Vwo 3

© Ivo Claus – Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud - april 2006
Havo 4 wiskunde B1
Deel 3 Hoofdstuk S2. Centrum- en spreidingsmaten
Paragraaf 2. Centrummaten
Deze week: 1 tm 13
Van vijf jongens is bekend hoeveel zakgeld zij per maand krijgen:
25, 15, 15, 20, 250 (alle in euro’s)
‘Veel’ getallen, hoe zou je die kunnen samenvatten? Door het gemiddelde te geven. Dat is €65. Geeft
dat getal een goed beeld van de bedragen? Nee. Oplossing: de mediaan.
De mediaan berekenen:
1. Zet de getallen op volgorde van laag naar hoog
2. Neem het middelste getal. Dat getal is de mediaan.
In het voorbeeld:
1. Op volgorde: 15, 15, 20, 25, 250
2. Het middelste getal is 20.
De mediaan is dus 20.
Maar het gaat fout bij de bedragen van vier meisjes:
20, 35, 25, 200.
1. Op volgorde: 20, 25, 35, 200
2. Er is geen middelste getal!!!
Dit probleem heb je als het aantal getallen even is (2, 4, 6, 8, 10, 12, …). In zo’n geval neem je de
middelste twee getallen. Van die twee getallen neem je het gemiddelde. Dat gemiddelde is dan de
mediaan. In het voorbeeld van de vier meisjes:
1. Op volgorde, 20, 25, 35, 200
2. De middelste twee getallen zijn 25 en 35. Het gemiddelde daarvan is 30. Dus de mediaan is
30.
Een belangrijke eigenschap van de mediaan is het volgende:
(Ongeveer) 50% van alle waarnemingsgetallen (data) is kleiner dan de mediaan en (ongeveer) 50% is
groter dan de mediaan. Controleer dit bij de twee voorbeelden.
Het gemiddelde is een “centrummaat” (iets waarmee je kunt ‘meten’ waar het centrum, het midden,
het zwaartepunt van de data ligt). De mediaan is ook een centrummaat. Er is er nog een (die weinig
gebruikt wordt), namelijk de modus. Daar hoef je nauwelijks iets voor te berekenen: dat is het getal
dat het vaakst voorkomt. In het voorbeeld met de jongens is de modus 15, bij de meisjes is er geen
getal dat het vaakst voorkomt, daarom is er in dat geval simpelweg geen modus!
Van een hele klas, met 30 leerlingen is ook het zakgeld per maand bekend:
Bedrag
20 25 30 35 40
Frequentie 7 10 6 5 2
Bereken het gemiddelde, mediaan en modus.
Gemiddelde: 720102563030535 240  27,50
Mediaan: dertig getallen (20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 25, 25, …, 40, 40). Het hoeveelste getal staat in
het midden? Het is een even aantal getallen, dus je moet de middelste twee getallen hebben. Dat zijn
het vijftiende en zestiende getal. Dat is beide 25 (toch?). Het gemiddelde van 25 en 25 is 25, dus de
mediaan is 25. De modus is 25, want die komt het vaakst voor.
1
© Ivo Claus – Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud - april 2006
Havo 4 wiskunde B1
Deel 3 Hoofdstuk S2. Centrum- en spreidingsmaten
Paragraaf 3. Boxplot en kwartielen
Deze week: 1 tm 13
Herhaling: voor de mediaan geldt: 50% (ongeveer) van de getallen/data ligt onder de mediaan, 50%
(ongeveer) erboven. Zo is er ook een 25%-grens en een 75%-grens. De eerste heet ook wel het eerste
kwartiel, de tweede derde kwartiel. Ze worden in de wiskunde aangeduid met Q1 en Q3 .
Terug naar voorbeeld van de klas met 30 leerlingen:
Bedrag
20 25 30 35 40
Frequentie 7 10 6 5 2
Op een rijtje (zoiets moet je eigenlijk denkbeeldig doen):
20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25,30,30,30,30,30,30,35,35,35,35,35, 40, 40
linkerhelft
rechterhelft
Deel de getallen in twee helften in (als het een oneven aantal getallen is, dan hoort het middelste getal
(de mediaan) bij geen van beide helften).
Neem van de linkerhelft de mediaan, dat is dan het eerste kwartiel.
Neem van de rechterhelft de mediaan, dat is dan het derde kwartiel.
In het voorbeeld zitten er in de linkerhelft (in de rechterhelft ook) 15 getallen. De mediaan is dan het
achtste getal. Dat is 25. Dus: Q1  25 .
De mediaan van de rechterhelft is het achtste getal van rechts (het 23e getal van links). Dat is 30, dus
Q3  30 .
Je kunt Q1 , de mediaan (med) en Q3 ook door de GR laten uitrekenen. Dat gaat dan als volgt:
Ga naar STAT, vul in LIST1 de bedragen in. Vul in LIST2 de frequenties in.
Kies CALC (druk evt eerst op F6) en dan SET.
Je moet dan instellen waar de GR moet kijken om de data (waarnemingsgetallen) en waar de
frequenties moet vinden. Vul in:
1Var XList: List1
1Var Freq: List2
2Var XList: doet er niet toe
2Var YList: doet er niet toe
2Var Freq: doet er niet toe
Ga er uit (EXIT) en kies 1VAR (da’s F1). Bij x lees je af wat het gemiddelde is, bij Med (scroll naar
beneden) lees je de mediaan af en bij Q1 en Q3 het eerste en het derde kwartiel. Ook zie je in de lijst
MIN en MAX; dat zijn de kleinste en het grootste waarnemingsgetal.
Als je een lijstje met waarnemingsgetallen hebt zonder dat het in een frequentietabel staat, zoals in het
eerste voorbeeld van de vorige paragraaf (de bedragen 25, 15, 15, 20, 250), dan moet je bij SET bij
1Var Freq invullen: 1 (door F1 te drukken)!
2
© Ivo Claus – Nijmeegse Scholengemeenschap Groenewoud - april 2006
Een diagram waarin je Min, Q1 , Med, Q3 en Max kunt zetten, heet een boxplot.
Stel je hebt van een hoeveelheid data de volgende gegevens uitgerekend (met of zonder GR):
min  17, Q1  23, med  24, Q3  33, max  50 . De boxplot moet er dan zo uitzien:
Het nut van een boxplot? Vooral als je twee boxplots boven elkaar tekent, zoals in opgave 9.
3