Differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen
Technische Universiteit Delft
Roelof Koekoek
wi2030WbMT
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
1 / 14
Niet-lineaire diff. vgl. en stabiliteit
Niet-lineaire diff. vgl. zijn veel moeilijker op te lossen dan lineaire
Er bestaat bijna geen theorie over het oplossen van dergelijke diff. vgl.
Toch kan men veel informatie over de oplossingen te weten komen
Kwalitatieve informatie
←→
Kwantitative informatie
dy
= F (t, y ) −→
faseportret
dt
Een faseportret bestaat uit de banen van oplossingen in het fasevlak
gebaseerd op het richtingsveld
Vergelijk met:
Zonder de oplossingen expliciet te vinden, kan men veel informatie
over (het gedrag van) de oplossingen aflezen uit het faseportret
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
2 / 14
Lineaire stelsels
In het geval van een homogeen lineair stelsel
x1 (t)
0
x (t) = A x(t) met x(t) =
en A een (2 × 2)-matrix
x2 (t)
kunnen we de banen tekenen in het x1 , x2 -vlak (het fasevlak)
Deze situatie lijkt sterk op het geval van een autonoom stelsel:
dy
= F (y ),
dt
waarbij F (y ) alleen van y en niet expliciet van t afhangt
Als F (y ) = 0, dan spreekt men van kritieke of stationaire punten
Hiervoor geldt dat:
Roelof Koekoek (TU Delft)
dy
=0
dt
(evenwichtsoplossingen)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
3 / 14
Lineaire stelsels
Beschouw:
x0 (t) = A x(t) met A een (2 × 2)-matrix
We weten: x(t) = v e λ t
−→
Av = λv
Dus: v is een eigenvector van A behorende bij de eigenwaarde λ
We hebben nu de volgende mogelijkheden:
1
O is een knoop(punt)
2
O is een zadelpunt
3
O is een (on)zuivere knoop
4
O is een spiraalpunt
5
O is een centerpunt
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
4 / 14
Classificatie
A is een (2 × 2)-matrix met eigenwaarden r1 en r2
1
r1 , r2 ∈ R met r1 6= r2 en r1 · r2 > 0: O is een knoop(punt)
2
r1 , r2 ∈ R met r1 6= r2 en r1 · r2 < 0: O is een zadelpunt
3
r1 , r2 ∈ R met r1 = r2 = r (algebraı̈sche multipliciteit 2)
(a) meetkundige multipliciteit 2: O is een zuivere knoop
(b) meetkundige multipliciteit 1: O is een onzuivere knoop
4
r1 , r2 ∈
/ R, r1,2 = λ ± iµ met λ 6= 0: O is een spiraalpunt
5
r1 , r2 ∈
/ R, r1,2 = λ ± iµ met λ = 0: O is een centerpunt
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
5 / 14
Stabiliteit
Beschouw het gedrag van de oplossingen voor t → ∞:
Het stelsel heet
1
instabiel als er oplossingen bestaan die naar oneindig gaan
2
stabiel als alle oplossingen begrensd blijven
3
asymptotisch stabiel als alle oplossingen naar O gaan
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
6 / 14
Autonome stelsels
We beschouwen autonome stelsels van de vorm
dx
= F (x, y )
dt
en
dy
= G (x, y )
dt
Stel dat (x0 , y0 ) een kritiek of stationair punt is,
dat wil zeggen:
F (x0 , y0 ) = 0
én
G (x0 , y0 ) = 0
Een stelsel heet bijna lineair als de lineariseringen
F (x0 , y0 ) + Fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + Fy (x0 , y0 )(y − y0 )
en
G (x0 , y0 ) + Gx (x0 , y0 )(x − x0 ) + Gy (x0 , y0 )(y − y0 )
goede benaderingen zijn van F (x, y ) en G (x, y ) respectievelijk
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
7 / 14
Bijna-lineaire stelsels
Dan geldt dus:
F (x, y ) ≈ F (x0 , y0 ) + Fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + Fy (x0 , y0 )(y − y0 )
en
G (x, y ) ≈ G (x0 , y0 ) + Gx (x0 , y0 )(x − x0 ) + Gy (x0 , y0 )(y − y0 )
Aangezien F (x0 , y0 ) = 0 en G (x0 , y0 ) = 0 volgt dan
d
x − x0
Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )
x − x0
≈
y − y0
Gx (x0 , y0 ) Gy (x0 , y0 )
y − y0
dt
Dit betekent dat het gedrag van de oplossingen rond zo’n kritiek of
stationair punt (x0 , y0 ) vergelijkbaar is met het gedrag van de
oplossingen van het bijbehorende lineaire stelsel (rond de oorsprong)
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
8 / 14
Uitzonderingen
Het gedrag van de oplossingen van het lineaire stelsel rond (x0 , y0 )
kunnen we aflezen uit de eigenwaarden (en eigenvectoren) van de
matrix
Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )
Gx (x0 , y0 ) Gy (x0 , y0 )
Er zijn twee uitzonderingen:
• r1 = r2 = r : O is dan een zuivere of onzuivere knoop
In het niet-lineaire stelsel kan het kritieke of stationaire punt
(x0 , y0 ) dan ook een spiraalpunt zijn (de stabiliteit wordt bepaald
door het teken van r )
• r1,2 = ±iβ: O is dan een centerpunt
In het niet-lineaire stelsel kan het kritieke of stationaire punt
(x0 , y0 ) dan ook een spiraalpunt zijn (met onbekende stabiliteit)
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
9 / 14
Voorbeelden
dx
= 4 − 2 y en
dt
Kritieke/stationaire punten:
(
4 − 2y = 0
Voorbeeld 1:
12 − 3 x 2 = 0
Verder is:
=⇒
(x, y ) = (±2, 2)
Fy
0
−2
=
Gy
−6 x 0
√
0 −2
In (−2, 2) geldt:
met r 2 + 24 = 0 −→ r = ±2i 6
12 0
Dus: (−2, 2) is een center- of spiraalpunt (met onbekende stabiliteit)
√
0
−2
In (2, 2) geldt:
met r 2 − 24 = 0 −→ r = ±2 6
−12 0
Dus: (2, 2) is een zadelpunt (instabiel)
Roelof Koekoek (TU Delft)
dy
= 12 − 3 x 2
dt
Fx
Gx
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
10 / 14
Voorbeelden
dx
dy
= −(x − y )(1 − x − y ) en
= x (2 + y )
dt
dt
Kritieke/stationaire punten:
(
−(x − y )(1 − x − y ) = 0
=⇒ (0, 0), (0, 1), (−2, −2), (3, −2)
x (2 + y ) = 0
Voorbeeld 2:
Verder is:
In (0, 0) geldt:
Fx
Gx
Fy
Gy
−1 1
2 0
=
2x − 1 1 − 2y
2+y
x
met r 2 + r − 2 = (r + 2)(r − 1) = 0
Dus: r = 1 of r = −2 −→ (0, 0) is een (instabiel) zadelpunt
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
11 / 14
Voorbeelden
−1 −1
3
0
In (0, 1) geldt:
Dus: r =
√
−1±i 11
2
met r 2 + r + 3 = (r + 12 )2 +
11
4
=0
−→ (0, 1) is een asymptotisch stabiel spiraalpunt
In (−2, −2) geldt:
−5
5
0 −2
met r = −2 of r = −5
Dus: (−2, −2) is een asymptotisch stabiele knoop
In (3, −2) geldt:
5 5
0 3
met r = 5 of r = 3
Dus: (3, −2) is een instabiele knoop
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
12 / 14
Voorbeelden
dx
dy
= (2 − y )(2 x − y ) en
= (2 + x)(x − 2 y )
dt
dt
Kritieke/stationaire punten:
(
(2 − y )(2 x − y ) = 0
=⇒ (0, 0), (−2, −4), (−2, 2), (4, 2)
(2 + x)(x − 2 y ) = 0
Voorbeeld 3:
Verder is:
Fx
Gx
Fy
Gy
In (0, 0) geldt:
2 (2 − y )
−2 x + 2 y − 2
2x − 2y + 2
−2 (2 + x)
√
met r 2 − 12 = 0 −→ r = ±2 3
=
4 −2
2 −4
Dus: (0, 0) is een (instabiel) zadelpunt
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
13 / 14
Voorbeelden
In (−2, −4) geldt:
12 −6
6
0
met r 2 − 12r + 36 = (r − 6)2 = 0
Dus: r1 = r2 = 6 −→ (−2, −4) is een instabiele knoop of een
instabiel spiraalpunt
0 6
In (−2, 2) geldt:
met r 2 + 36 = 0 −→ r = ±6i
−6 0
Dus: (−2, 2) is een center- of spiraalpunt met onbekende stabiliteit
In (4, 2) geldt:
0 −6
6 −12
met r 2 + 12r + 36 = (r + 6)2 = 0
Dus: r1 = r2 = −6 −→ (4, 2) is een asymptotisch stabiele knoop of
spiraalpunt
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
14 / 14