Formules Wiskunde

Faculteit Ingenieurswetenschappen
Formules Wiskunde
Egon Geerardyn
revisie 3.6 (22 januari 2007)
Formules wiskunde
revisie 3.6
pagina 1
Voorwoord
Deze uitgave is geen officiële uitgave van de Vrije Universiteit Brussel, slechts een formularium
gemaakt door een student. Mogelijk staan er hier of daar nog fouten in, indien u er tegenkomt,
stuur gerust een mailtje naar [email protected].
De source code ( LATEX) is vrij beschikbaar op aanvraag. Mogelijk is er reeds een nieuwe versie
beschikbaar op http://students.vub.ac.be/ẽgeerard/projects.html
Referenties
0. e.a., Van Basis Tot Limiet 5/6 (. . . ), Die Keure 2004.
1. Ph. Cara, Lineaire Algebra Volume I, Dienst uitgaven Vrije Universiteit Brussel 2006.
2. Ph. Cara, Lineaire Algebra Volume II, Dienst uitgaven Vrije Universiteit Brussel 2006.
3. S. Caenepeel, Analyse I, Dienst uitgaven Vrije Universiteit Brussel 2006.
4. S. Caenepeel, Analyse II, Dienst uitgaven Vrije Universiteit Brussel 2006.
Formules wiskunde
pagina 2
revisie 3.6
Inhoudsopgave
1 Goniometrie
1.1 Formules . . . . . . .
1.2 Vergelijkingen . . . .
1.3 Cyclometrie . . . . .
1.4 Hyperbolische functies
1.5 Tabellen . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
4
4
4
5
2 Vlakke meetkunde
2.1 Rechthoekige driehoeken
2.2 Willekeurige driehoeken .
2.3 Regelmatige Veelhoeken .
2.4 Cirkel . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
7
7
3 Analyse
3.1 Logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Taylorreeksen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Algemene benaderende reeksen . . .
3.2.2 Specifieke Taylor/McLaurin-reeksen
3.3 Afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Differentialen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Integratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Frequente integralen . . . . . . . . .
3.5.2 Toepassingen . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
8
8
8
10
11
12
12
13
4 Lineaire Algebra
4.1 Vectorruimte . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Lineaire Afbeeldingen . . . . . . . . .
4.2.1 Eigenwaarden en eigenvectoren
4.3 Complexe Getallen . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
14
14
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Vectoren
6 Ruimtemeetkunde
6.1 Vergelijkingen van rechten . . .
6.2 Vergelijkingen van vlakken . . .
6.3 Loodrechte en evenwijdige stand
6.4 Afstanden en hoeken . . . . . .
6.5 Bollen . . . . . . . . . . . . . .
14
.
.
.
.
.
15
15
16
17
18
18
7 Kansrekening
7.1 Combinatieleer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Rekenregels voor kansen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
19
19
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Formules wiskunde
1
1.1
pagina 3
revisie 3.6
Goniometrie
Formules van Simpson (product naar som)
2 sin α · cos β = sin(α + β) + sin(α − β)
Formules
Hoofdeigenschap en afleidingen
2 cos α · cos β = cos(α + β) + cos(α − β)
sin2 α + cos2 α = 1
2 sin α · sin β = cos(α − β) − cos(α + β)
1 + tan2 α = sec2 α
2 cos α · sin β = sin(α + β) − sin(α − β)
2
2
1 + cot α = csc α
Som– en verschilformules
Formules van Simpson (som naar product)
sin p + sin q = 2 sin
p+q
p−q
cos
2
2
sin p − sin q = 2 cos
p+q
p−q
sin
2
2
cos p + cos q = 2 cos
p+q
p−q
cos
2
2
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tan(α ± β) =
tan α ± tan β
1 ∓ tan α tan β
Verdubbelingsformules
sin 2α
=
=
cos 2α
=
=
=
=
tan 2α
=
2 sin α · cos α
2 tan α
1 + tan2 α
cos2 α − sin2 α
1 − 2 sin2 α
2 cos2 α − 1
1 − tan2 α
1 + tan2 α
2 tan α
1 − tan2 α
t-formules ( t = tan α2 )
sin α =
2t
1 + t2
cos α =
1 − t2
1 + t2
tan α =
2t
1 − t2
Productformules
sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α
sin2 α =
1 − cos 2α
2
cos2 α =
1 + cos 2α
2
cos p − cos q = −2 sin
p+q
p−q
sin
2
2
Formules wiskunde
1.2
pagina 4
revisie 3.6
Vergelijkingen
sin x = sin α ⇔ x = α + k · 2π ∨ x = π − α + k · 2π
met k ∈ Z
cos x = cos α ⇔ x = α + k · 2π ∨ x = −α + k · 2π
1.3
tan x = tan α ⇔ x = α + k · π
met k ∈ Z
cot x = cot α ⇔ x = α + k · π
met k ∈ Z
met k ∈ Z
Cyclometrie
h π πi
argsin x = α ⇔ sin α = x ∧ α ∈ − ,
2 2
argcos x = α ⇔ cos α = x ∧ α ∈ [0, π]
i π πh
argtan x = α ⇔ tan α = x ∧ α ∈ − ,
2 2
argcot x = α ⇔ cot α = x ∧ α ∈ ]0, π[
.
argsin x
argcos x
argtan x
argcot x
1.4
sin
√
x
1 − x2
√ x
1+x2
√ 1
1+x2
√
cos
1 − x2
x
√ 1
1+x2
√ x
1+x2
tan
cot
√
x
1−x2
x
√ x
1−x2
1
x
1
x
x
√ x
2
√1−x
1−x2
x
Hyperbolische functies
sinh x
ex − e−x
= x
cosh x
e + e−x
cosh x
ex + e−x
coth x =
= x
sinh x
e − e−x
ex + e−x
2
ex − e−x
sinh x =
2
tanh x =
cosh x =
Hoofdeigenschap
cosh2 α − sinh2 α = 1
Som- en verschilformules
sinh (x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y
cosh (x ± y) = cosh x cosh y ∓ sinh x sinh y
Symmetrie van Hyperbolische functies
.
−x
sinh
− sinh x
cosh
cosh x
tanh
− tanh x
coth
− coth x
beschrijving
tegengesteld
Formules wiskunde
pagina 5
revisie 3.6
Omzettingstabel
sinh (x)
sinh (x) =
cosh (x) =
cosh (x)
q
± cosh2 (x) − 1
sinh (x)
q
1 + sinh2 (x)
tanh (x) =
coth (x) =
sinh(x)
√
2
√1+sinh2 (x)
±
1+sinh (x)
sinh(x)
tanh (x)
√ tanh(x)2
cosh (x)−1
cosh(x)
± √ cosh(x)
2
cosh (x)−1
±√
1−tanh (x)
√
cosh (x)
√
2
coth (x)
1
coth2 (x)−1
√|coth(x)|
2
1
1−tanh2 (x)
coth (x)−1
tanh (x)
1
coth(x)
1
tanh(x)
coth (x)
waarin ± overeenkomt met het teken van x
1.5
Tabellen
Frequente waarden
radialen
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
graden
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
120◦
135◦
150◦
180◦
210◦
225◦
240◦
270◦
300◦
315◦
330◦
360◦
sin α
0
cos α
1
√
tan α
0
√
1
0
3
√2
2
2
1
2
−1
2
√
− 2
2
√
− 3
2
1
√
3
+∞
|−∞
√
− 3
−1
√
1
√2
2
√2
3
2
√
3
√2
2
2
1
2
−1
0
−1
2
√
− 2
2
√
− 3
3
1
2
√
− 3
2
√
− 2
2
−1
2
√
− 3
2
√
− 2
2
−1
√2
3
2
1
√2
2
√2
3
2
0
1
3
3
− 3
3
0
√
3
3
1
√
3
+∞
|−∞
√
− 3
−1
√
− 3
3
0
cot α
|
√−∞
3
1
√
+∞
3
3
0
√
− 3
3
−1
√
− 3
+∞
−∞ |
√
3
1
√
3
3
0
√
− 3
3
−1
√
− 3
+∞
|−∞
Verwante hoeken
.
α + k · 2π
−α
π−α
π+α
π
2 −α
π
2 +α
sin
sin α
− sin α
sin α
− sin α
cos α
cos α
cos
cos α
cos α
− cos α
− cos α
sin α
− sin α
tan
tan α
− tan α
− tan α
tan α
cot α
− cot α
cot
cot α
− cot α
− cot α
cot α
tan α
− tan α
beschrijving
gelijk
tegengesteld
supplementair
anti-supplementair
complementair
anti-complementair
Formules wiskunde
2
2.1
revisie 3.6
Vlakke meetkunde
Rechthoekige driehoeken
b = 90◦ geldt:
In een rechthoekige driehoek 4ABC met A
b=
sin B
overstaande zijde
b
=
schuine zijde
a
b = aanliggende zijde = c
cos B
schuine zijde
a
b
b = sin B = overstaande zijde = b
tan B
b
aanliggende zijde
c
cos B
b=
cot B
b=
sec B
b=
csc B
1
b
tan B
1
b
cos B
1
b
sin B
=
c
aanliggende zijde
=
overstaande zijde
b
=
schuine zijde
a
=
aanliggende zijde
c
=
schuine zijde
a
=
overstaande zijde
b
a2 = b2 + c2
2.2
Stelling van Pythagoras
Willekeurige driehoeken
Sinusregel
a
b
sin A
(waarbij r de straal van de omgeschreven cirkel is)
=
b
b
sin B
=
c
b
sin C
=2·r
Cosinusregel
b
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A
Tangensregel
tan A+B
a+b
2
=
a−b
tan A−B
2
Algemene formules in een willekeurige driehoek ∆ABC :
a + b + c = 2p ⇔ a + b − c = 2(p − c)
Cosinus van de halve hoek
r
b
A
p · (p − a)
cos =
2
b·c
Sinus van de halve hoek
r
b
A
(p − b) · (p − c)
sin =
2
b·c
pagina 6
Formules wiskunde
revisie 3.6
Tangens van de halve hoek
s
b
A
(p − b) · (p − c)
tan =
2
p · (p − a)
Lengte van de hoogtelijnen h in een driehoek
b = c · sin B
b
hA = b · sin C
Lengte van de bissectrices d in een driehoek
2 · bc · cos A2
b+c
b
dA =
Oppervlakteformules (S)
1
b
· bc · sin A
2
p
S = p · (p − a) · (p − b) · (p − c)
S=
2.3
(Formule van Heroon)
Regelmatige Veelhoeken
In een regelmatige n–hoek met straal r geldt
de middelpuntshoek 2αn
2αn =
2π
π
⇔ αn =
n
n
de lengte van de apothema an
π
an = r · cos
n
de lengte van de zijde zn
π
zn = 2 · r · sin
n
de omtrek O
O = n · zn = 2 · n · r · sin
π
n
de oppervlakte S
π
π
n · zn · an
= n · r2 · sin cos
S=
2
n
n
2.4
Cirkel
In een cirkel met straal r en een gegeven middelpuntshoek 2α geldt voor
de lengte d van de bijhorende koorde
d = 2 · r · sin α
de lengte d van het middelpunt tot de bijhorende koorde
d = r · cos α
pagina 7
Formules wiskunde
3
revisie 3.6
pagina 8
Analyse
3.1
Logaritmen
a
log x = y ⇔ x = ay
a
x = a log x
Y
X
a
log
ni a log xi
xni i =
a
b
b
log x =
a
log x
log b
log a =
a
1
log b
3.2
Taylorreeksen
3.2.1
Algemene benaderende reeksen
Taylor-reeks benadering van f (x) in x = a van graad n
Pn (x) =
n
X
f (n) (a)
n
(x − a)
n!
n=0
McLaurin-reeks benadering van f (x) in x = 0 van graad n
Pn (x) =
3.2.2
n
X
f (n) (0) n
x
n!
n=0
Specifieke Taylor/McLaurin-reeksen
∀x : ex =
∞
X
xn
x2
x3
x4
x5
x6
=x+
+
+
+
+
+ ...
n!
2
6
24 120 720
n=0
∀ |x| < 1 : ln(1 + x) =
∞
X
(−1)n n+1
x2
x3
x4
x
=x−
+
−
+ ...
n+1
2
3
4
n=0
∀x : sin x =
∞
X
(−1)n 2n+1
x3
x5
x7
x
=x−
+
−
+ ...
(2n + 1)!
6
120 5040
n=0
∀x : cos x =
∞
X
(−1)n 2n
x2
x4
x6
x =x−
+
−
+ ...
(2n)!
2
24 720
n=0
∀ |x| <
∞
X
π
(−1)n E2n 2n
x2
5x4
61x6
277x8
: sec x =
x =1+
+
+
+
+ ...
2
(2n)!
2
24
720
8064
n=0
∀ |x| < 1 : argsin x =
∀ |x| ≤ 1 : argtan x =
∞
X
(2n)!
x3
3x5
5x7
35x9
2n+1
x
=
x
+
+
+
+
+ ...
4n (n!)2 (2n + 1)
6
40
112 1152
n=0
∞
X
(−1)n 2n+1
x3
x5
x7
x9
x
=x−
+
−
+
+ ...
2n + 1
3
5
7
9
n=0
Formules wiskunde
∀x : sinh (x) =
∀x : cosh (x) =
∀ |x| <
revisie 3.6
pagina 9
∞
X
x3
x5
x7
x9
1
x2n+1 = x +
+
+
+
+ ...
(2n + 1)!
6
120 5040 362880
n=0
∞
X
1
x4
x6
x8
x2
x2n = 1 +
+
+
+
+ ...
(2n)!
2
24 720 40320
n=0
∞
X
π
2x5
17x7
62x9
B2n 4n (4n − 1) 2n−1
x3
: tanh (x) =
x
+
−
+
+ ...
=x−
2
(2n)!
3
15
315
2835
n=1
Formules wiskunde
3.3
pagina 10
revisie 3.6
Afgeleiden
D (sin x) = cos x
Definitie
D (cos x) = − sin x
f (x) − f (a)
df
Dx f (a) = lim
=
x→a
x−a
dx
Richtingsafgeleide volgens ~u
D~u f (~a) = lim
h→0
f (~a + h~u) − f (~a)
h
D (tan x) =
1
= sec2 x
cos2 x
D (cot x) =
−1
= − csc2 x
sin2 x
D (argsin x) = √
Rekenregels
1
1 − x2
D (argcos x) = √
Dα = 0
Dx = 1
D (argtan x) =
1
1 + x2
D (argcot x) =
−1
1 + x2
D (αf ± βg) = α Df ± β Dg
D (f · g) = f Dg + g Df
f
g Df − f Dg
D
=
g
g2
−1
1 − x2
D (sinh x) = cosh x
D (cosh x) = sinh x
Dxn = nxn−1
Df m = m · f m−1 · Df
met m ∈ Q0
Kettingregel
D (tanh x) =
1
cosh2 x
D (coth x) =
−1
sinh2 x
D [(g ◦ f ) (x)] = Dg [f (x)] · Df (x)
D (argsinh x) = √
dy
dy du
=
·
dx
du dx
met u = f (x)
1
1 + x2
D (argcosh x) = √
Afgeleide van de inverse functie
1
Df (f −1 (x))
Df −1 =
dx
=
dy
dy
dx
−1
Frequente vormen
Dex = ex
Dax = ax ln a
D (ln x) =
1
x
1
x · ln a
f
D (f g ) = f g Dg ln f + Df
g
D (a log x) =
1
x2
−1
D (argtanh x) =
1
1 − x2
D (argtanh x) =
1
1 − x2
Formules wiskunde
3.4
revisie 3.6
Differentialen
df (x) =
df
dx = Dx (f ) dx
dx
Totale differentiaal van een functie
f (x1 , . . . , xN ) ⇒ df =
Kettingregel
m
X ∂f dxi
df
=
dt
∂xi dt
i=1
N
X
∂f
dxi
∂x
i
i=1
pagina 11
Formules wiskunde
3.5
Integratie
3.5.1
pagina 12
revisie 3.6
f n (x) · f 0 (x) dx =
Z
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + c
f (x)
Frequente integralen
Z
dx = x + c
xn+1
x dx =
+c
met n ∈ R 6 {−1}
n+1
Z
Z
1
dx = x−1 dx = ln |x| + c
x
Z
ex dx = ex + c
Z
Z
n
ax · dx =
ax
+c
ln a
Z
sin x · dx = − cos x + c
Z
cos x · dx = sin x + c
Z
2
Z
1
= tan x + c
cos2 x
Z
1
= − cot x + c
sin2 x
sec x · dx =
Z
Z
Z
csc2 x · dx =
1
· dx = argtan x + c = −argcot x + c
1 + x2
√
1
· dx = argsin x + c = −argcos x + c
1 − x2
Z
sinh x · dx = cosh x + c
Z
cosh x · dx = sinh x + c
Z
Z
cos2 x dx =
x + sin x · cos x
+c
2
sin2 x dx =
x − sin x · cos x
+c
2
Z
tan x dx = − ln |cos x| + c = ln |sec x| + c
Z
cot x dx = ln |sin x| + c
Z
Z
argtan xa
dx
=
+c
a2 + x2
a
√
dx
x
= argsin + c
2
a
+x
a2
f n+1 (x)
+c
n+1
Z
f n+1 (x)
+c
met n ∈ R 6 {−1}
n+1
Z
Z
f (x) dg(x) = f (x)g(x) − g(x) df (x) + c
Z
f n (x)f 0 (x) dx =
Formules wiskunde
3.5.2
pagina 13
revisie 3.6
Toepassingen
Inhoud van een omwentelingslichaam
Z b
2
V =π
[f (x)] dx
bepaald door wenteling van f (x) om de x-as begrensd door a en b
a
Booglengte van een kromme bepaald door f (x) tussen a en b
s
2
Z b
df
L=
1+
dx
dx
a
Booglengte van een parameterkromme bepaald door x = f (t) en y = g(t) tussen a en b
s
2 2
Z b dx
dy
+
dt
L=
dt
dt
a
Z
b
L=
ds
met ds =
p
dx2 + dy 2 + dz 2
a
Manteloppervlakte van een omwentellingslichaam
a en b
Z b
q
2
|f (x)| 1 + [f 0 (x)] dx
S = 2π
bepaald door wenteling van f (x) om de x-as begrensd door
a
Z
S = 2π
b
f (x) ds
met ds =
p
dx2 + dy 2 + dz 2
a
4
Lineaire Algebra
4.1
Vectorruimte
•
Euclidische Ruimte is een reële vectorruimte uitgerust met
D E
• Scalair Product: ~a, ~b
– Symmetrisch
– Bilineair
– Positief Definiet: ∀~x 6= ~0 : h~x, ~xi > 0
Pre-Hilbert-ruimte is een complexe vectorruimte uitgerust met
D E
• Scalair Product: ~a, ~b
– Symmetrisch
– Sequilineair
– Positief Definiet: ∀~x 6= ~0 : h~x, ~xi > 0
Formules wiskunde
revisie 3.6
4.2
Lineaire Afbeeldingen
4.2.1
Eigenwaarden en eigenvectoren
Karakteristieke veelterm
det (A − λIn ) = 0
4.3
Complexe Getallen
z = a + bi
p
r = a2 + b2
θ = argtan
b
a
z = r (cos θ + i sin θ)
z = r · eiθ
5
Vectoren
−−→ ~
~
AB = B − A
Rekenregels
∀~a : ~a · ~o = 0 = ~o · ~a
∀~a 6= ~o : ~a · ~a = ||~a||2
D E D E
∀~a, ~b : ~a · ~b = ~b · ~a ⇔ ~a, ~b = ~b, ~a
∀~a, ~b 6= ~o : ~a⊥~b ⇔ ~a · ~b = 0
scalair product
n
X
d
ui vi
∀~u, ~v 6= ~o : ~u · ~v = ||~u|| · ||~v || · cos ~u
, ~v =
i=1
Vectoriëel Product
~ux ~uy
~
~a × b = ax ay
bx b y
~uz
az
bz
Gemengd product
cx
~
~a × b · ~c = ax
bx
cy
ay
by
cz
az
bz
Differentiaaloperatoren
Differentiaaloperator van de Eerste Orde
∂ ∂ ∂
~
∇=
,
,
∂x ∂y ∂z
pagina 14
Formules wiskunde
revisie 3.6
Gradiënt
~ =
grad (f ) = ∇f
∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z
Divergentie
~ · ~v =
div (~v ) = ∇
∂vx
∂vy
∂vz
+
+
∂x
∂y
∂z
Rotatie
~ux
~ × ~v = ∂
rot (~v ) = ∇
∂x
vx
~uz ∂ ∂z vz ~uy
∂
∂y
vy
Differentiaaloperator van de Tweede Orde (Laplaciaan)
2
2
2
~ · ∇f
~
~ 2f = ∂ f + ∂ f + ∂ f
∆ (f ) = div (grad (f )) = ∇
=∇
2
2
∂x
∂y
∂z 2
6
Ruimtemeetkunde
6.1
Vergelijkingen van rechten
~ b, c)
Rechte bepaald door een punt P1 (x1 , y1 , z1 ) en richtingsvector R(a,
vectoriële vergelijking
~
P~ = P~1 + k · R
met k ∈ R
parametervoorstelling

 x = x1 + k · a
y = y1 + k · b

z = z1 + k · c

 



x
x1
a
 y  =  y1  + k ·  b 
z
c
z1
of
cartesische vergelijking
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
a
b
c
met a, b, c ∈ R0
Rechte bepaald door twee punten P1 (x1 , y1 , z1 ) en P2 (x2 , y2 , z2 )
vectoriële vergelijking
P~ = P~1 + k · P~2 − P~1
met k ∈ R
parametervoorstelling

 x = x1 + k · (x2 − x1 )
y = y1 + k · (y2 − y1 )

z = z1 + k · (z2 − z1 )
cartesische vergelijking
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
x2 − x1
y2 − y 1
z2 − z1

of
 



x
x1
x2 − x1
 y  =  y 1  + k ·  y 2 − y1 
z
z1
z2 − z1
pagina 15
Formules wiskunde
pagina 16
revisie 3.6
Richtingsgetallen (a, b, c, ) van de snijlijn van twee vlakkenα en β
u1 x + v1 y + w1 z + t1 = 0
u1 v1 w1
d↔
waarbij r
=2
u2 x + v2 y + w2 z + t2 = 0
u2 v2 w2
v w1 en b = −k · u1 w1 en c = k · u1 v1 a = k · 1
u2 v2 u2 w2
v2 w2
6.2
Vergelijkingen van vlakken
Algemene vergelijking van een vlak
met ¬ (u = v = w = 0)
ux + vy + wz + t = 0
Vergelijking van basisvlakken
vlak yz:
vlak xz:
vlak xy:
x=0
y=0
z=0
~ 1 (a1 , b1 , c1 ) en R
~ 2 (a2 , b2 , c2 )
Vlak bepaald door één punt P1 (x1 , y1 , z1 ) en twee richtingsvectoren R
vectoriële vergelijking
~1 + m · R
~2
P~ = P~1 + k · R
parametervoorstelling

 x = x1 + k · a1 + m · a2
y = y 1 + k · b1 + m · b2

z = z1 + k · c1 + m · c2
cartesische
x y
x1 y1
a1 b1
a2 b2
vergelijking
z 1 z1 1 =0
c1 0 c2 0 of

of
x − x1
a1
a2
 





x
x1
a1
a2
 y  =  y 1  + k ·  b 1  + m ·  b2 
z
z1
c1
c2
y − y1
b1
b2
z − z1
c1
c2
Vlak bepaald door drie niet-collineaire punten P1 ,P2 en P3
vectoriële vergelijking
P~ = P~1 + k · P~2 − P~1 + m · P~3 − P~1
parametervoorstelling

 x = x1 + k · (x2 − x1 ) + m · (x3 − x1 )
y = y1 + k · (y2 − y1 ) + m · (y3 − y1 )

z = z1 + k · (z2 − z1 ) + m · (z3 − z1 )

 





x
x1
x2 − x1
x3 − x1
 y  =  y 1  + k ·  y 2 − y1  + m ·  y3 − y1 
z
z1
z2 − z1
z3 − z1
=0
Formules wiskunde
cartesische
x y
x1 y1
x2 y2
x3 y3
revisie 3.6
pagina 17
vergelijking
z 1 z1 1 =0
z2 1 z3 1
Vergelijking van een vlak op de assegmenten vlak α snijdt x, y, z in P1 (a, 0, 0), P2 (0, b, 0), P3 (0, 0, c)
α↔
x y z
+ + =1
a
b
c
Vergelijking van de vlakkenwaaier door d
u1 x + v1 y + w1 z + t1 = 0
d↔
u2 x + v2 y + w2 z + t2 = 0
k (u1 x + v1 y + w1 z + t1 ) + m (u2 x + v2 y + w2 z + t2 ) = 0 met k, m ∈ R en ¬ (k = m = 0)
6.3
Loodrechte en evenwijdige stand
Evenwijdigheid rechten e en f met richtingsgetallen (a1 , b1 , c1 ) en (a2 , b2 , c2 )
e//f ⇔ ∃k ∈ R0 : a2 = ka1 ∧ b2 = kb1 ∧ c2 = kc1
Evenwijdigheid vlakken α ↔ u1 x + v1 y + w1 z + t1 = 0 en β ↔ u2 x + v2 y + w2 z + t2 = 0
α//β ⇔ ∃k ∈ R0 : u2 = ku1 ∧ v2 = kv1 ∧ w2 = kw1
Evenwijdigheid rechte d met richtingsgetallen (a, b, c) en het vlak α ↔ u1 x + v1 y + w1 z + t1 = 0
d//α ⇔ ua + vb + wc = 0
Loodrechte stand van rechten e en f met richtingsgetallen (a1 , b1 , c1 ) en (a2 , b2 , c2 )
e⊥f ⇔ a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 = 0
Loodrechte stand van een rechte e met richtingsgetallen (a, b, c)
en een vlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0
e⊥α ⇔ a = k · u ∧ b = k · v ∧ c = k · w
met k ∈ R0
Loodrechte stand van twee vlakken α ↔ u1 x + v1 y + w1 z + t1 = 0 en β ↔ u2 x + v2 y + w2 z + t2 = 0
α⊥β ⇔ u1 u2 + v1 v2 + w1 w2 = 0
Normaalvector van een vlak
~ (u, v, w) is een normaalvector van het vlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0
N
Stelsel vergelijkingen van de loodlijn m uit P (x1 , y1 , z1 ) op het vlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0
m↔
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
u
v
w
met u, v, w ∈ R0
Vergelijking van het loodvlak α uit P (x1 , y1 , z1 ) op een rechte e met richtingsgetallen (a, b, c)
α ↔ a (x − x1 ) + b (y − y1 ) + c (z − z1 ) = 0
Formules wiskunde
6.4
pagina 18
revisie 3.6
Afstanden en hoeken
Afstand tussen de punten A (x1 , y1 , z1 ) en B (x2 , y2 , z2 )
q
2
2
2
d (A, B) = |AB| = (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) + (z2 − z1 )
Afstand van een punt A (x1 , y1 , z1 ) tot het vlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0
d (A, a) =
|ux1 + vy1 + wz1 + t|
√
u2 + v 2 + w 2
Hoek van twee rechten met richtingsgetallen (a1 , b1 , c1 ) en (a2 , b2 , c2 )
2 + c1 c2 |
b = p |a1 a2 + b1 bp
cos ab
2
2
2
a1 + b1 + c1 · a22 + b22 + c22
De hoek van een rechte a en een vlak α is het complement van de hoek gevormd door de rechte a en de
loodlijn m op dat vlak. a met stel richtingsgetallen (a, b, c) en α ↔ ux + vy + wz + t = 0
cos (am)
c =√
a2
|au + vb + wc|
√
+ + c2 · u2 + v 2 + w2
en ac
α = 90◦ − am
c
b2
Hoek van van twee vlakken α ↔ u1 x + v1 y + w1 z + t1 = 0 en β ↔ u2 x + v2 y + w2 z + t2 = 0
is de hoek van twee loodlijnen op de respectievelijke vlakken
c = p |u1 u2 + v1 v2p+ w1 w2 |
cos αβ
u21 + v12 + w12 · u22 + v22 + w22
6.5
Bollen
Middelpuntsvergelijking van een bol
2
2
2
B (M (x1 , y1 , z1 ) , r) ↔ (x − x1 ) + (y − y1 ) + (z − z1 ) = r2
Algemene vergelijking van een bol
x2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
als a2 + b2 + c2 − d ≥ 0
p
met middelpunt M (−a, −b, −c) en straal r = a2 + b2 + c2 − d
Formules wiskunde
7
pagina 19
revisie 3.6
Kansrekening
7.1
Combinatieleer
Vnp
=
p
Vn
Pn
n!
(n − p)!
= n!
= Vnn = n!
n!
=
a1 !a2 ! . . . ai !
Vnp
n!
=
=
Pp
p! (n − p)!
p
Vn+p−1
(n + p − 1)!
p
=
= Cn+p−1
=
Pp
p! (n − 1)!
a1 ,a2 ,...,ai
Pn
Cnp
Cn
p
Cn+1
= Cnp + Cnp−1
n
X
n
(a + b) =
formule van Stifel-Pascal
Cnk an−k bk
binomium van Newton
k=0
opgave
Q
volgordeQ nee
Q
van
QQ belang?
Q
ja
Q
QQnee
Herhaling
mogelijk? QQ
Q
ja
Q
Aantal
QQnee
herhalingen
QQbepaald? Q
ja
a ,a2 ,...,ai
7.2
Vn
Pn
Vnp
oplossing
ja
p
P n1
Q
p = nQQnee
QQ
Q
Rekenregels voor kansen
Verschilregel
P (A1 \A2 ) = P (A1 ) − P (A1 ∩ A2 )
Stelling van Boole
P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 )
Productregel van onafhankelijke gebeurtenissen
P (A1 en B1 ) = P (A1 ∪ B1 ) = P (A1 ) · P (B2 )
QQ nee
Q
Herhaling
mogelijk? QQ
Q
ja
p
Cn
p
Cn