt P Rn |vtKw
W u deelruimte
Stelling @ deelruimten W van Rn : W k W K Rn (+Bewijs)
3
Normaalvectoren op een vlak
• pa1 , a2 , . . . , an qKpn 1q-dimensionale deelruimte a1 x1
an xn 0
a2 x2
...
• k vergelijkingen stellen een n k dimensionale deelruimte in Rn .
• Elke vector van Rn kan ontbonden worden als vt1
orthogonale deelruimten.
vt2 met V1 en V2
• Toepassing: Orthogonale projectie van een vector op een vectorrechte
en op zijn pn 1q-dimensionaal complement.
2
2.1
Matrices en determinanten
Matrices
Basis van matrices: soorten, transponeren, optellen, vermenigvuldigen.
Vermenigvuldiging is associatief, niet commutatief, lineair in beide argumenten.
2.2
Determinanten
detpAq ¸
P
sgnpσ qaσp1q,1 aσp2q,2 aσpnq,n
σ Sn
Ontwikkeling van Laplace naar i-de rij of j-de kolom:
detpAq p1qi
detpAq p1q1
1
j
ai1 detpAi1 q
a1j detpA1j q
...
...
p1qi nain detpAinq
p1qn j anj detpAnj q
met Aij ij-de minor van A = deelmatrix door schrappen rij i en kolom j.
Determinant is multilineair en alternerend voor kolommen en rijen.
Stelsel van Cramer, A X B.
xi
i1 BAi
detpA1 . . . Adet
pAq
1 . . . An
q
Stelling rijen en kolommen lin onafh ô det 0 (+ Bewijs)
Rekenregeltjes: detpAB q detpAq detpB q . . .
2.3
Inverse van een vierkante matrix
Minor: deelmatrix
Cofactor: determinant van de minor met teken
Geadjungeerde matrix pÃq: gevormd door alle cofactoren, getransponeerd
Stelling à A detpAqIn en A1 det1pAq à en ook A inverteerbaar
ô detpAq 0 (+Bewijs)
4
2.4
Rang van een matrix
Definities Kolomrang, rijrang, determinantrang
Stelling k pAq rpAq dpAq = de rang van A (+ Enorm Bewijs)
2.5
Toepassingen en voorbeelden
2.6
Lineaire afbeeldingen
m n-matrix A of Af stelt lin afb voor van Rn (basis et) naar Rm (basis et1 )
ô
f petk q m̧
aik et1i
i 1
Af
a11
a21
..
.
..
a1n
a2n
..
.
.
k
1...n
$
f et1
'
'
'
& f et
2
p q
p q
ontstaat door
'
'
'
%
a11 et1 1
a12 et1 1
..
.
...
...
..
.
am1 et1 m
am2 et1 m
am1 amn
f petn q a1n et1 1 . . . amn et1 m
Merk op dat de i-de kolom van Af gevormd wordt door de coëfficiënten van
de lin comb van de basisvectoren van de nieuwe ruimte als functiewaarde
van de i-de basisvector in de oude ruimte.
Deze matrix bepaalt de lin afb volledig. Alle vectoren van Rn kunnen hierdoor omgezet worden in de vectoren van Rm door Y Af X.
Stelling Agf Ag Af (+Simpel bewijs)
Stelling dim Impf q rangpAf q (+Bewijs)
Stelling dim Impf q n ô f is injectief (+Bewijs)
Voor het verband tussen Af en Āf , twee matrices die eenzelfde lin afb definieren tov verschillende
basissen:ņ
ņ
Stelling
t
Als x
xi eti
i 1
C:
i 1
x̄it̄
ei dan
x1
.. . C xn
D inverteerbare overgangsmatrix
x̄1
.. (+Bewijs)
. x̄n
Stelling Af en A¯f definieren dezelfde lineaire afbeelding van Rn naar Rm ;
D overgangsmatrix in Rm en C in Rn , dan geldt: A¯f D1 Af C (+Bewijs)
Definities A en B equivalent (D1 ), gelijkvormig (C 1 ), congruent (C t ):
D : A BC
Stelling @A P Rmn , B P Rnn , C P Rmm en B en C singulier:
rang(A)=rang(AB)=rang(CA)=rang(CAB) (+Bewijs)
Stelling Transitiviteit van de equivalentie (+Bewijs)
5
3
Stelsels lineaire vergelijkingen
3.1
Invarianten van een lineaire afbeelding
Rang(f ), Kerf , Spoor(f ), detpf q
Dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen Rn
dimpker f q
3.2
ÞÑ Rm :
dimpImf q n(+Bewijs)
Stelsels lineaire vergelijkingen
Geen theorie kennen
tu is oplossingverz van f pX q w.
t Stelsel AX Rudimentair: tvt | f pvtq w
t heeft oplossing ô rang(A)=rang(A1 A2 . . . An W )
w
f pX q t
0 is een homogeen stelsel vergelijkingen en heeft als oplossing ker f .
rangpAq n
rangpAq rangpA1 . . . An W q
rangpAq rangpA1 . . . An W q n
4
UNIEKE OPLOSSING: Cramer
GEEN OPLOSSINGEN
MEERDERE OPLOSSINGEN
Eigenwaarden en eigenvectoren
4.1
Echelonvorm
Op zoek naar de eenvoudigste vorm: de diagonaalmatrix
4.2
Eigenwaarden en eigenvectoren
In f pvtq λvt is λ een eigenwaarde en vt een eigenvector. Alle eigenvectoren bij λ vormen een eigenruimte, zijnde kerpλ 1Rn f q.
Stelling Rn V1 ` V2 ` ` Vn (invariante vectorrechten voor f ) ô Rn
bevat een basis bestaande uit eigenvectoren van f ô Er bestaat een basis
voor Rn waarvoor de matrix van f een diagonaalmatrix is. (+Bewijs)
Stelling λ is een eigenwaarde ô kerpλ 1Rn f q tt
0u (+Bewijs)
Stelling Deze voorwaarden zijn equivalent en drukken uit dat f een automorfisme is, dus een bijectieve lin afb: (+Bewijs)
• ker f
tt0u
• f bijectief (f pvt1 q f pvt2 q ñ vt1
• det Af
vt2 ^ Imf Rn)
0
Stelling λ eigenwaarde voor f ñ detpλ 1Rn f q 0 (+Bewijs)
Definitie Karakteristieke of eigenwaardenvergelijking van f :
kf pX q detpX 1Rn
f q detpX In Af q.
6
In
R2
is de kf pX q detpXI2 Aq met A X 2 pa
a b
c d
:
d qX
pad bcq X 2 spoorpAqX detpAq
pa dq2 4 detpAq 0 ñ Geen rëele eigenwaarden
pa dq2 4 detpAq 0 ñ Unieke eigenwaarde λ
pa dq2 4 detpAq ¡ 0 ñ λ1 λ2, vt1 en vt2 lin onafh
DC : C 1AC λ01 λ02
Stelling f : Rn Ñ Rn ; r verschillende eigenwaarden ñ bijhorende eigenvectoren tvt1 , vt2 , . . . , vtr u lin onafh en opgespannen deelruimte invariant
voor f . (+Bewijs)
Stelling Lin afb met volledig oplosbare karakteristieke en verschillende
eigenwaarden ñ diagonaliseerbaar (+Bewijs)
Stelling Lin afb met volledig oplosbare karakteristieke, diagonaliseerbaar
ô @λ : dim kerpλ 1Rn f q s met s de multipliciteit van λ als wortel van
de kar (+Bewijs)
Stelling Lin afb met volledig oplosbare kar ñ D basis van Rn zodat de
matrixvoorstelling een bovendriehoeksmatrix is. Diagonaalelementen zijn eigenwaarden van f . (+Bewijs)
4.3
Stelling van Cayley-Hamilton
Hulpstelling
Hulpstelling
detpAq detpB q (Geen bewijs)
0 0 0 b0
1 0 0 b1 0 1 0 b2 Kar polynoom van 0 0 1 b3 det
A C
O B
.
..
.. .. . .
.. .
. .
. 0 0 0 1 bn1
X n bn1X n1 . . . b1X b0 (+Inductiebewijs)
Stelling van Cayley-Hamilton
Lin afb f : Rn Ñ Rn (of zijn matrix) voldoet aan zijn kar
kf pf q f n an1 f n1 . . . a1 f a0 1Rn ORn
kf pAf q Anf an1 Anf 1 . . . a1 Af a0 In Onn (+Bewijs)
7
5
Euclidische ruimten
5.1
Rechten, vlakken, hypervlakken in de Euclidische ruimte
Afstanden en hoeken
Werken in n-dimensionale, orthonormale ruimten; oorsprong o en basisvec
et1 , . . . , etn , allemaal orthogonaal op elkaar.
tv
t
Inproduct blijft u
ˆ
v} Afstand blijft }u
ņ
ņ
t
ui vi met u
i 1
d
ņ
ui eti
vt i 1
pyi xiq2
i 1
tv
u
t
ņ
vi eti
i 1
°
p q }ut} }vt} a° u2iv°i 2
ui vi
y
t
Hoek blijft cos u
, vt
Vectorieel product in R3
Oriëntatie: twee basissen zijn gelijk georienteerd als hun basisovergangsmatrix ¡ 0 en tegengesteld als 0.
Eén basis kiezen, noem deze positief. Alle gelijk georienteerde basissen ook
positief, rest negatief.
et1 et2 et3
t v1 v2 v3
Vectorieel product = vt w
w1 w2 w3
Deze uitdrukking is onafhankelijk van de keuze van (orthogonale, positieve)
basis.
Eigenschappen met korte bewijzen
tv
t v
tu
t
• u
• apu
tv
tq pau
tq v
tu
t pav
tq
tv
tt
t{{v
t
• u
0ôu
t
• pu
vtq w
tu
tw
t
tv
tKu
t en
• u
• pu
tv
tq2
•
•
Kvt
of
vt w
t
tpu
tv
tq v
tpu
tv
tq 0
u
ut2vt2 putvtq2 (Lagrange)
y
t
Als u
tt
0 vt : }u
tv
t} }u
t} }v
t} sinpu
, vtq
tv
tt
t, v
t, u
tv
tq is positieve basis van R3 .
Als u
0 : pu
u1 u2 u3
tpv
tw
tq pu
tv
tqw
t pu
tv
tw
tq = gemengd product = v1 v2 v3
• u
w1 w2 w3
8
Normaalvector op een hypervlak in Rn
Normaalvector staat loodrecht op hypervlak, dus op elke vector van hypervlak.
tpa1 , . . . , an qK hypervlak a1 x1
n
a2 x2
...
an xn
an
1
0
Vergelijking van een hypervlak met gegeven normaalvector door
punt
tpa1 , . . . , an q van normaalvector bepalen coëfficiënten van vlak
Coordinaten n
tot a1 x1 a2 x2 . . . an xn d 0. d bepaald door invullen van punt rt0 .
Vectorieel: prt rt0 qn
t 0.
3
In R : px x0 qa py y0 qb pz z0 qc 0.
Parallelle hypervlakken
Twee hypervlakken per definitie
parallel als hun
bepalende coëfficiënten lia1 an
neair afhankelijk zijn, of rang
1 ñ normaalvectoren
b1 bn
parallel.
ˆ2 0.
Hypervlakken orthogonaal ô normaalvectoren orthogonaal, dus n
ˆ1 n
Hoek tussen hypervlakken
= hoek ingesloten door normaalvectoren van hypervlakken.
Voor snijlijn van twee snijdende vlakken in R3 : normaalvectoren n
ˆ1 en n
ˆ2
loodrecht op elke vector van hun vlak en beiden loodrecht op de snijlijn.
ˆ1 n
ˆ2 is dus richtvector van α Y β.
Vector n
Rechten parallel en orthogonaal met een hypervlak
°
n
t parallel met hypervlak i1 ai xi
Rechte met vector u
u
tt
a 0.
t.
Orthogonaal als normaalvector t
a parallel met u
an
1
0 ô utKta of
Loodlijn uit een punt op een hypervlak en afstand ertussen
t an 1 0 en punt met vector rt0 . Parametervoorstelling
Hypervlak t
ax
loodlijn: x
t rt0 tt
a, t P R. Vergelijking loodlijn door eliminatie parameter
x1 r10
xn rn0
t:
... .
a1
an
Coordinaten voetpunt = snijpunt loodlijn en hypervlak: substitutie van
x
t rt0 tt
a in t
ax
t an 1 0
ñ taprt0 ttaq an 1 0 waaruit t an 1 tart0 . De plaatsvector van het voetpunt wordt dus rt an 1atrˆ0 ta.
0
a
t2
t
a2
9
Afstand tussen punt (vec rt0 ) en hypervlak is afstand tussen punt en voetpunt
(vec rt01 q.
an 1 t
art0 t
a
t
a2
}rt0 rt01 } d
2 2
ptart0 ptaa2nq2 1q ta |tart0 }ta}an 1| .
In R3 : formule van Hesse voor afstand van punt tot een vlak.
|ax0?
by0
a2
b2
cz0 d|
c2
Loodlijn uit een punt op een rechte en afstand ertussen
t door punt rt1 , vectorvoorstelling x
t rt1 tu
t) en punt rt0 . Stel
Rechte (vec u
1
1
t
t
voetpunt r0 , dan geldt hiervoor: u
tpr0 rt0 q 0. Voetpunt ligt op rechte,
u
tprˆ0 rˆ1 q
1
t rt0 q 0 waaruit t10 . Plaatsvector van voetpunt
dus u
tprt1 t0 u
u
t2
wordt dus gegeven door rt01
rt1
p q rt .
1
u
t rˆ0 rˆ1
t2
u
Parametervoorstelling van de loodlijn: x
t rt0 k prt01 rt0 q.
2
2
2
t prt1 rt0 q ru
tprt0 rt1 qs
u
(bereken als oefening).
Afstand }rt01 rt0 } t2
u
2
rˆ
1 qq
In R3 wordt dit door de identiteit van Lagrange putprˆut0 ofwel te bere2
t en vector
kenen uit de hoogte van het parallellogram geconstrueerd door u
tussen de twee gegeven punten.
Gemeenschappelijke loodlijn van kruisende rechten in R3
Twee kruisende rechten met punt (pt1 px1 , y1 , z1 q, pt2 px2 , y2 , z2 q) en richtvector
(u
ˆ1 , u
ˆ2 ). Loodlijn Ku
ˆ1 , Ku
ˆ2 en dus evenwijdig met u
tu
ˆ1 u
ˆ2 . Construeer
vlakken αpu
t, u
ˆ1 , door punt pt1 ) en β pu
t, u
ˆ2 , door punt pt2 ). Snijlijn ondubbelzinnig bepaald. Vergelijkingen van de loodlijn:
$
x x1
'
'
'
'
l1
'
'
'
'
l
&
"
pxt pt1 uˆ1 utq pxt pt2 uˆ2 utq 0
0
of
'
'
x x2
'
'
'
'
'
l2
'
%
l
y y 1 z z1
m1
n1
m
n
0
y y 2 z z2
m2
n2
m
n
0
et1 et2 et3
Met u
tpl, m, nq verkregen uit l1 m1 n1 .
l2 m2 n2
Afstand loodlijn: afstand tussen twee voetpunten tvt1 , vt2 u (te bepalen),
vraagt veel rekenwerk.
10
Gemakkelijker: vector v‰
1 v2 is orthogonale projectie van p‰
1 p2 op vectorrechte
t.
bepaald door u
u
t p‰
p
1
2
u
t
}v‰
1 v2 } }}
5.2
ˆ2 q|
1 u
|utppt2}ut} pt1q| |ppt2}uˆpt1 uˆ
ˆ}
u
1
2
Kwadrieken
Definitie en notatie
Een kwadriek is een oppervlak in de driedimensionale ruimte R3 met één
kwadratische vergelijking. Er zijn verschillende bruikbare schrijfwijzen om
F px, y, z q te beschrijven.
Kwadratisch gedeelte
hkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkj
F px, y, z q a11 x2
a22 y 2 a33 z 2 2a12 xy 2a13 xz
2a14 x 2a24 y 2a34 z looamo
44on
looooooooooooomooooooooooooon
Lineair gedeelte
Cte
F px, y, z q F px, y, z q 2pa14 a24
Als in de middelste vergelijking det B
0
x
y px y z 1qB z 1
x
px y zqA y z
a23 yz
0
x
y a34 q
z
a44
0
0, dan is de kwadriek singulier.
Coördinatentransformaties in de ruimte
Een punt p heeft coord px, y, z q tov orthonormale basis po; ti, t
j, t
k q en px1 , y 1 , z 1 q
tov een nieuwe orthonormale basis po1 ; it1 , jt1 , kt1 q. Dan kan door berekeningen aangetoond
getransformeerd
worden vol
worden dat de
coördinaten
x
x1
x0
gens y it1 jt1 kt1 y 1 y0 , waarbij de kolommen van
z
z1
z0
de overgansmatrix M0 de coördinaten van it1 , jt1 , kt1 zijn tov de oude basis
po; ti, tj, tkq. M0 is een orthogonale matrix, want M0 M0t I3. Immers, het
scalair product van verschillende orthonormale basisvectoren is 0, dat van
dezelfde is 1 (Kronecker-δ). Haar determinant is 1 of 1.
x
Uit F px, y, z q ξ t Aξ 2pa14 a24 a34 qξ a44 0 (met ξ y ) en
z
11
ξ
M0 ξ 1
ξ0 halen we (oef)
1
1
A
hkkkikkkj
F 1 px1 , y 1 , z 1 q loooooomoooooon
ξ 1t M0t AM0 ξ 1
1
1
pa14 a24 a34 q
hkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkj
2looooooooooooooooooomooooooooooooooooooon
ξ0t A
a14 a24 a34 M0 ξ 1
r
Kwadr. deel
p
q
s
1
a44
hkkkkkkikkkkkkj
p
q
F x0 , y0 , z0
loooooomoooooon
Cte
Lineair gedeelte
Reduceren van de lineaire termen van de kwadriek
Als we de lineaire termen willen wegwerken en toch de A-matrix behouden
(door M0 I3 ), moeten
we onze oorsprong (x0 , y0 , z0 ) zo kiezen dat
ξ0t A pa14 a24 a34 q p0 0 0q, of:
$
& a11 x0
%
a12 x0
a13 x0
a12 y0
a22 y0
a23 y0
a13 z0
a23 z0
a33 z0
a14
a24
a34
21 BBFx 0
12 BBFy 0
12 BBFz 0
Het is duidelijk dat dit mogelijk is als de oplossing van voorgaand stelsel
de coördinaten zijn van de nieuwe oorsprong. Als overgegaan wordt op
een willekeurige basis met de nieuwe oorsprong, dan wordt de vergelijking:
F 1 px1 , y 1 , z 1 q ξ 1t A1 ξ 1 F px0 , y0 , z0 q 0. De vergelijking is invariant voor
px, y, zq Ñ px, y, zq en heeft dus de nieuwe oorsprong als middelpunt
en symmetriepunt.
Middelpunt: als coördinaten oplossing zijn van BBFx BBFy BBFz 0. Stelsel
van drie lineaire vergelijkingen: kan geen oplossingen hebben, of een punt,
rechte, vlak van oplossingen.
Reduceren van het kwadratisch gedeelte van de kwadriek
x
y , met drie zuiver
Het kwadratisch gedeelte van F px, y, z q is px y z qA
z
kwadratische termen px2 , y 2 , z 2 q en drie gemengde termen pxy, xz, yz q. Willen we de gemengde termen laten verdwijnen, dan moeten we overgaan op
een basis van eigenvectoren van A, zodat A1 een diagonaalmatrix wordt.
Stelling De karakteristieke of eigenwaardenvgl van een reële symmetrische matrix is volledig oplosbaar. Een n n-matrix heeft dus n reële
eigenwaarden. (+Bewijs voor 2 2 en 3 3)
Stelling De 3 eigenvectoren van een symmetrische 3 3-matrix behorende
bij verschillende eigenwaarden, zijn orthogonaal! (+Bewijs)
Stelling A = reële symmetrische 3 3-matrix. Er bestaat dan een orthogonale matrix C (met kolommen = eigenvectoren van A) waarvoor geldt:
C t AC diag(λ1 , λ2 , λ3 ).
12
Homogene coördinaten in de Euclidische ruimte
Coördinaat U bijvoegen, zodat puntpx, y, z q ñ puntpX, Y, Z, U q met px, y, z q
XU , YU , UZ . De homogeen gemaakte vergelijking van een kwadriek ziet er
als volgt uit.
a11 X 2 a22 Y 2 a33 Z 2 a44 U 2 2a12 XY
2a13 XZ a23 Y Z a14 XU a24 Y U a34 ZU
F pX, Y, Z, U q 0
Uitbreiding van ruimte met oneigenlijke punten, met U 0. Rechten hebben
1 oneigenlijk
punt, U 0 is een vlak. De kromme op 8 van een oppervlak
"
F pX, Y, Z, U q 0
is
. Voor een boloppervlak is deze onafhankelijk van
U 0
middelpunt en straal.
Dubbelpunten
Een punt is een dubbelpunt als zijn coördinaten voldoen aan
$
a11 X
'
'
&
a12 X
a X
'
'
% 13
a14 X
a12 Y
a22 Y
a23 Y
a24 Y
a13 Z
a23 Z
a33 Z
a34 Z
a14 U
a24 U
a34 U
a44 U
12 BBXF 0
21 BBYF 0
12 BBFZ 0
12 BBUF 0
Samenvatting
F
BBYF BBFZ
Als een punt voldoet aan BBX
0
U 0
anders
BF
BU
ñ
ñ
ñ
of
X
Y B
Z U
0
0 0 0
0, en
Dubbelpunt
Middelpunt op 8
Gewoon, affien middelpunt
Raakvlak aan een kwadriek
Het raakvlak in een punt p0 is het vlak gevormd door alle mogelijke raaklijnen aan alle mogelijke krommen P kwadriek door dat punt.
Stelling Het raakvlak aan ϕ door p0 wordt gegeven door (+Bewijs)
B
ϕ
px x0q Bx
p
0
met
Bϕ
Bx
p0
B
ϕ
py y 0 q B y
p
0
B
ϕ
p z z0 q B z 0
p
0
de partiële afgeleide van ϕ, geëvalueerd in het punt p0 px0 , y0 , z0 q.
Classificatie van niet-ontaarde kwadrieken
Door een treffelijke coördinatentransformatie kan de vgl van een kwadriek
gereduceerd worden (A is altijd diagonaliseerbaar, de lineaire termen kunnen
weg als het middelpunt niet op 8 ligt ñ centrale kwadrieken: hyperboloı̈den,
ellipsoı̈den, kegels). Een compleet overzicht staat op pagina 16.
13
Assen, toppen, symmetrievlakken
Een rechte van symmetrie voor de kwadriek is een as. Snijpunten van de
kwadriek met de assen zijn zijn toppen. Ook vlakken kunnen symmetrievlakken zijn, bijvoorbeeld oxy-vlak als vgl invariant blijft bij px, y, z q Ñ
px, y, zq.
Omwentelingskwadrieken
Voorbeelden van oppervlakken die ontstaan door een kegelsnede te laten
wentelen rond een as: omwentelingsellipsoı̈de, eenbladige -hyperboloı̈de,
tweebladige -hyperboloı̈de, -paraboloı̈de (altijd elliptisch), kegel, elliptische
cilinder.
Stelling Een kwadriek is een omwenstelingslichaam als de matrix A minimum twee gelijke eigenwaarden heeft. (+Bewijs)
Beschrijvenden
Op sommige kwadrieken liggen reële rechten. Op allemaal liggen imaginaire
rechten. Deze rechten zijn beschrijvenden.
2
x
De eenbladige hyperboloı̈de De vergelijking
a2
y
kan herschreven worden als xa zc xa zc 1 b 1
punt gaan twee rechten, namelijk
"
x
a
x
a
zc z
c λ 1 yb y
1
λ 1
b
"
en
x
a
x
a
zc z
c y2
z2
1 0
b2 c2
y
b . Door ieder
µ 1 yb y
1
µ 1 b
De variabele µ of λ is per punt uniek bepaald door uit te drukken dat het
punt op de beide rechten ligt. De snijlijnen van een eenbladige hyperboloı̈de
met zijn raakvlak zijn de twee beschrijvenden door het raakpunt.
De hyperbolische paraboloı̈de Het zadeloppervlak xp yq 2z
kan analoog ontbonden waaruit de twee rechten door een punt (parameters
µ en λ alweer afhankelijk van punt):
2
#
?xp ?yq
?xp ?yq
λ
2z
λ
#
en
?xp ?yq
?xp ?yq
2z
µ
µ
Andere kwadrieken met reële beschrijvenden
ñ door het punt en het middel-/dubbelpunt
Reële elliptische cilinder ñ door het punt en het punt op 8.
Parabolische cilinder ñ door het punt en het punt op 8.
Hyperbolische cilinder ñ door het punt en het punt op 8.
• Reële kegels
•
•
•
14
2
Hyperkwadrieken in de n-dimensionale Euclidische ruimte
De theorie voor kwadrieken in R3 kan uitgebreid worden naar Rn . Hyperkwadrieken zijn dan hyperoppervlakken voorgesteld door één kwadratische
vergelijking met n onbekenden. Iedere dergelijke vergelijking kan met dezelfde principes gereduceerd worden tot
λ1 x21
5.3
λ2 x22
...
λn x2n
Isometrieën
Valt volledig weg.
15
F px01 , x02 , . . . , x0n q 0
H
Imaginaire ellipsoı̈de
x2
a2
y2
b2
z2
c2
10
Ellipsoı̈de
x2
a2
y2
b2
z2
c2
10
Tweebladige hyperboloı̈de
x2
a2
y2
b2
zc
Eenbladige hyperboloı̈de
x2
a2
y2
b2
zc 1 0
Elliptische paraboloı̈de
x2
p
Hyperbolische paraboloı̈de
De singuliere kwadrieken
x2
p
10
2
2
2
2
y2
q
2z 0
yq 2z 0
2
0
Imaginaire kegel met top p0, 0, 0q
x2
a2
y2
b2
H
Kegel met top p0, 0, 0q
Imaginaire elliptische cilinder
x2
a2
x2
a2
y2
b22
y
b2
zc 0
10
Elliptische cilinder
x2
a2
y2
b2
10
Hyperbolische cilinder
x2
a2
Parabolische cilinder
16
z2
c2
2
2
yb 1 0
2
2
x2 2py
0