Wiskunde voor wetenschappers

Vakantiecursus
Wiskunde voor wetenschappers
Motivatie
Wiskunde. In het secundair onderwijs worden van geen enkel vak meer lesuren gegeven dan
van wiskunde. Sommigen kunnen wiskunde erg appreciëren en anderen gruwen ervan – in
het ergste geval zijn ze er ook nog eens fier op dat ze er geen snars van begrepen.
Nochtans is wiskunde alomtegenwoordig en laten heel wat fysische, chemische en biologische
processen zich beschrijven in een wiskundig formalisme. Meer zelfs, wiskunde ontkennen
blijkt onmogelijk in elke wetenschap die een niveau van exactheid heeft bereikt.
Wikipedia definieert wiskunde als de studie van kwantiteit, structuur, ruimte en verandering,
in haar meest abstracte vorm. Als het nu gaat om het modelleren van insectenpopulaties door
differentiaalvergelijkingen of beschrijven van plaatsen op de aardbol met boldriehoeksmeetkunde, wetenschappers kunnen zich bedienen van het abstracte framework dat wiskundigen
ooit gebouwd hebben, soms eeuwen tevoren.
Bovendien staat de wiskunde zelf voortdurend in wisselwerking met andere wetenschappen:
concrete wetenschappelijke problemen stimuleren het fundamenteel wiskundig onderzoek,
maar ook recente wiskundige ontwikkelingen stuwen de wetenschap, denk maar aan nieuwe
technieken in de artificiële intelligentie die voor doorbraken zorgen in het DNA-onderzoek.
Er is echter nog een reden om wiskunde niet uit het curriculum van de wetenschapper te
schrappen, misschien zelfs nog belangrijker dan het gebruik van wiskunde in de wetenschap.
Een wetenschapper moet namelijk een intu¨tie ontwikkelen over kwantiteit. Zeker als men
cijfermateriaal onderzoekt, wat in vrijwel alle empirische wetenschappen het geval is, is een
goed gevoel voor hoeveelheid erg belangrijk. Op het zicht grootteordes kunnen inschatten,
tijden of snelheden gokken op basis van gegevens of intu¨tief lineaire, exponentiële of logaritmische verbanden vermoeden, het zijn vruchtbare wetenschappelijke competenties die pas
kunnen verworven worden eens men de wiskundige wortels ervan als automatismen beheerst.
Een laatste motivatie voor wiskunde voor wetenschappers is dat het een algemeen vormende
discipline is die traint in het logisch nadenken en abstract redeneren. Het krijgen van inzicht
in nieuwe problemen door er een bekende structuur in te identificeren of het analyseren
van ingewikkelde informatie door de essentie te herkennen en die op een abstracte manier
te behandelen, het gaat beter als men met dat logisch nadenken en abstract redeneren
vertrouwd is.
Wiskunde zelf is een interessante discipline, waarin wiskundigen patronen zoeken, vermoedens formuleren en stellingen bewijzen. Hoewel bijzonder intrigerend soms, gaan we de zuiver
wiskundige toer niet op en laten we de precieze onderbouw van de concepten wat in het vage.
Veel van het rigoureuze formalisme dat achter elk van de concepten in deze vakantiecursus
schuilgaat, hebben we verdoezeld om de vlotte begrijpbaarheid te verbeteren. Bovendien
hebben we geprobeerd ons te beperken tot de essentiële basiswiskunde uit het middelbaar
die wetenschappers nodig hebben.
Bert Seghers
Vakgroep Wiskunde
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 0
1
Inhoudsopgave
0 Logica en verzamelingenleer
0.1
5
Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
0.1.1
Propositielogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
0.1.2
Predikaatlogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
0.1.3
Vrije en gebonden variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
0.2
Verzamelingenleer
0.3
Respect voor wiskundige objecten: een ode aan begrip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1 Rekenkunde
11
1.1 Getallenverzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2
Sommen en producten compact noteren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3
1.4
1.5
Rekenen met breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Rekenen met machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Volgorde van bewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6
1.7
Absolute waarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8
Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Algebra
2.1
20
Veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Reële veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Optellen van veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3
Vermenigvuldigen van veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2
2.1.4 Delen van veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Merkwaardige producten en ontbinden in factoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3
Eerstegraadsvergelijkingen en ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4
2.3.1
Eerstegraadsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2
Oplossen van eerstegraadsongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3 Absolute waarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Vierkantsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1
2.4.2
2.5
Discriminantmethode
Som- en productregel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Veeltermvergelijkingen van hogere graad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.1
2.5.2
Ontbinden in factoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Regel van Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6
Oplossen van rationale vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7
Oplossen van lineaire stelsels
2.8
2.7.1 Combinatiemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7.2 Substitutiemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9
Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2
3 Meetkunde
3.1 Euclidische meetkunde . . . . . . . . . .
3.1.1 Hoeken . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Driehoeken . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Cirkels . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Cartesiaanse meetkunde – rechten . . .
3.2.1 De standaardvergelijking van een
3.3
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
rechte
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
40
40
40
41
42
43
43
3.2.2
Interpretatie van q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.3
Richtingscoëfficiënt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.4
Vergelijking van een rechte met gegeven rico, door een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.5
Vergelijking van een rechte door twee punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.6
Evenwijdige en loodrechte rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.7 De doorsnede van twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Vectormeetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1 Scalaire vermenigvuldiging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2
Optelling van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3
3.3.4
Grootte van een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Inproduct van twee vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5
Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Goniometrie
54
4.1 Hoeken op de goniometrische cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2
4.3
Goniometrische getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1
Sinus, cosinus, tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.2
Grondformule van de goniometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.3
Veelgebruikte goniometrische waarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.4
Hoeken bepalen uit goniometrische waarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.5
Goniometrische waarden bepalen uit goniometrische waarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Verwante hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.1 Gelijke hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.2
Tegengestelde hoeken
4.3.3
Complementaire hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.4
Supplementaire hoeken
4.3.5
Uitdrukkingen vereenvoudigen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4
Goniometrische formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.1 Som- en verschilformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.2 Verdubbelings- en halveringsformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5
Goniometrie in driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.1 Goniometrie in rechthoekige driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.3
4.5.2
4.6
Formules van Simpson en omgekeerde formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Goniometrie in willekeurige driehoeken: sinus- en cosinusregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.3 Voorbeelden . . . .
Goniometrische functies .
4.6.1 De cosinusfunctie .
4.6.2 De sinusfunctie . .
4.6.3 De tangensfunctie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66
68
68
68
69
4.7
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.8
Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 0
3
5 Limieten
75
5.1 Reële functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Limiet in een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1
Oneindige limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.2
Rekenregels voor oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3
Limiet op oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4
5.5
Linker- en rechterlimiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Rekenregels voor limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.6
5.7
Limieten van veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Limieten van rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.8
Limieten van goniometrische functies: lim
5.9
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
sin ax
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.10 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 Afgeleiden
89
6.1
Afgeleide in een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2
Afgeleide functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3
Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4
Afgeleide van basisfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.5
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.6
Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7 Functieonderzoek
96
7.1 Symmetrieën . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2
Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2.1
Verticale asymptoot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2.2
Horizontale asymptoot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2.3
Schuine asymptoot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3
Stijgen en dalen met de eerste afgeleide
7.4
Convexiteit met de tweede afgeleide
7.5
7.6
Functieonderzoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.7
Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8 Integralen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
114
8.1
Primitieven en de onbepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2
Onbepaalde integralen uitrekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.3
8.2.1
Basisintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2.2
Lineariteit van de integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2.3
8.2.4
Substitutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Partiële integratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
De bepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.3.1
Additiviteit van de integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.3.2
Bepaalde integralen uitrekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.4
Oppervlaktes met bepaalde integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.5
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.6
Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.4.1
Oppervlakten tussen meerdere krommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 0
4
Hoofdstuk 0
Logica en verzamelingenleer
Voor we wiskunde kunnen beginnen doen, hebben we een kleine notie nodig van de basis
waarop het wiskundige framework gestoeld is. Dit zijn de logica en de verzamelingenleer.
Omdat een studie van deze disciplines vooral voor wiskundigen weggelegd is, geven we hier
een overzicht van de belangrijkste begrippen, notaties en symbolen.
0.1
0.1.1
Logica
Propositielogica
In de wiskunde doet men uitspraken. Dat zijn zinnen die op hun waarheidswaarde kunnen
gecontroleerd worden, zoals Op 16 juli 2012 trad Willem Vermandere op in Gent of Elke
afleidbare functie is continu. Zoals men getallen kan optellen en vermenigvuldigen, kan men
ook bewerkingen doen op zinnen. Als p en q zinnen zijn, dan is
•
•
•
•
•
“p en q” de zin die waar is als en slechts als p waar is én q waar is
“p of q” de zin die waar is als en slechts p waar is, of q waar is, of beiden
“niet p” de zin die waar is als en slechts als p niet waar is
“als p, dan q” de zin die waar is als en slechts als q waar is of p vals is
“p als en slechts als q” de zin die waar is als p en q tegelijk waar of tegelijk vals zijn.
De voorlaatste is de implicatie, die wordt genoteerd als p → q of p ⇒ q. De laatste is de
equivalentie, die wordt genoteerd als p ↔ q of p ⇔ q. Als p ↔ q, dan worden de zinnen
p en q equivalent of gelijkwaardig genoemd. Ook voor de andere samengestelde zinnen
bestaan logische symbolen, maar voor dagelijks gebruik in de wiskunde is het gebruik van
de woorden en, of, niet en als . . . dan ruim voldoende.
De talrijke logische wetten waaraan deze zogenaamde logische connectieven aan voldoen
laten we achterwege, met uitzondering van twee, de wetten van De Morgan. Deze zeggen
5
wat er gebeurt wanneer een “niet” gezet wordt vóór een “en” of een “of”:
niet (p en q) ↔ niet p of niet q
niet (p of q) ↔ niet p en niet q
0.1.2
Predikaatlogica
In de wiskunde is men nog meer dan met het combineren van eenvoudige zinnen, bezig met
predikaten. Dat zijn een soort zinnen waar nog iets moet in ingevuld worden, zoals heeft
een paarse muts of is integreerbaar over het interval [0, 1].
In de predikaatlogica mag men variabelen gebruiken (bijvoorbeeld x). Het zijn symbolen die willekeurige objecten kunnen vertegenwoordigen. Ze dragen zelf geen informatie in
zich. Als je een variabele invult in een predikaat, bijvoorbeeld “x is een vrouw”, dan krijg
je een uitdrukking die geen zin is. Immers, we weten niet wie x is en kunnen dus geen
waarheidswaarde (waar of vals) toekennen aan deze uitdrukking.
In predikaatlogica zitten ook nog twee extra symbolen, namelijk de kwantoren ∀ en ∃. Zij
zijn in staat om betekenis te geven aan uitspraken met predikaten.
• Het symbool ∀ lees je als voor alle. De uitspraak ∀x : x is een vrouw betekent: voor
alle x geldt dat x een vrouw is of nog, iedereen is vrouwelijk. Dit is wel een zin (echter
een onware).
• Het symbool ∃ lees je als er bestaat. De uitspraak ∃x : x is een vrouw betekent: er
bestaat een x waarvoor geldt dat x een vrouw is of nog, er bestaat een vrouw. Dit is
weer een zin (dit keer waar).
We geven nog mee hoe zinnen met kwantoren interageren met de “niet”:
• niet ∀x : Q(x) ↔ ∃x : niet Q(x).
• niet ∃x : Q(x) ↔ ∀x : niet Q(x).
0.1.3
Vrije en gebonden variabelen
Zij P , of P (x), een predikaat. Om de gedachten te vestigen betekent P (x) bijvoorbeeld ’x
studeert aan de UGent”.
We hebben gezien dat variabelen soms verhinderen om een waarheidswaarde toe te kennen
aan een uitspraak (bijvoorbeeld in P (x)), maar soms ook toelaten om een waarheidswaarde
toe te kennen (bijvoorbeeld in ∃x : P (x)). Het onderscheid is dat er bij het tweede voorbeeld
iets staat (in dit geval een kwantor) die de variabele x weer vastbindt, nadat ze vrij was in
P (x). In de volgende voorbeelden komen de letters i, j, k, x, y, z en c gebonden voor, terwijl
n, a en b vrij voorkomen.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 0
6
n
X
i=0
√
Z
2i = 2n−1
√
3
ax2 dx =
3a
0
{x ∈ R | x + 1 = x} = ∅
∞ Y
z
>y
∀y∃z :
1+
j
j=0
∀k, ∀c : k > 2 → ak + bk 6= ck
Men moet weten dat de precieze letters van gebonden variabelen geen rol van betekenis
spelen in de uitspraak. Het zijn dummyvariabelen, die je even goed door een andere letter
kunt vervangen zonder de waarheidswaarde van de uitspraak te veranderen. Bijvoorbeeld:
n
X
2i =
i=0
n
X
2k
k=0
∞ ∞ Y
Y
z
x
∀y∃z :
1+
> y ⇔ ∀z∃x :
1+
>z
j
m
m=0
j=0
Gebonden variabelen lopen meestal over een bereik, een verzameling waarover ze verondersteld worden te lopen. Bijvoorbeeld, in de eerste lijn hierboven loopt i over de verzameling
{0, . . . , n}. Dit fenomeen laat ons toe om substituties te doen in de gebonden variabelen.
Stellen we bijvoorbeeld j = i + 1, dan is i = j − 1. Als i = 0, dan is j = 1. Als i = n, dan is
j = n + 1. Zo kunnen we deze som herschrijven:
n
X
i=0
i
2 =
n+1
X
j=1
n+1
j−1
2
1X j
2
=
2 j=1
Substitutie in de integratieveranderlijke is op hetzelfde principe gebaseerd. Hoewel het a
priori is toegelaten om elke letter te gebruiken voor een substitutie, is er een wiskundige
folklore waar letters als i, j, k, l, m, n meestal natuurlijke getallen voorstellen en x, y, z meestal
reële getallen.
Het kunnen onderscheiden van vrije en gebonden variabelen is een goed hulpmiddel om onzin
te ontdekken. Als er in een uitspraak in het ene lid een variabele vrij voorkomt, die in de
andere gebonden of helemaal niet voorkomt, is er een aanzienlijke waarschijnlijkheid dat er
iets niet in de haak is.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 0
7
0.2
Verzamelingenleer
We werken in de wiskunde met verzamelingen, collecties van objecten die aan bepaalde
eigenschappen kunnen voldoen. De verzameling van al jouw jaargenoten, alle reële getallen
of alle protonen binnen het observeerbare universum: het zijn allen verzamelingen.
De verzamelingenleer introduceert naast het begrip voor de ledige verzameling ∅ nog een
symbool in de taal van de wiskunde: ∈. Het betekent: “is element van”, zodat men uitspraken kan doen als 0 ∈ R en ∀ε ∈ R, ∀x ∈ R, ∃q ∈ Q : |x − q| < ε.
De manier waarop we verzamelingen doorgaans noteren, is met accolades, waartussen we
alle elementen noteren, of een omschrijving geven zoals
{q ∈ Q | −3 6 q 6 2}.
De middenste streep leest men als waarvoor geldt of met de eigenschap dat.
Vanuit de verzamelingenleer en de logica kan men de hele wiskunde opbouwen. Men kan
bijvoorbeeld, als verzamelingen A en B gegeven zijn, de koppelverzameling A × B beschouwen, die bestaat uit koppels (a, b), met a ∈ A en b ∈ B. Dat we het reële vlak coördinaten
kunnen geven en aan elk punt in het vlak een koppel (x, y) ∈ R × R associëren, bevestigt
dat ook zo’n wiskundige objecten het waard zijn om te bestuderen, als elementen van een
verzameling.
Men kan ook alle functies gaan bekijken van een verzameling A naar een verzameling B. Dat
zijn objecten die met elk element van A een element van B laten corresponderen; objecten
die de elementen van A afbeelden op B. Ze zijn een soort input-outputmachines, die een
argument van het type A vragen en een object van het type B teruggeven.1 Geef je een functie
f een concreet element zoals 3 te eten, dan komt daar onherroepelijk de concrete waarde
f (3) uit. Geef je een functie f een vrije variabele x te eten, dan komt er een uitdrukking in
x uit (namelijk f (x)), waar de x nog steeds als vrije variabele optreedt. Deze uitdrukking in
x toont de volledige aard van f , omdat je door de x te vervangen door een concrete waarde,
het beeld f (a) voor eender welk element a zou kunnen bepalen. Een functie f , van A naar
B, noteren we als
f : A → B : x 7→ f (x),
waarbij het symbool 7→ betekent “wordt afgebeeld op”. Twee voorbeelden van functies: de
harenteller h en de kwadrator 2 :
h : verzameling van alle mensen → N : x 7→ aantal haren op het hoofd van x
2
: R → R : x 7→ x2
Die functies, bijvoorbeeld van R naar R, zijn erg interessante objecten om op zichzelf te
onderzoeken, wat we ook zullen doen in hoofdstuk 7. Je kan ze bijvoorbeeld met elkaar
1
Objectgeoriënteerde programmeurs zal dat niet vreemd in de oren klinken.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 0
8
samenstellen, om een nieuwe functie te krijgen. Als je bijvoorbeeld de bovenstaande functies
samenstelt (pas eerst h toe op een mens en daarna de kwadrator, noteer 2 ◦h, lees: kwadrator
na h), krijgen we een nieuwe functie
2
◦ h : verzameling van alle mensen → R : x 7→ (aantal hoofdharen van x)2
We hebben dus al kennis gemaakt met de functies, die we kunnen noteren met f . Een
andere klasse van objecten zijn de uitdrukkingen met een vrije variabele, zoals f (x). Je
zou ze kunnen verwarren met functies, omdat ze alle informatie over f bevaten, zoals eerder
betoogd. Nochtans zijn het zelf geen input-outputmachines, maar gewoon uitdrukkingen met
letters die je kan neerschrijven. x2 − 2x + 1 is bijvoorbeeld zo’n uitdrukking in x, die zelfs
ontbindt in twee gelijke factoren (in de ring van veeltermen). Omdat x een vrije variabele is,
zou je deze kunnen vervangen in de kwadratische uitdrukking, bijvoorbeeld door y 2 , om dan
(y 2 )2 − 2y 2 + 1 te bekomen, zodat we een zogenaamde bikwadratische uitdrukking krijgen.
Nog anders zijn de vergelijkingen, zoals x2 − 2x + 1 = 0. Het zijn een soort raadsels, die
de lezer uitdagen om alle mogelijke x’en te vinden die zorgen dat je inderdaad de nul uit het
rechterlid uitkomt als je ze in de vergelijking op de plaats van x invult.
Hoewel je de één uit de ander kan construeren, zijn ze toch niet dezelfde. De x’en die nul
geven als je ze invult in x2 − 2x + 1, hebben ook voor elk van de soorten een andere naam:
f : R → R : x 7→ x2 − 2x + 1
x2 − 2x + 1
2
x − 2x + 1 = 0
kwadratische functie
nulpunten of nulwaarden
kwadratische veelterm
wortels
kwadratische vergelijking
oplossingen
Als je een object manipuleert, bijvoorbeeld een veelterm ontbindt of een vergelijking oplost,
houd dan rekening met de notaties. x2 − 2x + 1 en (x − 1)2 zijn dezelfde veeltermen, dus
daar kun je een =-teken tussen schrijven om aan te duiden dat ze hetzelfde element van de
veeltermring voorstellen. Als je de vergelijking x3 − 4x = 0 wil oplossen, kun je schrijven
⇔
⇔
⇔
⇔
x3 − 4x = 0
x · (x2 − 4) = 0
x = 0 of x2 − 4 = 0
x = 0 of (x − 2)(x + 2) = 0
x = 0 of x = −2 of x = 2,
want x3 − 4x = 0 is een uitspraak en de uitspraken hierboven zijn er gelijkwaardig mee.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 0
9
0.3
Respect voor wiskundige objecten: een ode aan
begrip
Weten waar je precies mee bezig bent, zich realiseren wat de verzameling is waarin een
bepaald object leeft of over welk bereik een variabele loopt, het zijn heel basale vaardigheden
die erg nuttig zijn om abstracte of formele vakgebieden (zoals programmeren en wiskunde)
onder de knie te krijgen.
Als je respect toont voor de eigenheid van wiskundige objecten, zul je ze beter kunnen
hanteren en er meer mee kunnen doen. Neem nu de vergelijking
x − 6 = 2.
Het is een vergelijking die we moeten oplossen. We zoeken alle elementen die we kunnen
invullen voor x, zodanig dat er een gelijkheid van twee reële getallen overblijft. De gestructureerde manier om dat aan te pakken, is om aan beide kanten van de gelijkheid hetzelfde
bij op te tellen, namelijk zes. Dan wordt het linkse zes groter, en dus x, en het rechtse wordt
2+6=8. We hebben nu een nieuwe vergelijking, die waar is als en slechts als de vorige waar
was, maar die ons dichter bij een oplossing brengt. We kunnen namelijk aflezen dat de hele
verzameling van x’en die een oplossing zijn, enkel x = 8 is. Om in een oogopslag te zien dat
er niet veel oplossingen zijn, zullen we de verzameling van alle oplossingen opschrijven: {8}.
Het klinkt misschien wat hero¨sch of overdreven, maar wie actief begrijpt dat een term van
lid veranderen eigenlijk een operatie is die betekent dat je met beide leden hetzelfde doet,
zal het veel foutlozer kunnen toepassen dan iemand die de rekenregel als je een term van
lid verandert, verandert hij ook van teken heeft gememoriseerd. Wanneer die persoon zou
vergeten wat een term is en dit zou toepassen met een factor, zou er een foute stap in zijn
redenering zitten. En in de wiskunde is één foute stap vaak erg schadelijk voor een eventueel
eindresultaat.
Dit hoofdstuk werd bijgevoegd omdat veel wiskundige fouten ontstaan uit een onbegrip van
de precieze structuren en vormen van de objecten die men manipuleert. Wie niet ten volle
begrijpt wat pakweg oppervlakte, afleiden of machtsverheffen precies zijn, zal zich moeten
behelpen met gememoriseerde rekenregeltjes en ge¨miteerde methodes. Die zijn uiteraard
heel nuttig, maar het is ook belangrijk te begrijpen waarom ze er zijn. Als je eenmaal
helemaal begrepen hebt waarom de rekenregels waar zijn en de methodes werken, zul je ze
des te beter kunnen eigen maken!
Daarom dit warm pleidooi voor een streven naar begrip en inzicht, in alle wetenschap, maar
zeker in de wiskunde.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 0
10
Hoofdstuk 1
Rekenkunde
1.1
Getallenverzamelingen
De telling van een eindig aantal dingen levert een natuurlijk getal op. De verzameling
natuurlijke getallen noteren we met
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }.
We kunnen de verzameling N uitrusten met de bewerking +, maar niet elk getal heeft een
inverse t.o.v. de optelling. Breiden we daarvoor N uit met negatieve getallen, dan krijgen we
de verzameling gehele getallen, die we noteren als
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }.
We kunnen de verzameling Z uitrusten met een optelling en een vermenigvuldiging, maar
dan hebben enkel 1 en −1 een inverse voor de vermenigvuldiging. Als we, om dat op te
lossen, breuken toevoegen, dan verkrijgen we de verzameling rationale getallen, die we
noteren als
na
o
Q=
| a, b ∈ Z .
b
Hierin zitten bijvoorbeeld 0, −3.24, 47 en 0.33 . . . , kortom alle getallen die als een breuk (of
gelijkwaardig: als een eindigend of repeterend decimaal getal) kunnen geschreven worden. Er
zijn echter bijzonder veel getallen die we tegenkomen, maar niet kunnen realiseren als breuk.
Als we ook die toevoegen, vinden we de verzameling reële getallen, die we schrijven als
R.
p
√ √
De constructie van R is niet zo eenvoudig. Ze bevat getallen als 0, − π4 , 2 + 3 7, e 5 . Echter,
niet elke veelterm met coëfficiënten in R heeft wortels in R (bijvoorbeeld x2 + 1). Voegen we
ook het imaginair getal i, het getal waarvoor i2 = −1, toe aan R en alle combinaties, dan
11
vinden we een structuur die aan veel eigenschappen voldoet, de verzameling complexe
getallen, die we noteren als
C = {a + bi | a, b ∈ R}.
Voor deze verzamelingen geldt N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Werken met complexe getallen
komt uitgebreid aan bod in de vakken Wiskunde, maar valt buiten het bestek van deze
vakantiecursus.
1.2
Sommen en producten compact noteren
Om een som van getallen compact te noteren, gebruikt men het sommatiesymbool
betekenis hiervan is, met m 6 n gehele getallen:
n
X
P
. De
xi = xm + xm+1 + · · · + xn−1 + xn
i=m
Hierbij is i de sommatie-index, die loopt van de ondergrens m tot en met de bovengrens n.
De stapgrootte voor de sommatie is altijd 1. Enkele voorbeelden:
7
X
ki = k4 + k5 + k6 + k7
i=4
3
X
aij bjk = ai1 b1k + ai2 b2k + ai3 b3k
j=1
4
X
2 · i = 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + 2 · 4 = 20
i=1
Op dezelfde manier gebruikt men het productsymbool
besparend te noteren:
n
Y
i=m
7
Y
Q
om een vermenigvuldiging plaats-
xi = xm · xm+1 · · · · · xn−1 · xn
k i = k 4 · k 5 · k 6 · k 7 = k 22
i=4
4
X
2 · i = (2 · 1) · (2 · 2) · (2 · 3) · (2 · 4) = 384
i=1
Deze gelijkheden zijn enkel manieren om hetzelfde te noteren. Er zit geen wiskunde achter
(behalve telkens bij de laatste gelijkheden = 20, = 384).
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 1
12
1.3
Rekenen met breuken
a
Rationale getallen kan men schrijven als , met a en b gehele getallen. Het geheel getal a
b
wordt de teller genoemd en b de noemer. Hierbij is altijd b 6= 0, want a0 is geen rationaal
getal; delen door 0 is niet gedefinieerd.
Het tegengestelde van een breuk ab is − ab . Dit is het unieke getal dat, opgeteld met
0 geeft (het neutrale element voor de optelling).
a
b
resultaat
Het omgekeerde van een breuk ab is ab . Dit is het unieke getal dat, vermenigvuldigd met
resultaat 1 geeft (het neutrale element voor de vermenigvuldiging).
a·b
a·c
a c
+
b b
a c
+
b d
a c
.
b d
a c
:
b d
=
=
=
=
=
a
b
b
(a 6= 0, c 6= 0)
c
a+c
(b 6= 0)
b
ad + bc
(b 6= 0, d 6= 0)
bd
ac
(b 6= 0, d 6= 0)
bd
a d
ad
. =
(b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0)
b c
bc
Dit laatste betekent dat twee breuken delen hetzelfde is als de eerste breuk vermenigvuldigen
met het omgekeerde van de tweede breuk.
1 1
1
Let op!
+ 6=
a b
a+b
1.4
Rekenen met machten
Voor een reëel getal a en een natuurlijk getal m 6= 0 definiëren we de m-de macht van a:
am = a
| · a{z. . . a}
m factoren
Hierbij noemen we a het grondtal en m de exponent.
We kunnen dit uitbreiden naar rationale exponenten:
√
√ m
m
a n = n am = n a
met m ∈ Z, n ∈ N0 en a > 0
De volgende rekenregels gelden voor alle grondtallen a, b ∈ R en alle exponenten n, m ∈ Q,
binnen de beperkingen die tussen haakjes aangegeven staan.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 1
13
1
(a 6= 0)
an
√
1
a n = n a (a > 0 of n oneven)
1
1
a− n = √
(a 6= 0, a > 0 of n oneven)
n
a
√
n
an = a (a > 0 of n oneven)
√
√
√
n
n
n
a · b = ab
r
√
n
a
a
√
(b > 0 en a > 0)
= n
n
b
b
q
√
n √
m
a = nm a
a−n =
1n
0n
a0
am · an
am
an
(a · b)n
a n
b
(am )n
=1
= 0 (n > 0)
=1
= am+n
= am−n
= an · b n
an
= n (b 6= 0)
b
= amn
Let op! Machtverheffing en worteltrekking gedragen zich goed ten opzichte van de vermenigvuldiging, maar niet ten opzichte van de optelling!
√
√
√
a + b 6= a + b
(a + b)2 6= a2 + b2
√
√
√
n
n
a + b 6= n a + b
(a + b)n =
6 an + b n
Bijvoorbeeld:
√
√
√
√
1 = 5 − 4 = 25 − 16 6= 25 − 16 = 9 = 3
29 = 4 + 25 = 22 + 52 6= (2 + 5)2 = 72 = 49
1.5
Volgorde van bewerkingen
Bij wiskundige berekeningen is de volgorde waarin de bewerkingen worden uitgevoerd vastgelegd.
1. Haakjes
2. Machten en worteltrekking
3. Vermenigvuldigen en delen
4. Optellen en aftrekken
Bijvoorbeeld:
3 · (5 + 4)2 = 3 · 92 = 3 · 81 = 243
6+2·7
6 + 14
20
20
=
=
=
= −5
3
(6 − 2 ) · 2
(6 − 8) · 2
(−2) · 2
−4
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 1
14
1.6
Absolute waarde
Voor een reëel getal x wordt haar absolute waarde gedefinieerd als
(
x
als x > 0
|x| =
−x als x < 0.
De absolute waarde voldoet aan de volgende eigenschappen:
|a.b| = |a|.|b|
|a : b| = |a| : |b|
|a − b| = |b − a|
|an | = |a|n
|a + b| 6 |a| + |b|
|a − b| > |a| − |b|
Let op!
|a + b| =
6 |a| + |b|
|a − b| =
6 |a| − |b|
Bijvoorbeeld:
| − 3 + 7| = |4| = 4
| − 3| + |7| = 3 + 7 = 10
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 1
|3 − 7| = | − 4| = 4
|3| − |7| = 3 − 7 = −4
15
1.7
Oefeningen
Oefening 1
Schrijf, met behulp van sommatie- of productsymbool, volgende uitdrukkingen zo kort mogelijk. Uitrekenen is niet nodig.
A. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =
D. 2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12 =
B. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =
E. 1 · 4 · 9 · 16 · 25 · 36 =
C. x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · + x100 =
F. 3 +
3 3 1
3
+1+ + + =
2
4 5 2
Oefening 2
A.
B.
4
X
i
2 =
F.
i=2
i=2
3
X
4
Y
3.j =
G.
j=1
C.
7
X
2i =
4
Y
H.
(i + 2) =
2.(k + 3) =
i=1
7
X
i
D.
=
2
i=1
6
X
1
j=3
i=
i=1
k=3
E.
5
Y
j
4
Y
i
I.
=
2
i=1
=
J.
70
Y
i+1
i=1
i
=
Oefening 3
A. De helft van
B.
C.
1
2
3
+
1
2
3
4a
6
=
=
1
2
+ 4. =
2
5
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 1
D.
a
−b=
b
E.
4 9
:
3 7
F.
3x
+ 7x =
7
16
Oefening 4
A. a4 · a7 =
F.
53 · 58
=
59
a6
=
a−2
G.
22n
=
2n
B.
C. −2−2 =
H. 23 · 43 =
D. 53 : 55 =
I. 33 + 33 + 33 =
E. Een vierde van 88 is gelijk aan
J. 2−1 + 3−1 + 2−1 · 3−1 =
Oefening 5
A. | − 4 − 2| =
C. |5 · 3| + | − 17| =
B. |5 · (−6) + 4| =
D. −| − 3| + | − 3| =
Oefening 6
A.
√
3
a12 b6
B. 81−0,125
3
C. 25 2
√
3
D.
√
a2 b ab
√
, met a, b > 0
6
ab2
√
16 + 4
√
√
27 + 75
√
F.
3 12
E.
Oefening 7
A.
B.
1
1
+
x−2 x+2
1
x−3
1+
1
x+3
1
1
1
C.
+ 2+ 3
x x
x
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 1
1+
D.
1−
E.
F.
1
x
1
x
x−1 − y −1
−1
1
x2
x−1
x
1−
17
1.8
Oplossingen
Oefening 1
P
A. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6i=1 i
P
B. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 5i=1 (1 + 2 · i)
P
C. 31 + 23 + 33 + 34 + 53 + 36 = 6i=1 3i
D. x+x2 +x3 +x4 +x5 +. . .+x100 =
Q
E. 2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12 = 6i=1 (2 · i)
Q
F. 1 · 4 · 9 · 16 · 25 · 36 = 6i=1 i2
P100
i=1
xi
Oefening 2
A.
P4
2i = 28
F.
Q5
i = 120
B.
P3
3 · j = 18
G.
Q4
2i = 1024
H.
Q4
+ 2) = 360
I.
Q4
=
J.
Q70
i=2
j=1
P7
k=3 2 · (k + 3) = 80
P7 i
D.
i=1 2 = 14
P6 1
19
E.
j=3 j = 20
C.
i=2
i=1
i=1 (i
i
i=1 2
i=1
i+1
i
3
2
= 71
Oefening 3
A. De helft van
B.
1
C.
1
2
2
3
+
1
2
3
+4·
=
5
3
2
5
=
4a
6
=
a
3
21
10
a−b2
b
D.
a
b
−b=
E.
4
3
:
F.
3x
7
F.
a6
a−2
= a8
G.
22n
2n
= 2n
9
7
=
28
27
+ 7x =
52x
7
Oefening 4
A. a4 · a7 = a11
B.
53 ·58
59
= 25
C. −2−2 = − 14
D. 53 : 55 =
1
25
E. Een vierde van 88 is gelijk aan 222
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 1
H. 23 · 43 = 23 · (22 )3 = 29
I. 33 + 33 + 33 = 81
J. 2−1 + 3−1 + 2−1 · 3−1 = 1
18
Oefening 5
A. | − 4 − 2| = 6
C. |5 · 3| + | − 17| = 32
B. |5 · (−6) + 4| = 26
D. −| − 3| + | − 3| = 0
Oefening 6
A.
√
3
a12 b6 = a4 b2
B. 81−0,125 =
√1
3
D.
√
=
3
3
E.
√
3
√
√
3
F.
C. 25 2 = 125
√
a√2 b ab
6
ab2
√
=a b
√
16 + 4 = 2 5
√
27+
√ 75
3 12
=
4
3
Oefening 7
A.
1
x−2
B.
1
x−3
1
1+ x+3
C.
1
x
+
+
1
x2
1
x+2
=
+
=
2x
x2 −4
x+3
(x−3)(x+4)
1
x3
=
D.
=
x+3
x2 +x−12
x2 +x+1
x3
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 1
1+ x1
1− x1
=
x+1
x−1
−1
E. (x−1 − y −1 )
F.
1
x2
x−1
x
1−
=
x+1
x
=
xy
y−x
=1+
1
x
19
Hoofdstuk 2
Algebra
2.1
2.1.1
Veeltermen
Reële veeltermen
Een reële veelterm van graad n in x is een som van termen, waarbij elke term het product
is van een reëel getal en een macht van x. De hoogst voorkomende macht van x is de n-de
macht. De algemene vorm van zo’n veelterm is:
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
met an , an−1 , . . . , a0 ∈ R, an 6= 0, n ∈ N.
De reële getallen an , an−1 , . . . , a0 zijn de coëfficiënten van de veelterm. Men zegt dat an
de coëfficiënt is van xn , an−1 de coëfficiënt is van xn−1 , . . ., a1 de coëfficiënt is van x en a0
de constante term.
De graad van een veelterm is de exponent van de hoogste macht van x die voorkomt (dat
betekent, waarvan de coëfficiënt verschilt van nul).
De letter x is hier louter een symbool. Je kan x wel vervangen door getallen, en dan de
waarde van de veelterm uitrekenen.
Doorgaans wordt de conventie gehanteerd dat bij het neerschrijven van een veelterm, alle
termen gerangschikt staan volgens graad van x, eerst de termen met de hoogste graad.
2.1.2
Optellen van veeltermen
De som of het verschil van twee veeltermen is de veelterm met als coëfficiënten de som of
het verschil van de coëfficiënten van dezelfde machten van x. Men kan dus gewoon termen
met dezelfde macht van x bij elkaar optellen. Bijvoorbeeld
6x4 + 5x3 − 2x2 − 4 + −2x3 + 4x2 − 7x = 6x4 + (5 − 2)x3 + (−2 + 4)x2 − 7x − 4
= 6x4 + 3x3 + 2x2 − 7x − 4
20
2.1.3
Vermenigvuldigen van veeltermen
Zoals voor het vermenigvuldigen van twee sommen, wordt de eigenschap van de distributiviteit toegepast. Elke term van de eerste veelterm wordt vermenigvuldigd met elke term van
de tweede veelterm, en de bekomen producten worden dan bij elkaar opgeteld. Bijvoorbeeld
2x3 − 6x + 7 4x2 − 2x + 1
= 2x3 · 4x2 + 2x3 · (−2x) + 2x3 · 1 − 6x · 4x2 − 6x(−2x) − 6x · 1 + 7 · 4x2 + 7 · (−2x) + 7 · 1
= 8x5 − 4x4 + 2x3 − 24x3 + 12x2 − 6x + 28x2 − 14x + 7
= 8x5 − 4x4 − 22x3 + 40x2 − 20x + 7
2.1.4
Delen van veeltermen
Voor de deling van veeltermen geeft de Euclidische deling een goede methode. Bijvoorbeeld
−
6x3
6x3
-
2x +
12x
10x +
1
x2
6x
-
2
1
Dat geeft een quotiënt van 6x en een rest van 10x + 1, zodat
10x + 1
6x3 − 2x + 1
= 6x + 2
2
x −2
x −2
Opmerking: als de deler van de vorm x ± a is, met a ∈ R, dan kan je ook de regel van Horner
gebruiken om de deling uit te voeren. Meer uitleg staat in paragraaf 2.5.2.
2.2
Merkwaardige producten en ontbinden in factoren
De volgende gelijkheden, en dan in het bijzonder de eerste drie, zijn de belangrijkste merkwaardige producten. Ze zijn geldig voor alle mogelijke reële en zelfs complexe getallen,
variabelen en veeltermen (maar niet voor matrices).
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
21
Merk op dat links telkens een product (bijvoorbeeld een kwadraat) staat, en rechts een som
van termen. We spreken van ontbinden in factoren wanneer we een som van termen
schrijven als een product. Als we in een bepaalde som het rechterlid van één van voorgaande
gelijkheden herkennen, kunnen we het factoriseren volgens die gelijkheid. Dit is in vele gevallen nuttig en het loont om een geoefend oog te hebben in het herkennen van factoriseerbare
sommen. Twee voorbeelden:
25 − x2 = (5 + x)(5 − x)
4 − 4y + y 2 = (2 − y)2
Soms moet je bij het ontbinden in factoren eerst een gemeenschappelijke factor buiten de
haakjes brengen. Dit betekent dat je een som van de vorm ab + ac herschrijft als a · (b + c),
volgens de distributiviteitswetten.
25x − x3 = x(25 − x2 ) = x(5 + x)(5 − x)
5 − 5a2 = 5(1 − a2 ) = 5(1 + a)(1 − a)
Bij het deel oplossen van vierkantsvergelijkingen (zie paragraaf 2.4.1) wordt uitgelegd hoe
tweedegraadsveeltermen kunnen ontbonden worden in factoren.
2.3
Eerstegraadsvergelijkingen en ongelijkheden
Alle mogelijke oplossingen van een vergelijking of ongelijkheid vormen de oplossingsverzameling V , bijvoorbeeld:
•
•
•
•
Voor
Voor
Voor
Voor
2.3.1
de
de
de
de
vergelijking x2 = 1, is de oplossingsverzameling V = {−1, 1}.
ongelijkheid x2 6 1, is de oplossingsverzameling V = [−1, 1].
vergelijking x2 6 −1, is de oplossingsverzameling V = ∅.
ongelijkheid cos x = 1, is de oplossingsverzameling V = {2kπ | k ∈ Z}.
Eerstegraadsvergelijkingen
Een eerstegraadsvergelijking of een lineaire vergelijking is een vergelijking van de
vorm ax + b = 0, of van de vorm, ax = −b (met a 6= 0). Door beide leden met a1 te
vermenigvuldigen zien we dat dit soort vergelijking de oplossing x = − ab heeft en dit is ook
de enige oplossing.
Ruw gezegd kan elke vergelijking waar een onbekende voorkomt, enkel in de teller, maar
niet zijn machten, wortels, sinus, geëxponentieerde of soortgelijke functie, herleid worden tot
de standaardvorm van een eerstegraadsvergelijking. Dit maakt lineaire vergelijkingen tot de
meest voorkomende in elke wetenschap. Het kunnen oplossen ervan met de ogen dicht is een
competentie die elke wetenschapper moet hebben.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
22
Indien een eerstegraadsvergelijking niet in deze standaardvorm gegeven is, moet ze eerst
herleid worden tot de standaardvorm. Zoeken we bijvoorbeeld de oplossingen van de vergelijking
5 · (3x − 3) = 3 · (9 − 2x),
dan zullen we achtereenvolgens
• de haakjes uitwerken met behulp van distributiviteit; de vergelijking wordt
15x − 15 = 27 − 6x
• alle termen in x naar hetzelfde (linker- of rechter-)lid brengen, alle constante termen
naar het andere lid brengen. Hier moeten we bij beide leden 15 optellen, en ook 6x
optellen. De termen die op die manier van lid veranderen, veranderen daardoor ook van
teken. We krijgen
15x + 6x = 27 + 15
• vereenvoudigen; nu blijft nog één term in x over en één constante term in het ander lid.
21x = 42
• de factor die voor x staat wegwerken door beide leden te delen door 21.
x=
42
=2
21
• controleren of de gevonden oplossing x = 2 juist is, door de gevonden waarde voor x in
te vullen in de opgave. Inderdaad: hier geeft dit 5 · 3 = 3 · 5 en dit klopt.
De oplossingsverzameling wordt: V = {2}. De oplossingsverzameling bevat één element.
Als men een vergelijking vereenvoudigt tot de standaardvorm van een eerstegraadsvergelijking, is het mogelijk dat men a = 0x bekomt, voor een bepaald getal a ∈ R. In dit geval is
de waarde van x niet van belang om de waarheid van de vergelijking vast te stellen. Er zijn
twee mogelijkheden:
• a = 0. In dit geval is deze vergelijk juist voor elke x die men invult. De oplossingsverzameling is dus alles, dus V = R (als we over R werken).
• a 6= 0. Deze vergelijking is onwaar voor elke x die men invult. De oplossingsverzameling
is in dat geval leeg: V = ∅.
2.3.2
Oplossen van eerstegraadsongelijkheden
We bekomen een eerstegraadsongelijkheid, wanneer we ons afvragen voor welke x-waarden
één eerstegraadsveelterm groter (of groter of gelijk) is dan een andere eerstegraadsveelterm.
Om dit soort opgaven op te lossen, kan men dezelfde methode toepassen als bij het oplossen
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
23
van vergelijkingen, behalve bij de laatste stap. Vermenigvuldiging met of deling door een
negatief getal doet de ongelijkheid namelijk omkeren.
6(2 − x) > 3(x − 1)
12 − 6x > 3x − 3
−6x − 3x > −3 − 12
−9x > −15
−15
x6
−9
5
x6
3
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
De oplossingsverzameling wordt: V =] − ∞, 53 ].
2.3.3
Absolute waarde
Hoe gelijkheden en ongelijkheden met absolute waarden worden uitgewerkt, kan uit deze
voorbeelden afgelezen worden.
⇔
⇔
|x − 2| = 3
x − 2 = 3 of
x = 5 of
x − 2 = −3
x = −1
|x − 2| < 3
x − 2 < 3 en
x < 5 en
x − 2 > −3
x > −1
|x − 2| > 3
x − 2 > 3 of
x > 5 of
x − 2 < −3
x < −1
We vinden dus V = {−1, 5}.
⇔
⇔
We vinden dus V =] − 1, 5[.
⇔
⇔
We vinden dus V =] − ∞, −1[ ∪ ]5, +∞[.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
24
2.4
Vierkantsvergelijkingen
Een tweedegraadsvergelijking, kwadratische vergelijking of een vierkantsvergelijking
is een vergelijking die men kan omvormen tot haar standaardvorm
ax2 + bx + c = 0 met a 6= 0 en a, b, c ∈ R.
Deze vergelijking oplossen wil zeggen dat je de waarden voor x gaat bepalen, die zorgen dat
je inderdaad de nul uit het rechterlid uitkomt als je ze in de vergelijking op de plaats van x
invult.
2.4.1
Discriminantmethode
De oplossingen van de vergelijking ax2 +bx+c = 0 kan men vinden door formules te gebruiken
die meteen de oplossingen geven, zij het na wat rekenwerk. Eerst bepaalt men de grootheid
D = b2 − 4ac.
Dit getal D, dat men kan berekenen aan de hand van de coëfficiënten van de vergelijking,
noemt men de discriminant. Er zijn drie mogelijke gevallen:
• D < 0 : er zijn geen reële oplossingen
• D = 0 : er is 1 (dubbele) reële oplossing
x1 = −
b
2a
We kunnen de veelterm als volgt ontbinden:
ax2 + bx + c = a(x − x1 )2
• D > 0 : er zijn 2 reële oplossingen
(
x1
x2
=
=
√
−b+ D
2a√
−b− D
2a
We kunnen de veelterm als volgt ontbinden:
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
We werken een voorbeeld volledig uit.
3x2 − 10x − 8 = 0
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
→ a = 3, b = −10, c = −8
25
D = b2 − 4ac = (−10)2 − 4 · 3 · (−8)
= 100 + 96 = 196 > 0 → 2 oplossingen
(
x1
x2
=
=
√
−b+ D
2a√
−b− D
2a
=
=
√
−(−10)+ 196
2·3 √
−(−10)− 196
2·3
=
=
10+14
6
10−14
6
=
24
6
=
− 46
=4
= − 23
De oplossingsverzameling is V = {4, − 23 }. De ontbinding in factoren wordt:
2
3x − 10x − 8 = 3(x − 4) x − −
3
2
= 3(x − 4) x +
3
= (x − 4)(3x + 2)
2
2.4.2
Som- en productregel
Beschouw een vierkantsvergelijking van de vorm ax2 + bx + c = 0. Men kan aantonen dat
de som van de wortels van deze vergelijking gelijk is aan − ab en het product van de wortels
gelijk is aan ac . Dus
x1 + x2 = −
b
a
x1 · x2 =
c
a
Dit kan men zien als een stelsel van twee vergelijkingen in onbekenden x1 en x2 . Als men
dit oplost, of op het zicht waarden vindt voor x1 en x2 , dan zijn dit de gezochte wortels van
de kwadratische vergelijking.
2.5
Veeltermvergelijkingen van hogere graad
We willen nu veeltermvergelijkingen van graad groter dan twee oplossen, dat wil zeggen dat
we alle x-waarden zoeken die, wanneer we ze invullen in de veelterm, nul opleveren.
De formules voor de oplossingen van een kwadratische vergelijking zijn kort en eenvoudig te
onthouden. Er bestaan ook formules voor de derde- en vierdegraadsvergelijking, die echter
veel ingewikkelder zijn dan deze voor de tweedegraads. Vanaf de vijfde graad is er geen
algemene formule meer die werkt voor elke veelterm.
Echter, voor bepaalde soorten veeltermen waarmee we te maken hebben, bestaan er trucs
om toch hun wortels te bepalen.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
26
2.5.1
Ontbinden in factoren
Als je een de veeltermvergelijking f (x) = 0 moet oplossen, kan je soms de veelterm f (x)
ontbinden in factoren: f (x) = g(x) · h(x). Dan moeten we de x-waarden vinden waarvoor
g(x) · h(x) = 0.
Maar we weten dat zo’n product nul is, precies als (minstens) één van de factoren nul is.
Dus bovenstaande vergelijking is gelijkwaardig met
g(x) = 0
of h(x) = 0.
Daarna werken we verder met de gekende methodes voor lineaire en kwadratische vergelijkingen om de oplossingsverzamelingen te bepalen. De oplossingsverzameling van de hele
veeltermvergelijking f (x) = 0 is dan de unie van de oplossingsverzamelingen van g(x) = 0
en h(x) = 0.
We illustreren dit met een voorbeeld. Stel bijvoorbeeld dat we een gemeenschappelijke factor
buiten de haakjes kunnen brengen.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇒
2x3 + 5x2 − 12x = 0
x · (2x2 + 5x − 12) = 0
x = 0 of 2x2 + 5x − 12 = 0
(D = 52 − 4 · 2 · (−12) = 121)
√
√
−5 − 121
−5 + 121
of x =
x = 0 of x =
2·2
2·2
−5 + 11
−5 − 11
x = 0 of x =
of x =
2·2
2·2
3
3
x = 0 of x =
of x = −4
V = {−4, 0, − }
2
2
3
2x3 + 5x2 − 12x = x 2(x − )(x + 4)
2
= x(2x − 3)(x + 4)
We besluiten dat de verzameling wortels van 2x3 +5x2 −12x gegeven wordt door {−4, 0, − 23 }.
In het tweede voorbeeld moeten we verschillende malen iets van de vorm a2 − b2 ontbinden
in (a − b)(a + b). We zullen in dit voorbeeld gebruiken dat x2 + 1 en x4 + 1 geen reële wortels
hebben, immers, er bestaan geen x’en zodat x2 of x4 negatief is.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
27
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
2.5.2
x8 − 1 = 0
(x4 − 1) · (x4 + 1) = 0
x4 − 1 = 0 of x4 + 1 = 0
(x2 − 1) · (x2 + 1) = 0
x2 − 1 = 0 of x2 + 1 = 0
(x − 1) · (x + 1) = 0
x − 1 = 0 of x + 1 = 0
x = 1 of x = −1
V = {1, −1}
(maar dit laatste kan niet)
(maar dit laatste kan niet)
Regel van Horner
Met behulp van de regel van Horner kan je een veelterm delen door een veelterm van de
vorm x − a. Als een getal a een nulpunt is van f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , dan
is (x − a) een deler van f (x).
Als de coëfficiënten en het nulpunt a gehele getallen zijn, dan is a bovendien een deler van a0 ,
de constante term van de veelterm. Daarom is een goede methode om mogelijke nulpunten
te bepalen, het proberen van alle delers van a0 (positieve zowel als negatieve) en deze in te
vullen in de veeltermvergelijking. Zodra bij één ervan de uitkomst nul is, hebben we een
nulpunt gevonden. Een voorbeeld maakt dit duidelijk.
f (x) = x3 − 6x2 − x + 30
De delers van 30 = {1, −1, 2, −2, 3, −3, 5, −5, 6, −6, 10, −10, 15, −15, 30, −30}
f (1) = 13 − 6.12 − 1 + 30 = 24 6= 0 ⇒ (x − 1) is geen deler van f (x).
f (2) = 23 − 6.22 − 2 + 30 = 12 6= 0 ⇒ (x − 2) is geen deler van f (x).
..
.
f (3) = 0 ⇒ (x − 3) is een deler van f (x) = x3 − 6x2 − x + 30.
f (−2) = 0 ⇒ (x + 2) is een deler van f (x) = x3 − 6x2 − x + 30.
f (5) = 0 ⇒ (x − 5) is een deler van f (x) = x3 − 6x2 − x + 30.
We weten nu dat zo’n (x − a) een deler is van de veelterm. Om de andere nulpunten te
vinden, volstaat het om nulpunten te zoeken van het quotiënt f (x)/(x − a). De regel van
Horner geeft ons een snelle methode om die deling van een veelterm f (x) door een factor
(x − a) te maken.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
28
Alle coëfficiënten worden naast elkaar geplaatst, startend met de coëfficiënt horend bij de
hoogste exponent en in dalende volgorde van de exponent. Indien een macht van x ontbreekt,
moet er een nul worden tussengevoegd. Het nulpunt wordt helemaal links geplaatst, op
een volgende regel. De getallen op de tweede lijn worden bekomen door het nulpunt te
vermenigvuldigen met het getal dat er links onder staat. De getallen op de derde lijn worden
bekomen door de twee bovenstaande getallen op te tellen. Omdat we weten dat 3 een nulpunt
is, voeren we bijvoorbeeld de deling f (x)/x − a = (x3 − 6x2 − x + 30)/(x − 3) uit:
1 −6 −1
3 ↓
1
30
−6
1 · 3 =3
−3
−1
1
3 ↓
1
1 −6
−1
3 ↓ 3 −3 · 3=-9
1 −3
−10
30
30
1 −6 −1
30
3 ↓ 3
-9 −10 · 3=-30
1 −3 −10
|0
Het getal rechtsonder in de tabel is eigenlijk de rest na deling door (x − 3). Omdat we
weten dat 3 een nulpunt is, moet dit 0 zijn. De andere getallen op de onderste rij zijn de
coëfficiënten van het qoutiënt, van hoog naar laag. De graad van het quotiënt is één lager dan
die van het deeltal. De ontbinding uit ons voorbeeld wordt dus f (x) = x3 − 6x2 − x + 30 =
(x − 3)(x2 − 3x − 10).
Men kan dit procédé herhalen tot je nulpunten van f (x) kent. Bijvoorbeeld:
1 -3
-2 ↓ 1.-2
1 -5
-10
-5.-2
|0
Hieruit vinden we dat f (x) = (x − 3)(x + 2)(x − 5). Dit is geen verrassing, want 5 was
ook een nulpunt. We merken nog op dat, zodra je een tweedegraadsveelterm bekomt, je ook
de discriminantmethode of som- en productregel kunt gebruiken om de veelterm verder te
ontbinden.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
29
2.6
Oplossen van rationale vergelijkingen
Een rationale functie (of veeltermbreuk) is het quotiënt van twee veeltermen. De algemene
vorm is dus
f (x)
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
=
g(x)
bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0
Hierbij zijn an , an−1 , . . . , a0 , bm , bm−1 , . . . , b0 ∈ R, an , bm 6= 0, n, m ∈ N en g(x) 6= 0, dat wil
zeggen: b0 6= 0 als m = 0.
Om rationale vergelijkingen op te lossen, gaan we deze proberen te herleiden tot een gewone
veeltermvergelijking, maar we moeten wel opletten dat we geen extra oplossingen invoeren.
We bekijken een voorbeeld.
Bepaal alle x waarvoor geldt:
1−x
2x
=
3
x−4
We stellen eerst de beginvoorwaarde (BVW) op. We moeten eisen dat we niet delen door
0, in dat geval zou het rechterlid geen betekenis hebben. In dit voorbeeld is de BVW:
x − 4 6= 0, dus x 6= 4. Achteraf controleren we dat de waarde x = 4 niet voorkomt in de
oplossingsverzameling. Indien dit toch het geval is, moet deze waarde verwijderd worden uit
de oplossingsverzameling.
We zetten nu beide leden op dezelfde noemer.
(1 − x)3
2x(x − 4)
=
3(x − 4)
3(x − 4)
Vermenigvuldigen we beide leden met haar noemer, die door onze BVW niet nul kan zijn,
dan vinden we een gelijkwaardige vergelijking die we kunnen oplossen.
2x(x − 4) = (1 − x)3
2x2 − 8x = 3 − 3x
2x2 − 5x − 3 = 0
(D = (−5)2 − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49
(
√
x1 = 5+2·249 = 3
√
x2 = 5−2·249 = − 12
De oplossingen van de rationale vergelijking zijn dus 3 en − 21 . Controle met de BVW leert
ons dat beide oplossingen verschillend zijn van 4, dus dat we onze oplossingsverzameling
inderdaad kunnen schrijven als
1
V = {3, − }.
2
Controle: je kan de oplossing controleren door beide oplossingen in te vullen in de oorspronkelijke opgave en controleren of er links en rechts hetzelfde getal komt.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
30
2.7
Oplossen van lineaire stelsels
Een stelsel is een combinatie van meerdere vergelijkingen met meerdere onbekenden. We zoeken dan alle waarden van de onbekenden die voldoen aan alle vergelijkingen. Hier beperken
we ons tot stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden.
2.7.1
Combinatiemethode
Hier is het de bedoeling om (veelvouden) van een vergelijking bij een andere vergelijking op
te tellen, zodat één van de onbekenden geëlimineerd wordt. Deze methode is zinvol als er
bij elke onbekende een coëfficiënt verschillend van 1 staat. Bijvoorbeeld:
Zoek alle koppels (x, y) waarvoor de volgende gelijkheden gelden:
(
2x − 3y
=5
−3x + 6y = −3
Als we nu de eerste vergelijking vermenigvuldigen met 2 en de andere vergelijking behouden,
dan zal in de ene vergelijking −6y en de andere +6y voorkomen. Dat is goed, want als we
beide vergelijkingen dan optellen (lid aan lid), krijgen we een vergelijking waar geen y meer
in voorkomt, en die we dus kunnen oplossen naar x.
(
4x − 6y
−3x + 6y
= 10
= −3
Beide vergelijkingen optellen geeft nu
x = 7.
Om y te bepalen, kies je één van de vergelijkingen uit de opgave en je vult er de waarde voor
x in.
2 · 7 − 3y = 5
−3y = 5 − 14
−9
=3
y=
−3
Er is dus precies één oplossing van dit stelsel, nl. de situatie met x = 7 en y = 3, vandaar
dat we schrijven
V = {(7, 3)}.
Als controle kan je de gevonden waarden voor x en y invullen in de opgave:
(
2·7−3·3
= 5 OK
−3 · 7 + 6 · 3 = −3 OK
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
31
Als je dit grafisch zou bekijken, dan staan in de opgave de vergelijkingen van twee rechten.
De x en y die aan beide vergelijkingen voldoen, zijn dus koppels (x, y) met de eigenschap
dat ze op beide rechten liggen. Dit betekent dat de oplossing gelijk is aan de coördinaten
van het snijpunt van deze rechten.
2.7.2
Substitutiemethode
Elk van de vergelijkingen drukt de waarde van x uit in y of omgekeerd. Daarop ge¨nspireerd
kunnen we één onbekende uitdrukken als functie van de andere en die dan substitueren of
vervangen in de andere vergelijking, zodat daar maar één onbekende meer voorkomt. Deze
methode is handig als één van de onbekenden een coëfficiënt 1 heeft.
• Voorbeeld:
(
3x + y
−2x + 2y
= −2
=4
Uit de eerste vergelijking volgt y = −3x − 2. Vullen we deze uitdrukking van y in x in
in de tweede vergelijking, dan krijgen we
⇔
⇔
⇔
−2x + 2(−3x − 2) = 4
−2x − 6x − 4 = 4
−8x = 8
x = −1
Om de overeenkomstige waarde van y te vinden, vullen we x = −1 in in één van de twee
andere vergelijkingen en we vinden bijvoorbeeld y = −3.(−1) − 2 = 1.
De oplossing van dit stelsel is x = −1 en y = 1:
V = {(−1, 1)}
• Voorbeeld
(
3x + 2y
x − 2y
= −1
= −11
Uit de tweede vergelijking volgt x = 2y − 11. Invullen in de eerst vergelijking geeft
⇔
⇔
⇔
3(2y − 11) + 2y
6y − 33 + 2y
8y
y
= −1
= −1
= 32
=4
Invullen van y = 4 in x = 2y − 11 geeft x = 2.4 − 11 = −3. De oplossing van dit stelsel
is dus x = −3 en y = 4:
V = {(−3, 4)}.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
32
2.8
Oefeningen
Oefening 1
Voer de volgende bewerkingen uit. Voor uitgewerkte voorbeelden zie paragrafen 2.1.2, 2.1.3,
2.1.4.
A. (5x2 + 7x − 3) · (6x4 − 6x2 + 3x − 7) =
B. (5x2 + 7x − 3) + (6x4 − 6x2 + 3x − 7) =
C. (12x4 − 17x3 + 18x2 − 14x + 4) : (3x − 2) =
D. (2x2 − 3)(4x3 − 6x2 + 2x − 1) − (4x5 + 5x3 + 6x − 5) =
E. (12x4 − 25x3 + 40x2 − 17x − 1) : (4x − 3) =
F. (8x2 − 6x + 3)(4x3 − 2) − (5x + 6)(4x − 7) =
G. (6x2 − 4x + 2) : (2x2 + x) =
Oefening 2
Werk uit. Voor een uitgewerkt voorbeeld zie paragraaf 2.2.
E. (4x − 2y)3 =
A. (3x2 − 2)2 =
B. (2x3 − 5)(2x3 + 5) =
2
2
F. (7 + 2a2 )3 =
C. (a − b)(a − b )(a + b) =
D. (9 − y)(−9 − y) =
G. (4x2 + 3x)2 =
Oefening 3
Ontbind in factoren met behulp van merkwaardige producten. Voor een uitgewerkt voorbeeld, zie paragraaf 2.2.
A. 4x2 − 9 =
D. 4x2 − 12xy + 9y 2 =
B. a3 + 64b6 =
E. 4ab3 + 9a3 b − 12a2 b2 =
C. 81 − a4 =
F. 6 − 6a3 =
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
33
Oefening 4
Ontbind in factoren. Voor uitgewerkte voorbeelden, zie paragrafen 2.5.1, 2.5.2.
1
4
A. x2 + x
E. x2 −
B. x2 + 4x + 4
F. x3 + 2x2 + 3x + 6
2
3
I. x4 + 2x2 + 1
2
C. 9x − 12x + 4
G. x − 4x − 4x + 16
D. x2 + xy + 3x + 3y
H. x3 − 8
J. x4 − 2x2 + 1
K. x3 + 4x2 + x − 6
Oefening 5
Los de volgende eerstegraadsvergelijkingen op. Voor een uitgewerkt voorbeeld zie paragraaf
2.3.1.
A. 4(x − 2) = 3x − 7(2x − 3)
D. 4(x − 2) = 3(2x − 3) + 1
B. 6(x + 2) = −2x + 5
C. 5(x + 1) = 0
E. 3(x − 2) + 6x + 1 = 2(4x + 1) + x
Oefening 6
Los de volgende lineaire ongelijkheden op. Voor een uitgewerkt voorbeeld zie paragraaf 2.3.2.
A. 4(x − 2) < 3x − 7(2x − 3)
C. 4x + 1 6 2(x + 4)
B. 6(x − 2) − 5x > 3(3x − 1) + 5
D. 2(x − 3) + x < 5(x − 1) + 2
Oefening 7
Los op. Voor een uitgewerkt voorbeeld zie paragraaf 2.3.3.
A. |2x − 3| = 5
B. |2 − 3x| < 7
2x − 3 =2
C. 5 Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
D. |2x − 7| = 4x
4x − 2 >3
E. 5 F. |1 − 3x| > 2
34
Oefening 8
Los op. Voor een uitgewerkt voorbeeld zie paragraaf 2.4.1.
A. 4x2 + 2x − 20 = 0
D. 3x2 − 2x + 4 = 0
G. x2 − 5x + 6 = 0
B. −9x2 + 12x − 4 = 0
E. −6x2 + 23x − 20 = 0
H. x2 − 2x − 3 = 0
C. 6x2 − 19x − 7 = 0
F. 3x2 + 3x − 5 = 0
I. 2x2 − 7x + 6 = 0
Oefening 9
Los op. Voor een uitgewerkt voorbeeld zie paragraaf 2.5.1.
A. 2x4 − 7x3 − 5x2 + 28x − 12 = 0
D. 2x4 − 5x3 − x2 + 6x = 0
B. x4 − 2x2 − 8 = 0
C. 4x4 − 12x3 + 5x2 + 12x − 9 = 0
E. x4 − 1 = 0
Oefening 10
Los op. Voor een uitgewerkt voorbeeld zie paragraaf 2.6.
x−1
3x − 4
=
5
2x
8x
3
B.
=
2x − 1
x−1
A.
C.
D.
x
6
−
=0
x − 1 2x − 1
E.
2x − 3
3
6
+
=
x
x−5
x
3x − 2 x − 1
x−5
+
=
3
4
5
Oefening 11
Los de volgende stelsels op. Voor uitgewerkte voorbeelden zie paragrafen 2.7.1 en 2.7.2.
C.
A.
(
2x − y
3x − 2y
E.
(
4x − 7y
−2x + 3y
= −2
= −1
= −8
=4
D.
B.
(
6x − 2y
x−y
= − 32
= −1
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
(
4x − 2y
−2x + y
= −3
=1
(
3x + 4y
−2x − 3y
=5
= −2
35
F.
N.
J.
(
x + 3y
2x + 2y
(
2x + y
x + 2y
= −2
= −1
G.
(
2x − y
3x + 2y
= 11
=8
H.
I.
=2
=0
(
+ 32 y
x − 52 y
= −6
=1
+
−
3
y
9
y
=2
= −1
(
2x2 + 3y 2
x2 + 2y 2
= 35
= 22
(
3x2 − y 2
2x2 + 5y 2
=5
=9
Q.
M.
(
3x + 4y
5x + 3y
2
x
4
x
P.
(
x + 2y
2x + 4y
=1
= −3
(
= −5
=3
L.
(
−2x + 3y
−4x + y
=1
=2
O.
K.
(
2x − 5y
3x + y
(
x+y
2x + 2y
=4
=5
1
x
2
=2
= −7
Oefening 12
Voor welke waarde van de parameter a heeft het stelsel
(
x + 2y = 1
ax + y = 12
oneindig veel oplossingen?
Oefening 13
Voor welke waarde van de parameter a heeft de vergelijking
x3 + (a + 1)x2 + (a − 2)x − 2a = 0
twee samenvallende wortels?
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
36
2.9
Oplossingen
Oefening 1
A. 30x6 +42x5 −48x4 −27x3 +4x2 −58x+21
E. 3x3 − 4x2 + 7x + 1 +
B. 6x4 − x2 + 10x − 10
3
2
4x − 3
F. 32x5 − 24x4 + 12x3 − 36x2 + 23x + 36
2
C. 4x − 3x + 4x − 2
D. 4x5 − 12x4 − 13x3 + 16x2 − 12x + 8
G. 3 +
−7x + 2
2x2 + x
Oefening 2
A. (3x2 − 2)2 = 3x2
9x4 − 12x2 + 4
3
3
2
− 2 · 3x2 · 2 + 22 =
B. (2x − 5)(2x + 5) =
4x6 − 25
2x
3 2
2
−5 =
C. (a − b)(a2 − b2 )(a + b) = a4 − 2a2 b2 + b4
D. (9 − y)(−9 − y) = y 2 − 81
E. (4x − 2y)3 = 64x3 − 96x2 y + 48xy 2 − 8y 3
F. (7 + 2a2 )3 = 343 + 294a2 + 84a4 + 8a6
G. (4x2 + 3x)2 = 16x4 + 24x3 + 9x2
Oefening 3
A. (2x + 3)(2x − 3)
B. a + 4b2 a2 − 4ab2 + 16b4
C. (3 + a)(3 − a) 9 + a2
D. (2x − 3y)2
E. ab(2b − 3a)2
F. 6(1 − a)(1 + a + a2 )
Oefening 4
A. x(x + 1)
G. (x − 4)(x − 2)(x + 2)
B. (x + 2)2
H. (x − 2)(x2 + 2x + 4)
C. (3x − 2)2
I. (x2 + 1)2
D. (x + y)(x + 3)
E. x − 12 x + 12
J. (x − 1)2 (x + 1)2
F. (x + 2)(x2 + 3)
K. (x − 1)(x + 2)(x + 3)
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
37
Oefening 5
A. V =
29
15
7
B. V = −
8
C. V = {−1}
D. V = {0}
E. V = ∅
Oefening 6
29
A. V = −∞,
15
7
B. V = −∞, −
4
7
C. V = −∞,
2
3
D. V = − , ∞
2
Oefening 7
A. V = {−1, 4}
5
B. V = − , 3
3
7 13
C. V = − ,
2 2
D. V =
7 7
− ,
2 6
13
17
E. V = −∞, −
∪
, +∞
4
4
1
F. V = −∞, − ∪ [1, +∞[
3
Oefening 8
5
A. V = − , 2
2
2
B. V =
3
1 7
C. V = − ,
3 2
D. V = ∅
4 5
E. V =
,
3 2
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
√
√ )
1
69 1
69
− −
,− +
2
6
2
6
(
F. V =
G. V = {2, 3}
H. V = {−1, 3}
I. V =
3
,2
2
38
Oefening 9
1
A. V = −2, , 2, 3
2
3
C. V = −1, 1,
2
3
D. V = −1, 0, , 2
2
B. V = {−2, 2}
E. V = {−1, 1}
Oefening 10
1 5
,
2 3
1 3
,
4 2
A. V =
B. V =
5
C. V = −
63
3
D. V =
,2
2
E. V = ∅
Oefening 11
I. V = {( 2, −3 )}
A. V = {(−3, −4)}
1 4
B. V = ( , )
3 3
J. V = {( 1, 2 )}
K. V = {( − 1, 3 )}
C. V = {(−2, 0)}
L. V = ∅
D. V = ∅
M. V = {( − 2, 2 )}
E. V = {(7, −4)}
1 3
F. V = ( , − )
4 4
N. V = {( 1 − t, t ) | t ∈ R}
O. V = {( 2, 3 )}
P. V = {(2, 3), (2, −3), (−2, 3), (−2, −3)}
n√
o
√
√
√
Q. V = ( 2, 1), ( 2, −1), (− 2, 1), ( 2, −1)
G. V = {( 3, −1 )}
H. V = {( 1, 1 )}
Oefening 12
a=
1
2
Oefening 13
a = 1 of a = −2
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 2
39
Hoofdstuk 3
Meetkunde
3.1
Euclidische meetkunde
Hier vatten we enkele basisbegrippen uit de vlakke meetkunde samen, zoals hoeken, driehoeken en cirkels. De naam Euclidische meetkunde komt van Euclides van Alexandrië (265
- 200 v.C.) die in zijn twaalfdelig werk De Elementen op een deductieve manier, vanaf enkele axioma’s, de vlakke meetkunde opbouwde met alle stellingen die in de Griekse Oudheid
bekend waren. Omdat herwerkingen en vertalingen van zijn werk van de Middeleeuwen tot
midden vorige eeuw het standaardwerk van vlakke meetkunde voor het Europese onderwijs
vormden, zijn De Elementen het meest verkochte en gelezen boek na de Bijbel.
3.1.1
Hoeken
Als twee evenwijdige rechten a en b gesneden worden door een
andere rechte s, dan geldt:
• Elke twee overeenkomstige hoeken zijn gelijk. In Figuur
3.1 geldt dan ook
α1 = β1 , α2 = β2 , α3 = β3 en α4 = β4 .
• Elke twee verwisselende binnenhoeken zijn gelijk. In Figuur 3.1 geldt dan ook
α3 = β1 en α4 = β2
• Elke twee verwisselende buitenhoeken zijn gelijk. In Figuur 3.1 geldt dan ook
α1 = β3 en α2 = β4
40
Figuur 3.1: Gelijkheid van
hoeken
3.1.2
Driehoeken
De som van de hoeken van een driehoek is gelijk aan 180◦ .
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze dezelfde overeenkomstige hoeken hebben. Om
te bewijzen dat twee driehoeken gelijkvormig zijn, volstaat het om aan te tonen dat twee
hoeken van de ene driehoek gelijk zijn aan twee hoeken van de andere driehoek (want de
overblijvende hoek is toch 180◦ min de twee andere). De overeenkomstige zijden van twee
gelijkvormige driehoeken 4abc en 4def zijn evenredig, m.a.w.
|bc|
|ac|
|ab|
=
=
|de|
|ef |
|df |
Een zwaartelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt en het midden van
de overstaande zijde; zie Figuur 3.2(a). De zwaartelijnen van een driehoek gaan door één
punt, genaamd het zwaartepunt. De afstand van het zwaartepunt tot een hoekpunt is het
dubbel van de afstand van het zwaartepunt tot het midden van de overstaande zijde: het
zwaartepunt verdeelt een zwaartelijn dus in 31 en 23 van haar lengte binnen de driehoek.
Figuur 3.2: (a) zwaartelijnen, (b) hoogtelijnen en (c) bissectrices
Een hoogtelijn van een driehoek is een rechte die door een hoekpunt gaat en die loodrecht
staat op de overstaande zijde; zie Figuur 3.2(b). De hoogtelijnen van een driehoek gaan door
één punt, namelijk het hoogtepunt.
De bissectrice of deellijn van een hoek is de rechte door het hoekpunt die de hoek in twee
gelijke delen verdeelt; zie Figuur 3.2(c). De bissectrices van een driehoek gaan door één
punt; men kan aantonen dat dit het middelpunt van de ingeschreven cirkel is.
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarbij alle zijden even lang zijn, of gelijkwaardig, waarbij alle hoeken even groot zijn (nl. 60◦ ). In zo’n driehoek vallen de zwaartelijn, de
hoogtelijn en de bissectrice door een hoekpunt samen.
Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarbij één van de hoeken 90◦ is. In dergelijke
driehoeken geldt de stelling van Pythagoras:
|ac|2 = |ab|2 + |bc|2
waarbij |ac| de schuine zijde is en |ab| en |bc| de rechthoekzijden zijn in de rechthoekige
driehoek 4abc.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
41
De oppervlakte van een willekeurige driehoek kan berekend worden als
basis · hoogte
.
2
Een andere formule voor de oppervlakte is
|ab| · |ac| · sin α
2
waarbij α de hoek is die ingesloten wordt door de lijnstukken [ab] en [ac].
3.1.3
Cirkels
De omtrek van een cirkel met straal r is 2πr.
De oppervlakte van een cirkel met straal r is πr2 .
Een cirkelsector is een deel van een cirkel dat begrensd is door een boog en de benen van de
corresponderende middelpuntshoek; zie het gearceerde deel in Figuur 3.3(a). De oppervlakte
van een cirkelsector is, met α in radialen,
α 2
·r
2
Figuur 3.3: (a) cirkelsector en (b) cirkelsegment
Een lijnstuk dat begrensd wordt door twee punten van een cirkel wordt een koorde genoemd.
Een cirkelsegment is een deel van een cirkel dat begrensd is door een boog en de koorde
door de eindpunten van de boog; zie het gearceerde deel in Figuur 3.3(b). De oppervlakte
van een cirkelsegment is, met α in radialen,
α − sin α 2
·r
2
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
42
3.2
Cartesiaanse meetkunde – rechten
In dit deel herhalen we de analytische meetkunde, ook wel cartesiaanse meetkunde
genoemd, naar René Descartes (Cartesius, 1596 - 1650). Hij coördinatiseerde het vlak met
twee coördinaten (x, y), stelde vast dat (x, y)-koppels die aan eerstegraadsvergelijkingen
voldeden, precies de rechten van het vlak waren en begreep dat de oplossingen van stelsels
overeenkwamen met de snijpunten van de overeenkomstige rechten. Descartes had dus een
manier om (meetkundige) problemen over rechten en krommen in het vlak te vertalen naar
de (algebra¨sche) wereld van vergelijkingen en stelsels.
Het gebruik van deze wisselwerking was één van de mijlpalen in de ontwikkeling van de
moderne wiskunde.
Hoewel ook cirkels, parabolen en andere kegels en ook ingewikkelder krommen te beschrijven
zijn met analytische meetkunde, zullen we ons hier beperken tot rechten in het (x, y)-vlak.
3.2.1
De standaardvergelijking van een rechte
Een rechte wordt beschreven door een lineaire vergelijking in x en in y, dus van de vorm
ax + by = c.
Indien b verschillend is van nul kan de eerste vergelijking herschreven worden in de vorm
y = mx + q.
Inderdaad, indien b 6= 0 kan in deze vergelijking y afgezonderd worden:
c
a
ax + by = c ⇔ by = −ax + c ⇔ y = − x +
b
b
en dus m = − ab en q = cb .
Indien b = 0, is de rechte met vergelijking ax = c evenwijdig met de y-as. We besluiten
dus dat elke rechte die niet evenwijdig is met de y-as in de standaardvorm y = mx + q kan
gebracht worden. Bij zo’n rechte noemen het reëel getal m de richtingscoëfficiënt of korter
rico. Zowel m als q kunnen we meetkundig interpreteren.
3.2.2
Interpretatie van q
Beschouw een rechte met vergelijking y = mx + q. Stellen we in deze vergelijking x = 0, dan
volgt vinden we dat y = q. Het punt (x = 0, y = q) is dus een punt op deze rechte. Merk op
dat dit punt op de y-as gelegen is. Het getal |q| geeft dus de afstand tussen de oorsprong en
het snijpunt van de rechte met de y-as. Het getal q is dus een maat voor de grootte van het
stuk dat door de rechte wordt afgesneden op de y-as.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
43
Figuur 3.4: Meetkundige betekenis van q (q > 0)
3.2.3
Richtingscoëfficiënt
Indien twee punten van een rechte, (x1 , y1 ) en (x2 , y2 ), gegeven zijn, dan kan men de richtingscoëfficiënt zo berekenen
y2 − y1
m=
x 2 − x1
De grootte van m is een maat voor de steilheid van de rechte.
Stijgende rechte: m > 0
Zij R een rechte met richtingscoëfficiënt m > 0. We kiezen twee punten (x1 , y1 ) en (x2 , y2 )
op R.
1
Omdat m = xy22 −y
positief is, zullen teller en noemer van deze breuk hetzelfde teken moeten
−x1
hebben. Als dus x2 > x1 (dit betekent dat de noemer x2 − x1 > 0), zal ook y2 − y1 > 0
moeten zijn. Er volgt dus dat y2 > y1 . Met andere woorden: het linkse punt ligt lager dan
het rechtse punt – de rechte is stijgend (zie figuur 3.5(a)).
Dalende rechte: m < 0
Zij R een rechte met richtingscoëfficiënt m < 0. Kies twee punten (x1 , y2 ) en (x2 , y2 ) op R
zodat x2 > x1 .
1
negatief is, zullen teller en noemer van deze breuk verschillend teken
Omdat m = xy22 −y
−x1
moeten hebben. Als dus x2 > x1 (dit betekent dat de noemer x2 − x1 > 0), zal y2 − y1 < 0
moeten zijn. Er volgt dus dat y2 < y1 . Met andere woorden: het linkse punt ligt hoger dan
het rechtse punt – de rechte is dalend (zie figuur 3.5(b)).
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
44
Figuur 3.5: (a) stijgend: m > 0,
(b) dalend: m < 0.
Horizontale rechte: m = 0
De vergelijking van de rechte wordt gegeven door y = q. Alle punten (x, y) die hieraan
voldoen, hebben een vaste y-waarde. We verkrijgen een horizontale rechte, dus evenwijdig
met de x-as.
3.2.4
Vergelijking van een rechte met gegeven rico, door een punt
Onderstel dat een punt (x1 , y1 ) en de richtingscoëfficiënt m van een rechte gegeven zijn, en
gevraagd wordt om de vergelijking van de rechte op te stellen. We weten dat de rechte
een vergelijking heeft van de vorm y = mx + q en vermits m gegeven is rest ons nog q te
berekenen. Uitdrukken dat het punt (x1 , y1 ) op de rechte ligt, levert:
y1 = mx1 + q.
In deze vergelijking is q de onbekende, die we door de andere getallen kunnen bepalen:
q = y1 − mx1 .
De vergelijking van de rechte wordt dus gegeven door
y = mx + (y1 − mx1 )
ofwel
y − y1 = m(x − x1 ).
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
45
3.2.5
Vergelijking van een rechte door twee punten
Onderstel dat twee verschillende punten (x1 , y1 ) en (x2 , y2 ) gegeven zijn. Gevraagd wordt
om de vergelijking van de rechte door deze twee punten op te stellen. We sluiten eerst twee
bijzondere gevallen uit.
• Geval x2 = x1 . In dit geval betreft het een rechte evenwijdig met de y-as. De vergelijking wordt dan gegeven door x = x1 .
• Geval y2 = y1 . Het betreft een rechte evenwijdig met de x-as en de vergelijking wordt
gegeven door y = y1 .
• Algemeen geval De rechte heeft een vergelijking van de vorm y = mx + q, waarbij
m gegeven wordt door de formule
m=
y2 − y1
x 2 − x1
We kennen nu de richtingscoëfficiënt en een punt en kunnen dus de formule uit de vorige
paragraaf toepassen. De vergelijking wordt dus:
y − y1 =
y2 − y1
(x − x1 )
x2 − x1
Merk op dat dit geval de twee vorige gevallen als bijzonder geval toelaat. Als x1 = x2
dan is m niet gedefinieerd (de formule kan niet toegepast worden vermits we zouden
moeten delen door x2 − x1 = 0) en verkrijgen we inderdaad een rechte evenwijdig aan
de y-as met vergelijking x = x1 . Als y1 = y2 , dan is m = 0 en we verkrijgen inderdaad
een rechte evenwijdig aan de x-as met vergelijking y = y1 .
3.2.6
Evenwijdige en loodrechte rechten
Twee rechten met vergelijkingen y = mx + q en y = m0 x + q 0 zijn evenwijdig als en slechts
als m = m0 . Evenwijdige rechten hebben dus gelijke richtingscoëfficiënten.
Twee rechten met vergelijkingen y = mx + q en y = m0 x + q 0 staan loodrecht op elkaar
als en slechts als mm0 = −1. Loodrechte rechten hebben dus omgekeerd tegengestelde
richtingscoëfficiënten.
3.2.7
De doorsnede van twee rechten
We willen de doorsnede bepalen van twee rechten R1 en R2 . We veronderstellen dat de
vergelijking van de rechten gegeven wordt door
R1 : a1 x + b1 y = c1 en R2 : a2 x + b2 y = c2 .
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
46
De doorsnede van deze twee rechten bestaat dan uit alle punten die zowel op de rechte R1
als op de rechte R2 liggen. Anders gezegd: de doorsnede bestaat uit alle punten (x, y) die
zowel voldoen aan de vergelijking van de rechte R1 als aan de vergelijking van de rechte R2 .
De punten (x, y) van de doorsnede voldoen dus aan:
(
a1 x + b 1 y = c 1
a2 x + b 2 y = c 2
Om de doorsnede van de twee rechten te bepalen volstaat het dus om het bovenstaand stelsel
op te lossen. Om dat te doen verwijzen we naar paragraaf 2.7.
3.3
Vectormeetkunde
Een vector is een grootheid die gekenmerkt wordt door een grootte, richting en zin. Twee
vectoren zijn gelijk als ze dezelfde grootte, richting en zin hebben.
−
Een vector noteert men doorgaans als een letter met een pijl boven, bv. →
a . De grootte wordt
−
genoteerd met k→
a k.
Een vector wordt grafisch voorgesteld door een pijl tussen twee punten. Omdat enkel de
grootte, richting en zin een vector bepalen, worden verschuivingen van zo’n pijl als dezelfde
vector beschouwd.
Vectoren in het vlak kunnen ge¨dentificeerd worden met koppels (x, y) van reële getallen.
Optelling van vectoren en vermenigvuldiging met getallen wordt dan ook coördinaatsgewijs
gedefinieerd. In de context van vectorruimten worden getallen vaak scalairen genoemd.
Omdat vectoren eigenlijk niets anders zijn dan koppels getallen, wordt een vector meestal
voorgesteld waarbij hij aangrijpt in de oorsprong: het beginpunt van de pijl wordt in (0,0)
gelegd. Zo is het eindpunt precies het punt (x, y) dat met deze vector correspondeert.
3.3.1
Scalaire vermenigvuldiging
Voor r ∈ R en een vector (a, b) definiëren we de scalaire vermenigvuldiging coördinaatsgewijs
als r · (a, b) = (ra, rb).
Grafisch is dit een herschaling van de pijl in dezelfde richting met factor |r|. De zin keert
om (d.w.z. de pijl wijst in de andere richting) als r < 0.
3.3.2
Optelling van vectoren
−
−
−
−
Voor →
v1 = (a1 , b1 ) en →
v2 = (a2, b2) geldt →
v1 + →
v2 = (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ).
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
47
Figuur 3.6: (a) Optelling van vectoren,
(b) Tegengestelde vector
De som komt overeen met de diagonaal van het parallellogram dat gevormd wordt vanuit de
−
−
vectoren →
v1 en →
v2 .
−
−
Voor →
v = (a, b) definiëren we de tegengestelde vector als −→
v = (−a, −b). Voor vectoren
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
v en v definiëren we het verschil als volgt: v − v = v + (−→
v ).
1
3.3.3
2
1
2
1
2
Grootte van een vector
−
−
In het reële vlak noemen we →
e1 = (1, 0) en →
e2 = (0, 1) de eenheidsvectoren in respectievelijk
−
de x-richting en de y-richting. Hiermee kunnen we een willekeurige vector, →
v = (a, b), als
volgt ontbinden:
→
−
−
−
v = a→
e1 + b→
e2 .
√
−
−
De grootte van de vector →
v = (a, b) is dan k→
v k = a2 + b 2 .
3.3.4
Inproduct van twee vectoren
−
−
Voor vectoren →
v1 = (a1 , b1 ) en →
v2 = (a2, b2) definiëren we het het inproduct als
→
−
−
v1 · →
v 2 = a1 a2 + b 1 b 2 .
−
−
−
−
De vectoren →
v1 en →
v1 loodrecht op elkaar als hun inproduct 0 is, d.w.z. als →
v1 · →
v2 = 0.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
48
3.4
Oefeningen
Oefening 1
Bewijs dat de som van de hoeken van een driehoek is gelijk aan 180◦ . Hint: teken door één
van de hoekpunten een rechte evenwijdig aan de overstaande zijde.
Oefening 2
Geef een formule voor de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek in termen van de lengte
` van de zijden.
Oefening 3
Bepaal de afstanden x, y en z in de rechthoekige driehoek van figuur 3.7(a).
Figuur 3.7: (a) Oefening 3
(b) Oefening 4
Oefening 4
De vierhoek ABCD is een deel van een gelijkzijdige driehoek (zie figuur 3.7(b)). De lijnstukken [AB] en [CD] zijn evenwijdig. Bereken de oppervlakte van deze vierhoek. Gebruik
de formule uit Oefening 2.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
49
Oefening 5
Beschouw de gelijkzijdige driehoek ABC waarvan de
hoekpunten A en B op een cirkel met straal r gelegen
zijn en het hoekpunt C in het middelpunt van deze
cirkel gelegen is.
A. Bereken de lengte van de cirkelboog AB
B. Bereken de oppervlakte van de driehoek ABC
C. Bereken de oppervlakte van het cirkelsector ABC
Figuur 3.8: Oefening 5
Oefening 6
A. Bepaal de rechte door (−1, 3) met rico
− 12 .
D. Bepaal de rechte door (2, −1) met rico
3
.
5
B. Bepaal de rechte door (0, 1) met rico 2.
E. Bepaal de rechte door (−7, 0) met rico
0.
C. Bepaal de rechte door (−3, −1) met rico
1.
F. Bepaal de verticale rechte door (−7, 0).
Oefening 7
A. Bepaal de
(−1, −5).
rechte
door
(2, 1)
en
B. Bepaal de rechte door (2, 2) en (3, 2).
C. Bepaal de
(−1, −1).
rechte
door
(1, 1)
en
D. Bepaal de rechte door (2, 1) en (3, 1).
E. Bepaal de rechte door (2, 1) en (0, 3).
F. Bepaal de rechte door (−1, −1) en
(−1, 3).
Oefening 8
A. Bepaal de vergelijking van de rechte die op de positieve x-as een stuk met lengte 2
afsnijdt en op de positieve y-as een stuk van lengte 6 afsnijdt.
B. Bepaal de vergelijking van de rechte die op de positieve x-as een stuk met lengte 4
afsnijdt en op de negatieve y-as een stuk van lengte 3 afsnijdt.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
50
Oefening 9
In elk van de volgende gevallen is telkens de vergelijking van een rechte R en een punt
gegeven (x1 , y1 ). Gevraagd wordt om de vergelijking van de rechte R1 , evenwijdig met de
gegeven rechte en door het punt (x1 , y1 ), te bepalen. Bepaal eveneens de vergelijking van de
rechte R2 die door het punt (x1 , y1 ) gaat en loodrecht op de gegeven rechte staat. Voor de
werkwijze, zie paragraaf 3.2.6.
A. R : 2x + y = 1 en (x1 , y1 ) = (2, 3)
D. R : y − 2 = 0 en (x1 , y1 ) = (1, −2)
B. R : −x + 2y = −1 en (x1 , y1 ) = (1, 1)
E. R : 4x − 2y = 2 en (x1 , y1 ) = (1, 1)
C. R : x + 4 = 0 en (x1 , y1 ) = (1, 3)
F. R : x = 7 en (x1 , y1 ) = (−1, 7)
Oefening 10
A. Gegeven zijn de punten (t2 − 4t, 5) en (−4, 4). Voor welke waarde(n) van de parameter
t is hun verbindingsrechte evenwijdig met de x-as? En met de y-as?
B. Gegeven zijn de punten (t, 3) en (6, t2 + 2t). Voor welke waarde(n) van de parameter
t is hun verbindingsrechte evenwijdig met de x-as? En met de y-as?
Oefening 11
A. Bepaal de vergelijking van de rechte die op de positieve x-as een stuk van lengte 3
afsnijdt en die evenwijdig is met de vergelijking x − 2y = 3.
B. Bepaal de vergelijking van de rechte die op de positieve y-as een stuk van lengte 2
afsnijdt en die loodrecht staat op de rechte met de vergelijking 2x + 4y = 1.
Oefening 12
Bepaal in elke van de volgende gevallen de doorsnede van de rechten R1 en R2 . Voor de
werkwijze, zie paragraaf 3.2.7.
A. R1 : 2x + y = 3, R2 : x − 2y = −1
D. R1 : 2x + 5y = 1, R2 : 4x + 10y = 3
B. R1 : x + 2y = 2, R2 : 2x + 4y = 4;
E. R1 : 2x + 2y = 1, R2 : 3x − 5y = −5
C. R1 : 2y + 3x = −1, R2 : 3x − 2y = 1
F. R1 : 2x − 21 y = 2, R2 : 2y − 12 x = −1
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
51
3.5
Oplossingen
Oefening 2
√
Oppervlakte =
3 2
`
4
Oefening 3
√
√
x = 4, y = 4 5, z = 2 5
Oefening 4
√
Oppervlakte = 7 3
Oefening 5
A. Lengte cirkelboog = π3 r
√
B. Opp. driehoek =
3 2
r
4
C. Opp. cirkelsector = π6 r2
Oefening 6
A. 2y + x = 5
C. y − x = 2
E. y = 0
B. y − 2x = 1
D. 5y − 3x = −11
F. x = −7
A. y − 2x = −3
C. y − x = 0
E. y + x = 3
B. y = 2
D. y = 1
F. x = −1
Oefening 7
Oefening 8
A. y + 3x = 6
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
B. 4y − 3x = −12
52
Oefening 9
A. R1 : y + 2x = 7, R2 : 2y − x = 4
D. R1 : y = −2, R2 : x = 1
B. R1 : 2y − x = 1, R2 : y + 2x = 3
E. R1 : y − 2x = −1, R2 : x + 2y = 3
C. R1 : x = 1, R2 : y = 3
F. R1 : x = −1, R2 : y = 7
Oefening 10
A. Voor geen enkele waarde van t is de rechte evenwijdig met de x-as. Voor t = 2 is de
rechte evenwijdig met de y-as.
B. Voor t = 1 of t = −3 is de rechte evenwijdig met de x-as. Voor t = 6 is de rechte
evenwijdig met de y-as.
Oefening 11
A. 2y − x = −3
B. y − 2x = 2
Oefening 12
A. R1 ∩ R2 = {(1, 1)}
B. R1 ∩ R2 = R1 = R2
C. R1 ∩ R2 = {(0, − 21 )}
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 3
D. R1 ∩ R2 = ∅ (m.a.w. de rechten R1 en
R2 zijn evenwijdig)
5 13
E. R1 ∩ R2 = {(− 16
, 16 )}
14
4
F. R1 ∩ R2 = {( 15
, − 15
)}
53
Hoofdstuk 4
Goniometrie
4.1
Hoeken op de goniometrische cirkel
De goniometrische cirkel is de eenheidscirkel van het vlak, waarop elke hoek kan voorgesteld worden. Het is een cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal 1. Hoeken worden
gemeten vanaf de positieve x-as en vanaf daar in tegenwijzerzin (ook wel goniometrische
zin genoemd, dus vanaf de positieve x-as naar boven).
Figuur 4.1: Goniometrische cirkel met hoek
De goniometrische cirkel wordt onderverdeeld in 4 kwadranten, genummerd in stijgende
volgorde van de grootte van de hoeken die erin liggen.
Figuur 4.2: Kwadranten in goniometrische cirkel
54
Er zijn twee eenheden om de grootte van een hoek uit te drukken. De bekendste is het
zestigdelige stelsel van graden. Graden worden onderverdeeld in minuten en seconden:
1◦ = 600 = 60 · 6000 = 360000 . Een volledige cirkelomtrek is 360◦ , een rechte hoek bedraagt
90◦ .
De meest wetenschappelijke eenheid voor hoeken, die ook in de universiteitscursussen doorgaans gehandhaafd wordt, is de radiaal. Een radiaal is de hoek die overeenkomt met een
boogomtrek op de goniometrische cirkel van lengte 1. Een volledige cirkelomtrek bedraagt
2π, een rechte hoek is π/2. Meestal wordt de eenheid van radialen niet genoteerd.
Een hoek van 0 rad valt samen met een hoek van 2π rad. Telkens je bij een hoek een veelvoud
van 2π bijtelt, krijg je hetzelfde punt op de goniometrische cirkel.
Vermits een hoek van π rad samenvalt met een hoek van 180◦ kunnen volgende formules
gebruikt worden om graden in radialen om te zetten en omgekeerd. Om een hoek van graden
π
en om van radialen naar graden om te
naar radialen om te zetten vermenigvuldig je met 180
180
zetten vermenigvuldig je met π . Bijvoorbeeld:
90◦ = 90 ·
4.2
4.2.1
π
π
=
180
2
−
π
π 180
=− ·
= −45◦
4
4 π
Goniometrische getallen
Sinus, cosinus, tangens
Elke hoek bepaalt een punt op de goniometrische cirkel. De cosinus van een hoek is de
x-coördinaat van dat punt. De sinus van een hoek is de y-coördinaat van dat punt (zie
figuur 4.3). Uit deze definitie volgt dat −1 6 sin α 6 1 en −1 6 cos α 6 1
∀α ∈ R.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
55
Figuur 4.3: Definitie van sinus en cosinus
De andere goniometrische getallen worden gedefinieerd vanuit sinus en cosinus.
sin α
cos α
cos α
cot α =
sin α
1
sec α =
cos α
1
cosec α =
sin α
tan α =
als cos α 6= 0
als sin α 6= 0
als cos α 6= 0
als sin α 6= 0
Ook de tangens en cotangens van een hoek kunnen afgelezen worden op de goniometrische
cirkel. Om de tangens af te lezen, tekent men x = 1: de raaklijn aan de goniometrische
cirkel in het punt (1, 0), vervolgens trekt men de rechte die de hoek definieert verder tot het
snijpunt met de raaklijn. Het lengte van het lijnstuk dat op die manier wordt afgesneden op
de raaklijn (met minteken indien onder de x-as) is de tangens van die hoek. Om de cotangens
af te lezen gaat men op dezelfde wijze te werk, alleen gebruikt men dan de raaklijn in het
punt (0, 1) (zie figuur 4.4).
Het teken van de sinus, cosinus en tangens is constant voor alle hoeken in eenzelfde kwadrant (zie figuur 4.5). Een hoek in het tweede kwadrant heeft bijvoorbeeld een positieve
sinuswaarde en een negatieve cosinuswaarde: immers, de y-coördinaat ligt op het positieve
deel van de y-as en de x-coördinaat ligt op het negatieve deel van de x-as. Voor zo een hoek
is de tangenswaarde ook negatief (als quotiënt van een positief en een negatief getal).
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
56
Figuur 4.4: Tangens en cotangens
Figuur 4.5: Teken van sinus, cosinus en tangens
4.2.2
Grondformule van de goniometrie
Door de definitie van sinus en cosinus geldt voor elke hoek α dat
sin2 α + cos2 α = 1
Bijvoorbeeld:
π
α=
6
→
2
1
2
2
sin α + cos α =
+
2
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
√ !2
1 3
3
= + =1
2
4 4
57
4.2.3
4.2.4
Veelgebruikte goniometrische waarden
α
0
sin α
0
cos α
1
tan α
0
π
6
1
√2
3
2
1
√
3
π
4
√
2
√2
2
2
1
π
3
√
3
2
1
2
√
3
π
2
π
3π
2
2π
1
0
-1
0
0
-1
0
1
/
0
/
0
Hoeken bepalen uit goniometrische waarden
Wanneer je een goniometrisch getal kent van een hoek, en het kwadrant, dan kan je de grootte
van die hoek bepalen, door de inverse bewerking uit te voeren. De numerieke waarde werd
vroeger met tabellen, maar tegenwoordig met rekentoestellen of computeralgebrapakketten
bepaald. De notatie voor de inverse van de sinus is
sin−1 of Arcsin of Bgsin .
Opgelet: een rekentoestel geeft telkens 1 uitkomst voor de hoek, maar soms is het nodig
om met de formules van verwante hoeken de andere hoeken te berekenen die dezelfde sinus,
cosinus of tangens hebben.
4.2.5
Goniometrische waarden bepalen uit goniometrische waarden
Als een bepaald goniometrisch getal van een hoek (en haar kwadrant) gegeven zijn en andere
goniometrische getallen gezocht worden, is het op zich mogelijk om eerst de hoek te bepalen
en daarvan de gezochte goniometrische functies te berekenen. Echter, er zijn voldoende
redenen om aan te nemen dat het eenvoudiger kan op een andere manier. Zeker als er
numerieke waarden in het spel zijn, is het een onnodige omweg die voor afrondingsfouten
kan zorgen.
Door gebruik te maken van de grondformule en de verbanden tussen de verschillende goniometrische getallen, kan je alle goniometrische getallen van een hoek bepalen, indien je
één van van deze getallen kent en weet tot welk kwadrant de hoek behoort. We geven twee
voorbeelden.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
58
Gegeven: cos α =
4
,α
5
∈ I (eerste kwadrant). Gevraagd: sin α, tan α, cot α. Oplossing:
•
√
⇒ sin α = ± 1 − cos2 α
sin2 α + cos2 α = 1
α ∈ I dus sin α is positief
•
sin α =
√
s
1 − cos2 α =
•
r
2 r
3
4
16
9
= 1−
=
=
1−
5
25
25
5
tan α =
sin α
3/5
3
=
=
cos α
4/5
4
cot α =
cos α
4/5
4
=
=
sin α
3/5
3
•
Gegeven: tan α = − 12 , α ∈ IV (vierde kwadrant). Gevraagd: sin α, cos α, cot α. Oplossing:
•
cot α =
•
tan α =
1
= −2
tan α
sin α
sin2 α
1 − cos2 α
⇒ tan2 α =
=
cos α
cos2 α
cos2 α
⇒ cos2 α tan2 α = 1 − cos2 α
⇒ cos2 α(tan2 α + 1) = 1
r
1
1
2
⇒ cos α =
⇒ cos α = ±
2
1 + tan α
1 + tan2 α
•
s
cos α = +
α ∈ IV dus cos α is positief
s
s
r
√
1
1
1
4
2 5
= 5 =
=
2 =
5
5
1 + 41
1 + −1
4
2
•
α ∈ IV dus sin α is negatief
s
r
r
r r
√
2
√
2
4
1
1
5
5
sin α = ± 1 − cos2 α = − 1 − √
=− 1− =−
=−
.
=−
5
5
5 5
5
5
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
59
4.3
4.3.1
Verwante hoeken
Gelijke hoeken
Twee hoeken bepalen hetzelfde punt op de goniometrische cirkel, indien ze een veelvoud van
2π van elkaar verschillen: β = α + 2kπ k ∈ Z. Voor dergelijke hoeken geldt (zie figuur
4.6(a)):
cos (α + 2kπ) = cos α
4.3.2
sin (α + 2kπ) = sin α
tan (α + 2kπ) = tan α
Tegengestelde hoeken
Men noemt twee hoeken tegengesteld indien hun som gelijk is aan nul: β = −α. Voor
dergelijke hoeken geldt (zie figuur 4.6(b)):
sin (−α) = − sin α
cos (−α) = cos α
Figuur 4.6: (a) Gelijke hoeken,
4.3.3
tan (−α) = − tan α
(b) Tegengestelde hoeken
Complementaire hoeken
Men noemt twee hoeken complementair, indien hun som gelijk is aan π2 , of β =
dergelijke hoeken geldt (zie figuur 4.7):
cos (
π
− α) = sin α
2
sin (
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
π
− α) = cos α
2
tan (
π
2
− α. Voor
π
1
− α) =
= cot α
2
tan α
60
4.3.4
Supplementaire hoeken
Men noemt twee hoeken supplementair indien hun som gelijk is aan π, of β = π − α. Voor
dergelijke hoeken geldt (zie figuur 4.7):
cos (π − α) = − cos α
sin (π − α) = sin α
Figuur 4.7: (a) Complementaire hoeken,
4.3.5
tan (π − α) = − tan α
(b) Supplementaire hoeken
Uitdrukkingen vereenvoudigen
De identiteiten tussen verwante hoeken kunnen gebruikt worden om ingewikkelde uitdrukkingen te vereenvoudigen. Bijvoorbeeld, om
sin (π + α) (1 − sin2 α)
·
cos (2π + α)
cos (−α)
te vereenvoudigen, kunnen we de volgende gelijkheden gebruiken.
•
•
•
•
cos(−α) = cos α
1 − sin2 α = cos2 α
sin (π + α) = sin (π − (−α)) = sin (−α) = − sin α
cos (2π + α) = cos α
Dan krijgen we
sin (π + α) (1 − sin2 α)
− sin α cos2 α
·
=
·
= − sin α
cos (2π + α)
cos (−α)
cos α
cos α
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
61
4.4
Goniometrische formules
4.4.1
Som- en verschilformules
De goniometrische getallen voor een som of verschil van twee hoeken kunnen als volgt berekend worden:
cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α − β) = sin α cos β − sin β cos α
tan α + tan β
tan (α + β) =
1 − tan α tan β
tan α − tan β
tan (α − β) =
1 + tan α tan β
4.4.2
Verdubbelings- en halveringsformules
Kiezen we in de somformules beide hoeken gelijk, dan vinden we:
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1
sin 2α = 2 cos α sin α
2 tan α
tan 2α =
1 − tan2 α
α
Noemen we t = tan , dan vinden we vanuit de verdubbelingsformules:
2
1 − t2
cos α =
1 + t2
2t
sin α =
1 + t2
2t
tan α =
1 − t2
want
want
want
cos2 α2 − sin2 α2
1 − tan2
α
2 α
cos α = cos
− sin
=
=
2
2
1 + tan2
cos2 α2 + sin2 α2
2 cos α2 sin α2
2 tan α2
α
α
sin α = 2 cos sin =
=
2
2
1 + tan2 α2
cos2 α2 + sin2 α2
2 tan α2
tan α =
1 − tan2 α2
2
α
2
α
2
Deze formules zijn vaak handig bij het berekenen van integralen.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
62
4.4.3
Formules van Simpson en omgekeerde formules
Voor de volledigheid nemen we in dit naslagwerk nog de formules van Simpson op. De
bovenste drie formules kunnen bekomen worden door gepaste sommen of verschillen te nemen
van de som- en verschilformules, de onderste vier worden uit deze erboven bekomen door
α + β = x, α − β = y te stellen – het zijn die laatste die de formules van Simpson genoemd
worden: ze zijn er om sommen van sinussen en cosinussen in producten om te zetten.
1
[cos (α + β) + cos (α − β)]
2
1
= − [cos (α + β) − cos (α − β)]
2
1
= [sin (α + β) + sin (α − β)]
2
x−y
x+y
cos
= 2 sin
2
2
x+y
x−y
= 2 cos
sin
2
2
x−y
x+y
cos
= 2 cos
2
2
x+y
x−y
= −2 sin
sin
2
2
cos α · cos β =
sin α · sin β
sin α · cos β
sin x + sin y
sin x − sin y
cos x + cos y
cos x − cos y
Toepassingen van de formules
De formules voor verwante hoeken, samen met de formules uit deze paragraaf, zijn een
krachtig wapen om nieuwe identiteiten te bewijzen, goniometrische uitdrukkingen uit te
werken en goniometrische getallen van bepaalde hoeken te bepalen. Drie voorbeelden.
• Bewijs de formule
sin (α − β)
sin (α + β)
=
tan α + tan β
tan α − tan β
Oplossing: we vereenvoudigen beide leden afzonderlijk.
sin (α + β)
sin α cos β + sin β cos α
sin α cos β + sin β cos α
=
= cos α cos β
=
sin
β
sin α cos β+sin β cos α
sin
α
tan α + tan β
+ cos β
cos α
cos α cos β
sin (α − β)
sin α cos β − sin β cos α
sin α cos β − sin β cos α
=
=
= cos α cos β
sin α cos β−sin β cos α
sin
β
sin
α
tan α − tan β
− cos β
cos α
cos α cos β
We bekomen twee keer hetzelfde, dus zijn de oorspronkelijke formules ook aan elkaar
gelijk.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
63
• Bepaal een uitdrukking voor sin (3α), in functie van goniometrische getallen van α.
Oplossing: we gebruiken een combinatie van somformules:
sin 3α = sin (α + 2α)
= sin α cos 2α + sin 2α cos α
= sin α(2 cos2 α − 1) + 2 sin α cos α cos α
= 2 sin α cos2 α − sin α + 2 sin α cos2 α
= 4 sin α cos2 α − sin α = 4 sin α(1 − sin2 α) − sin α
= 4 sin α − 4 sin3 α − sin α
= 3 sin α − 4 sin3 α
π
• Bereken sin 12
door gebruik te maken van de goniometrische getallen van π6 ,
π
= 3π
− 2π
= π4 − π6 , zodat
Oplossing: er geldt 12
12
12
sin
π
4
en π3 .
π π
π
π
π
π
π
= sin( − ) = sin cos − sin cos
12
4
√ 4 √6
√ 6
√ 4√ 6
2
3 1
2
6
2
·
− ·
=
−
=
2
2
2 2
4
4
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
64
4.5
Goniometrie in driehoeken
4.5.1
Goniometrie in rechthoekige driehoeken
In vele handboeken worden sinus, cosinus en tangens gedefinieerd als de verhouding van
bepaalde zijden in een rechthoekige driehoek.
Figuur 4.8: algemene rechthoekige driehoek
overstaande rechthoekszijde
schuine zijde
aanliggende rechthoekszijde
Cosinus hoek =
schuine zijde
overstaande rechthoekszijde
Tangens hoek =
aanliggende rechthoekszijde
Sinus hoek =
4.5.2
→
→
→
b
en
a
c
cos β =
en
a
b
tan β =
en
c
sin β =
c
a
b
cos γ =
a
c
tan γ =
b
sin γ =
Goniometrie in willekeurige driehoeken: sinus- en cosinusregel
In willekeurige driehoeken bestaan er ook verbanden tussen de hoeken en zijdelengtes. De
eerste regel is de sinusregel, de andere gaan door het leven als cosinusregel.
a
sin α
a2
b2
c2
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
b
c
=
sin β
sin γ
2
2
= b + c − 2 · b · c · cos α
= a2 + c2 − 2 · a · c · cos β
= a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ
=
65
4.5.3
Voorbeelden
A. Gegeven is een rechthoekige driehoek met als schuine zijde 43 en een aanliggende hoek
gelijk aan 0, 543 radialen. Bereken de andere zijden en hoeken van de rechthoekige
driehoek.
Figuur 4.9: Opgave met een rechthoekige driehoek
Oplossing. Noem de zijden en hoeken zoals op figuur 4.9, dan is β = 0, 543 en a = 43.
Verder vinden we
γ=π−
π
π
− β = π − − 0, 543 = 1, 028
2
2
b
→ b = a · sin β = 43 sin 1, 028 = 36, 8
a
c
cos β = → c = a · cos β = 43 cos 1, 028 = 22, 2
a
sin β =
α = π2
β = 0, 543
γ = 1, 028
a = 43
b = 36,8
c = 22,2
B. Zijn gegeven de twee rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek: 17 en 23. Bereken alle zijden en hoeken.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
66
Figuur 4.10: Opgave met een rechthoekige driehoek
Oplossing: Geef de zijden en hoeken namen zoals op figuur 4.10. We vinden dan
√
√
a2 = b2 + c2 ⇒ a = b2 + c2 = 232 + 172 = 28, 60
b
17
17
tan β = =
⇒ β = Bgtan
= 0, 636
c
23
23
23
23
c
⇒ γ = Bgtan
tan γ = =
= 0, 934
b
17
17
α = π2
a = 28,60
β = 0, 636 b = 17
γ = 0, 934 c = 23
C. Beschouw een niet-rechthoekige driehoek met zijden a = 23, b = 17 en β = 17◦ 230 29”.
Bereken de andere zijden en hoeken.
a
b
a · sin β
23 · sin(17◦ 230 29”)
−1
=
⇒ sin α =
⇒ α = sin
sin α
sin β
b
17
◦
0
= 23 51 10, 59”
◦
α + β + γ = 180 ⇒ γ = 180◦ − α − β = 180◦ − 23◦ 510 10, 59 − 17◦ 230 29”
= 138◦ 450 20, 41”
p
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ ⇒ c = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ
p
= 232 + 172 − 2 · 23 · 17 · cos(138◦ 450 20, 4100 ) = 37, 50
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
67
4.6
Goniometrische functies
Hoeken worden uitgedrukt in radialen (en corresponderen dus met reële getallen). De goniometrische getallen sinus, cosinus, tangens etc. kunnen we dus zien als input-output-machines
die als input een reëel getal vragen en als output weer een reëel getal geven. Dit soort objecten kennen we: het zijn reële functies, zoals bijvoorbeeld f : R → R : x 7→ x2 . We noteren ze
(in plaats van met algemene letters f ) gewoon met de namen sin, cos en tan die we gewoon
zijn, bijvoorbeeld
cos : R → R : x 7→ cos x
4.6.1
De cosinusfunctie
Met behulp van de basiswaarden uit de tabel en de formules voor verwante hoeken kan
volgende tabel worden opgesteld:
x 0
cos x 1
π
6
√
3
2
π
4
√
2
2
π
3
1
2
π
2
0
2π
3
1
−
2
3π
4
√
2
−
2
5π
6
√
3
2
π
−1
5π
4
√
2
−
2
3π
2
0
7π
4
√
2
2
2π
1
Deze tabel leidt tot een gedeeltelijke grafiek (zie figuur 4.11). Het volstaat nu om deze
Figuur 4.11: Beperkte cosinusfunctie
gedeeltelijke grafiek telkens te herhalen: volgens de eigenschappen van verwante hoeken geldt
immers (cos (α + 2kπ) = cos α) (zie figuur 4.12). De cosinusfunctie is dus een periodieke
functie met periode 2π. Haar beeld is niet heel R, maar enkel het interval [−1, 1].
4.6.2
De sinusfunctie
Op dezelfde manier als voor de cosinusfunctie kunnen we de grafiek van de sinusfunctie vinden
door te vertrekken vanuit de tabel met basiswaarden. We kunnen echter ook vertrekken van
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
68
Figuur 4.12: Cosinusfunctie
de grafiek van cosinusfunctie en gebruik maken van de formules voor complementaire hoeken
en tegengestelde hoeken:
π
π
− α = cos α −
.
sin α = cos
2
2
Dit betekent immers dat we de grafiek van de sinusfunctie bekomen door de grafiek van
π
de cosinusfunctie over
eenheden naar rechts te verschuiven. Dit leidt tot de grafiek in
2
figuur 4.13. Ook de sinusfunctie is periodiek met periode 2π en beeld [−1, 1].
Figuur 4.13: Sinusfunctie
4.6.3
De tangensfunctie
Uit de tabel van basiswaarden volgt:
x
−
π
2
tan x niet gedefinieerd
π
π
−
3
4
√
− 3 −1
−
π
−
6
√
3
−
3
0
0
π
6
√
3
3
π
4
1
π
3
√
3
π
2
niet gedefinieerd
π
Hoe dichter een hoek α tot nadert, (waarbij α < π2 ), hoe groter tan α wordt. In dit geval zal
2
sin α immers naar 1 naderen, terwijl cos α naar 0 nadert, en daardoor nadert tan α, de deling
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
69
Figuur 4.14: Beperkte tangensfunctie
van sin α door cos α naar oneindig. Deze vaststellingen leiden tot een gedeeltelijke grafiek
(figuur 4.14). Het volstaat nu om deze gedeeltelijke grafiek telkens te herhalen, want volgens
de eigenschappen van verwante hoeken geldt dat tan(α + kπ) = tan α. De tangensfunctie
periodiek met periode π, en in tegenstelling tot de sinus is haar beeld niet begrensd.
Figuur 4.15: Tangensfunctie
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
70
4.7
Oefeningen
Oefening 1
Herleid naar zestigdelige graden. Voor de werkwijze: zie paragraaf 4.1.
A.
2π
3
B.
5π
6
C.
7π
4
D.
15π
10
Oefening 2
Herleid naar radialen. Voor de werkwijze: zie paragraaf 4.1.
A. 25◦
B. 210◦
C. 150◦
D. 310◦
Oefening 3
Bepaal het kwadrant waartoe volgende hoeken behoren:
A.
5π
4
B. −
5π
12
C.
3π
7
D. −
2π
3
Oefening 4
Bepaal, zonder gebruik van een rekenmachine, de overige goniometrische getallen (sinus,
cosinus, tangens en cotangens). Voor uitgewerkte voorbeelden: zie 4.2.5.
A. cos α =
2
3
en
1
en
6
C. sin α = 0.3 en
B. sin α = −
D. tan α = 5 en
α ∈ IV
α ∈ III
α ∈ III
E. cot α = −2.5 en
α ∈ II
α∈I
F. cos α = −0.5 en
α ∈ II
Oefening 5
Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen met behulp van de formules voor verwante hoeken.
Voor een uitgewerkt voorbeeld: zie 4.3.5.
A. 1 + tan2 α
B.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
cos ( π2 − α) sin ( 3π
+ α)
2
tan (3π − α)
C.
sin (π − α) sec (π + α)
tan (−α) cot (5π − α)
71
Oefening 6
Bewijs de volgende identiteiten. Voor een uitgewerkt voorbeeld: zie 4.4.3.
A.
cos (α − β) + cos (α + β)
tan α tan β =
cos (α − β) − cos (α + β)
1
C. tan α − tan β =
B.
tan α
= sin α. cos α
1 + tan2 α
D. tan (
sin (α + β)
cos α cos β
π
1 − tan α
− α) =
4
1 + tan α
Oefening 7
Toon aan dat
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α.
Oefening 8
Gebruik de goniometrische getallen van π6 ,
A. sin
7π
12
B. cos
π
4
en
π
3
om de volgende waarden te berekenen.
13π
12
C. tan
5π
12
Oefening 9
Vul de gegevens van deze rechthoekige driehoeken aan: bereken de andere zijden en hoeken.
Voor een uitgewerkt voorbeeld: zie 4.5.3.
A. Een rechthoekige driehoek met als schuine zijde 37 en één rechthoekszijde van 26.
B. Een rechthoekige driehoek met een rechthoekszijde gelijk aan 10,7 en de overstaande
hoek gelijk aan 1,169.
C. Een rechthoekige driehoek met één rechthoekszijde gelijk aan 453 en een aanliggende
π
hoek gelijk aan .
7
Oefening 10
Vul de gegevens van deze niet noodzakelijk rechthoekige driehoeken aan: bereken de andere
zijden en hoeken. Voor een uitgewerkt voorbeeld: zie 4.5.3.
A. Een driehoek met a = 2, 7, β = 17◦ 230 en γ = 74◦ 130 20”
B. Een driehoek met a = 58, b = 41 en c = 35
C. Een driehoek met c = 43, β = 41◦ 130 58” en a = 15
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
72
Oefening 11
Een schip vaart met een snelheid van 20 km/h in noordelijke richting. Een waarnemer aan
land ziet het schip ten westen van zich een boei passeren die 2 km van hem verwijderd is.
Vanaf dat ogenblik volgt hij het schip met een kijker. Hoe lang duurt het vooraleer de kijker
gedraaid is over een hoek van −60◦ ? Op welke afstand van de waarnemer is het schip dan?
Oefening 12
Een ballon stevent af op een 20 meter hoge toren. De ballonvaarder ziet de top van de toren
onder een hoek van 4◦ met de horizontale. Na 500 m horizontaal vliegen ziet hij de top onder
een hoek van 5◦ 300 . Hoe hoog boven de voet van de toren bevindt de ballon zich?
Oefening 13
Van een driehoek is gegeven dat ze hoeken heeft van 45◦ en 70◦ . Verder is geweten dat de
omtrek van de driehoek 15 cm bedraagt. Bereken de lengten van de zijden.
4.8
Oplossingen
Oefening 1
A.
2π
3
= 120◦
B.
5π
6
= 150◦
C.
7π
4
= 315◦
D.
3π
2
= 270◦
Oefening 2
A. 25◦ =
B. 210◦ =
5π
36
C. 150◦ =
7π
6
D. 310◦ =
5π
6
31π
18
Oefening 3
A. derde kwadrant
B. vierde
drant
kwa-
C. eerste kwadrant
D. derde kwadrant
Oefening 4
√
A. sin√α = −
−255
5
, tan α
3
√
= −
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
5
, cot α
2
√
=
B. cos α = −
√
35
35
, tan α
6
√
=
35
, cot α
35
=
73
C. cos α =
√
3 91
, tan α
91
=
D. cot α = 51 , cos α = −
E. tan α = − 52 , cos α
√
3 91
, cot α
91
√
√
91
3
√
− 5 2626
=
26
, sin α =
26
√
= − 5 2929 , sin α
=
√
2 29
29
√
√
F. sin α = √ 23 , tan α = − 3, cot α =
− √13 = − 33
Oefening 5
A.
1
cos2 α
B. cos2 α
C. − tan α
√
√
13π
6
2
B. cos
=−
−
12
4
4
√
5π
1+ 3
C. tan
=√
12
3−1
Oefening 8
√
√
7π
6
2
A. sin
=
+
12
4
4
Oefening 9
A.
α = π2
a = 37
β = 0, 779189 b = 26 B.
γ = 0, 791607 c = 26,32
α = π2
a = 11,63
β = 0, 401796 b = 4,55 C.
γ = 1, 169
c = 10,7
α=
β=
γ=
π
2
5π
14
π
7
a = 502,79
b = 453
c = 218,15
Oefening 10
A. α = 88◦ 230 40”, b = 0, 81, c = 2, 63
B. α = 99◦ 100 57, 46”. β = 44◦ 150 13, 53”, γ = 36◦ 330 49, 01”
C. b = 48, 22, α = 17◦ 450 54, 36”, γ = 61◦ 000 18, 75”
Oefening 11
Na 10 min 24 sec. De afstand tot het schip bedraagt dan 4 km.
Oefening 12
De ballon vliegt op een hoogte van 147,7 m.
Oefening 13
De lengten van de zijden zijn ongeveer 5,32 cm, 4,15 cm en 5,52 cm.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 4
74
Hoofdstuk 5
Limieten
5.1
Reële functies
Een reële functie f : R → R is een formeel object dat aan elk element van R hoogstens 1
ander element van R associeert. Indien x ∈ R, dan noteren we het reëel getal dat door f
aan x geassocieerd wordt als f (x). Men noemt f (x) ook het beeld van x onder f . Merk op
dat, afhankelijk van het functievoorschrift, het mogelijk is dat voor een gegeven x ∈ R, het
beeld van x niet gedefinieerd is.
Het voorschrift f (x) = x2 definieert bijvoorbeeld inderdaad een functie: voor elke x ∈ R
bestaat er hoogstens een beeld. Zo is f (2) = 22 = 4. Merk op dat hier zelfs elk reëel getal
een beeld heeft.
√
Ook het voorschrift f (x) = x stelt een functie voor: voor elke x ∈ R bestaat er hoogstens
een beeld. Zo is f (4) = 2, maar f (−4) is niet gedefinieerd (de vierkantswortel van een
negatief getal is geen reël getal). We besluiten dus dat de functie f enkel gedefinieerd is voor
positieve reële getallen.
Het definitiegebied of domein van een reële functie f (notatie dom(f )) is de verzameling
van alle reële getallen die een beeld hebben onder f . Het is de deelverzameling van R met
precies die x’en waarvoor f (x) gedefinieerd is.
De verzameling van alle reële getallen die het beeld zijn van een reëel getal onder f , noemt
men het bereik of beeld van f (notatie: im(f )). Om te bepalen of een reëel getal y0 tot
im(f ) behoort, volstaat het om na te gaan of de vergelijking f (x) = y0 een oplossing heeft
in x.
Formeel zijn deze verzamelingen dus
dom(f ) = {x ∈ R | ∃y : f (x) = y}
en
im(f ) = {y ∈ R | ∃x : f (x) = y}
We beschouwen opnieuw de functie f : x 7→ x2 . Vermits elke reël getal kan worden gekwadrateerd, is de functie gedefinieerd voor alle reële getallen. We besluiten dus dat dom(f ) = R.
75
Vermits het kwadraat van een reël getal steeds positief is, besluiten we dat het bereik van f
geen negatieve getallen kan bevatten; vermits elk positief getal een vierkantswortel heeft, is
elk positief getal wél bevat in het beeld. We besluiten dat im(f ) = R+ = {x ∈ R | x > 0}.
Beschouw nu de functie f : x 7→ x1 . Vermits we voor alle reële getallen, uitgezonderd 0, de
inverse kunnen berekenen, besluiten we dat dom(f ) = R \ {0}. Om im(f ) te bepalen gaan
we na voor welke getallen y de vergelijking f (x) = y kan opgelost worden naar x.
f (x) = y ⇔
1
=y
x
Indien y 6= 0 is deze vergelijking equivalent met x = y1 , en dus vinden we voor y een
oplossing van de vergelijking. Indien y = 0 dan is deze vergelijking equivalent met x1 = 0.
Deze vergelijking heeft geen oplossing. We besluiten dus dat de vergelijking f (x) = y een
oplossing heeft voor x als en slechts als y 6= 0. We besluiten dat im(f ) = R \ {0}.
5.2
Limiet in een punt
We beschouwen een reële functie f en a een reëel getal.
Als f gedefinieerd is voor alle punten in de buurt van a, dan kunnen we spreken van de limiet
van f (x) voor x gaande naar a of de limiet van f in a. Dit is het getal, waarnaar de
functiewaarden f (x) van de getallen rond a naderen, naarmate de originelen x dichter bij a
liggen. Met andere woorden: de limiet van f (x) voor x gaande naar a is gelijk aan L als de
volgende uitspraak waar is: als x nadert naar a, dan nadert f (x) naar L. Dit getal L wordt
genoteerd1 als
lim f (x),
x→a
of nog, als men de dummyvariabele x niet wil vermelden, als
lim f.
a
Beschouwen we bijvoorbeeld de functie f gedefinieerd door
f : R → R : x 7→ f (x) =
x2 − x
x
Deze functie is overal gedefinieerd behalve in het punt x = 0 (we kunnen niet delen door
nul). Berekenen we echter de functiewaarden voor x-waarden die dicht bij nul liggen, dan
zien we dat de functiewaarden steeds dichter bij −1 komen te liggen (zie Figuur 1):
x
−0, 1 −0, 01 −0, 001 0, 001
f (x) −1, 1 −1, 01 −1, 001 −0, 999
0, 01
0, 1
−0, 99 −0, 9
1
In niet-gecentreerde formules wordt dit dikwijls weergegevens als limx→a f (x), dus met het onderschrift
rechtsonder de lim, dit om de lijnhoogte niet te verstoren.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
76
Alhoewel we aan de functie f in x = 0 geen waarde kunnen toekennen, kunnen we wel stellen
dat de functiewaarde naar 1 nadert als x naar nul nadert. We verkrijgen
x2 − x
= −1.
x→0
x
lim f (x) = lim
x→0
5.2.1
Oneindige limieten
Als, wanneer x naar a nadert, de functiewaarden f (x) niet naar een reëel getal convergeren,
maar bijvoorbeeld steeds groter worden, zal men ook een waarde toekennen aan de limiet,
namelijk +∞.
Zij f een reële functie. Voor een punt a zeggen we dat de limiet van f (x) voor x gaande
naar a gelijk is aan +∞ als geldt dat f gedefinieerd is voor alle punten in de buurt van a
en als de functiewaarden, naarmate x dichter bij a komt te liggen, onbeperkt groter worden.
We schrijven dan
lim f (x) = +∞.
x→a
We zeggen dat de limiet van f (x) voor x gaande naar a gelijk is aan −∞ als geldt dat f
gedefinieerd is voor alle punten in de buurt van a en als de functiewaarden, naarmate x
dichter bij a komt te liggen, negatief zijn en onbeperkt kleiner worden. Dit wordt genoteerd
als
lim f (x) = −∞.
x→a
5.2.2
Rekenregels voor oneindig
In de vorige paragraaf hebben we twee nieuwe symbolen, ge¨ntroduceerd, namelijk +∞ en
−∞. Samen met alle reële getallen kunnen deze voorkomen als waarde voor een limiet.
We noteren deze uitgebreide verzameling van reële getallen met de twee oneindigsymbolen
als R = R ∪ {−∞, +∞}. Net zoals op R kunnen we deze verzameling uitrusten met een
ordening <, een optelling + en een vermenigvuldiging ·. Voor de ordening geldt: −∞ < a <
+∞, ∀a ∈ R. Bovenop de gebruikelijke rekenregels voor reële getallen komen de rekenregels
voor ±∞, die hieronder samengevat worden.
Voor de optelling krijgen we (a ∈ R willekeurig):
+
+∞
−∞
+∞
−∞
a
+∞
onbepaald +∞
onbepaald
−∞
−∞
Voor de vermenigvuldiging (a ∈ R, a > 0):
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
77
·
+∞
−∞
+∞ −∞
a
−a
0
+∞ −∞ +∞ −∞ onbepaald
−∞ +∞ −∞ +∞ onbepaald
en tenslotte voor de deling (de tabel dient als volgt gelezen te worden: een element uit de
eerste kolom wordt gedeeld door een element uit de eerste rij), a, b ∈ R, a > 0, b > 0:
/
+∞
−∞
a
−a
0
5.3
+∞
−∞
b
−b
0
onbepaald onbepaald +∞ −∞ onbepaald
onbepaald onbepaald −∞ +∞ onbepaald
0
0
a/b −a/b
+∞
0
0
−a/b a/b
−∞
0
0
0
0
onbepaald
Limiet op oneindig
Zij f een reële functie en zij b ∈ R. We zeggen dat de limiet voor x gaande naar +∞ gelijk
is aan b, als voor steeds grotere x-waarden de bijhorende waarden van f (x) onbeperkt dicht
bij b komen te liggen. Dit wordt genoteerd als:
lim f (x) = b
x→+∞
We zeggen dat de limiet voor x gaande naar −∞ gelijk is aan b, als voor negatieve, steeds
kleiner wordende x-waarden de bijbehorende waarden voor f (x) onbepaald dicht bij b komen
te liggen. Dit wordt genoteerd als:
lim f (x) = b
x→−∞
5.4
Linker- en rechterlimiet
Beschouw de functie f (x) gedefinieerd door (zie figuur 5.1)
(
3
voor x > 0
f (x) =
−3 voor x 6 0.
We willen nu de limiet van f voor x gaande naar 0 berekenen. Voor waarden van x > 0
zien we dat f (x) = 3. Voor x 6 0 zien we dat f (x) = −3. We kunnen dus geen waarde b
vinden zodanig dat wanneer x nadert tot 0, dan f (x) nadert tot b: kiezen we b = 3 ,dan
nadert f (x) tot b als x tot nul nadert langs de positieve zijde, maar niet als x nadert tot 0
langs de negatieve zijde; op analoge manier zien we dat de keuze b = −3 ook niet voldoet.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
78
Figuur 5.1: De functie f
Bijgevolg kunnen we niet spreken over de limiet. Indien we ons beperken tot één kant, dan
kunnen we wel spreken over de linkerlimiet en de rechterlimiet.
Voor een reële functie f en een punt a zeggen we dat de linkerlimiet van f (x) voor x gaande
naar a gelijk is aan b als geldt dat f gedefinieerd is voor alle punten x in de buurt van a,
met x < a, en als de functiewaarden van deze punten naar b naderen. Dit wordt genoteerd
als:
lim
f (x) = b of ook als
lim− f (x) = b
x→a
x→a
<
We zeggen dat de rechterlimiet van f (x) voor x gaande naar a gelijk is aan b als geldt dat
f gedefinieerd is voor alle punten x in de buurt van a, met x > a, en als de functiewaarden
van deze punten naar b naderen. Dit wordt genoteerd als:
lim
f (x) = b
x→a
of ook als
lim f (x) = b
x→a+
>
Het fenomeen van linker- en rechterlimieten lost het bovenstaand voorbeeld op:
f (x) = 3
lim
f (x) = −3 en lim
x→a
x→a
<
>
f (x) en lim
f (x)
Voor een reële functie f geldt dat lim f (x) bestaat als en slechts als lim
x→a
x→a
x→a
<
>
bestaan en gelijk zijn:
lim f (x) = b ⇔ lim
f (x) = lim
f (x) = b
x→a
x→a
x→a
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
>
<
79
5.5
Rekenregels voor limieten
Zijn f en g twee functies waarvoor lim f (x) en limx→a g(x) bestaan en zij c een willekeurig
x→a
reëel getal, dan gedraagt de limietoperator zich prima ten opzichte van vermenigvuldiging
met een scalair, de optelling, het product en de deling van functies.
lim (c · f (x)) = c. lim f (x)
x→a
x→a
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x)
x→a
x→a
lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x)
x→a
x→a
x→a
lim f (x)
f (x)
= x→a
als lim g(x) 6= 0
lim
x→a
x→a
g(x)
lim g(x)
x→a
x→a
Deze regels zijn steeds geldig, of het punt waarin de limiet genomen wordt nu eindig of
oneindig, en de waarde van de limieten nu eindig of oneindig zijn.
5.6
Limieten van veeltermfuncties
Veeltermen zijn een eenvoudige klasse van reële functies. Ze gedragen zich voorspelbaar met
betrekking tot limieten. In wat volgt beschouwen we een veeltermfunctie f :
f : R → R : x 7→ an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
(met a0 , . . . , an ∈ R)
Voor een willekeurig reëel getal c geldt dat:
lim f (x) = f (c) = an cn + an−1 cn−1 + · · · + a1 c + a0
x→c
Voor de limiet voor x → ±∞ verkrijgen we
lim f (x) = lim an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
x→±∞
a0 an−1 an−2
+ 2 + ··· + n
= lim xn an +
x→±∞
x
x
x
a0 an−1 an−2
=
lim xn · lim an +
+ 2 + ··· + n
x→±∞
x→±∞
x
x
x
=
lim xn · (an + 0 + 0 + · · · + 0)
x→±∞
n
= an lim x
x→±∞
x→±∞
Samenvattend:
lim f (x) = lim an xn
x→±∞
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
x→±∞
80
Met andere woorden, de limieten van veeltermfuncties in een punt zijn steeds de functiewaarde zelf. Om de limieten van een veeltermfunctie op oneindig te bepalen volstaat het om
enkel de limiet van de hoogstegraadsterm te bepalen.
Een voorbeeld:
lim (x2 + 3x − 1) = (−1)2 + 3(−1) − 1 = −3
x→−1
lim (x2 + 3x − 1) = lim x2 = (−∞)2 = +∞
x→−∞
x→−∞
5.7
Limieten van rationale functies
Beschouw een rationale functie f , breuk van twee veeltermen p1 en p2 :
f :R→R:x→
an xn + · · · + a0
p1 (x)
=
p2 (x)
bm x m + · · · + b0
• Voor een reëel getal a, waarvoor p2 (a) 6= 0 geldt:
lim f (x) = f (a) =
x→a
p1 (a)
p2 (a)
• Voor een reëel getal a dat een nulpunt is van de noemer (p2 (a) = 0), maar geen nulpunt
is van de teller, geldt:
lim f (x) = lim
x→a
x→a
p1 (x)
limx→a p1 (x)
=
= ±∞
p2 (x)
limx→a p2 (x)
Om het teken van de limiet (+∞ of −∞) te bepalen, moet een tekenonderzoek van de
rationale functie uitgevoerd worden.
• Indien a een nulpunt is van zowel teller als noemer dan kunnen teller en noemer geschreven worden als:
p1 (x) = (x − a)q1 (x)
p2 (x) = (x − a)q2 (x)
waarbij q1 en q2 veeltermen zijn. Er geldt dan
p1 (x)
q1 (x)
= lim
.
x→a p2 (x)
x→a q2 (x)
lim f (x) = lim
x→a
Door gemeenschappelijke factoren in teller en noemer te schrappen, kunnen we dus
altijd veronderstellen dat a niet terzelfdertijd een nulpunt is van p1 en p2 .
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
81
• Voor de limieten op oneindig verkrijgen we:
an x n + · · · + a0
x→±∞ bm xm + · · · + b0
an−2
a0
+
xn an + an−1
+
·
·
·
+
2
n
x
x
x = lim
bm−1
bm−2
x→±∞ m
x bm + x + x2 + · · · + xbm0
lim f (x) = lim
x→±∞
an x n
x→±∞ bm xm
an n−m
= lim
x
x→±∞ bm
= lim
Samenvattend kunnen we dus stellen dat we in teller en noemer enkel de hoogstegraadsterm behouden om de limiet van een rationale functie op oneindig te bepalen.
Een voorbeeld
Bepaal, voor a = 2, +∞ en −∞, de drie limieten
x2 − 2
.
x→a x3 − x2 + 7x − 1
lim
Vermits 23 − 22 + 7 · 2 − 1 6= 0 kunnen we de limiet berekenen door de functiewaarde van de
functie in x = 2 te nemen. We verkrijgen, voor a = 2:
22 − 2
2
x2 − 2
=
=
.
x→2 x3 − x2 + 7x − 1
23 − 22 + 7 · 2 − 1
17
lim
Voor de limieten op oneindig nemen we enkel de hoogstegraadstermen in teller en noemer:
x2 − 2
x2
1
=
lim
= lim
= 0.
3
2
3
x→±∞ x − x + 7x − 1
x→±∞ x
x→±∞ x
lim
Nog een voorbeeld
Bepaal, voor a = −1, +∞ en −∞, de drie limieten
x2 − 2
.
x→a x2 − 1
lim
We zien dat (−1)2 − 2 6= 0 maar (−1)2 − 1 = 0. We kunnen dus besluiten dat, indien deze
limiet bestaat deze gelijk zal zijn aan ±∞. Om na te gaan of deze limiet bestaat, dienen we
na te gaan of linker- en rechterlimiet gelijk zijn. Om linker- en rechterlimiet te berekenen,
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
82
bepalen we het tekenverloop van f . De veelterm p2 (x) =
x2 − 1 heeft x = ±1 als nulpunten,
√
terwijl de veelterm p1 (x) = x2 − 2 als nulpunten x = ± 2 heeft. Tekenonderzoek levert:
√
√
x
− 2
−1
1
2
p1
+
0
− − − − − 0 +
p2
+
+
+ 0 − 0 + + +
0
− | + | − 0 +
p1 /p2 +
Vermits voor x-waarden in de omgeving van −1 (met x > −1), f (x) positief is, geldt dat
lim f (x) = +∞
x→−1+
Voor x-waarden in de omgeving van −1 (met x < −1), is f (x) negatief en dus:
lim f (x) = −∞
x→−1−
Vermits linker- en rechterlimiet verschillend zijn, bestaat de limiet in x = −1 niet.
Voor de limieten op oneindig verkrijgen we:
x2
x2 − 2
=
lim
= 1.
x→±∞ x2
x→±∞ x2 − 1
lim f (x) = lim
x→±∞
En nog een voorbeeld
Bepaal, voor a = 2, +∞ en −∞, de drie limieten
2x3 − 10x2 + 16x − 8
x→a x3 − 6x2 + 12x − 8
lim
Noem p1 (x) de veelterm in x uit de teller en p2 (x) die uit de noemer. We zien dat 2 een
nulpunt is van zowel teller als noemer:
p1 (2) = 2 · 23 − 10 · 22 + 16 · 2 − 8 = 0
p2 (2) = 23 − 6 · 22 + 12 · 2 − 8 = 0
We kunnen besluiten dat (x − 2) een factor is van zowel teller als noemer:
p1 (x) = (x − 2)q1 (x)
en
p2 (x) = (x − 2)q2 (x)
Gebruikmakend van de regel van Horner (zie paragraaf 2.5.2), kunnen q1 en q2 berekend
worden:
p1 (x) = 2x3 − 10x2 + 16x − 8 = (x − 2)(2x2 − 6x + 4)
p2 (x) = x3 − 6x2 + 12x − 8 = (x − 2)(x2 − 4x + 4)
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
⇒
⇒
q1 (x) = 2x2 − 6x + 4
q2 (x) = x2 − 4x + 4
83
We kunnen onze limietberekening dus vereenvoudigen tot
(x − 2)q1 (x)
q1 (x)
2x2 − 6x + 4
p1 (x)
= lim
= lim
= lim 2
x→2 (x − 2)q2 (x)
x→2 q2 (x)
x→2 x − 4x + 4
x→2 p2 (x)
lim f (x) = lim
x→2
Invullen van x = 2 in de q-veeltermen levert q1 (2) = q2 (2) = 0. Bijgevolg geldt weer dat
q1 (x) = (x − 2)r1 (x) en q2 (x) = (x − 2)r2 (x). Berekenen we de quotiënten van q1 en q2 door
(x − 2), dan krijgen we r1 (x) = 2x − 2 en r2 = x − 2. We vinden:
lim f (x) = lim
x→2
x→2
r1 (x)
2x − 2
q1 (x)
= lim
= lim
.
x→2
x→2
q2 (x)
r2 (x)
x−2
Vermits r1 (2) 6= 0 en r2 (2) = 0 concluderen we:
2x − 2
= ±∞
x→2 x − 2
lim f (x) = lim
x→2
Om het teken van deze limiet te kennen doen we opnieuw een tekenonderzoek:
x
1
2
r1 (x) = 2x − 2 − 0 + + +
r2 (x) = x − 2 − − − 0 +
r1 (x)/r2 (x)
+ 0 − | +
Daaruit volgt dat:
lim f (x) = −∞
lim f (x) = +∞
x→2−
x→2+
Vermits linker- en rechterlimiet verschillend zijn, bestaat limx→2 f (x) niet.
Voor de limieten op oneindig verkrijgen we:
lim f (x) = lim =
x→±∞
x→±∞
2x3 − 10x2 + 16x − 8
2x3
=
lim
=2
x→±∞ x3
x3 − 6x2 + 12x − 8
Samenvatting
Voor de berekening van limieten op oneindig van een rationale functie geldt:
an x n + · · · + a0
an x n
=
lim
x→±∞ bm xm + · · · + b0
x→±∞ bm xm
lim
Voor de berekening van limieten in een punt van een rationale functie f (x) = p1 (x)/p2 (x)
kunnen zich dus de volgende gevallen voordoen:
• p2 (a) 6= 0:
lim f (x) = p1 (a)/p2 (a)
x→a
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
84
• p2 (a) = 0 en p1 (a) 6= 0: als limx→a f (x) bestaat, dan is limx→a f (x) = ±∞; om na te
gaan of deze limiet bestaat berekent men linker- en rechterlimiet via een tekenonderzoek
van f in de buurt van x = a.
• p2 (a) = p1 (a) = 0: schrap gemeenschappelijke factoren in teller en noemer tot er geen
gemeenschappelijke factoren meer zijn; bereken dan de limiet zoals onder de vorige
punten aangegeven.
5.8
Limieten van goniometrische functies: lim sinxax
Goniometrische functies gedragen zich meestal ook voorspelbaar met betrekking tot limieten,
maar het bepalen van sommige limieten met goniometrische uitdrukkingen erin kan af en
toe een bijzondere aanpak vergen: het herkennen van een limiet van het soort sinx x . Het kan
nodig zijn om goniometrische formules toe te passen (zie daarvoor hoofdstuk 4).
Door x = 0 te stellen in sinx x krijgen we een onbepaaldheid van het type 0/0. De wiskundig
correcte bepaling van deze limiet zullen we in deze vakantiecursus niet behandelen. Om de
waarde te kennen zouden we de functiewaarden in de buurt van x = 0 kunnen onderzoeken
en vaststellen dat die naar 1 naderen. Deze limiet is een bekende basislimiet:
sin x
=1
x→0 x
lim
Voor a 6= 0 kunnen we ook de limiet uit de paragraaftitel bepalen. Schrijf daarvoor x = ay
en substitueer de nieuwe waarde in bovenstaande limiet. Omdat als ay → 0 nadert, dan ook
noodzakelijk y → 0 moet naderen, kunnen we schrijven
sin ay
=1
y→0 ay
sin ay
=a
lim
y→0
y
lim
We sluiten dit hoofdstuk af met drie goniometrische voorbeeldlimieten.
• We wensen de limiet limx→0 tanx x te berekenen. In deze functie x = 0 invullen, levert
een onbepaaldheid van het type 0/0 op. Maar
tan x
sin x
= lim
x→0
x→0 x · cos x
x
sin x
1
= lim
· lim
x→0 x
x→0 cos x
=1·1
=1
lim
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
85
• Gevraagd is om de limiet
cos x − 1
x→0 sin2 x
te berekenen. Het invullen van x = 0 in de functie levert een onbepaaldheid van het
type 0/0 op. We kunnen niet onmiddellijk de basislimiet toepassen. Echter, de noemer
kunnen we door de grondformule van de goniometrie omzetten in 1 − cos2 x en dit is op
zijn beurt een merkwaardig product a2 − b2 = (a − b)(a + b). We verkrijgen dus
lim
(cos x − 1)
cos x − 1
= lim
2
x→0 1 − cos2 x
x→0 sin x
−(1 − cos x)
= lim
x→0 (1 − cos x)(1 + cos x)
−1
= lim
x→0 1 + cos x
−1
=
1+1
1
=−
2
lim
• Gevraagd is om de waarde van
π
2
−x
lim
x→0
7x
te bepalen. Het invullen van x = 0 in de functie levert een onbepaalheid van het type 0/0
op. Op het eerste zicht kunnen we ook de basislimiet niet toepassen. Echter, rekening
houdend met de gelijkheid voor verwante hoeken
π
− x = sin x
cos
2
cos
verkrijgen we:
lim
x→0
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
cos
π
2
−x
1
sin x
= lim
7x
7 x→0 x
1
=
7
86
5.9
Oefeningen
Oefening 1
Bereken voor elk van volgende veeltermfuncties de limiet voor x → +∞ en → −∞.
A. x4 + 3x2 − 25
C. −x3 + 3x2 − 2x + 7
E. x − 2x3
B. x27 − x
D. −x4 + x3 + x2 − 5x − 1
F. −x7 − 2x
Oefening 2
Bereken voor elk van volgende rationale functies de limiet voor x → a. Voor een uitgewerkt
voorbeeld zie 5.7.
A.
x2 + 3x + 2
2x2 − 8
x2 + 1
B.
x−2
2x2 + 7x + 5
C.
3x2 + 5x + 2
−x3 + x2 − 1
D.
x4 + 1
5x − 1
E.
x−3
F.
a = −2, +∞, −∞
G.
x3 + 4x2 + x − 6
x2 − 3x + 2
a = 1, +∞, −∞
a = 2, +∞, −∞
H.
x2 + 6x − 7
x3 − 3x2 + 3x − 1
a = 1, +∞, −∞
a = −1, +∞, −∞
I.
1
1
− 2
x x
a = 0, +∞, −∞
J.
x3 − 27
x2 − 9
a = 3, −3, −∞
K.
x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12
x3 − 3x2 + 3x − 1
1, +∞, −∞
L.
2
2
+ 2
a = 1, +∞, −∞
x − 1 2x − 5x + 3
a = −1, +∞, −∞
a = 3, +∞, −∞
x2 + 2x − 3
x2 − 1
a = 1, −1
a=
Oefening 3
Bereken voor elk van volgende functies de limiet voor x → a.
A.
sin2 x
x2 cos2 x
a=0
2
B.
1 − cos x
x2
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
a=0
C.
tan2 (x − π2 )
(x − π2 )2
a=
D.
x tan x
1 − cos x
a=0
E. x cot 2x
π
2
a=0
87
5.10
Oplossingen
Oefening 1
D. lim f = −∞
A. lim f = +∞
±∞
±∞
B. lim f = +∞, lim f = −∞
E. lim f = −∞, lim f = +∞
C. lim f = −∞, lim f = +∞
F. lim f = −∞, lim f = +∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
Oefening 2
1
1
A. lim f = , lim f = ,
−2
8 ±∞
2
lim f = 2, lim f = 1
1
G. lim f = −12, lim f = +∞, lim f = −∞
B. lim f = +∞, lim f = −∞,
2
1
2
>
±∞
−∞
+∞
<
lim f = +∞, lim f = −∞
H. lim f = +∞, lim f = 0
C. lim f = −3, lim f =
−1
±∞
I. lim f = −∞, , lim f = 0
2
3
9
J. lim f = , lim f = +∞, lim f = −∞,
−3
1
2 −3
>
<
lim f = +∞, lim f = −∞
E. lim f = +∞, lim f = −∞, lim f = 5
3
±∞
3
<
>
−∞
+∞
K. lim f = +∞, lim f = +∞, lim f = −∞
1
F. lim f = +∞, lim f = −∞,
−1
±∞
1
1
D. lim f = , lim f = 0
−1
2 ±∞
>
±∞
1
−∞
+∞
−∞
+∞
−1
L. lim f = 4, lim f = 0
D. limx→0
1
<
±∞
Oefening 3
A. limx→0
sin2 x
x2 cos2 x
=1
B. limx→0
1−cos2 x
x2
=1
C. limx→ π2
tan2 (x− π2 )
(x− π2 )2
=1
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 5
x tan x
1−cos x
=2
E. limx→0 x cot 2x =
1
2
88
Hoofdstuk 6
Afgeleiden
6.1
Afgeleide in een punt
De richtingscoëfficiënt van een rechte geeft een maat voor de helling van die rechte weer.
Bij een rechte is die hellingsgraad in elk punt dezelfde, maar wanneer we willen gaan kijken
naar de hellingsgraad van een willekeurige functie y = f (x) in een punt a, dan is het logisch
om te kijken naar de helling van de raaklijn in dat punt en dan in het bijzonder haar
richtingscoëfficiënt.
We kijken eerst naar de rechte S1 die door het punt (a, f (a)) gaat, maar de grafiek van de
functie ook in een ander punt snijdt, bijvoorbeeld het snijpunt met coördinaten (x1 , f (x1 )).
Dit wordt weergegeven op figuur 6.1.
Figuur 6.1: Constructie van de raaklijn
89
f (x1 ) − f (a)
. Beschouw telkens een punt
x1 − a
xi dat dichter bij a ligt en beschouw de bijhorende rechte Si door (a, f (a)) en (xi , f (xi )).
Hoe dichter xi nadert naar a, hoe meer de rechte Si nadert naar de raaklijn aan a. De
richtingscoëfficiënt van de raaklijn moet dus gelijk zijn aan
De richtingscoëfficiënt van de rechte S1 is gelijk aan
f (x) − f (a)
.
x→a
x−a
lim
Als deze limiet bestaat noteren we dit getal f 0 (a) en we noemen het de afgeleide van de
functie f in het punt a. Een functie heet afleidbaar in een punt a als deze limiet bestaat
en eindig is.
Als de afgeleide van een functie in een punt een positief getal oplevert, dan wil dat zeggen dat
de helling van de raaklijn aan de functie in dat punt positief is en dat de functie zelf stijgend
is in de omgeving van dat punt. Als de afgeleide van een functie in een punt een negatief
getal oplevert, dan is de functie dalend in de omgeving van dat punt. De vergelijking van de
raaklijn in a aan de grafiek van de functie f is een rechte door (a, f (a)) met richtingscoëfficiënt
f 0 (a). Bijgevolg wordt de raaklijn bepaald door
y − f (a) = f 0 (a)(x − a).
We berekenen bijvoorbeeld de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie
f (x) = 3x2 − 1 in het punt met x-coördinaat 3. Aangezien de richtingscoëfficiënt van
deze raaklijn gelijk is aan f 0 (3), wordt deze vergelijking: y − f (3) = f 0 (3)(x − 3). Als de xcoördinaat van het punt gelijk is aan 3, dan is de y-coördinaat gelijk aan f (3) = 3·32 −1 = 26.
De afgeleide van f (x) = 3x2 − 1 in het punt x = 3 is
(3x2 − 1) − (3 · 32 − 1)
f (x) − f (3)
= lim
x→3
x→3
x−3
x−3
2
3x − 27
3(x − 3)(x + 3)
= lim
= lim
= lim 3(x + 3) = 3(3 + 3) = 18
x→3 x − 3
x→3
x→3
x−3
f 0 (3) = lim
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt (3, 26) is dus gelijk aan f 0 (3) = 18. De
vergelijking van de raaklijn wordt
y − f (3) = f 0 (3)(x − 3) ⇔ y − 26 = 18(x − 3) ⇔ y = 18x − 54 + 26 ⇔ y = 18x − 28.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 6
90
6.2
Afgeleide functie
Indien de afgeleide van een functie f in elk punt bestaat, dan kunnen we de afgeleide
functie f 0 definiëren, die elk reëel getal a afbeeldt op de afgeleide in a:
f 0 : R → R : a 7→ f 0 (a).
Naargelang auteur, gebruik en vakgebied kunnen de notaties voor de afgeleide van een functie
f verschillen. De meest gebruikte zijn:
f 0,
df
, df
dx
De afgeleide van een functie is terug een functie. Deze functie kan mogelijks terug afgeleid
d 0
[f (x)] = f 00 (x) de tweede afgeleide van f .
worden. In dat geval is
dx
We bepalen bij wijze van voorbeeld de afgeleide van de functie f : x 7→ x2 . Daarvoor bepalen
we de afgeleide f 0 (a) in een punt a, waarbij a een willekeurige waarde zou kunnen aannemen.
f (x) − f (a)
x 2 − a2
(x − a)(x + a)
= lim
= lim
= lim x + a = a + a = 2a
x→a
x→a
x→a
x→a
x−a
x−a
x−a
f 0 (a) = lim
We besluiten dat f 0 (a) = 2a, voor elke waarde a. Bijgevolg is de afgeleide f 0 (x) = 2x.
6.3
Rekenregels
Alle rekenregels kunnen met behulp van de definitie worden afgeleid, maar dat doen we hier
niet. De voornaamste zijn
(af )0 (x) = af 0 (x)
(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
(f · g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f (x)
0
f
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
(x) =
g
g(x)2
0
1
−g 0 (x)
(x) =
g
g(x)2
(f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
Deze laatste staat bekend als de kettingregel en is fundamenteel bij het bepalen van afgeleide functies. Hierbij is f ◦ g de functie die x afbeeldt op f (g(x)).
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 6
91
6.4
Afgeleide van basisfuncties
Functie
constante
x
xn
1
−1
x =x
√
1
x = x2
√
1
n
x = xn
Afgeleide
0
1
nxn−1
− x12 = −x−2
1
1 − 12
√
=
2x
2 x
ln x
loga x
ex
ax
sin x
cos x
tan x
cot x
ln f
loga f
e
ef
ax
x
af
loga e = a · ln a
cos x
sin f
− sin x
cos f
1
2
tan f
cos2 x = 1 + tan x
− sin12 x = −(1 + cot2 x) cot f
1
Bgtan f
1 + x2
Bgtan x
1
1 1 −1
√
n n−1 = n x n
n x
1
x
loga e
1
x = x ln a
x
Functie
Afgeleide
f (x)
fn
f 0 (x)
nf n−1 f 0
0
− ff2
1
f
√
f
√
n
f
f0
√
2 f
f0
√
n n f n−1
f0
f
f0
f ln a
0
f
f ·e
f 0 · af · ln a
cos f · f 0
− sin f · f 0
f0
cos2 f
−f 0
sin2 f
f0
1+f 2
Drie voorbeelden:
• (4x3 − 6x + 2)0 = (4x3 )0 − (6x)0 + (2)0 = 4 · 3x2 − 6 · 1 + 0 = 12x2 − 6
• (tan x sin x)0 = sin x · (tan x)0 + tan x · (sin x)0 = sin x · cos12 x + tan x · cos x =
0
• esin x = esin x · sin0 x = esin x · cos x
(kettingregel)
6.5
sin x
cos2 x
+ sin x
Oefeningen
Oefening 1
Bereken de afgeleide van de volgende functies
A. f (x) = x4 + 2x3 − 6x + 2
C. f (x) = ax2 + bx + c
B. f (x) = 4x3 + 2x2 − 7x + 4
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 6
92
D. f (x) =
E.
F.
G.
H.
4x2 − 6x
3x − 4
O. f (x) = x2 ex
P. f (x) = ln(2x + 3)
3x4 − 2x
f (x) =
6x3 − x
√
f (x) = 3x2 − 6x
√
f (x) = cos x + sin x
√
6x − 3
f (x) = 2
x −4
Q. f (x) = (2x2 + 3x + 1)3
R. f (x) =
1
(2x + 3)2
S. f (x) =
2x + 1
3x + 3
T. f (x) = cos(3x + 1)
I. f (x) = (4x3 − 7x)(6x − 1)
√
J. f (x) = (5x2 − 3) 9x − 2
U. f (x) = tan(x + 1)
V. f (x) = e5x+3
√
W. f (x) = 3x + 1
√
X. f (x) = x2 + 1
√
Y. f (x) = 3 x + 1
K. f (x) = (4x2 − 3)3
L. f (x) = 5 sin (4x − 2)
M. f (x) = 1 + sin2 x
√
3
N. f (x) = 4x2 − 6x
Oefening 2
Bereken de vergelijking van de raaklijn aan f in het punt (a, f (a)).
A. f (x) = x3 − 7x + 6 in a = 2
B. f (x) =
4x2 − 2
in a = 1
6x − 1
√
x3 + 1 in a = 2
F. f (x) = ln(2x) in a =
1
2
G. f (x) = (2x2 − 1)2 in a = 1
C. f (x) = x2 + 1 in a = 2
D. f (x) = sin(2x + π2 ) in a =
E. f (x) =
π
4
H. f (x) = e
πx2
2
in a = 0
Oefening 3
Bepaal de vijftiende afgeleide van de volgende functies
A. f (x) = e2x
B. f (x) = cos x
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 6
C. f (x) = sin(2x)
D. f (x) =
1
x
93
6.6
Oplossingen
Oefening 1
A. f 0 (x) = 4x3 + 6x2 − 6
B. f 0 (x) = 12x2 + 4x − 7
O. f 0 (x) = x2 ex + 2xex
0
C. f (x) = 2ax + b
12x2 − 32x + 24
D. f (x) =
9x2 − 24x + 16
0
E. f 0 (x) =
4
2
18x − 9x + 24x
36x4 − 12x2 + 1
F. f 0 (x) = √
3x − 3
3x2 − 6x
− sin x + cos x
G. f 0 (x) = √
2 cos x + sin x
H. f 0 (x) =
−9x2 + 6x − 12
√
(x2 − 4)2 6x − 3
I. f 0 (x) = 96x3 − 12x2 − 84x + 7
J. f 0 (x) =
8x − 6
N. f 0 (x) = p
3 3 (4x2 − 6x)2
225x2 − 40x − 27
√
2 9x − 2
K. f 0 (x) = 384x5 − 576x2 + 216x
L. f 0 (x) = 20 cos(4x − 2)
0
M. f (x) = 2 sin x cos x
P. f 0 (x) =
2
2x + 3
Q. f 0 (x) = 3(2x2 + 3x + 1)2 (4x + 3)
R. f 0 (x) = −
S. f 0 (x) =
4
(2x + 3)3
3
(3x + 3)2
T. f 0 (x) = −3 sin(3x + 1)
U. f 0 (x) =
1
cos2 (x
+ 1)
V. f 0 (x) = 5e5x+3
3
W. f 0 (x) = √
2 3x + 1
X. f 0 (x) = √
x
+1
x2
1
Y. f 0 (x) = √
2
33x+1
Oefening 2
A. y = 5x − 10
B. y =
18
28
x−
25
25
C. y = 4x − 3
D. y = −2x +
E. y = 2x − 1
F. y = 2x − 1
G. y = 8x − 7
π
2
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 6
H. y = 1
94
Oefening 3
A. f (15) (x) = 215 e2x
C. f (15) (x) = −215 cos 2x
B. f (15) (x) = sin x
D. f (15) (x) = − x15!
16
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 6
95
Hoofdstuk 7
Functieonderzoek
Functies die processen uit een bepaalde wetenschap beschrijven, zijn soms dermate eenvoudig
dat men met de hand het verloop van de functie kan onderzoeken. Het is voor wetenschappers
zinvol om intu¨tie te krijgen over hoe grafieken eruitzien als een functievoorschrift gegeven
is.
7.1
Symmetrieën
Als we een functie bestuderen is het soms nuttig om na te gaan of de functie al dan niet aan
bepaalde symmetrieën voldoet. We vernoemen hier de belangrijkste:
• Een functie heet even als voor elke x ∈ dom(f ) geldt:
f (−x) = f (x).
Dit betekent dat f dezelfde waarden aanneemt voor x’en symmetrisch rond 0, dus de
grafiek van de functie is symmetrisch t.o.v. de y-as (zoals in Figuur 7.1(a)).
• Een functie heet oneven als voor elke x van dom(f ) geldt:
f (−x) = −f (x).
Dit betekent dat f tegengestelde waarden aanneemt voor x’en symmetrisch rond 0, dus
de grafiek van de functie is puntsymmetrisch t.o.v. de oorsprong (zoals in Figuur 7.1(b)).
• Een functie heet periodiek met periode p (voor een reëel getal p) als voor elke x van
dom(f ) geldt:
f (x + p) = f (x).
Dit betekent dat f dezelfde waarden aanneemt voor x’en die (een veelvoud van) p
verschillen, dus de grafiek van de functie is invariant voor verschuivingen over een afstand
p (zoals in Figuur 7.2).
96
Figuur 7.1: (a) Een even functie
(b) Een oneven functie
Om na te gaan of een functie f periodiek is, moet de vergelijking f (x + p) = f (x) een
oplossing voor p hebben die verschillend is van nul en onafhankelijk is van x. Deze
vergelijking oplossen naar p kan soms moeilijk zijn. In de meeste periodieke functies die
men in de wetenschappelijke praktijk tegenkomt, komen goniometrische functies voor,
dus je mag ervan uitgaan dat een functie waarin die niet opduiken, niet periodiek is.
Figuur 7.2: Grafiek van een periodieke functie
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
97
7.2
Asymptoten
We noemen een rechte R een asymptoot voor een functie f indien de grafiek van f onbeperkt dicht naar de rechte R nadert. We onderscheiden drie soorten asymptoten (verticale,
horizontale en schuine) en presenteren meteen de methodes om uitgaande van het functievoorschrift, de asymptoten van een functie te gaan bepalen. Hiervoor moet telkens een limiet
bepaald worden. Voor functieonderzoeken is bovendien nog belangrijk in welke richting de
grafiek de asymptoot nadert: dit bedoelen we met de aanligging van de asymptoot bij de
grafiek. Bij verticale asymptoten betekent dit of de functie naar boven of naar onder de
asymptoot nadert; bij horizontale en schuine betekent dit aan welke kant van de asymptoot
de grafiek ligt (erboven of eronder).
7.2.1
Verticale asymptoot
Een verticale asymptoot is een asymptoot die evenwijdig is met de y-as. Ze heeft dus
steeds een vergelijking van de vorm x = a. Opdat de rechte met vergelijking x = a een
asymptoot zou zijn van de functie f (x) moet dus gelden dat
lim
f (x) = ±∞ en lim
f (x) = ±∞.
x→a
x→a
>
<
Voor rationale functies geldt dat verticale asymptoten enkel kunnen optreden bij nulpunten
van de noemer.
Als de functie gedefinieerd is in de omgeving, links en rechts, van a, zijn er vier verschillende
mogelijkheden voor de aanligging van de verticale asymptoot, die allen weergegeven worden
in figuur 7.2.1. Figuur 7.2.1(a) stelt de aanligging voor in het geval dat lim
f (x) = lim
f (x) =
x→a
x→a
<
>
+∞.
Figuur 7.2.1(b) stelt de aanligging voor in het geval dat lim
f (x) = −∞ en lim
f (x) = +∞.
x→a
x→a
<
>
Figuur 7.2.1(c) stelt de aanligging voor in het geval dat lim
f (x) = lim
f (x) = −∞.
x→a
x→a
<
>
Figuur 7.2.1(d) stelt de aanligging voor in het geval dat lim
f (x) = −∞ en lim
f (x) = +∞.
x→a
x→a
<
7.2.2
>
Horizontale asymptoot
Een horizontale asymptoot is een asymptoot die evenwijdig is met de x-as. Ze heeft
dus steeds een vergelijking van de vorm y = b. Opdat een rechte met zo’n vergelijking een
horizontale asymptoot zou zijn, moet gelden dat
lim f (x) = b of lim f (x) = b.
x→+∞
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
x→−∞
98
Figuur 7.3: Aanligging verticale asymptoot
Om de vergelijking van de horizontale asymptoten te bepalen volstaat het dus de relevante
limieten te berekenen. Als deze eindig zijn kan men de vergelijking van de horizontale
asymptoten onmiddellijk opschrijven.
Veronderstel dat de rechte met vergelijking y = b een horizontale asymptoot is van de functie
met functievoorschrift f (x). Om de aanligging van de horizontale asymptoot te bepalen dient
een tekenonderzoek gedaan te worden van de hulpfunctie f (x) − b: Het teken daarvan, voor
x-waarden die naar ∞ of −∞ naderen, zal de aanligging bepalen. Indien f (x) − b > 0
voor grote x-waarden, dan is f (x) > b en bijgevolg ligt, voor grote x-waarden, de grafiek
van f (x) boven de horizontale asymptoot, zoals in figuur ??(a). Is f (x) − b < 0, dan zal
f (x) < b voor grote x-waarden en de grafiek van f zal voor grote x-waarden onder de waarde
b blijven en dus onder de horizontale asymptoot, zoals in figuur ??(b). Voor de horizontale
asymptoot links in beeld (x → −∞) moet hetzelfde gecontroleerd worden, maar dan voor
onbeperkt kleine x-waarden (d.w.z. zeer negatieve x-waarden). De nulpunten van f (x) − b
zijn de punten waar de grafiek van f de horizontale asymptoot snijdt.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
99
7.2.3
Schuine asymptoot
Een schuine asymptoot is een asymptoot die noch een verticale noch een horizontale
asymptoot is. In Figuur 7.4 is de rechte y = x een schuine asymptoot. Schuine asymptoten
hebben dus steeds een vergelijking van de vorm y = ax + b, met a 6= 0. Opdat een rechte
Figuur 7.4: Schuine asymptoot
met deze vergelijking een schuine asymptoot zou zijn, moet dus gelden dat voor onbeperkt
grote of kleine waarden voor x, de functiewaarden ax + b en f (x) erg dicht bij mekaar liggen.
Dit kunnen we uitdrukken door hun quotiënt te laten naderen naar 1 en hun verschil naar
nul, en uit te werken:
f (x)
= 1 6= 0
en lim (f (x) − (ax + b)) = 0
lim
x→±∞
x→±∞
ax + b
f (x)
lim
= a 6= 0en
lim (f (x) − ax)
= b,
x→±∞
x→±∞
x
wat ons meteen een methode geeft om de waarden voor a en b te bepalen (als een schuine
asymptoot tenminste bestaat). Daarvoor bepalen we eerst a met de linkse formule en als we
die gevonden hebben, de b met de rechtse formule, waarbij we de gevonden a gebruiken.
Om de aanligging van een schuine asymptoot y = ax+b te bepalen dient het teken onderzocht
te worden van de hulpfunctie f (x) − ax − b, onbeperkt grote of kleine waarden voor x. De
interpretatie van de resultaten is analoog.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
100
Voorbeeld
We eindigen deze paragraaf met een uitgewerkt voorbeeld. Beschouw de rationale functie
f : R → R : x 7→ f (x) =
x2
x−1
+ 1.
− 4x + 3
Om de verticale asymptoten te berekenen, zoeken we de nulpunten van de noemer. We
zouden de uitdrukking f racx − 1x2 − 4x + 3 + 1 eerst op gelijke noemer kunnen zetten,
maar dan nog blijft deze noemer x2 − 4x + 3. We lossen de kwadratische vergelijking op:
x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ (x − 1)(x − 3) = 0 ⇔ x = 1 of x = 3
De mogelijke verticale asymptoten zijn de rechten met vergelijkingen x = 1 en x = 3. Om
na te gaan of deze rechten wel degelijk verticale asymptoten zijn, moeten we lim f (x) en
x→1
lim f (x) berekenen.
x→3
x−1
x−1
+
1
=
lim
+1
x→1 (x − 1)(x − 3)
x→1 x2 − 4x + 3
1
= lim
+1
x→1 x − 3
1
+1
=
−2
6= ±∞
lim
We besluiten dus dat de rechte x = 1 geen verticale asymptoot is. Voor x → 3 vinden we:
lim
x→3
x2
x−1
x−1
+ 1 = lim
+1
x→3
− 4x + 3
(x − 1)(x − 3)
1
= lim
+1
x→3 x − 3
1
Voor x < 3 is x−3
negatief. Als x → ∞ nadert, wordt deze breuk in absolute waarde zo
1
+ 1 nog positief te krijgen. Voor
groot (maar negatief), dat de +1 er niet in slaagt om x−3
x > 3 is deze waarde positief is en met de +1 blijft dat zeker zo. Bijgevolg geldt:
lim
x→3
<
1
= −∞
x−3
lim
x→3
>
1
= +∞
x−3
We besluiten dus dat de rechte met vergelijking x = 3 wel een verticale asymptoot is.
Om te bepalen of deze functie horizontale asymptoten heeft volstaat het om limx→+∞ f (x)
en limx→−∞ f (x) te berekenen. Op zich moeten twee berekeningen gemaakt worden, maar
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
101
in dit speciale geval is de berekening voor +∞ precies dezelfde als voor −∞.
x
x−1
+ 1 = lim 2 + 1
lim
2
x→±∞ x
x→±∞
x − 4x + 3
1
= lim
+1
x→±∞ x
=1
We kunnen dus besluiten dat de rechte met vergelijking y = 1 een horizontale asymptoot is.
Om de aanligging te kennen moeten we een tekenonderzoek doen van de functie f (x) − 1,
x−1
. Het tekenonderzoek levert
maar dit is gewoon x2 −4x+3
x
x−1
x2 − 4x + 3
x−1
f (x) − 1 = x2 −4x+3
1
- 0
+ 0
-
3
+ +
- 0
- |
+
+
+
Hieruit volgt dat voor x → +∞, f (x) > 1 en dus dat rechts de grafiek van f boven de rechte
y = 1 zal liggen. Voor x → −∞ is f (x) < 1 en dus ligt links de grafiek van f onder de rechte
met vergelijking y = 1.
7.3
Stijgen en dalen met de eerste afgeleide
We zeggen dat een functie f stijgend is in een punt x0 als de functiewaarden stijgen in
een klein intervalletje rond x0 . Meer formeel, als er een (klein) reëel getal ε kan gevonden
worden, zodat in het interval [x0 − ε, x0 + ε] geldt dat x > y ⇒ f (x) > f (y) voor alle x en
y in dit interval.
Een functie f is dalend in een punt x0 als er een ε > 0 bestaat, zodat voor alle x en y in
[x0 − ε, x0 + ε] geldt dat x > y ⇒ f (x) 6 f (y).
Deze stelling is fundamenteel: een functie f (x) is stijgend in een punt x0 als en slechts als
f 0 (x0 ) > 0. De functie is dalend in x0 als en slechts als f 0 (x0 ) < 0.
Een punt x0 waar de functie f (x) overgaat van het stijgen naar het dalen, noemen we een
lokaal maximum. Een punt x0 waar de functie overgaat van het dalen naar het stijgen,
noemen we een lokaal minimum. De verzamelnaam voor beide is lokaal extremum.
Omdat in een lokaal extremum het teken van de afgeleide dus moet veranderen, geldt er: als
het punt x0 een lokaal extremum is van de functie f , dan geldt f 0 (x0 ) = 0.
Let op: niet alle punten waarvoor f 0 (x) = 0 zijn lokale maxima of minima. Inderdaad, de
voowaarde f 0 (x) = 0 impliceert enkel dat de raaklijn in dit punt evenwijdig is aan de x-as.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
102
Figuur 7.5: f is dalend in x1 en stijgend in x2 .
7.4
Convexiteit met de tweede afgeleide
We noemen een functie f convex of hol in een interval I als voor elke twee punten x1 en
x2 in I geldt dat het lijnsegment dat de punten (x1 , f (x1 )) en (x2 , f (x2 )) verbindt boven de
grafiek van de functie f ligt. Een functie f is concaaf of bol in I als voor elke twee punten
x1 , x2 ∈ I geldt dat het lijnsegment tussen (x1 , f (x1 )) en (x2 , f (x2 )) onder de grafiek van de
functie f ligt. Een functie f is convex (of concaaf) in een punt x0 als er een interval rond
x0 bestaat zodat f convex (concaaf) is in dat interval.
Figuur 7.6: (a) Een convexe functie
(b) Een concave functie
Een buigpunt is een punt waar de functie overgaat van convex naar concaaf, m.a.w. x0 is
een buigpunt als links van x0 de functie convex (of concaaf) is en rechts van het punt de
functie concaaf (of convex) is.
Deze stelling is fundamenteel: een functie f is convex in x0 als en slechts als f 00 (x0 ) > 0. De
functie f is concaaf in x = x0 als en slechts als f 00 (x0 ) < 0. Het punt x0 is een buigpunt van
f als en slechts als f 00 (x0 ) = 0.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
103
We hebben reeds gezien dat de nulpunten van de eerste afgeleide f 0 van een functie f eventueel lokale extrema kunnen zijn. Om te bepalen of zo’n punt een lokaal minimum of lokaal
maximum is, kan men een tekenonderzoek doen van f 0 . Een andere methode bestaat erin
om de tweede afgeleide te gebruiken. Voor een punt x0 met f (0 x0 ) = 0 geldt:
• x0 is een lokaal minimum als en slechts als f 00 (x0 ) > 0
• x0 is een lokaal maximum als en slechts als f 00 (x0 ) < 0
7.5
Functieonderzoeken
Met functieonderzoek bedoelen we een uitvoerige analyse van een functie, zodat voldoende
gegevens ervan bekend zijn om zijn grafiek te kunnen tekenen. Een functieonderzoek zou de
volgende elementen moeten bevatten, indien mogelijk.
A. Zoek het domein van de functie
B. Zoek eventuele symmetrieën: oneven, even, periodiek,. . .
C. Bereken de limieten in de grenspunten van het domein
D. Bepaal alle asymptoten
E. Bereken de afgeleide functie, zoek de extrema en bepaal waar de functie stijgend of
dalend is
F. Bereken de tweede afgeleide, zoek de buigpunten en onderzoek waar de functie convex
of concaaf is
G. Schets een grafiek van de functie, eventueel door een aantal punten (x, f (x)) van de
grafiek uit te rekenen.
Voorbeeld van een functieonderzoek
f : R → R : x 7→ f (x) =
x2 + 3x + 2
2x2 − 8
A. Domein. De functie is overal gedefinieerd, behalve in de punten waar de noemer nul
wordt. We bepalen de nulpunten van de noemer:
2x2 − 8 = 0 ⇔ x2 − 4 =⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 of x = −2
We besluiten dat dom(f ) = R \ {−2, 2} =] − ∞, −2[ ∪ ] − 2, 2[ ∪ ]2, +∞[.
B. Symmetrieën. Vervangen we in het functievoorschrift x door −x, dan verkrijgen we
x2 −3x+2
, hetgeen noch f (x), noch −f (x) is. Ook is de functie niet periodiek.
2x2 −8
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
104
C. Limieten
x2
x2 + 3x + 2
=
lim
x→±∞ 2x2
x→±∞
2x2 − 8
1
=
2
x2 + 3x + 2 00
(x + 2)(x + 1)
lim
= lim
2
x→−2
x→−2 2(x + 2)(x − 2)
2x − 8
x+1
= lim
x→−2 2(x − 2)
1
=
8
x2 + 3x + 2 120
lim
= ?(∞ of − ∞)
x→2
2x2 − 8
lim
Om linker- en rechterlimiet te bereken, voeren we een tekenonderzoek uit van de functie.
x
x2 + 3x + 2
2x2 − 8
f (x)
+
+
+
−2
0 −
0 −
+
−1
0
−
0
2
+ +
− 0
− |
+
+
+
Daaruit volgt
lim
x→2
>
lim
x→2
<
x2 + 3x + 2
= +∞
2x2 − 8
x2 + 3x + 2
= −∞
2x2 − 8
Dat de factor (x + 2) zowel in teller als noemer voorkomt, betekent dat voor x = −2
de functie niet gedefinieerd is, maar dat ze voor elke andere x-waarde samenvalt met
de functie, gedefinieerd door de vereenvoudigde breuk.
D. Asymptoten. De kandidaat-verticale-asymptoten zijn de rechten x = 2 en x = −2
(de punten waar f niet gedefinieerd is). Vermits lim f (x) eindig is, is er in x = −2
x→−2
toch geen verticale asymptoot. Vermits zowel de linker- als rechterlimiet van f voor
x → 2 oneindig zijn is de rechte met vergelijking x = 2 wél een verticale asymptoot.
1
Vermits lim f (x) = , is de rechte met vergelijking y = 12 een horizontale asymptoot
x→±∞
2
voor x → −∞ en x → +∞.
Om de aanligging van de grafiek van f t.o.v. deze asymptoot te kennen, onderzoeken
3x+6
we het teken van f (x) − 21 = 2x
2 −8 . Dit levert:
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
105
x
3x + 6
x2 − 4
3x+6
f (x) − 12 = 2x
2 −8
−
+
−
−2
2
0 + +
0 − 0
− |
+
+
+
Vermits voor x → −∞ de hulpfunctie negatief is, besluiten we dat voor de grafiek van
f onder de horizontale asymptoot ligt aan de linkerkant. Voor x → +∞ is f (x) − 12
positief en dus ligt de grafiek van f boven de horizontale asymptoot aan de rechtse kant.
Vermits het gedrag op −∞ en op ∞ bepaald wordt door een horizontale asymptoot,
kunnen we besluiten dat er geen schuine asymptoten zijn. We hebben dus een verticale
asymptoot op x = 2 en een horizontale asymptoot y = 12 , zowel voor x → −∞ als
x → +∞.
E. Eerste afgeleide. De eerste afgeleide is
0
2
0
x2 + 3x + 2
1
x + 3x + 2
f (x) =
= ·
2x2 − 8
2
x2 − 4
1 (2x + 3)(x2 − 4) − 2x(x2 + 3x + 2)
= ·
2
(x2 − 4)2
1 −3x2 − 12x − 12
= ·
2
(x2 − 4)2
3 x2 + 4x + 4
=− ·
2 (x2 − 4)2
3
(x + 2)2
=− ·
2 (x − 2)2 (x + 2)2
0
Daar deze waarde altijd positief is, stijgt f overal waar hij gedefinieerd is.
F. Tweede afgeleide. We zien dat de factor (x + 2) die voorkwam in teller en noemer
van f , nu twee keer voorkomt in teller en noemer van de afgeleide. Omdat in punten
buiten x = −2, de eerste afgeleide samenvalt met de vereenvoudigde functie x 7→
1
− 23 · (x−2)
2 , zullen we voor de berekening van de tweede afgeleide vanaf deze uitdrukking
verderrekenen.
0
3
1
00
f (x) = −
2 (x − 2)2
3 −2
=−
2 (x − 2)3
1
=3
(x − 2)3
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
106
x
(x − 2)3
f 00 (x)
f (x)
2
− 0
− |
_ |
+
+
^
G. Samenvattende tabel
x
f 0 (x)
f 00 (x)
f (x)
−
−
+
&
_
−2
− −
− −
|
+
& &
_ _
−1
−
−
0
&
_
−
−
−
&
_
2
| −
| +
| +
| &
| ^
H. Grafiek. Zie figuur 7.5
Figuur 7.7: f (x) =
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
x2 + 3x + 2
2x2 − 8
107
7.6
Oefeningen
Oefening 1
Bepaal voor elk van de onderstaande functies de vergelijkingen van de asymptoten. Voor
een voorbeeld dat de volledige werkwijze illustreert, zie 7.2.3.
A. f (x) =
x+3
x−4
B. f (x) = x
2
C. f (x) =
x−3
x2 − 4
E. f (x) =
x−4
x2 − 16
D. f (x) =
x2 − 1
x+3
F. f (x) =
2x3
x2 + 2
Oefening 2
Ga voor elk van de volgende functies na waar ze stijgend of dalend zijn. Bepaal de extrema.
Bereken tevens de functiewaarde in deze extrema. Voor een volledig uitgewerkt voorbeeld,
zie oplossingen.
A. f (x) = x2 + 5x − 2
3
2
B. f (x) = 2x − 9x + 12x + 3
C. f (x) =
x−1
x+3
x2 + 2
D. f (x) = 2
x −4
Oefening 3
Bepaal voor elk van de volgende functies waar ze convex of concaaf zijn. Bepaal tevens de
buigpunten. Voor een volledig uitgewerkt voorbeeld, zie oplossingen.
A. f (x) = x2 + 5x − 2
3
2
B. f (x) = 2x − 9x + 12x + 3
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
C. f (x) =
x−1
x+3
D. f (x) =
x2 + 2
x2 − 4
108
Oefening 4
Geef een volledig functieonderzoek van de volgende functies. Voor een voorbeeld die de
volledige werkwijze illustreert, zie 7.5.
A. f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 3
D. f (x) =
x−2
x2 − 4
E. f (x) =
x2 − 4
x−3
B. f (x) = 3x4 − 4x3 − 24x2 + 48x + 7
C. f (x) =
x−7
x+6
Oefening 5
Op onderstaande figuur staat de grafiek van een functie f , samen met de grafiek van haar
eerste en tweede afgeleiden. Welke grafiek correspondeert met f , f 0 en f 00 ?
Figuur 7.8: Oefening 5
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
109
7.7
Oplossingen
Oefening 1
A. V.A.: x = 4, H.A.: y = 1
D. V.A. : x = −3, S.A.: y = x − 3
B. Geen asymptoten
E. V.A.: x = −4, H.A.: y = 0
C. V.A.: x = −2 en x = 2, H.A.: y = 0
F. S.A.: y = 2x
Oefening 2
A. Berekening van de eerste afgeleide geeft f 0 (x) = 2x + 5, met als nulpunt van f 0 dus de
waarde − 25 . Tekenonderzoek van f 0 geeft:
x
0
f (x)
− 25
− 0
+
De functie is dus dalend in het interval ]−∞, − 52 [ en stijgend in het interval ]− 25 , +∞[.
Bijgevolg is x = − 25 een minimum. De functiewaarde in x = − 25 is f (− 25 ) = − 33
4
B. De functie is stijgend in ]−∞, 1[ ∪ ]2, +∞[ en dalend in het interval ]1, 2[. We besluiten
dat x = 1 een lokaal maximum is en x = 2 een lokaal minimum. De overeenkomstige
functiewaarden zijn f (1) = 8 en f (2) = 7. Er zijn geen globale minima of maxima,
vermits limx→+∞ f (x) = +∞ en limx→−∞ f (x) = −∞.
C. De functie is overal stijgend en heeft geen extrema.
D. De functie f is dalend in ]0, 2[ ∪ ]2, +∞[ en stijgend in ] − ∞, −2[ ∪ ] − 2, 0[. De functie
bereikt een lokaal maximum in x = 0. De functiewaarde in x = 0 is f (0) = − 21 . Het
punt x = 0 is geen globaal maximum, vermits lim f (x) = +∞.
x→−2
>
Oefening 3
A. De functie is overal convex. Er zijn geen buigpunten.
B. Berekening van de eerste afgeleide geeft f 0 (x) = 6x2 − 18x + 12. Berekening van de
tweede afgeleide geeft f 00 (x) = 12x − 18, met als nulpunt 32 . Tekenonderzoek van f 00
geeft:
x
f (x) −
00
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
3
2
0
+
110
De functie is dus concaaf in ] − ∞, 32 [ en convex in ] 23 , +∞[. Het punt x =
unieke buigpunt.
3
2
is het
C. De functie is convex in ] − ∞, −3[ en concaaf in ] − 3, +∞[. Er zijn geen buigpunten.
D. De functie f is convex in ] − ∞, −2[ ∪ ]2, +∞[ en concaaf in ] − 2, 2[. Er zijn geen
buigpunten.
Oefening 4
A.
• domf = R
• geen asymptoten
• f 0 (x) = 3x2 − 12x + 9, f 00 (x) = 6x − 12
1
x
f 0 (x)
f 00 (x)
f (x)
+
0
−
−
−
−
% max &
_ _ _
Figuur 7.9: (a) 4a: y = x3 − 6x2 + 9x − 3
B.
2
−
−
0
+
& &
bgpt ^
3
0
+
+
+
min %
^ ^
(b) 4b: y = 3x4 − 4x3 − 24x2 + 48x + 7
• domf = R
• Geen asymptoten
• f 0 (x) = 12x3 − 12x2 − 48x + 48, f 00 (x) = 36x2 − 24x − 48
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
111
C.
x
−2
√
1− 13
3
f 0 (x)
f 00 (x)
f (x)
−
0
+
+
+ +
& min
^
+
0
%
bgpt
+
−
−
−
−
0
2
−
0
+
+
+
+
&
min %
bgpnt ^
• domf =] − ∞, −6[∪] − 6, +∞[
• V.A.: x = −6, H.A.: y = 1
−26
13
00
• f 0 (x) = (x+6)
2 , f (x) = (x+6)3
+
+
%
^
−6
|
|
|
|
+
−
%
_
• domf = R \ {−2, 2}
• V.A.: x = −2, H.A.: y = 0
2
1
2
00
• f 0 (x) = −x(x2+4x−4
= − (x+2)
2 , f (x) = (x+2)3
−4)2
x
−2
2
0
f (x) −
|
− |
00
f (x) −
|
+ |
f (x) _ | ^ |
Figuur 7.10: (a) 4c: y =
E.
0
−
max
_
x
f 0 (x)
f 00 (x)
f (x)
D.
√
1+ 13
3
1
x−7
x+6
−
+
^
(b) 4d: y =
x−2
x2 −4
• domf = R \ {3}
• V.A.: x = 3, S.A.: y = x + 3
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
112
• f 0 (x) =
x2 −6x+4
,
(x−3)2
f 00 (x) =
x
0
f (x)
f 00 (x)
f (x)
10
(x−3)3
√
3− 5
+
0
−
−
−
−
%
max
&
_
_
_
3
|
|
|
|
Figuur 7.11: y =
x2 −4
x−3
√
3+ 5
−
0
+
+
+
+
&
min
%
^
^
^
Oefening 5
De grafiek van f is B. De grafiek van f 0 is C. De grafiek van f 00 is A.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 7
113
Hoofdstuk 8
Integralen
8.1
Primitieven en de onbepaalde integraal
Een primitieve functie F van een functie f is een afleidbare functie, waarvoor geldt dat
de afgeleide van F precies de functie f is. M.a.w. F (x) is een primitieve van f (x) indien
F 0 (x) = f (x).
De functie F1 (x) = − cos x is bijvoorbeeld een primitieve van de functie f (x) = sin x. Er
geldt immers dat F10 (x) = (− cos x)0 = sin x. De functie F2 (x) = − cos x + 5 is echter ook
een primitieve van f (x) = sin x, immers
F20 (x) = (− cos x + 5)0 = (− cos x)0 + 50 = sin x + 0 = f (x)
Uit het vorige voorbeeld blijkt dat een primitieve van een functie f niet uniek is. Inderdaad,
als F een primitieve is voor f , dan geldt voor elke constante C ∈ R, dat x 7→ F (x) + C
ook een primitieve is van f . De verzameling van alle primitieven van een
R gegeven functie f
noemen we de onbepaalde integraal van f en wordt genoteerd met f (x)dx.
Z
f (x)dx = {F (x) + C | C ∈ R},
waarbij F (x) een willekeurige primitieve is van f (x). Hoewel notationeel niet helemaal
correct, verkorten we deze schrijfwijze voor ons gemak door te schrijven
Z
f (x)dx = F (x) + C.
De te integreren functie f (x), noemt men het integrandum van de integraal.
114
8.2
8.2.1
Onbepaalde integralen uitrekenen
Basisintegralen
De volgende lijst met basisintegralen volgt uit de definitie van de onbepaalde integraal en de
rekenregels voor afgeleiden. Vooral de tweede moet men vaak gebruiken.
Z
adx = ax + C (a ∈ R)
Z
xn+1
+ C (n ∈ Q \ {−1})
xn dx =
n+1
Z
1
dx = ln |x| + C
x
Z
sin xdx = − cos x + C
Z
cos xdx = sin x + C
Z
ex dx = ex + C
Z
1
dx = Bgtgx + C
1 + x2
8.2.2
Lineariteit van de integraal
Deze rekenregels volgen uit het feit dat een primitieve zoeken het omgekeerde is van afleiden.
De lineariteit van de integraal, zoals deze formules bekend staan, gebruikt men erg vaak: de
integraal van een som is de som van de integralen en constanten die niet afhangen van de
integratieveranderlijke, mogen voor het integraalteken gebracht worden.
Z
Z
Z
(f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx
Z
Z
af (x)dx = a f (x)dx (a ∈ R)
8.2.3
Substitutie
In het algemeen geldt:
Z
0
f (g(x))g (x)dx =
Z
f (u)du
Deze formule is afkomstig van een subsitutie u = g(x), waardoor de differentiaal du transformeert als
du = d(g(x)) = g 0 (x)dx.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 8
115
Een vaak nodige vervanging is de lineaire substitutie, waarbij een lineaire uitdrukking
ax + b in x gesubstitueerd wordt: u = ax + b, dan is du = adx.
Z
Z
du
f (ax + b)dx = f (u) .
a
Bijvoorbeeld:
Z
Z
Z
√
√ du
1
1 2 3
1p
1
2x − 1dx =
u
=
(2x − 1)3 + C
u 2 du = · u 2 + C =
2
2
2 3
3
Een ander type substitutie is deze waarbij het integrandum van de vorm f (x)n f 0 (x) is. Dan
kan men de subsitutie u = f (x) toepassen. Immers, dan is du = f 0 (x)dx en de integraal
herleidt zich tot een basisintegraal:
Z
Z
un+1
f (x)n+1
n 0
n
=
.
f (x) f (x)dx = u du =
n+1
n+1
Bijvoorbeeld:
Z
Z
Z
(x2 + 2x)0
du
2x + 2
dx =
dx =
= ln |u| + C = ln |x2 + 2x| + C
2
2
x + 2x
x + 2x
u
R
Nog een voorbeeld. Om de integraal cos2 x sin xdx te berekenen, passen we de substitutie
u = cos x toe. We verkrijgen du = − sin xdx. De integraal herleidt zich tot
Z
Z
1
1
2
cos x sin xdx = − u2 du = − u3 + C = − cos3 x + C
3
3
8.2.4
Partiële integratie
De productregel voor afgeleiden is
f 0 · g + f · g 0 = (f · g)0 .
Brengen we de eerste term naar het ander lid en integreren we beide leden, dan vinden we
de bruikbare formule
Z
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx
Z
Z
u dv = uv − v du,
waarvan het gebruik bekend staat onder de naam partieel integreren.
R
Wensen we bijvoorbeeld de integraal xex dx te berekenen. Vermits er geen voor de hand
liggende subsititutie is die de integraal makkelijker te berekenen maakt, proberen we de
integraal te berekenen via partiële integratie. Kiezen we f (x) = x en g 0 (x)dx = ex dx en dus
g(x)ex , dan verkrijgen we
Z
Z
Z
x
x
0 x
x
xe dx = xe − x e dx = xe − ex dx = xex − ex + C
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 8
116
8.3
De bepaalde integraal
Zij F (x) een primitieve van f (x), dan definieert men de bepaalde integraal van f (x) over
het interval [a, b] als het reëel getal F (b) − F (a) en men noteert dit met
Z
b
f (x)dx.
a
Soms wordt ook deze notatie gebruikt:
Z
b
f (x)dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a).
a
De getallen a en b noemt men de integratiegrenzen van de integraal en het interval [a, b]
het
Z integratiegebied. Merk nog op dat men eender welke primitieve mag gebruiken om
b
f (x)dx te berekenen. Door het verschil F (b) − F (a) te berekenen vallen de constanten
a
C toch tegen elkaar weg.
8.3.1
Additiviteit van de integraal
De volgende eigenschappen zeggen dat de integraal zich goed gedraagt ten opzichte van
opsplitsing en omkering van het integratiegebied.
Z b
Z c
Z b
•
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx (met c ∈ [a, b])
a
c
Za c
f (x)dx = 0
•
c
Z b
Z a
•
f (x)dx = −
f (x)dx
a
8.3.2
b
Bepaalde integralen uitrekenen
Om bepaalde integralen te berekenen, volstaat het dus een primitieve te berekenen van de
te integreren functie, en deze te evalueren in de integratiegrenzen en het verschil te maken.
Let op: indien we de primitieve berekenen via substitutie, moeten we vooraleer we de
integratiegrenzen invullen ervoor zorgen dat de primitieve uitgedrukt is in de oorspronkelijke
variable. Een andere optie bestaat erin om de grenzen aan dezelfde variabelentransformatie
te onderwerpen: veronderstel namelijk dat we de bepaalde integraal
Z
b
f (g(x))g 0 (x)dx
a
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 8
117
wensen te berekenen. Gebruikmakend van de substitutie u = g(x) vinden we
Z g(b)
Z b
0
f (g(x))g (x)dx =
f (u)du.
a
g(a)
R2√
Bij wijze van voorbeeld wensen we de bepaalde integraal 1 2x − 1dx te berekenen. We
doen dit op twee verschillende
manieren: de eerste methode bestaat erin om eerst een pri√
mitieve van f (x) = 2x − 1 te berekenen en daarna pas de integratiegrenzen in te vullen;
de tweede methode bestaat erin om rechtstreeks de substitutieregel voor bepaalde integralen
toe te passen.
√
Methode 1. We berekenen Reerst
primitieve van f (x) = 2x − 1. Uit
p
√ een willekeurige
paragraaf 8.2.3 weten we dat
2x − 1dx = 13 (2x − 1)3 + C. We kiezen de primitieve
p
met C = 0, F (x) = 31 (2x − 1)3 om de bepaalde integraal te berekenen. Dit levert:
Z 2
√
1p
1p
1 √
2x − 1dx = [F (x)]21 =
(2.2 − 1)3 −
(2.1 − 1)3 =
27 − 1
3
3
3
1
Methode 2. We passen nu rechtstreeks de substitutieregel voor bepaalde integralen toe.
We maken opnieuw gebruik van de substitutie u = g(x) = 2x − 1. Transformatie van de
integratiegrenzen geeft g(1) = 1 en g(2) = 3. We verkrijgen:
Z 2
Z
Z
√
1 g(2) 1
1 3 1
2
2x − 1dx =
u du =
u 2 du
2 g(1)
2 1
1
3
1 2 3
1 h√ 3 i3
2
u
=
=
u
2 3
3
1
1
√
√
1 √
1
3
3
3 − 1 =
27 − 1
=
3
3
8.4
Oppervlaktes met bepaalde integralen
Veronderstel dat f (x) een functie is, gedefinieerd over minstens het interval [a, b]. Veronderstel dat we de grafiek van f (x) tekenen in een een assenstelsel waarbij de x- en y-as
loodrecht op elkaar staan en de beide assen gelijk geijkt zijn. De grafiek van f (x), samen
met de x-as en de rechten x = a en x = b sluiten een begrensd deel van het vlak in. Als f
geen negatieve waarden aanneemt op [a, b], is de oppervlakte van dit gebied is gelijk aan de
bepaalde integraal van f tussen a en b. Als de grafiek van f helemaal onder de x-as ligt, is
de bepaalde integraal van f tussen a en b precies min die oppervlakte. Algemeen geldt dat
de totale oppervlakte van het gebied tussen x = a en x = b dat begrensd wordt door de x-as
en de grafiek van f , gelijk is aan de integraal van de absolute waarde van f :
Z b
|f (x)| dx = Oppervlakte.
a
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 8
118
In de bovenstaande stelling is het noodzakelijk om niet de functie f te integreren, maar wel
|f | te integreren. Het integreren van f zou de oppervlaktes van de stukken onder de x-as
met een minteken optellen bij (dus aftrekken van) de positieve integralen.
Wensen we bijvoorbeeld de oppervlakte te berekenen van het gebied begrensd door de rechten
x = −1, x = 1, de x-as en de grafiek van de functie f (x) = x. Volgens bovenstaande stelling
is deze oppervlakte gelijk aan:
Z
1
Z
1
|f (x)| dx =
|x| dx
−1
−1
Voor x ∈ [−1, 0], is x < 0 en geldt dat |x| = −x. Voor x ∈ [0, 1] is x > 0 en dus is |x| = x.
De integraal wordt dus:
Z
1
Z
0
Z
|x| dx +
|f (x)| dx =
−1
−1
x2
=−
2
1
Z
|x| dx =
x2
+
2
−1
−1
1
=−
0
1
(−x)dx +
0
0
0
Z
xdx
0
(0)2 (−1)2
−
2
2
+
(1)2 (0)2
−
2
2
=1
Indien we gewoon f (x) = x zouden integreren i.p.v. |f (x)| dan bekomen we:
1
1
x2
f (x)dx =
xdx =
2
−1
−1
Z
Z
1
=
−1
(1)2 (−1)2
−
2
2
= 0,
terwijl het duidelijk is dat de oppervlakte van het begrensde gebied niet gelijk is aan nul.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 8
119
Opdelen van het integratiegebied
Om de oppervlakte te bepalen van het gebied begrensd door de grafiek van de functie f , de
rechten x = a en x = b en de x-as, moeten we de integraal
Z
b
|f (x)| dx
a
bepalen. Eerst delen we het integratiegebied [a, b] op in deelintervallen [a, a1 ], [a1 , a2 ], . . . , [an , b]
(zodat [a, b] = [a, a1 ] ∪ [a1 , a2 ] ∪ · · · ∪ [an , b]), zodat op elk van deze deelintervallen de functie
f ofwel overal positief is ofwel overal negatief is. Bij continue functies zal dat betekenen dat
a1 , . . . , an nulpunten of x-waarden van verticale asymptoten zullen zijn. Wegens additiviteit
geldt:
Z a2
Z b
Z b
Z a1
|f (x)| dx + · · · +
|f (x)| dx.
|f (x)| dx +
|f (x)| dx =
a
a
a1
an
Ra
Ra
Indien f positief is in het interval [ai , ai+1 ], dan is aii+1 |f (x)| dx = aii+1 f (x)dx. Indien
Ra
Ra
echter f (x) negatief is op het interval [ai , ai+1 ], dan is aii+1 |f (x)| dx = aii+1 (−f (x)) dx.
Deze integralen kunnen nu op de gebruikelijke wijze uitgerekend worden.
We wensen bijvoorbeeld de oppervlakte te berekenen begrensd door de grafiek van f (x) =
sin
R 2πx, de rechten x = 0 en x = 2π en de x-as. Deze oppervlakte wordt gegeven door
|sin x| dx. We verdelen het interval [0, 2π] in deelintervallen waarop sin x een constant
0
teken heeft: in het interval [0, π] is sin x overal positief (in dat geval is | sin x| = sin x). In
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 8
120
het interval [π, 2π] is sin x overal negatief (in dat geval is | sin x| = − sin x). We vinden
Z
2π
Z
π
Z
|sin x| dx +
0
Z
Z π
sin xdx +
=
2π
|sin x| dx
|sin x| dx =
0
0
π
2π
(− sin x)dx
π
= [− cos x]π0 + [cos x]2π
π
= (− cos π) − (− cos 0) + (cos 2π) − (cos π)
=1+1+1+1=4
8.4.1
Oppervlakten tussen meerdere krommen
Gebruikmakend van integralen kunnen ook oppervlaktes berekend worden die door twee
krommen worden begrensd.
Bereken bijvoorbeeld de oppervlakte van het gebied begrensd door de rechten R1 : x =
2, R2 : y = −x + 6 en R3 : y = x − 2. We maken eerst een schets van het gebied
waarvan de oppervlakte dient berekend worden. De oppervlakte begrensd door de rechten
is de oppervlakte die berekend moet worden. Dit gebied vormt een driehoek waarvan de
hoekpunten de snijpunten van de drie rechten onderling zijn. De snijpunten van de rechten
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 8
121
worden gevonden door het oplossen van de stelsels, bepaald door de vergelijkingen. We
vinden P1 = (2, 4), alsook P2 = (4, 2) en P3 = (2, 0). De gezochte oppervlakte kan niet
onmiddellijk uitgedrukt worden met behulp van een integraal, maar we merken op dat de
oppervlakte van het driehoekje onder het te bepalen oppervlak wordt gegeven door
4
Z
2
x2
− 2x
(x − 2)dx =
2
4
= 2.
2
De oppervlakte van beide stukken samen wordt gegeven door de integraal
4
Z
2
2
4
x
(−x + 6)dx = − + 6x = 6.
2
2
De gezochte oppervlakte is niets anders dan het verschil tussen deze twee oppervlakten:
Z 4
Z 4
Opp =
(−x + 6)dx −
(x − 2)dx = 6 − 2 = 4
2
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 8
2
122
8.5
Oefeningen
Oefening 1
Bereken de volgende onbepaalde integralen. Gebruik de methoden uit paragrafen 8.2.2, 8.2.3
en 8.2.4.
Z
Z
Z
x+1
4
A.
x dx
K.
cos 3xdx
U.
dx
2
(x + 2x + 1)5
Z
Z √
Z
3
2 ln x
B.
dx
L.
2xdx
V.
dx
x4
x(1 + ln2 x)
Z 3
Z √
Z 2
x
x +x
+ 1 dx
C.
M.
x x2 + 2dx
W.
dx
4
x
Z
Z
Z
x
sin x
D.
x2 + x + 1 dx
N.
tan dx
dx
X.
2
cos2 x
Z
Z
Z
3x2 + 2
√
E.
x−3 dx
O.
dx
x + 3dx
Y.
(x
+
1)
3
x + 2x
Z Z 2
√ Z
1
x +x−2
cos x
F.
+ x + x5 dx
dx
P.
Z.
dx
x
x+2
1 + sin x
Z
Z
Z
x
2x + 1
√ dx
G.
Q.
dx
A.
(x − 1)ex dx
x
2x2 + 2x
Z
Z
Z
x2
2x+1
√
H.
dx
3
R.
e
dx =
B.
x cos xdx
x4
Z √
Z
3
Z
x2
4x
√
I.
dx
√
S.
dx
C.
x ln xdx
4
x3
x2 + 1
Z √
Z
Z
5
√
x
1
2
2
−√
−
dx
J.
T.
x x + 1dx
D.
x2 ex dx
3
4
−1
x
x
x
Oefening 2
Bereken de volgende bepaalde integralen.
Z 1
Z 1
2
A.
(x − 1)dx
B.
(x − 1)2 dx
0
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 8
0
Z
π
4
C.
cos 2xdx
− π4
123
Z
3
D.
−3
Z
E.
2
3
1
√
dx
9 − x2
4x + 2
dx
x2 + x
Z
−1
F.
0
Z
π
4
G.
0
x2
√
dx
x3 + 2
Z
2
H.
√
(x + 1) x + 2dx
−1
Z
sin x
dx
cos3 x
1
x2
e 2 · xdx
I.
0
Oefening 3
Bereken de oppervlakte begrensd door de x-as, de rechten x = a en x = b en de grafiek van
de functie f (x) (voor een uitgewerkt voorbeeld zie 4.5.3):
A. f (x) = −x2 + 4, a = −1, b = 1
D. f (x) = x2 − 5x + 6, a = 0, b = 3
B. f (x) = x + 2, a = −4, b = 0
E. f (x) = x4 − x2 , a = −2, b = 2
C. f (x) = cos x, a = π2 , b = π
F. f (x) =
ln x
,
x
a = 12 , b = 2
Oefening 4
Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de volgende krommen (voor een uitgewerkt voorbeeld, zie paragraaf 8.4):
A. x = −2, y = x + 2 en y = −2x + 8
B. y = x2 en y = −x2 + 2
C. y = −x2 + 2x − 1 en y = −x − 1
Oefening 5
A. Bereken de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (−1, 0), (2, 0) en (3, 2).
B. Bereken de oppervlakte van de figuur met hoekpunten (1, 1), (1, 2), (3, 2) en (4, 1).
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 8
124
8.6
Oplossingen
Oefening 1
A.
x5
5
√
S. 4 x2 + 1 + C (subst. u = x2 + 1)
√
√
√
(x+1)7
(x+1)5
(x+1)3
T. 2
+C
−2 5
+
7
3
+C
B. − x13 + C
C.
x4
16
+x+C
D.
x3
3
+
x2
2
(subst. u2 = x + 1)
+x+C
1
2
U. − 18 (x2 +2x+1)
4 +C (subst. u = x +2x+1)
E. − 2x12 + C
2
V. ln(ln2 (x) + 1) + C (subst. u = ln x)
√
2
F. ln |x| + x2 + 7 x7 + C
√
G. 23 x3 + C
√
3
H. 53 x x2 + C
√
12
I. 12
x11 + C
11
√
√
3
J. 5 5 x − 34 x4 + 3x23 + C
K.
W.
X.
Z. ln(1 + sin x) + C (subst. u = cos x)
1
2
R.
1 2x+1
e
2
A. (x − 1)ex − ex + C (partiële integratie
met f (x) = x − 1 en g 0 (x) = ex )
B. x sin x + cos x + C (partiële integratie
met f (x) = x en g 0 (x) = cos x)
ln x 14 x2 + C (partiële integratie met
f (x) = ln x en g 0 (x) = x)
Z
D.
x2 ex dx = x2 ex2 xex + 2ex + C (tweeC.
O. ln |x3 + 2x| + C (subst. u = x3 + 2x)
Q.
1
cos x
x + 3)
sin 3x + C
√
L. 32 x 2x + C
√
M. 13 (x2 +2) x2 + 2+C (subst. u = x2 +2)
N. −2 ln cos x2 1 2
x
2
+x+C
+ C (subst. u = cos x)
√
√
(x+3)5
2 (x+3)3
Y. 2
−
+C (subst. u =
5
3
1
3
P.
x2
2
−x+C
ln |2x2 + 2x| + C (subst. u = 2x2 + 2x)
+C
1 2
x
2
maal partiële integratie - eerste keer
met f (x) = x2 en g 0 (x) = ex )
Oefening 2
A. − 23
B.
1
3
C. 1
D. π
G.
1
2
E. 2 ln 2
H.
116
15
F.
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 8
2
3
1−
√ 2
I. e
125
Oefening 3
A. Oppervlakte =
22
3
B. Oppervlakte = 4
C. Oppervlakte = 1
E. Oppervlakte = 8
D. Oppervlakte =
29
6
F. Oppervlakte = (ln 2)2
B. Oppervlakte =
8
3
C. Oppervlakte =
Oefening 4
A. Oppervlakte = 24
9
2
Oefening 5
A. Oppervlakte = 2
Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 8
B. Oppervlakte =
5
2
126
Vakantiecursus Wiskunde voor wetenschappers

Wiskunde voor wetenschappers

Related documents

Products

Support

Wiskunde voor wetenschappers

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib