college 7a

Differentiaalvergelijkingen
Technische Universiteit Delft
Roelof Koekoek
wi2030WbMT
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
1/1
Fourierreeksen van even en oneven functies
∞
n π x n π x a0 X +
an cos
+ bn sin
2
L
L
n=1
Definitie
Een functie f heet even als f (−x) = f (x) voor alle x
Een functie f heet oneven als f (−x) = −f (x) voor alle x
Dergelijke functies moeten dus gedefinieerd zijn op een symmetrisch
interval rond 0
Voorbeelden: 1, x 2 , x 4 , 1 + x 6 , cos(x) zijn even functies
x, x 3 , x 5 , x + x 7 , sin(x) zijn oneven functies
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
2/1
Fourierreeksen van even en oneven functies
Z
L
Als f een oneven functie is, dan geldt:
f (x) dx = 0
−L
Z
L
L
Z
f (x) dx = 2
Als f een even functie is, dan geldt:
−L
f (x) dx
0
Verder gelden de volgende rekenregels:
• f even en g even, dan is f · g even
• f even en g oneven, dan is f · g oneven
• f oneven en g oneven, dan is f · g even
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
3/1
Fourierreeksen van even en oneven functies
Gevolg:
f even:
f oneven:
1
L
Z
1
L
Z
1
L
Z
1
L
Z
Roelof Koekoek (TU Delft)
L
f (x) cos
−L
L
f (x) sin
n π x L
n π x L
−L
L
f (x) cos
n π x −L
L
L
n π x f (x) sin
−L
L
2
dx =
L
L
Z
f (x) cos
0
n π x L
dx
dx = 0
dx = 0
2
dx =
L
Differentiaalvergelijkingen
Z
L
f (x) sin
0
n π x L
dx
wi2030WbMT
4/1
Fourier cosinusreeks / Fourier sinusreeks
Als f een even functie is op [−L, L) en verder periodiek met periode
2 L, dan geldt:
∞
n π x a0 X
+
an cos
f (x) =
(Fourier cosinusreeks)
2
L
n=1
2
met a0 =
L
L
Z
0
2
f (x) dx en an =
L
Z
L
f (x) cos
n π x 0
L
dx voor n ≥ 1
Als f een oneven functie is op [−L, L) en verder periodiek met periode
2 L, dan geldt:
∞
n π x X
bn sin
f (x) =
(Fourier sinusreeks)
L
n=1
met bn =
2
L
Z
L
f (x) sin
0
Roelof Koekoek (TU Delft)
n π x L
dx voor n ≥ 1
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
5/1
Fourier cosinusreeks / Fourier sinusreeks
Als een functie f gedefinieerd is op een interval [0, L],
dan kan die functie even worden voortgezet op het interval [−L, L] en
vervolgens periodiek met periode 2 L,
maar kan ook oneven worden voortgezet op het interval [−L, L] en
vervolgens periodiek met periode 2 L
Zo’n functie kan dus als een Fourier cosinusreeks worden geschreven,
maar ook als een Fourier sinusreeks:
∞
∞
n π x X
n π x a0 X
f (x) =
+
an cos
=
bn sin
2
L
L
n=1
n=1
met
2
an =
L
Z
L
f (x) cos
0
Roelof Koekoek (TU Delft)
n π x L
dx
en
2
bn =
L
Differentiaalvergelijkingen
Z
L
f (x) sin
0
n π x L
wi2030WbMT
dx
6/1
Voorbeeld
f (x) = x,
f (x) =
0<x <1
∞
2 X (−1)n+1
sin(n π x)
π
n
n=1
f (x) =
∞
1
2 X (−1)n − 1
+ 2
cos(n π x)
2 π
n2
n=1
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
7/1
Euler-Fourier formules / Relatie van Parseval
∞
f (x) =
n π x n π x a0 X +
an cos
+ bn sin
2
L
L
n=1
Euler-Fourier formules:
L
1
L
Z
1
bn =
L
Z
an =
f (x) cos
−L
en
L
f (x) sin
−L
n π x L
n π x L
dx,
n = 0, 1, 2, . . .
dx,
n = 0, 1, 2, . . .
Relatie van Parseval:
1
L
Roelof Koekoek (TU Delft)
L
∞
∞
n=1
n=1
a2 X 2 X 2
{f (x)} dx = 0 +
an +
bn
2
−L
Z
2
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
8/1
Methode van scheiden van variabelen
α2 uxx = ut ,
Warmte- of diffusievergelijking:
Randvoorwaarden:
Beginvoorwaarde:
u(0, t) = 0
en
u(x, 0) = f (x)
0 < x < L,
u(L, t) = 0
voor
voor
t>0
t>0
0≤x ≤L
De positieve constante α2 heet de diffusieconstante
Stel u(x, t) = X (x) T (t), dan volgt:
α2 uxx = ut
⇐⇒
α2 X 00 (x) T (t) = X (x) T 0 (t)
Voor u(x, t) = X (x) T (t) 6= 0 geldt nu:
1 T 0 (t)
X 00 (x)
= 2·
=σ
X (x)
α
T (t)
Hieruit volgt:
X 00 (x) − σ X (x) = 0
Roelof Koekoek (TU Delft)
(separatieconstante)
en T 0 (t) − σ α2 T (t) = 0
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
9/1
Methode van scheiden van variabelen
Uit de randvoorwaarden volgt:
u(0, t) = 0 :
X (0)T (t) = 0
=⇒
X (0) = 0
u(L, t) = 0 :
X (L)T (t) = 0
=⇒
X (L) = 0
en
Dus:
(
X 00 (x) − σ X (x) = 0,
X (0) = 0,
0<x <L
X (L) = 0
Dit is een homogeen randwaardeprobleem
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
10 / 1
Methode van scheiden van variabelen
We hebben gezien dat er alleen voor negatieve eigenwaarden
σn = −µ2n < 0
met
µn =
nπ
,
L
n = 1, 2, 3, . . .
niet-triviale oplossingen bestaan
Eigenwaarden:
Eigenfuncties:
n2 π 2
, n = 1, 2, 3, . . .
L2
n π x , n = 1, 2, 3, . . .
Xn (x) = sin
L
σn = −
Tn0 (t) − σn α2 Tn (t) = 0 en dus:
2 2 2 n π α t
Tn (t) = exp −
, n = 1, 2, 3, . . .
L2
Voor Tn (t) volgt dan:
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
11 / 1
Methode van scheiden van variabelen
Dan volgt:
un (x, t) = Xn (x) Tn (t) = e −
n 2 π 2 α2 t
L2
sin
n π x L
,
n = 1, 2, 3, . . .
Nu gebruiken we het superpositieprincipe:
∞
∞
n π x X
X
n 2 π 2 α2 t
u(x, t) =
cn un (x, t) =
cn e − L2 sin
L
n=1
n=1
Uit de beginvoorwaarde u(x, 0) = f (x) voor 0 ≤ x ≤ L volgt dan:
∞
n π x X
f (x) =
cn sin
(Fourier sinusreeks)
L
n=1
Ten slotte volgt uit de Euler-Fourier formules:
Z
n π x 2 L
f (x) sin
cn =
, n = 1, 2, 3, . . .
L 0
L
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
12 / 1