USolv-IT formularium

USolv-IT formulariumc
4 april 2012
Inhoudsopgave
1 COMBINATORIEK
1.1 Telproblemen . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Variaties . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Herhalingsvariaties . . . . . .
1.1.3 Permutaties . . . . . . . . . .
1.1.4 Herhalingspermutaties . . . .
1.1.5 Combinaties . . . . . . . . . .
1.1.6 Herhalingscombinaties . . . .
1.1.7 Aantal deelverzamelingen van
1.1.8 Het duivenhokprincipe . . . .
1.1.9 Het binomium van Newton .
1.2 Kansrekening . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Formule van Laplace . . . . .
1.2.2 Belangrijke kanswetten . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
2 ANALYSE
2.1 Soorten relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Reële functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Invloed van parameters op de grafiek van een functie
2.2.2 Eerstegraadsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Tweedegraadsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Gebroken rationale functies . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Exponentiële functies . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.8 Logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.9 Grafieken van enkele bijzondere functies . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
8
8
9
9
11
12
12
15
15
16
3 GETALLEN
3.1 Rijen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Machten met gehele exponenten .
3.3 n-de machtswortels . . . . . . . .
3.4 Machten met reële exponenten .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
18
19
19
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
een verzameling
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
1
INHOUDSOPGAVE
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Absolute waarde . . . .
Formules (merkwaardige
Deelbaarheid in ZZ . . .
Complexe getallen . . .
Statistiek . . . . . . . .
INHOUDSOPGAVE
. . . . . . . . . . . . . . .
producten, quotiënten...)
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
20
21
22
23
4 ALGEBRA
4.1 Vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Eerstegraadsvergelijkingen (lineaire vergelijkingen) .
4.1.2 Tweedegraadsvergelijkingen (vierkantsvergelijkingen)
4.1.3 Bikwadratische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Vergelijkingen van de n-de graad . . . . . . . . . . .
4.1.5 Irrationale vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
24
24
24
25
25
26
5 GONIOMETRIE
5.1 Goniometrische getallen van een hoek
5.1.1 In een rechthoekige driehoek .
5.1.2 De goniometrische cirkel . . . .
5.1.3 Formules . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Oplossen van driehoeken . . . .
5.2 Goniometrische functies . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
28
28
28
29
31
31
6 VLAKKE MEETKUNDE
6.1 Stelling van Thales . . . . . . . . . . . . .
6.2 Driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Oppervlakte (O) . . . . . . . . . .
6.2.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . .
6.2.3 Merkwaardige lijnen . . . . . . . .
6.2.4 De middenparallel . . . . . . . . .
6.2.5 Congruente driehoeken . . . . . . .
6.2.6 Gelijkvormige driehoeken . . . . .
6.2.7 Driehoeksongelijkheid . . . . . . .
6.3 Vierhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Parallellogram . . . . . . . . . . .
6.3.2 Trapezium . . . . . . . . . . . . .
6.4 Veelhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Cirkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Omtrek: . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Oppervlakte: . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Raaklijn-normaal . . . . . . . . . .
6.5.4 Boog-koorde . . . . . . . . . . . .
6.5.5 Middelpuntshoek-omtrekshoek . .
6.5.6 Binnen- en buitenomtrekshoek . .
6.5.7 Sector-segment . . . . . . . . . . .
6.5.8 Macht van een punt t.o.v. de cirkel
6.5.9 Koordenvierhoek . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
32
32
32
33
33
34
34
34
35
35
35
36
36
36
36
36
36
37
37
37
38
38
.
.
.
.
.
.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
2
1
6.6
COMBINATORIEK
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
38
38
39
39
39
39
39
39
40
40
40
40
40
40
41
41
7 RUIMTEMEETKUNDE
7.1 Inhoud en oppervlakte van ruimtefiguren . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Cilinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5 Bol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Coördinaten in de ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Richtingsvectoren-richtingsgetallen . . . . . . . . . . .
7.3.2 Vergelijkingen van een rechte . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Vergelijking van een vlak . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Middelpuntsvergelijking van een bol . . . . . . . . . .
7.3.5 Cartesiaanse vergelijkingen van omwentelingslichamen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
41
41
41
42
42
42
42
42
42
43
44
44
6.7
Analytische meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Afstand tussen twee punten . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Midden van een lijnstuk . . . . . . . . . . . . . .
6.6.3 Afstand van een punt tot een rechte . . . . . . .
6.6.4 Loodrechte stand - evenwijdigheid . . . . . . . .
6.6.5 De vergelijking van de cirkel . . . . . . . . . . . .
Vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Definitie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Coördinaat van een vector (componentenkoppel)
6.7.3 Optellen van vectoren . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.4 Scalaire vermenigvuldiging . . . . . . . . . . . .
6.7.5 Norm van een vector . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.6 Ongelijkheid van Minkowski . . . . . . . . . . . .
6.7.7 Hoek tussen twee vectoren . . . . . . . . . . . . .
6.7.8 Scalair product van twee vectoren . . . . . . . .
6.7.9 Orthogonaliteit van vectoren: . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8 LOGICA
45
8.1 Verklaring van de gebruikte symbolen . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.2 Logische stellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.3 Uitspraakvormen met kwantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1
COMBINATORIEK
1.1
1.1.1
Telproblemen
Variaties
• Wat?
Een variatie van p elementen uit n elementen (p ≤ n) is een geordend p-
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
3
1.1
Telproblemen
1
COMBINATORIEK
tal van p verschillende elementen gekozen uit een gegeven verzameling
van n elementen.
• Voorbeeld.
Enkele variaties van 3 elementen uit{a, b, c, d} zijn abc, abd, acb, acd, . . .
• Formule.
Het aantal variaties van p elementen uit n elementen (1 ≤ p ≤ n):
Vnp =
1.1.2
n!
(n − p)!
Herhalingsvariaties
• Wat?
Een herhalingsvariatie van p elementen uit n elementen is een geordend
p-tal van elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen.
Eenzelfde element mag meer dan eens voorkomen!
• Voorbeeld.
Enkele herhalingsvariaties van 3 elementen uit {a, b, c, d} zijn aaa, aab, abc, aba, acc, . . .
• Formule.
Het aantal herhalingsvariaties van p elementen uit n elementen is:
V̄np = np
1.1.3
Permutaties
• Wat?
Een permutatie van n verschillende elementen is een variatie van n elementen uit n elementen.
• Voorbeeld.
Alle permutaties van 3 elementen uit {a, b, c} zijn abc, acb, bac, bca, cab, cba.
• Formule.
Het aantal permutaties van n elementen is:
Pn = n!
1.1.4
Herhalingspermutaties
• Wat?
Herhalingspermutaties zijn permutaties van n elementen waarbij onder de
n elementen dezelfde elementen meerdere malen mogen voorkomen.
• Voorbeeld.
Enkele herhalingspermutaties van a, a, b, c zijn aabc, abca, abac, . . ..
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
4
1.1
Telproblemen
1
COMBINATORIEK
• Formule.
Stel li het aantal keer dat elk van de p verschillende elementen ai voorkomt
en n het totaal aantal elementen, dan is het aantal herhalingspermutaties
van die n elementen:
P̄nl1 ,l2 ,...,lp =
1.1.5
n!
l1 !l2 ! . . . lp !
Combinaties
• Wat?
Een combinatie van p elementen uit n elementen (p ≤ n) is een deelverzameling van p elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen. De volgorde is niet van belang!
• Voorbeeld.
Alle combinaties van 3 elementen uit {a, b, c, d} zijn: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}
• Formule.
Het aantal combinaties van p elementen uit n elementen is:
Cnp =
1.1.6
n!
p!(n − p)!
Herhalingscombinaties
• Wat?
Herhalingscombinaties zijn combinaties van p elementen uit n elementen
waarbij onder de n elementen dezelfde elementen meerdere malen mogen
voorkomen.
• Voorbeeld.
Enkele herhalingscombinaties van 7 elementen uit {a, a, a, b, b, b, c, c, c} zijn
{a, a, a, b, b, b, c}, {a, a, b, b, b, c, c}, . . .
• Formule.
Het aantal herhalingscombinaties van p elementen uit n elementen is:
p
C̄np = Cn+p−1
1.1.7
Aantal deelverzamelingen van een verzameling
Het aantal deelverzamelingen van een verzameling met n elementen is 2n .
1.1.8
Het duivenhokprincipe
Worden er n voorwerpen geplaatst in r laden, met n > r, dan is er minstens
één lade die minstens twee voorwerpen bevat.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
5
1.2
Kansrekening
1.1.9
1
COMBINATORIEK
Het binomium van Newton
In onderstaande formules wordt volgende notatie gebruikt:
n!
n
=
p
p!(n − p)!
Dit noemen we de binomiaalcoëfficiënten.
De binomiaalformule:
n
n
n
n
n
(a+b)n =
an +
an−1 b+
an−2 b2 +. . .+
abn−1 +
bn
0
1
2
n−1
n
Of ook nog:
(a + b)n =
n X
n
an−i bi
i
i=0
1.2
1.2.1
Kansrekening
Formule van Laplace
Voor volgende formules is het belangrijk de begrippen uitkomstenverzameling
en gebeurtenis te begrijpen.
• Een uitkomstenverzameling (universum) is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten bij een kansexperiment, bv. bij een dobbelsteen :
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Een gebeurtenis is een deelverzameling van de uitkomstenverzameling, bij
het voorbeeld van de dobbelsteen zijn {6}, {1, 2, 4} mogelijke gebeurtenissen.
De formule van Laplace:
Stel n het aantal elementen van het universum U en p het aantal elementen van
de gebeurtenis A, dan is de kans voor de gebeurtenis (P (A)):
P (A) =
p
n
Zo is bv. de kans om met een dobbelsteen 3 of 4 te gooien : P ({3, 4}) =
1.2.2
2
1
= .
6
3
Belangrijke kanswetten
• Zekere gebeurtenis: P (U ) = 1
• Onmogelijke gebeurtenis: P (∅) = 0
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
6
1.2
Kansrekening
1
COMBINATORIEK
• Zij Ā (=U \A) het complement van de gebeurtenis A , dan geldt:
P (A) + P (Ā) = 1
• Zij A en B twee gebeurtenissen, dan geldt:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
• Gevolg: als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ∅), dan geldt:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
• Samengestelde experimenten:
(i) Afhankelijke deelexperimenten / voorwaardelijke kans:
Voorbeelden: Je trekt, zonder teruglegging van de kaarten, twee
kaarten uit een spel. Hoe groot is de kans dat je als eerste kaart
een harten trekt en als tweede kaart een klaveren?
Formule: Stel p(A | B) de voorwaardelijke kans van A als B reeds
gerealiseerd is, dan geldt:
P (A ∩ B) = P (B) · P (A | B)
Uitbreiding:
P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B | A) · P (C | A ∩ B)
13 13
·
52 51
(ii) Onafhankelijke deelexperimenten:
Het voorbeeld wordt dus: P =
Voorbeelden: Je trekt, met teruglegging van de kaarten, twee kaarten
uit een spel. Wat is de kans dat de eerste kaart een harten is en de
tweede een klaveren?
Formule: Zij A en B onafhankelijke gebeurtenissen, dan geldt:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Het voorbeeld wordt dus: P =
13 13
·
52 52
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
7
2
2
ANALYSE
ANALYSE
2.1
Soorten relaties
1. Relatie:
Een relatie van A naar B is een verzameling van koppels
waarvan het eerste element tot A behoort en het tweede tot B.
2. Functie: Een functie van A naar B is een relatie van A naar B waarbij
elk element van A hoogstens één beeld heeft.
3. Afbeelding: Een afbeelding van A in B is een relatie van A naar B
waarbij elk element van A juist één beeld heeft .
4. Injectie: Een injectie van A in B is een relatie van A naar B waarbij
elk element van A juist één beeld heeft en elk element van B het beeld is
van hoogstens één element van A.
5. Surjectie: Een surjectie van A op B is een afbeelding van A in B waarbij
elk element van B het beeld is van minstens één element van A.
6. Bijectie: Een bijectie van A op B is een afbeelding van A in B waarbij
elk element van B het beeld is van juist één element van A.
2.2
2.2.1
Reële functies
Invloed van parameters op de grafiek van een functie
Zij een functie f (x) gegeven en beschouwen we de functies af (x − α) + β waarbij
a, α en β parameters zijn. Dan hebben de verschillende parameters volgende
invloed op de grafiek van f (x):
• α : verschuiving in de richting van de X-as over |α| éénheden:
* naar rechts: als α positief is
* naar links: als α negatief is
• β : verschuiving in de richting van de Y -as over |β| éénheden:
* naar boven: als β positief is
* naar onder: als β negatief is
• a : ‘uitrekking’ van de grafiek met factor |a|
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
8
2.2
Reële functies
2.2.2
2
ANALYSE
Eerstegraadsfuncties
• Vorm.
f : x 7→ ax + b met a 6= 0
• Grafiek.
Een rechte waarbij a de richtingscoëfficiënt is en b het stuk afgesneden op
de y-as.
y 5
a>0
4
3
a<0
2
1
0
0
1
2
3
4
x
Als a > 0, is de rechte stijgend.
Als a < 0, is de rechte dalend.
b
Het snijpunt met de X-as is (− , 0) en met de Y -as (0, b)
a
• Formules.
Indien twee punten van de rechte (x1 , y1 ) en (x2 , y2 ) gegeven zijn, is de
richtingscoëfficiënt:
y2 − y1
a=
x2 − x1
De vergelijking van de rechte is dan:
y − y1 = a(x − x1 )
• Tekenverloop.
x
ax + b
2.2.3
−∞
b
a
0
−
tegengesteld teken van a
+∞
teken van a
Tweedegraadsfuncties
• Vorm.
f : x 7→ ax2 + bx + c met a 6= 0
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
9
2.2
Reële functies
2
ANALYSE
• Grafiek.
Een parabool, waarbij a de aard van de parabool aangeeft:
als a > 0, dan is de holle kant naar boven (dalparabool)
als a < 0, dan is de holle kant naar beneden (bergparabool)
Verder geldt dat |a| de ’uitrekkingsfactor’ voorstelt van
de parabool t.o.v. de standaardparabool: P ↔ y = x2 .
• Formules.
De top van de parabool wordt gegeven door:
t (−
b 4ac − b2
,
)
2a
4a
en de symmetrie-as:
b
2a
De topvergelijking van de parabool met top t (α, β)
S ↔ x=−
P ↔ y = a(x − α)2 + β
• Tekenverloop.
Stel xi de eventuele nulpunten van de functie f : x 7→ ax2 + bx + c. De
discriminant wordt gegegeven door volgende formule:
b2 − 4ac
en de nulpunten zijn dan
x1,2 =
−b ±
p
b2 − 4ac
2a
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
10
2.2
Reële functies
2
ANALYSE
* Discriminant > 0
x
ax2 + bx + c
−∞
teken van a
x1
0
teken van a
x1 = x2
0
tegengesteld teken van a
* Discriminant = 0
x
ax2 + bx + c
−∞
+∞
teken van a
* Discriminant < 0
x
ax2 + bx + c
2.2.4
−∞
+∞
teken van a
Veeltermfuncties
• Vorm.
f : x 7→ an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 met an 6= 0
• Formules.
Euclidische deling: zij f (x), d(x) 6= 0 ∈ IR[x] dan bestaat er juist één
q(x) en r(x) ∈ IR[x] zodat geldt:
f (x) = d(x) · q(x) + r(x) met graad(r(x)) < graad(d(x)) of r(x) = 0
Praktisch voorbeeld
Reststelling: De
rest van een deling van f (x) door x − a is gelijk aan f (a)
Criterium van deelbaarheid:
x − a | f (x) ⇔ f (a) = 0
Enkele stellingen:
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
11
x2
0
+∞
teken van a
2.2
Reële functies
2
ANALYSE
* Het verschil van twee gelijknamige machten is deelbaar door het verschil van de grondtallen.
xn − an = (x − a)(xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 + . . . + an−2 x + an−1 )
* De som van twee gelijknamige oneven machten is deelbaar door de
som van de grondtallen.
x2n+1 + a2n+1 = (x + a)(x2n − ax2n−1 + a2 x2n−2 − . . . − a2n−1 x + a2n )
Methode van Horner: zie
2.2.5
Gebroken rationale functies
• Vorm.
f : x 7→
g(x)
met g(x) en h(x) veeltermen en graad(h(x)) ≥ 1
h(x)
• Kenmerken.
* domein: IR\h−1 {0}
* f −1 {0} = g −1 {0} ∩ domein f
2.2.6
Goniometrische functies
• Periodieke functies
Een functie is een periodieke functie als en slechts als er een getal
ω ∈ IR0 bestaat zodat
∀x ∈ domf : f (x + ω) = f (x).
Het kleinste positief getal ω waarvoor dit geldt, noemen we de periode
van de functie.
• Elementaire goniometrische functies
De sinusfunctie: f : x 7→ sin x
Kenmerken:
* domein: IR
* bereik: [−1, 1]
* f −1 {0} = {kπ | k ∈ ZZ}
* periode: 2π
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
12
2.2
Reële functies
2
ANALYSE
* grafiek
De cosinusfunctie: f : x 7→ cos x
Kenmerken:
* domein: IR
* bereik: [−1, 1]
* f −1 {0} = {(2k + 1)
π
| k ∈ ZZ}
2
* periode: 2π
* grafiek
De tangensfunctie: f : x 7→ tan x
Kenmerken:
* domein: IR\{(2k + 1)
π
| k ∈ ZZ}
2
* bereik: IR
* f −1 {0} = {kπ | k ∈ ZZ}
* periode: π
* grafiek
De cotangensfunctie: f : x 7→ cotgx
Kenmerken:
* domein: IR\{kπ | k ∈ ZZ}
* bereik: IR
* f −1 {0} = {(2k + 1)
π
| k ∈ ZZ}
2
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
13
2.2
Reële functies
2
ANALYSE
* periode: π
• Algemene sinusfuncties: f : x 7→ a sin(b(x − c)) + d
Kenmerken:
* |a| is de amplitude (maximale uitwijking t.o.v. de evenwichtsstand)
2π
* periode:
b
* domein: IR
* bereik: [−|a| + d, |a| + d]
* c : verschuiving in de richting van de X-as over |c| éénheden:
* naar rechts: als c positief is
* naar links: als c negatief is
* d : verschuiving in de richting van de Y -as over |d| éénheden:
* naar boven: als d positief is
* naar onder: als d negatief is
• Toepassing: f : x 7→ a sin x + b cos x
Methode voor het omvormen tot een algemene sinusfunctie:
f (x)
=
=
=
=
=
=
a sin x + b cos x
b
a(sin x + cos x)
a
b
π
b
Stel = tan ϕ met ϕ ∈]0, [ als
>0
a
2
a
π
b
en ϕ ∈] − , 0[ als
<0
2
a
a(sin x + tan ϕ cos x)
sin ϕ
a(sin x +
cos x)
cos ϕ
a
(sin x cos ϕ + sin ϕ cos x)
cos ϕ
a
sin(x + ϕ)
cos ϕ
• Formules
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
14
2.2
Reële functies
2.2.7
2
ANALYSE
Exponentiële functies
• Vorm
f : x 7→ ax met a ∈ IR+
0 \{1}
• Kenmerken
* domein: IR
* bereik: IR+
0
* f −1 {0} = ∅
• Speciaal geval
f : x 7→ ex met e het getal van Euler (e = 2,718281828459. . .)
• Grafiek
2.2.8
Logaritmische functies
• Definitie logaritmen
y
∀a ∈ IR+
0 \{1} : y = loga x ⇔ a = x
• Speciale gevallen
Briggse logaritme : log x is de logaritme met grondtal a = 10
Neperiaanse logaritme: ln x is de logaritme met grondtal a = e
• Vorm
f : x 7→ loga x met a ∈ IR+
0 \{1}
• Kenmerken
* domein: IR+
0
* bereik: IR
* f −1 {0} = {1}
• Grafiek
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
15
2.2
Reële functies
2
ANALYSE
• Formules
* Gevolg van de definitie:
loga ay = y en aloga x = x
* Logaritme van een product.
∀x1 , x2 , x3 ∈ IR+
0 : loga (x1 · x2 · x3 ) = loga x1 + loga x2 + loga x3
* Logaritme van een quotiënt.
∀x1 , x2 ∈ IR+
0 : loga (
x1
) = loga x1 − loga x2
x2
* Logaritme van een macht.
r
∀x ∈ IR+
0 ; ∀r ∈ IR : loga x = r loga x
* Verandering van grondtal.
logb x =
2.2.9
loga x
loga b
Grafieken van enkele bijzondere functies
* Absolute waardefunctie: y = | x |
y
x
* Geheelfunctie (trapfunctie): y = b x c
Dit is een functie waarbij b x c het grootste geheel getal voorstelt kleiner
dan of gelijk aan x.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
16
3
* De functie y =
3
√
GETALLEN
x
GETALLEN
3.1
Rijen
1. Rekenkundige rijen
• Wat?
Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term de som is van de
vorige term en een constant getal. Dit constant getal noemen we het
verschil van de rij.
• Voorbeelden.
1, 3, 5, 7, 9, . . .
100, 90, 80, 70, 60, . . .
• Formules.
* Algemene term.
Stel tn de n-de term van de rij en v het verschil.
tn = tn−1 + v
tn = t1 + (n − 1)v
* Rekenkundig gemiddelde.
a, b, en c zijn opeenvolgende termen van een rekenkundige rij
m
a+c
b=
2
Eigenschap: In een rekenkundige rij met een oneven aantal termen is de middelste term gelijk aan het rekenkundig gemiddelde
van alle termen.
* Som van de n termen van een eindige rekenkundige rij (sn ):
sn = n
t1 + tn
2
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
17
3.2
Machten met gehele exponenten
3
GETALLEN
* Toepassing: som van de eerste n van nul verschillende natuurlijke
getallen.
n+1
sn = n
2
2. Meetkundige rijen
• Wat?
Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term het product is van
de vorige term en een constant getal. Dit constant getal noemen we
de reden van de rij.
• Voorbeeld.
1, 2, 4, 8, 16, . . .
9 27 81
2, 3, , , , . . .
2 4 8
• Formules.
* Algemene term.
Stel tn de n-de term van de rij en r de reden.
tn = tn−1 · r
tn = t1 · rn−1
* Meetkundig gemiddelde.
a, b, en c zijn opeenvolgende termen van een meetkundige rij
m√
|b| = a · c
* Som van de n termen van een eindige meetkundige rij (sn ):
sn =
t1 (rn − 1)
r−1
* Som van de termen van een convergerende meetkundige rij (s):
Als 0 < |r| < 1, dan convergeert de meetkundige rij en is de som
van de termen:
t1
s=
1−r
3.2
Machten met gehele exponenten
• met natuurlijke exponenten
* Definitie: Zij n ∈ IN en a ∈ IR, dan geldt: an = a
| · a · a{z· . . . · a}
n keer
* Afspraak: a0 = 1
• met gehele exponenten
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
18
3.3
n-de machtswortels
3
* Definitie: Zij n ∈ IN en a ∈ IR0 , dan geldt : a−n =
GETALLEN
1
an
• rekenregels voor machten met gehele exponenten
Zij m, n ∈ ZZ en a, b ∈ IR0 , dan geldt:
am · an
am
an
m n
(a )
m
a ·b
3.3
m
=
am+n
=
am−n
=
amn
=
(a · b)m
n-de machtswortels
• Definitie
w is een n-de machtswortel van a
a.s.a
wn = a
* Als n even is, heeft elk positief van 0 verschillend getal a precies
twee n-de machtswortels:
√
√
een positieve ( n a) en een negatieve (− n a).
√
* Als n oneven is, heeft elk getal één n-de machtswortel ( n a) (kan
positief of negatief zijn)
• Bestaansvoorwaarden
* n even
p
n
f (x) bestaat ⇔ f (x) ≥ 0 en x behoort tot het domein van f
vb:
√
4
x + 1 bestaat ⇔ x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1
* n oneven
p
n
f (x) bestaat voor alle x die tot het domein van f behoren.
vb:
3.4
√
3
x + 1 bestaat voor alle x ∈ IR
Machten met reële exponenten
• met gebroken rationale exponenten
* Definitie: Zij n ∈ IN 0 , m ∈ ZZ en a ∈
2
√
3
3
* Voorbeeld: 8 = 82 = 4
IR+
0,
m
√
dan geldt: a n = n am
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
19
3.5
Absolute waarde
3
GETALLEN
• met reële exponenten
* Voorbeeld: 3π
• rekenregels voor machten met reële exponenten
Zij r, s ∈ IR en a, b ∈ IR+
0 , dan geldt:
as · ar
as
ar
s r
(a )
s
a ·b
3.5
s
= as+r
= as−r
= asr
=
(a · b)s
Absolute waarde
• Definitie:
(
x
|x| =
−x
⇔ x ∈ IR+ ,
⇔ x ∈ IR− .
• Eigenschappen:
* |x| = 0 ⇔ x = 0
* |x · y| = |x| · |y|
* |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
* a ∈ IR+ : |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
* a ∈ IR+ : |x| > a ⇔ x > a of x < −a
3.6
Formules (merkwaardige producten, quotiënten...)
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
a4 − b4 = (a2 − b2 )(a2 + b2 ) = (a − b)(a + b)(a2 + b2 )
Of ook : a4 − b4 = (a − b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 )
Voor (a + b)5 , (a + b)6 , . . . zie
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
20
3.7
Deelbaarheid in ZZ
3.7
3
GETALLEN
Deelbaarheid in ZZ
• Definitie: ∀a, d ∈ ZZ : d | a ⇔ ∃q ∈ ZZ : a = dq
• Stelling i.v.m. lineaire combinaties:
Zij a, b, d ∈ ZZ
d | a en d | b ⇒ d | xa + yb, ∀x, y ∈ ZZ
• Euclidische deling:
∀a ∈ ZZ, b ∈ IN 0 : ∃!q ∈ ZZ, ∃!r ∈ ZZ : a = bq + r met 0 ≤ r < b
• Grootste gemene deler ggd(a, b):
Zij a, b ∈ IN 0
ggd(a, b)
= d
m
d ∈ del (a) ∩ del (b) en ∀c ∈ del (a) ∩ del (b) : c ≤ d
Eigenschap: De grootste gemene deler van twee van nul verschillende
natuurlijke getallen is de kleinste positieve van nul verschillende lineaire
combinatie met gehele coëfficiënten van die twee getallen.
• Kleinste gemeen veelvoud kgv(a, b):
Zij a, b, m ∈ IN 0
kgv(a, b)
=
m
m
m ∈ aZZ ∩ bZZ en ∀c ∈ aZZ ∩ bZZ ∩ IN 0 : c ≥ m
Eigenschap:
kgv(a, b) · ggd(a, b) = a · b
• Priemgetallen:
Definitie: Zij p ∈ IN , dan is p een priemgetal a.s.a. del(p) ∩ IN = {1, p}.
Eigenschap: Elk natuurlijk getal, groter dan 1, is op unieke wijze te
ontbinden in priemfactoren:
αq
1 α2 α3
n = pα
1 p2 p3 · . . . · pq
met p1 , p2 , . . . pq priemgetallen en α1 , α2 , . . . αq ∈ IN 0 .
Het aantal delers van een natuurlijk getal n is dan (α1 + 1)(α2 +
1)(α3 + 1) · . . . · (αq + 1).
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
21
3.8
3.8
Complexe getallen
3
GETALLEN
Complexe getallen
1. De vorm a + bi
Eigenschappen en begrippen:
* i2 = −1
* Als z = a + bi dan is z̄ = a − bi het complex toegevoegde.
Er geldt:
¯ z2 = z¯1 + z¯2
z1 +
z1 ¯· z2 = z¯1 · z¯2
2. De goniometrische vorm
• Voorstelling in het complexe vlak:
• Goniometrische vorm:
a + bi = r(cos θ + i sin θ)
• Product en quotiënt van twee complexe getallen:
Zij z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) en z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ).
Er geldt:
z1 · z2 = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )
z1
r1
= (cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )
z2
r2
• n-de macht van een complex getal:
∀n ∈ ZZ : (r(cos θ + i sin θ))n = rn (cos nθ + i sin nθ)
• Formule van De Moivre:
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
• n-de machtswortels uit een complex getal z = r(cos θ + i sin θ):
√
n
r · (cos
θ + k · 360◦
θ + k · 360◦
+ i sin
) met k ∈ ZZ
n
n
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
22
3.9
Statistiek
3
GETALLEN
3. Exponentiële schrijfwijze van een complex getal x + iy
• Formules
x + iy = reθi = r(cos θ + i sin θ)
ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y)
• Gevolg
1 zi
(e + e−zi )
2
1
sin z = (ezi − e−zi )
2i
cos z =
4. Veeltermen over C
* Elke veelterm over C van de n-de graad heeft precies n nulpunten in
C.
* Als het complexe getal a + bi een nulpunt is van een veelterm met
reële coëfficiënten, dan is ook het complex toegevoegde getal a − bi
een nulpunt van deze veelterm.
3.9
Statistiek
1. Enkele begrippen:
• Populatie (universum): de verzameling van personen of objecten
waarvan men kenmerk(en) wil onderzoeken
• Steekproef: deelverzameling van de populatie, verzameling van die
elementen van de populatie waarvoor de waarnemingen worden uitgevoerd.
• Variabele: kenmerk dat men bij de elementen van de populatie wil
nagaan. Aan de variabele worden waarden toegekend.
2. Frequentietabel:
Stel x1 , x2 , x3 , . . . , xn een steekproef met omvang n en p verschillende
waarden.
x
x1
x2
..
.
absolute frequentie
n1
n2
..
.
relatieve frequentie
f1
f2
..
.
xp
np
fp
• Absolute frequentie: ni is het aantal keer dat de waarde xi voorkomt
in de steekproef; er geldt:
p
X
ni = n
i=1
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
23
4
• De relatieve frequentie: fi =
p
X
ALGEBRA
ni
en er geldt:
n
fi = 1
i=1
OF in procent: fi =
ni
· 100 en er geldt:
n
p
X
fi = 100
i=1
3. Gemiddelde(x̄):
1 Pp n x
• x̄ = n
i=1 i i
Dit wordt ook wel gewogen gemiddelde genoemd.
4. Variantie (s2 ) en standaardafwijking (s):
p
1 X
·
ni (xi − x̄)2
n i=1
v
u
p
u1 X
ni (xi − x̄)2
• s=t ·
n i=1
• s2 =
4
ALGEBRA
4.1
4.1.1
Vergelijkingen
Eerstegraadsvergelijkingen (lineaire vergelijkingen)
• Vorm.
ax + b = 0, a 6= 0
• Formule.
Deze vergelijking heeft altijd één oplossing:
x=−
4.1.2
b
a
Tweedegraadsvergelijkingen (vierkantsvergelijkingen)
• Vorm.
ax2 + bx + c = 0, a 6= 0
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
24
4.1
Vergelijkingen
4
ALGEBRA
• Formules.
Het aantal oplossingen hangt af van het teken van de discriminant (D):
D = b2 − 4ac
Als D > 0, dan zijn er twee verschillende oplossingen:
√
−b ± D
x1,2 =
2a
Als D = 0, dan zijn er twee gelijke oplossingen:
x1 = x2 =
−b
2a
Als D < 0, dan zijn er geen oplossingen.
De som (s) en het product (p) van de oplossingen:
b
c
s = − en p =
a
a
Een uitdrukking van de tweede graad ontbinden in factoren (als D ≥ 0):
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
met x1 , x2 de oplossingen van de vergelijking ax2 + bx + c = 0
4.1.3
Bikwadratische vergelijkingen
• Vorm.
ax4 + bx2 + c = 0, a 6= 0
• Methode.
Door middel van een substitutie t = x2 herleid je de bikwadratische
vergelijking tot een vierkantsvergelijking in t. De gevonden oplossingen
voor t moet je daarna nog terug naar de variabele x omzetten.
4.1.4
Vergelijkingen van de n-de graad
• Vorm.
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , an 6= 0
• Methode.
Probeer de n-de graadsuitdrukking te ontbinden in factoren, ofwel op het
zicht ofwel via de methode van Horner. Volgens deze laatste zoek je een
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
25
4.1
Vergelijkingen
4
ALGEBRA
deler van de vorm x − a.
Criterium van deelbaarheid:
x − a | f (x) ⇔ f (a) = 0
Verder zoek je het quotiënt met het rekenschema van Horner.
• Voorbeeld.
Los op: x3 + 2x2 − 5x + 2 = 0
f (1) = 0 ⇒ x − 1 | f (x)
1
2
-5
2
1
1
3
3
-2
-2
0
1
Het quotiënt is dan x2 + 3x − 2, zodat we krijgen:
(x − 1)(x2 + 3x − 2) = 0
Verdere ontbinding levert:
√
√
−3 + 17
−3 + 17
)(x +
)=0
(x − 1)(x −
2
2
√
√
−3 + 17 −3 − 17
De oplossingenverzameling is dan {1,
,
}
2
2
4.1.5
Irrationale vergelijkingen
Een irrationale vergelijking is een vergelijking waarbij de variabele x onder het
wortelteken voorkomt.
Voorbeelden:
√
x+2=x
(1)
√
x=5−
√
x+1
(2)
De methode van oplossen bestaat erin te kwadrateren tot de vierkantswortels
verdwenen zijn.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
26
4.1
Vergelijkingen
4
ALGEBRA
Er zijn wel enkele voorwaarden op te stellen: bestaansvoorwaarden en kwadrateringsvoorwaarden.
De oplossingen:
√
x+2=x
De bestaansvoorwaarde:
x+2
≥
x ≥
0
(1)
−2
(2)
De kwadrateringsvoorwaarde:
x≥0
De vergelijking wordt dan:
√
x+2
x+2
2
x −x−2
x = −1
=
x
=
x
(3)
2
=0
(4)
(5)
of
x=2
(6)
De eerste oplossing voldoet niet aan de voorwaarden, de tweede wel,
dus de oplossingenverzameling is {2}.
√
x=5− x+1
√
√
x+ x+1=5
√
De bestaansvoorwaarden:
x ≥
0
(7)
(8)
(9)
x+1
≥
x ≥
0
(10)
−1
(11)
De vergelijking wordt dan:
p
x + 2 x(x + 1) + x + 1 = 25
p
2 x(x + 1) = 24 − 2x
p
x(x + 1) = 12 − x
(12)
(13)
(14)
(15)
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
27
5
GONIOMETRIE
De kwadrateringsvoorwaarde:
12 − x
x
≥ 0
(16)
≤ 12
(17)
Verder krijgen we dan:
144 − 24x + x2
144
x =
25
x(x + 1)
=
(18)
(19)
Deze oplossing voldoet aan alle voorwaarden, dus de oplossingenverzameling is
144
}.
{
25
5
5.1
5.1.1
5.1.2
GONIOMETRIE
Goniometrische getallen van een hoek
In een rechthoekige driehoek
sin α
=
cos α
=
tg α
=
cotg α
=
A
C
B
C
A
sin α
=
cos α
B
1
B
=
tgα
A
De goniometrische cirkel
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
28
5.1
Goniometrische getallen van een hoek
5.1.3
5
GONIOMETRIE
Formules
• Grondformule en afgeleide formules
1
sin α
1
cos α
cos2 α + sin2 α
=
cosecα
=
secα
=
1
1 + tg α
=
sec2 α
1 + cotg2 α
=
cosec2 α
2
• Verwante hoeken
* Tegengestelde hoeken (α en −α)
sin(−α)
=
− sin α
cos(−α)
=
cos α
tg (−α)
= − tg α
cotg (−α)
= − cotg α
* Supplementaire hoeken (α en π − α)
sin(π − α)
=
cos(π − α)
= − cos α
tg (π − α)
= − tg α
cotg (π − α)
* Complementaire hoeken (α en
π
2
π
cos(
2
π
tg (
2
π
cotg (
2
sin(
sin α
= − cotg α
π
− α)
2
− α)
=
cos α
− α)
=
sin α
− α)
=
cotg α
− α)
=
tg α
* Antisupplementaire hoeken (α en π + α)
sin(π + α)
= − sin α
cos(π + α)
= − cos α
tg (π + α)
=
tg α
cotg (π + α)
=
cotg α
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
29
5.1
Goniometrische getallen van een hoek
* Anticomplementaire hoeken (α en
π
2
π
cos(
2
π
tg (
2
π
cotg (
2
sin(
5
GONIOMETRIE
π
+ α)
2
+ α)
=
cos α
+ α)
= − sin α
+ α)
= − cotg α
+ α)
= − tg α
• Som- en verschilformules
cos(α − β)
=
cos α cos β + sin α sin β
cos(α + β)
sin(α + β)
=
=
cos α cos β − sin α sin β
sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β)
=
sin α cos β − cos α sin β
tg α + tg β
tg (α + β) =
1 − tg α tg β
tg α − tg β
tg (α − β) =
1 + tg α tg β
• Formules van Simpson
sin α + sin β
sin α − sin β
cos α + cos β
cos α − cos β
α+β
α−β
cos
2
2
α+β
α−β
= 2 cos
sin
2
2
α+β
α−β
= 2 cos
cos
2
2
α+β
α−β
= −2 sin
sin
2
2
=
2 sin
• Formules voor de dubbele hoek
sin(2α)
=
2 sin α cos α
cos(2α)
=
tg(2α)
=
cos2 α − sin2 α
2 tg α
1 − tg2 α
• t-formules
Stel tg α
2 = t, dan kunnen we sin α, cos α en tg α schrijven in functie van
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
30
5.2
Goniometrische functies
6
VLAKKE MEETKUNDE
t.
5.1.4
sin α
=
cos α
=
tg α
=
2t
1 + t2
1 − t2
1 + t2
2t
1 − t2
Oplossen van driehoeken
• Rechthoekige driehoeken
* De stelling van Pythagoras:
C 2 = A2 + B 2
• Willekeurige driehoeken
* De sinusregel:
A
B
C
=
=
= 2R
sin α
sin β
sin γ
met R de straal van de omgeschreven cirkel.
* De cosinusregel:
5.2
A2
B2
= B 2 + C 2 − 2BC cos α
= A2 + C 2 − 2AC cos β
C2
= A2 + B 2 − 2AB cos γ
Goniometrische functies
Zie Sectie ?? op pagina ??.
6
6.1
VLAKKE MEETKUNDE
Stelling van Thales
De lijnstukken ingesneden door evenwijdige rechten op een snijlijn zijn evenredig
met de overeenkomende lijnstukken ingesneden op elke andere snijlijn.
|ab|
|a0 b0 |
= 0 0
|bc|
|b c |
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
31
6.2
Driehoeken
6
VLAKKE MEETKUNDE
In het bijzonder geldt bij evenwijdige projectie: De projecties van evenwijdige lijnstukken hebben dezelfde verhouding als de lijnstukken
zelf.
6.2
Driehoeken
6.2.1
Oppervlakte (O)
O=
B·H
2
Of ook:
O
=
=
=
6.2.2
1
· A · B · sin γ
2
1
· B · C · sin α
2
1
· C · A · sin β
2
Eigenschappen
• De som van de hoeken van een driehoek is 180◦ .
α + β + γ = 180◦
• Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de nietaanliggende binnenhoeken.
δ =α+γ
• In een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras:
C 2 = A2 + B 2
met C de schuine zijde en A, B de rechthoekzijden.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
32
6.2
Driehoeken
6.2.3
6
VLAKKE MEETKUNDE
Merkwaardige lijnen
• Zwaartelijnen (Za , Zb , Zc )
De drie zwaartelijnen gaan door één punt, het zwaartepunt.
Eigenschap v.h. zwaartepunt:het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijnen in twee stukken waarvan de lengtes zich verhouden als 2 en 1.
|ma z| =
1
|za|
2
• Hoogtelijnen (Ha , Hb , Hc )
De drie hoogtelijnen gaan door één punt.
• bissectrice
De drie bissectrices gaan door één punt dat bovendien het middelpunt is
van de ingeschreven cirkel.
• Middelloodlijnen (M1 , M2 , M3 )
De drie middelloodlijnen gaan door één punt dat bovendien het middelpunt is van de omgeschreven cirkel.
6.2.4
De middenparallel
De middenparallel van een driehoek is het lijnstuk dat de middens van twee
1
zijden verbindt. Een driehoek heeft er drie. Er geldt bovendien: |m1 m2 | = |ac|
2
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
33
6.2
Driehoeken
6.2.5
6
VLAKKE MEETKUNDE
Congruente driehoeken
• Definitie congruente veelhoeken: Congruente veelhoeken zijn veelhoeken die door verplaatsing in elkaar kunnen overgaan m.a.w. die elkaar
volledig kunnen bedekken.
• Gevallen van congruentie bij driehoeken
* Twee driehoeken zijn congruent als ze één zijde en twee hoeken gelijk
hebben.
* Twee driehoeken zijn congruent als ze twee zijden en de ingesloten
hoek gelijk hebben.
* Twee driehoeken zijn congruent als ze de drie zijden gelijk hebben.
6.2.6
Gelijkvormige driehoeken
• Definitie gelijkvormige veelhoeken: Gelijkvormige veelhoeken zijn
veelhoeken die gelijke hoeken hebben en waarvan de overeenkomstige zijden evenredig zijn.
Gevolg:
4abc ∼ 4a0 b0 c0
m
|bc|
|ca|
|ab|
= 0 0 = 0 0
|a0 b0 |
|b c |
|c a |
• Gevallen van gelijkvormigheid bij driehoeken
* Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze twee hoeken gelijk hebben.
* Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee zijden van de ene evenredig
zijn met twee zijden van de andere en de ingesloten hoeken gelijk zijn.
* Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de drie zijden van de ene evenredig
zijn met de drie zijden van de andere.
* Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de zijden van de ene evenwijdig
lopen met of loodrecht staan op de zijden van de andere.
6.2.7
Driehoeksongelijkheid
Zij A, B en C de lengtes van de zijden van een driehoek (A ≤
B ≤ C), dan geldt:
C −B ≤ A≤B+C
C −A ≤ B ≤A+C
B−A ≤C ≤B+A
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
34
6.3
Vierhoeken
6.3
6.3.1
6
VLAKKE MEETKUNDE
Vierhoeken
Parallellogram
* Definitie: Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande
zijden evenwijdig zijn.
* Oppervlakte (O): O = B · H
* Eigenschap: De diagonalen snijden elkaar middendoor.
* Speciale gevallen:
• Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden.
Eigenschap: De diagonalen staan loodrecht op elkaar en delen de
hoeken middendoor.
• Een rechthoek is een vierhoek met vier gelijke hoeken.
Eigenschap: De diagonalen zijn gelijk.
• Een vierkant is een rechthoek met vier gelijke zijden.
6.3.2
Trapezium
* Definitie: Een trapezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden.
* Oppervlakte (O): O =
b+B
·H
2
* Middenparallel:|m1 m2 | =
b+B
2
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
35
6.4
Veelhoeken
6.4
6
VLAKKE MEETKUNDE
Veelhoeken
• De som van de hoeken van een n-hoek is gelijk aan: (n − 2)180◦
• Elke hoek van een regelmatige n-hoek is gelijk aan:
6.5
(n − 2)180◦
n
Cirkels
Zij r de straal van de cirkel.
6.5.1
Omtrek:
2πr
6.5.2
Oppervlakte:
πr2
6.5.3
Raaklijn-normaal
* Een raaklijn aan een cirkel is een rechte die juist één punt gemeen heeft
met de cirkel.
* Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.
* De normaal in een punt op de cirkel is de loodlijn in dit punt op de
raaklijn.
6.5.4
Boog-koorde
* Een boog is een deel van de cirkelomtrek.
* Lengte van een cirkelboog: αr
* Een koorde is een lijnstuk dat de eindpunten van een boog verbindt.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
36
6.5
Cirkels
6.5.5
6
VLAKKE MEETKUNDE
Middelpuntshoek-omtrekshoek
* Een omtrekshoek meet de helft van de middelpuntshoek op dezelfde
boog.
* Omtrekshoeken die op eenzelfde boog staan, zijn gelijk.
6.5.6
Binnen- en buitenomtrekshoek
* Een binnenomtrekshoek heeft hetzelfde maatgetal als de halve som van
de boog binnen de hoek en de boog binnen de overstaande hoek.
α=
1 _ _
(ab + cd)
2
* Een buitenomtrekshoek heeft hetzelfde maatgetal als het halve verschil van de bogen binnen de hoek.
α=
6.5.7
1 _ _
(ab − cd)
2
Sector-segment
* Een cirkelsegment is de figuur gevormd door een boog en zijn koorde.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
37
6.6
Analytische meetkunde
6
VLAKKE MEETKUNDE
* Een cirkelsector is de figuur gevormd door een boog en de stralen naar
zijn eindpunten.
* Oppervlakte van een cirkelsector:
6.5.8
1 2
αr
2
Macht van een punt t.o.v. de cirkel
Het product van de afstanden van een punt p tot de snijpunten van een veranderlijke rechte door p met de cirkel, is constant; die constante noemen we de
macht van het punt tot de cirkel.
|pa| · |pb| = |pc| · |pd|
6.5.9
Koordenvierhoek
* Een koordenvierhoek is een vierhoek ingeschreven in een cirkel.
* In een koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken α en β elkaars supplement.
6.6
6.6.1
Analytische meetkunde
Afstand tussen twee punten
Zij p(x1 , y1 ) en q(x2 , y2 ) twee punten dan geldt:
p
d(p, q) = |pq| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
38
6.7
Vectoren
6.6.2
6
VLAKKE MEETKUNDE
Midden van een lijnstuk
Zij a(x1 , y1 ) en b(x2 , y2 ) twee punten in het vlak, dan is de coördinaat van het
midden (m) van het lijnstuk [ab]:
x1 + x2 y1 + y2
co(m) =
,
2
2
6.6.3
Afstand van een punt tot een rechte
Zij A ↔ ax + by + c = 0 een rechte en p(x1 , x2 ) een punt, dan geldt:
|ax1 + by1 + c|
p
a2 + b2
De normaalvergelijking van een rechte L ↔ ax + by + c = 0 is:
d(p, A) =
ax + by + c
p
=0
a 2 + b2
6.6.4
Loodrechte stand - evenwijdigheid
* Twee rechten met respectieve richtingscoëfficiënten m1 en m2 staan loodrecht op elkaar a.s.a m1 m2 = −1.
* Twee rechten met respectieve richtingscoëfficiënten m1 en m2 zijn evenwijdig a.s.a. m1 = m2 .
6.6.5
De vergelijking van de cirkel
Zij m(x1 , y1 ) het middelpunt en r de straal van de cirkel, dan is de (middelpunts)vergelijking:
C(m, r) ↔ (x − x1 )2 + (y − y1 )2 = r2
6.7
6.7.1
Vectoren
Definitie:
~ is de verzameling van alle lijnstukken die dezelfde lengte, richting en
Vector ab
~
zin hebben als het georiënteerde lijnstuk ab.
~
Grafisch wordt ab voorgesteld door één representant van die verzameling.
Met plaatsvector p~ wordt vector op
~ bedoeld, met o de oorsprong van het vlak.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
39
6.7
Vectoren
6.7.2
6
VLAKKE MEETKUNDE
Coördinaat van een vector (componentenkoppel)
Bij plaatsvectoren geldt: co(~
p) = co(p) = (x1 , x2 )
~ is dezelfde als die van zijn plaatsvector.
De coördinaat van ab
6.7.3
Optellen van vectoren
Voor het optellen van vectoren geldt de regel van het parallellogram.
~ ) = (x1 , y1 ) en co(W
~ ) = (x2 , y2 ) dan is:
Met coördinaten: als co(V
~ +W
~ ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
co(V
6.7.4
Scalaire vermenigvuldiging
~ is een vector met lengte |r| maal de lengte van V
~,
Het r-voud van een vector V
~
~
richting dezelfde als die van V en zin dezelfde als die van V (r¿0) of tegengesteld
~ (r¡0).
aan die van V
~ ) = (x1 , y1 ), dan is:
Met coördinaten: als co(V
~ ) = (rx1 , ry1 )
co(rV
6.7.5
Norm van een vector
~ is de afstand d(a, b).
De norm van een vector: kabk
~
Met coördinaten: als co(V ) = (x1 , y1 ) dan is:
q
~ k = x2 + y 2
kV
1
1
6.7.6
Ongelijkheid van Minkowski
~ +W
~ k ≤ kV
~ k + kW
~k
kV
6.7.7
Hoek tussen twee vectoren
~ en V
~ verschillend zijn van ~0, co(U
~ ) = (x1 , y1 ) en co(V
~ ) = (x2 , y2 ) en ϕ
Als U
de hoek tussen beide vectoren, dan is:
x1 x2 + y1 y2
q
cos(ϕ) = q
2
x1 + y12 · x22 + y22
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
40
7
6.7.8
RUIMTEMEETKUNDE
Scalair product van twee vectoren
~ en V
~ verschillend zijn van ~0 en ϕ de hoek is tussen beide vectoren, dan
Als U
is het scalair product:
~ ·V
~ = kU
~ k · kV
~ k · cos(ϕ)
U
Met coördinaten:
~ ·V
~ = x1 x2 + y1 y2
U
6.7.9
Orthogonaliteit van vectoren:
~ en V
~ zijn orthogonaal als U
~ ·V
~ = 0.
Twee vectoren U
7
7.1
7.1.1
RUIMTEMEETKUNDE
Inhoud en oppervlakte van ruimtefiguren
Prisma
Stel G de oppervlakte van het grondvlak.
I =G·h
7.1.2
Piramide
Stel G de oppervlakte van het grondvlak.
I=
7.1.3
1
G·h
3
Cilinder
I = πr2 h
De zijdelingse oppervlakte van een rechte cilinder: O = 2πrh
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
41
7.2
Vectoren
7.1.4
7
RUIMTEMEETKUNDE
Kegel
1 2
πr h
3
√
De zijdelingse oppervlakte van een rechte kegel: O = πr h2 + r2
I=
7.1.5
Bol
4 3
πr
3
De oppervlakte: O = 4πr2
I=
7.2
Vectoren
Zie hoofdstuk over vectoren in Sectie ?? op pagina ??.
7.3
7.3.1
Coördinaten in de ruimte
Richtingsvectoren-richtingsgetallen
pq
~ is een richtingsvector van de rechte A ⇔ pqkA
De coördinaat van een richtingsvector van A noemen we een stel
richtingsgetallen van A.
Voorbeeld:
Zij p(x1 , y1 , z1 ) en q(x2 , y2 , z2 ) twee punten gelegen op de rechte A.
Dan is pq
~ een richtingsvector van A en is co(pq)
~ = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) een
stel richtingsgetallen van A.
7.3.2
Vergelijkingen van een rechte
* Rechte bepaald door punt en richtingsvector:
Zij p(x1 , y1 , z1 ) een punt van de rechte en ~q(a1 , b1 , c1 ) een richtingsvector,
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
42
7.3
Coördinaten in de ruimte
7
RUIMTEMEETKUNDE
dan zijn de parametervergelijkingen:
x =
x1 + ra1
y
=
y1 + rb1
z
=
z1 + rc1
en de Cartesiaanse vergelijkingen :
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
a1
b1
c1
* Rechte bepaald door twee punten:
Zij p(x1 , y1 , z1 ) en q(x2 , y2 , z2 ) twee punten van de rechte, dan zijn de
parametervergelijkingen:
x = x1 + r(x2 − x1 )
y = y1 + r(y2 − y1 )
z = z1 + r(z2 − z1 )
en de Cartesiaanse vergelijkingen:
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
7.3.3
Vergelijking van een vlak
* Vlak bepaald door een punt en twee onafhankelijke richtingsvectoren:
Zij p(x1 , y1 , z1 ) een punt en ~q(a1 , b1 , c1 ) en ~r(a2 , b2 , c2 ) twee onafhankelijke
richtingsvectoren van het vlak, dan is de parametervoorstelling:
x = x1 + ka1 + la2
y = y1 + kb1 + lb2
z = z1 + kc1 + lc2
* Cartesiaanse vergelijking van een vlak:
ux + vy + wz + t = 0
met u, v, w, t ∈ IR en ~n (u, v, w) een normaalvector van dat vlak. (Een
normaalvector van een vlak is een vector die loodrecht staat op het vlak.)
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
43
7.3
Coördinaten in de ruimte
7
RUIMTEMEETKUNDE
* Determinantvergelijking van een vlak:
Zij p(x1 , y1 , z1 ) een punt en q(a1 , b1 , c1 ) en r(a2 , b2 , c2 ) twee onafhankelijke
richtingsvectoren van het vlak, dan is de determinantvergelijking:
x y z 1 x1 y1 z1 1 a1 b1 c1 0 = 0
a2 b2 c2 0 Zij p1 (x1 , y1 , z1 ), p2 (x2 , y2 , z2 ) en p3 (x3 , y3 , z3 ) drie punten van het vlak,
dan is de determinantvergelijking:
x y z 1 x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 = 0
x3 y3 z3 1 7.3.4
Middelpuntsvergelijking van een bol
Zij Σ(m, r) een bol met middelpunt m(x1 , y1 , z1 ) en straal r, dan is de middelpuntsvergelijking:
Σ(m, r) ↔ (x − x1 )2 + (y − y1 )2 + (z − z1 )2 = r2
7.3.5
Cartesiaanse vergelijkingen van omwentelingslichamen
* Bol met middelpunt in de oorsprong:
Σ ↔ x2 + y 2 + z 2 = r 2
* Cilindervlak met rotatieas de Z-as:
C ↔ x2 + y 2 = r 2
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
44
8
LOGICA
* Kegelvlak met rotatieas de Z-as:
K ↔ x2 + y 2 = (z − h)2 tg 2 α
* Hyperboloı̈de:
H ↔ x2 + y 2 − z 2 = 1
* Paraboloı̈de:
P ↔ x2 + y 2 = 4z
8
LOGICA
8.1
Verklaring van de gebruikte symbolen
In wat volgt worden volgende symbolen gebruikt:
symbool
P, Q, R
¬
∨
∧
⇒
⇔
∀
∃
8.2
verklaring
uitspraken
niet
of
en
als...dan
als en slechts als
voor alle
er bestaat
Logische stellingen
1. ¬(¬P ) ⇔ P
2. (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q)
3. ((P ⇒ Q) ∧ P ) ⇒ Q
4. ((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P
5. (¬(P ∧ Q) ∧ P ) ⇒ ¬Q
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
45
8.3
Uitspraakvormen met kwantoren
8
LOGICA
6. (P ∨ Q) ∧ ¬Q) ⇒ P
7. Contrapositie van de implicatie:(P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P )
8. Wetten van De Morgan:
¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q
¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q
9. Commutativiteiten:
P ∧Q ⇔ Q∧P
P ∨Q ⇔ Q∨P
(P ⇔ Q) ⇔ (Q ⇔ P )
10. Associativiteiten:
(P ∧ Q) ∧ R
(P ∨ Q) ∨ R
((P ⇔ Q) ⇔ R)
11. Distributiviteiten:
P ∧ (Q ∨ R) ⇔
P ∨ (Q ∧ R) ⇔
⇔
⇔
⇔
(P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
(P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
12. Transitiviteiten:
((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R))
((P ⇔ Q) ∧ (Q ⇔ R))
8.3
P ∧ (Q ∧ R)
P ∨ (Q ∨ R)
(P ⇔ (Q ⇔ R))
⇒
⇒
(P ⇒ R)
(P ⇔ R)
Uitspraakvormen met kwantoren
Stel P (x) een uitspraakvorm in de veranderlijke x en A een referentieverzameling.
Dan gelden volgende wetten:
¬(∀x ∈ A : P (x))
¬(∃x ∈ A : P (x))
⇔
⇔
∃ x ∈ A : ¬P (x)
∀ x ∈ A : ¬P (x)
Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons NaamsvermeldingGelijkDelen 3.0 Unported. Bezoek http://creativecommons.org/licenses/bysa/3.0/ om een kopie te zien van de licentie of stuur een brief naar Creative
Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041,
USA.
Gelicenseerd onder Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0
Unported - http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
46