Uitwerking van hertentamen 5Q210,

Uitwerking van hertentamen 5Q210,
Meten aan biologische systemen, dinsdag 13 augustus 2002
Veltman, van Zandvoort
OPGAVE 1: (5,5,4,6,10,5) totaal 35pnt.
a) Thermisch domein (dus niet thermodynamisch!):
effort
Temperatuur [K]
flow
warmtestroom [W]=[J/s]
vermogen is normaal effort maal flow [KW],
hier heeft dat geen fysische betekenis.
verplaatsing is integraal van flow
Je mag ook zeggen dat de flow hier het vermogen
in [W] representeert.
warmte [J]
2
d 
  h  0,75 , oppervlak is zijkant (omtrek maal hoogte) plus de deksel
2
2
d 
oppervlak (pi maal straal in het kwadraat)dus oppervlak O wordt dan: O    d  h    
2
b) Inhoud is V   
Invullen voor pan A en pan B, met water is 1000kg/m3: (b1) mA=3,11 [kg], mB=117 [kg]. De
oppervlakte: (b2) OA=0,1138[m2], OB= 1.3195[m2].
c) Warmte capaciteit C is massa maal soortelijke warmte c: zodat C  m  c , CA=13,06[kJ/K],
CB=491,4[kJ/K].
d) De tijdconstante is het product van warmtecapaciteit en warmte weerstand, of het quotiënt van
warmtecapaciteit en warmtegeleiding: De tijdconstante is dus   RC 
A 
C
zodat geldt:
 O
13,06 [kJK 1 ]
 11,48  103 [J/W ]  [ s ] , dit is 3 uren en 11 minuten. Idem
10 [Wm 2 K 1 ]  0,1138 [m 2 ]
voor pan B levert op: B=37.240[s] ofwel 10 uur en 21 minuten! Hier zie je een factor 3 tussen de
tijdconstantes, dit komt omdat bij een grotere pan de inhoud sneller toeneemt dan de
buitenoppervlak zodat het quotiënt, de tijdconstante, toeneemt voor grotere pannen soep.
e) Om dit probleem op te lossen is een wiskundige beschrijving nodig: Bij spontaan afkoelen bij een
constante omgevingstemperatuur geldt: T (t )  A  e  t /  B . Aangezien de begintemperatuur
95C bedraagt geldt dus op t=0 (10:00): A+B=95C. Ook geldt dat uiteindelijk als t=, dat de
soep temperatuur gelijk wordt aan de keukentemperatuur dus B=25C, en A=70C. De
beschrijving is dan eenvoudig: TA (t )  70  e
t
B
A
 25
TB (t )  70  e
t
A
 25 , voor pan B geldt:
 25 . Je ziet dat de begin en eindtemperaturen gelijk aan elkaar zijn, slechts de
tijdconstantes zijn verschillend. Nu moeten de tijdstippen voor T=60 en T=30 worden gevonden.
Berekenen van t30 en t60:
30  70  e

t3 0
30  25  70  e

t3 0

t3 0
A
5
70
 5 
t30   ln     A
 70 
e
A

 60  25 
   , Dus kan de tijdsduur tussen 30 en 60 graden als volgt kan worden
 70 

 30  25 
 60  25  
beschreven: T3060   ln 
  ln 
     2,639  0,693  1,946 . Dus zowel
 70 
 70  

zo ook t60   ln 
voor pan A als B kan deze beschrijving voldoen: T30-60A=22340s, ofwel 6 uren en 12 minuten.
Voor pan B geldt: T30-60B=72470s, ofwel 20 uur en 8 minuten. Zo te zien is dit een groot probleem
voor bederf!
Pas op dat zelfs wanneer dergelijke pannen in een koelkast worden geplaatst bijvoorbeeld van 5C,
dat dan nog zou gelden:

 30  5 
 60  5  
T3060   ln 
  ln 
     1.2809  0.4924  0.7884 , zodat nog steeds een
 90 
 90  

verblijf van 8 uren in het gevarengebied zou resulteren! Betere koeling is dus noodzakelijk!
f) Binnen een uur moet er een totale warmte van E  C  T worden afgevoerd, dus het benodigde
koelvermogen is dan E[J]/3600[s], komt overeen voor B: (491kJ/K maal 30 K)/3600 = 4,1kW
OPGAVE 2: (5,5,6,6,4,4) totaal 30 pnt
a) Elektrisch domein: effort= spanning [V], flow=stroom [A], vermogen is [VA]=[W], verplaatsing
is integraal van flow is lading [As]=[Coulomb], impuls is de integraal van effort is flux [Vs].
b) De condensator is een verplaatsingsbuffer. En kan worden beschreven dmv spanning uc en stroom
i c:
integraalvorm: uC 
du
1
iC dt  uC t  0 of dmv differentiaalvorm: iC  C  C .

C
dt
c) Indien een ideale stroombron de condensator oplaadt zal de spanning volgens de integraalvorm
met een constante snelheid toenemen en indien we beginnen met een ongeladen condensator geldt
iC  t
. Indien we deze uitdrukking differentiëren volgt weer de differentiaalvorm
C
zoals gegeven in b). De spanning zal toenemen met 0,05 / 20  106  2500V/s .
dus: uC t  


d) Vermogen is stroom maal spanning, energie is integraal van vermogen dus ook gelijk aan
verplaatsing maal spanning (flux maal stroom kan ook). Er geldt dus voor vermogen p:
pC  iC  uC 
i2
iC2  t
, voor de energie E geldt: EC (t )   pC dt  C 12 t 2  12 C  uC2 want in het
C
C
tweede deel kan je de stroom in het kwadraat maal de tijd in het kwadraat gedeeld door C
vervangen door de vergelijking in c) waardoor je de energie uitdrukt in de spanning uC. Indien de
energie gegeven is volgt dus voor de spanning: uC max 
2E
2  400

 6325V .
C
20  106
e) In de figuur blijken stroom en spanning exact dezelfde vorm te hebben. Dit is voor een weerstand
natuurlijk altijd zo want volgens de wet van Ohm is u  i  R , hier geldt dus dat 3000=20R, dus
de weerstand R1 moet wel gelijk aan 150 zijn geweest tijdens de meting in de figuur.
f) Op t=0 is de spanning op de condensator hoog (voor 200J is dit 4,5kV), na het sluiten van de
schakelaar gaat de spanning op de huidelektrodes niet direct stapvormig omhoog, zodat een serie
weerstand of een serie-condensator afvallen. Indien een spoel in serie staat zal de hoge
condensatorspanning vlak na t=0 zorgen voor een nagenoeg constante di/dt. Op de top van de
stroom is di/dt nul dus zal op dat moment de spanning over de spoel gelijk aan nul zijn. Op de top
is daardoor de klemspanning gelijk aan de condensator spanning (van 4,5kV gedaald tot 3kV), in
het volgende stuk blijft de hoge stroom de condensator verder ontladen terwijl ondertussen veel
energie in de weerstand R1 verdwijnt. Op het moment dat de stroom gelijk aan nul wordt
(t=5,5ms) is de spanning op de condensator reeds negatief geworden waardoor de stroom blijft
afnemen totdat de laagste waarde optreedt, nu is de di/dt weer gelijk aan nul, dus is er sprake van
een negatieve uC. De slingering dempt snel en sterft uit binnen enkele tientallen ms. Het feit dat er
sprake is van een slingerende beweging geeft eigenlijk al aan dat het een tweede orde systeem is
met een bepaalde demping, dus dit moet wel een L-C-R filter zijn. De component in serie is de
spoel L.
Niet gevraagd maar toch even ter duidelijkheid: uit de grafiek kan je aflezen dat di/dt op t=0
ongeveer 40A/ms=40kA/s is. Er geldt op dat moment dat u=Ldi/dt, hieruit is een schatting van L
te maken: L=u/(di/dt)=4500/40000=0,11H. Je zou ook naar de resonantiefrequentie kunnen kijken:
uit grafiek ongeveer 100Hz, je weet dat geldt voor een LC kring: f 0 
berekenen met als resultaat L 
van de vorige schatting.
1
2 LC
, hieruit kan je L
1
zodat volgt L=0,127H en dat ligt zeer dicht in de buurt
2f 2 C
OPGAVE 3: (4,5,6,5,0,9,6) totaal 35pnt.
a) Zoals in uitwerking 1f) al genoemd lijkt de uitgangsspanning te slingeren met een periode van
ongeveer 10ms, dus 100Hz, dit is tevens de sterkste component met een amplitude van rond 1.5kV
tot 2kV. Er is zeker ook sprake van een sterke 200Hz en wat minder sterke 300Hz en 400Hz
componenten.
b) Een DC component is de gemiddelde waarde van een totaal signaal. Hier is slechts een heel klein
stukje gegeven. Probleem is feitelijk dat dit een eenmalig signaal is waardoor de totale tijdsduur
onbekend of zelfs oneindig kan zijn. Stel dat we eens per 10s een puls genereren, dan zal de
berekende DC waarde 10 maal hoger zijn dan wanneer we eens per 100s een puls generen.
c) Als de spanning 8kV kan worden dan is hoogste versterkingsfactor gelijk aan
2.5V/8000V=3,12510-4. Dit is een versterking van –70dB.
d) De maximale stroom zal groter zijn dan 20A, neem bijvoorbeeld aan dat deze 50A kan worden,
dan moet deze stroom worden afgebeeld op maximaal 2.5V, dwz 2,5V/50A=0,05. Feitelijk zou
je dus gewoon een enkele weerstand van 0,05 kunnen gebruiken waarover je direct de ingangen
van de AD converter aansluit. Je mag ook een 0,1 gebruiken met nog een spanningsdeler daarna
van 2:1 (veiliger voor de AD converter). Een opamp is hier in principe niet nodig.
e) vraag bestaat niet………
f) Figuur 3.1 toont een inverterende versterker schakeling waarvoor de versterking gelijk is aan –
Zf/Zi. De impedantie van Rin en Cpar parallel is gelijk aan Z in 
Rin
1
.

jC par 1  jRinC par
1

Rin
1
De overdracht van ingang naar uitgang wordt dan (de blanco weerstand heet nu R2):
H in _ uit  j   
R2
1  jRinC par  , dit is een differentiator schakeling die voor hoge
Rin
frequenties (boven de kantelfrequentie 1/(2RC)=31,83Hz) loopt de versterking op met 20dB per
decade, beneden 31,8Hz is de versterking constant en bepaald door de terugkoppelweerstand.
De fase is -180 bij lage frequenties en -90 bij hoge frequenties. Op 31,8Hz is de fase -135. Hier
is de keuze R2=312,5k gemaakt om aan voorwaarde bij c) te voldoen. Andere keuzes mogen ook.
g) Deze overdracht is niet gewenst omdat de hoge frequenties te sterk door komen. De overdracht
kan recht gemaakt worden door een laagdoorlaat filter met een kantelfrequentie op 31,8 Hz op te
nemen. Een dergelijke aanpassing krijg je door aan de terugkoppelweerstand R2 ook een
condensator parallel te zetten, zodat voor alle frequenties Zf/Zi een constante ratio oplevert. Dit
kan door parallel aan R2 een C2 te plaatsen zodat geldt:
R2  C2  Rin  C par  C2 
Rin  C par
R2
 1,6nF .