1 vmbo-KGT 2.2 Grote getallen

havo A 4.4 Centrum- en spreidingsmaten
Centrummaten
gemiddelde
• het gemiddelde van een serie waarnemingsgetallen is de som van die
getallen gedeeld door het aantal getallen
mediaan
• eerst de waarnemingsgetallen naar grootte rangschikken
• bij oneven aantal getallen is de mediaan het middelste getal
• bij even aantal getallen is de mediaan het gemiddelde van de middelste
twee getallen
modus
• de modus is het waarnemingsgetal met de grootste frequentie
opgave 27 (zonder GR)
a gemiddelde = (3×2 + 4×4 + 5×6 + 6×5 +
7×4 + 8×4 + 9×3 + 10×2) : 30
gemiddelde = 6,3
30 getallen  15e en 16e getal
15e getal = 6 en 16e getal = 6
mediaan = ( 6 + 6 ) : 2
mediaan = 6
het cijfer 5 komt 6 keer voor
modus = 5
b modus, mediaan, gemiddelde
c totaal was 189 en het aantal ll. was 30
30 + 4 = 34 leerlingen
34 × 6,5 = 221
221 – 189 = 32
de vierde leerling  32 – (3 × 9) = 5
het cijfer 3 komt 2 keer voor
cijfer
frequentie
3
2
4
4
5
6
6
5
7
4
8
4
9
3
10
2
opgave 27 (met GR)
a voer in lijst 1 = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
en lijst 2 = { 2, 4, 6, 5, 4, 4, 3, 2 }
optie 1-Var Stats L1,L2 (TI)
of 1VAR (casio)
gemiddelde = 6,3
mediaan = 6
modus = 5
b modus, mediaan, gemiddelde
c totaal was 189 en het aantal ll. was 30
30 + 4 = 34 leerlingen
34 × 6,5 = 221
221 – 189 = 32
de vierde leerling  32 – (3 × 9) = 5
Voordelen en nadelen centrummaten
voordeel
nadeel
modus
• snel op te schrijven, weinig
rekenwerk
• de enige centrummaat die bij
kwalitatieve gegevens te
gebruiken is
• geeft weinig informatie
• is niet altijd aanwezig
• een kleine verandering kan
een geheel andere modus
opleveren
mediaan
• niet gevoelig voor uitschieters
• weinig rekenwerk
• alleen de volgorde van de
waarnemingsgetallen is van
belang, niet de grootte van de
waarnemingsgetallen
gemiddelde
• alle gegevens worden gebruikt • gevoelig voor uitschieters
• iedereen kent deze
centrummaat
om het gemiddelde te berekenen
moet je eerst de klassenmiddens
berekenen
opgave 31
de klasse met de grootste
frequentie is de modale klasse
a klassenmiddens zijn
aantal
1800, 2200, 2600, 3000 en 3400
branduren
voer in lijst1 { 1800,2200,2600,3000,3400 }
en lijst2 { 85,75,63,58,19 }
1600-<2000
optie 1 Var-Stats L1,L2 of 1VAR
2000-<2400
gemiddelde ≈ 2401 uur
2400-<2800
b GR  mediaan = 2200
2800-<3200
dus de mediaan ligt in de klasse 2000-< 2400
c de modale klasse is 1600-< 2000
3200-<3600
d 300 waarnemingsgetallen  150e en 151e getal
150 – 85 = 65e getal en 151 – 85 = 66e getal in klasse 2000-< 2400
er zitten 75 getallen in deze klasse
2000 + (65,5 : 75) × 400 ≈ 2349, dat is dus meer dan 2200
frequentie
85
75
63
58
19
Hoe teken je een boxplot?
1 bepaal de mediaan
2 bepaal het eerste kwartiel (mediaan van de “1e” helft) en het derde kwartiel
(mediaan van de “2e” helft)
3 teken een getallenlijn en zet het kleinste en grootste waarnemingsgetal,
de mediaan en de beide kwartielen boven de getallenlijn
4 teken de boxplot
voorbeeld
de volgende score’s zijn gehaald bij een test
23 – 43 – 24 - 34 - 13 - 32 - 44 - 53 - 17 - 28 – 30 – 22 – 19
schrijf de getallen van klein naar groot op
13 – 17 – 19 – 22 – 23 – 24 – 28 – 30 – 32 – 34 – 43 – 44 – 53
teken een getallenlijn
kleinste waarnemingsgetal = 13
grootste waarnemingsgetal = 53
mediaan = 28
1e kwartiel (Q1) = (19 + 22) : 2 = 20,5
3e kwartiel (Q3) = (34 + 43) : 2 = 37,5
10
15
20
25
tussen 2 verticale streepjes
altijd 25% van de
waarnemingsgetallen
30
35
40
45
in de box 50%
50
55
Boxplot mbv de grafische rekenmachine
1 frequentie tabel maken
stat  edit  1  L1 (waarnemingsgetallen)
L2 (frequentie’s) invullen
2 boxplot berekenen
stat  calc  1  1 var stats L1,L2
(L1,+2  2nd  1,2)
3 boxplot tekenen
2nd  stat plot  1  on  type ‘5e’  graph
relatieve cumulatieve frequentie
∙
100
De relatieve cumulatieve
frequentiepolygoon kun je goed
gebruiken om een boxplot te
tekenen.
∙
75
∙
50
0%  kleinste getal = 3
25%  1e kwartiel (Q1) = 10
50%  mediaan = 13
75%  3e kwartiel (Q3) = 20
100%  grootste getal = 24
∙
25
∙3
0
5
10
10 1315
20
5
10
20
25
24
boxplot
0
15
25
Spreidingsmaten
• vaak wordt naast een centrummaat een zogenaamde spreidingsmaat
berekend om aan te geven hoever de data in een verdeling uitelkaar
liggen
• spreidingsbreedte : verschil tussen het grootste en kleinste getal
• kwartielafstand : verschil tussen het 1e en 3e kwartiel (Q3 – Q1)
opgave 35
a bij elke klas is de mediaan 3 km.
b nee, de mediaan is bij elke klas hetzelfde
c in klas 4A zit 50% tussen 1 en 5 km
in klas 4B zit 50% tussen 2 en 4 km
d in klas 4A is de spreiding het grootst
in klas 4C is de spreiding het kleinst
De standaardafwijking
• de meest gebruikte spreidingsmaat is de standaardafwijking
• om de standaardafwijking te berekenen moet je eerst van elk
waarnemingsgetal berekenen hoe ver het van het gemiddelde afligt
• zo krijg je bij elk waarnemingsgetal x de deviatie d
• d = x – x ( de afwijking van het gemiddelde )
• standaardafwijking σ = √gemiddelde van (x – x)2
• het berekenen van σ doe je met (TI) 1-Var Stats L1,L2  σx
of (Casio) 1VAR  xσn
opgave 43
gewicht
freq.
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
2
4
10
18
12
3
1
a voer in lijst 1 = {4.8,4.9,5.0,5.1,5.2,5.3,5.4}
en lijst 2 = {2,4,10,18,12,3,1}
optie 1-Var Stats L1,L2 of 1VAR geeft
minX = 4,8 ; Q1 = 5 ; Med = 5,1 ; Q3 = 5,2 ; maxX = 5,4
mediaan = 5,1
kwartielafstand = Q3 – Q1 = 5,2 – 5 = 0,2
spreidingsbreedte = maxX – minX = 5,4 – 4,8 = 0,6
b schatting σ = 0,3  2σ = 0,6
2σ = spreidingsbreedte = 0,6  dat kan niet
c GR  x ≈ 5,09 en σ ≈ 0,12
gemiddelde ≈ 5,09 kg en de standaardafwijking ≈ 0,12 kg
Notaties op de GR
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
x
σ
σx
xσn
n
minX
maxX
Q1
Q3
Med
: het gemiddelde
: de standaardafwijking
: de standaardafwijking (TI)
: de standaardafwijking (Casio)
: het totale aantal waarnemingen
: het kleinste waarnemingsgetal
: het grootste waarnemingsgetal
: het eerste kwartiel
: het derde kwartiel
: de mediaan (het tweede kwartiel)