Breuken

Week 3:
Breuken
Rechterpagina:
Intro via krantenkoppen waarin breuken genoemd worden, zoals: Breuk tussen Jan
en Jolanthe lijkt definitief; Wintersport eist weer meer botbreuken;
Deze voorbeelden geven aan dat iets “ kapot “ is wat heel was.
Maar ook:
Kwart van de automobilisten…..; derde van de Nederlanders…..; driekwart van de ….
Over de laatste categorie gaan we het in dit hoofdstuk hebben. Want er valt heel wat
te rekenen met breuken.
Eerste linkerpagina:
Breuken
Inleiding.
Breuken en het rekenen ermee is een van de lastigste rekenonderdelen van de
rekenvaardigheid. Het lijken vaak alleen “kale” sommen, maar in de realistische
rekenwereld worden deze sommen ook wel voorgesteld met realistische
voorbeelden, zoals pizza’s / taarten/ pannenkoeken, cirkelmodellen genoemd en
lijnmodellen, zoals de reep chocolade.
Wat kun je verwachten in dit hoofdstuk?
wat is een breuk
rekenen met breuken
Wat is een breuk?
Een breuk is een getal waarvan de waarde zit tussen twee hele getallen (*).
1
3
Neem 1 ; dit getal zit tussen 1 en 2, ja zelfs er midden tussen. En 15 is een getal
8
2
17
17
tussen 15 en 16. Maar nu . Tussen welke twee hele getallen ligt
? Je moet hier
4
4
17
1
 4 en dat ligt
eerst de “helen uithalen”. In dit voorbeeld zijn dat er 4. Dus
4
4
tussen 4 en 5. Als je dit lastig vindt, dan moet je 17 euro maar eens verdelen over 4
personen.
(*)Formeel heten die getallen “gebroken” getallen, want hele getallen zijn ook als breuken te schrijven.
14
Neem 14 ; dit getal is ook te lezen als een breuk: 14 =
. Zo zie je dat deze getallen een uitbreiding
1
geven. Samen met de hele getallen vormen de gebroken getallen de verzameling breuken.
Teller en noemer
1
de teller 1 en de
6
noemer 6. Om dat nooit meer te vergeten, moet je maar eens tellen met “zesden”
1 2 3 4
(bijv. de stukjes van een taart die in zes gelijke delen is verdeeld): , , , , ...... ;
6 6 6 6
zie je waarmee je telt? (het bovenste getal) en ook hoe je ze allemaal noemt (“zesde”
Een breuk bestaat altijd uit een teller en een noemer. Zo is bij
= de onderste). Dus samengevat: breuk is
maar:
teller
; zo gaat het met elke breuk, kijk
noemer
1 2 3 4
, , , , ….. . . Zo kan je het begrip teller en noemer uit elkaar houden.
7 7 7 7
Verschillende verschijningsvormen, vereenvoudigen.
Als je een pizza in 6 gelijke stukken verdeelt en jij krijgt van die 6 stukken er 2, dan
heb je evenveel wanneer de pizza in 3 gelijke stukken verdeeld is en je krijgt daar
één stuk van. < vormgever: cirkelvorm met verdelingen> Dat betekent dat de
2 1
2
1
breuken
en
gelijk zijn, dus  . We noemen dit ook wel 2
6
3
6 3
verschijningsvormen van deze breuk. En in dit voorbeeld hebben we de breuk
2
vereenvoudigd, dat wil zeggen teller en noemer gedeeld door 2, waardoor de
6
breuk zo eenvoudig mogelijk is geworden.
1 2
5 10



 .......
7 14 35 70
die vind je door teller en noemer telkens met eenzelfde getale te vermenigvuldigen.
De verhouding tussen teller en noemer blijft gelijk.
Elke breuk heeft ontelbaar veel verschijningsvormen. Zo is
Vraagstuk 1.
Schrijf eens een aantal vormen op van de volgende breuken:
3
1.
5
7
2.
14
11
3.
9
2
3
4.
3
1
72
5.
6
Nu is het bij breuken ook zo dat je deze zo eenvoudig mogelijk moet schrijven, dat
betekent dat je altijd moet kijken of je teller en noemer kunt delen door hetzelfde
14
getal en als dat kan: doen! Zo zijn teller en noemer van de breuk
beide te delen
21
14 2

door 7. Dus deze breuk moet als antwoord geschreven worden als
21 3
Dat gaan we ook even oefenen.
Vraagstuk 2.
Schrijf de volgende breuken zo eenvoudig mogelijk, anders gezegd, vereenvoudig de
volgende breuken (voor) zover mogelijk. Let op, dat kan niet altijd!
8
14
27
2.
36
25
3.
10
64
7
4.
72
25
15
5.
49
Is het je opgevallen dat je tafelkennis hierbij onmisbaar is? Je zoekt de tafel waar
teller en noemer in voorkomen. Is dat bijvoorbeeld de tafel van 8 (zoals in opgave 4),
dan kun je teller en noemer delen door 8.
1.
Rekenen met breuken.
Optellen en aftrekken <Linker bladzijde>
Breuken met dezelfde noemer heten gelijknamig. Alleen gelijknamige breuken kun je
optellen en aftrekken. Als ze verschillende noemers hebben, dan komen ze van een
andere verdeling, het is nogal verschillend als je een pannenkoek in zes gelijke
stukken verdeelt of in 4 gelijke stukken en je neemt een stuk van elk. Welk deel van
de pannenkoek heb je dan? (Vormgever: hier cirkelvormen met de genoemde
verdelingen)
Als ze van eenzelfde verdeling komen is het eenvoudig: je hebt 1 stuk van een
pannenkoek die in 8 gelijke stukken is verdeeld en je krijgt er nog 2 van die stukken
1 2 3
bij; dan heb je 3 van die stukken. De bijbehorende som:   ; alleen de tellers
8 8 8
worden opgeteld en het blijft een breuk met noemer 8.
En wat nu als ze niet dezelfde noemer hebben, dus niet gelijknamig zijn? Dan
gebruik je de eerder opgedane kennis van de verschijningsvormen. Ook daar is
tafelkennis onmisbaar bij. Kijk maar eens goed naar de volgende voorbeelden.
Voorbeelden:
(a)
3 1
 
5 7
21 5 26


35 35 35
(b)
5 5
 
6 8
20 15
5


24 24 24
(c )
13
2


50 100
26
2


100 100
24
6

100 25
(d)
7 7


9 12
28 21


36 36
49
13
1
36
36
3
3
2 
7
4
12
21
2
2

28
28
33
5
4
5
28
28
2
(e)
(f)
1
11
5 2 
8
12
3
22
5
2

24
24
27
22
5
4
2
2
24
24
24
In de voorbeelden zie je dat je als antwoord de breuken zo eenvoudig mogelijk moet
schrijven. Dat doe je door te kijken of teller en noemer door hetzelfde getal gedeeld
kunnen worden. En als dat kan, moet je het ook doen.
Bij (c) zijn teller en noemer gedeeld door 4. Ook moeten “ helen” eruit gehaald
36
1
worden, bij (d) kon er 1 hele uitgehaald, want
36
Om gelijknamig te maken vind je de nieuwe noemer door de tafel van het kleinste
getal in de noemer “op te zeggen”. Het eerste antwoord dat ook in de tafel van de
andere zit, dat is de nieuwe noemer.
5 5
Zo vind je bij de aftrekking  de gezochte noemer door de tafel van 6 te nemen:
6 8
6, 12, 18, 24, 30, …. en te zoeken naar het eerste getal dat ook voorkomt in de tafel
van 8: 8, 16, 24, 32, …. Dat is hier dus 24 ( Vormgever: omcirkel 24 in beide rijen )
Vraagstuk 3.
Maak de volgende optellingen en aftrekkingen:
3 1
1
3
7
1
1.
a.  
2. a. 5  3 
3. a. 7  3 
5 4
6
4
8
2
2 5
1
3
4
3
b.  
b. 4  2 
b. 5  5 
3 6
2
10
5
8
1 5
4
2
1
3
c. 1  
c. 3  2 
c. 2  4 
2 7
5
3
3
4
4.
2 3
a. 4  
7 5
2
3
b. 7  1 
3
5
1
2
c. 5  2 
4
3
Breuken vermenigvuldigen.
Vermenigvuldigen is, zoals je weet, herhaald optellen, dat geldt ook bij breuken.
1
Alleen is dat wat lastiger voor te stellen. Zo is  7 voor te stellen als “een half
2
groepje van 7”. Dus let op: hier hoef je niet gelijknamig te maken. Je telt immers geen
1
1
twee hoeveelheden bij elkaar op:  7  3 . Je kan deze vermenigvuldiging ook
2
2
1
gewoon lezen als: de helft van 7 of als je de vermenigvuldiging omkeert ( 7  )
2
1 1 1 1 1 1 1
1
1
7 groepjes van , dus       en dat geeft samen 3 .
2
2
2 2 2 2 2 2 2
(Vormgever: maak bij deze twee berekeningen illustraties: strook van 7 eenheden
lang en de helft gekleurd en zeven strookjes telkens de helft gekleurd.
2
1
2
1
1
 2  is dus
 6 is het dubbele van  6  2 dus is het dubbele 4 ; uitleg: e
3
3
3
3
3
2e
deel van 6 is 2 (ook wel 6 : 3). Nu moest je uitrekenen
deel van 6, dus is het
3
antwoord tweemaal zoveel, oftewel 2  2  4
(Vormgever: Hierbij ook een illustratie met een strook)
Nu wat lastiger. Je hebt drievierde deel van een strook:
1
2
3
4
Omdat
Neem daar eens tweederde deel van, dus twee van de drie gekleurde delen: op het
totaal zijn dat er 2 van de 4, dus precies de helft van de strook. Als rekensom
opgeschreven:
2 3 1
1 6
2 3 1 6 23
  maar  . Zo zie je dat   

.
3 4 2
2 12
3 4 2 12 3  4
Breuken vermenigvuldigen doe je door de tellers met elkaar te vermenigvuldigen en
ook de noemers met elkaar te vermenigvuldigen.
Om te onthouden:
teller
teller
teller  teller


breuk  breuk =
. Dus zo zit dat!
noemer noemer noemer  noemer
Kijk nauwkeurig naar de uitgewerkte voorbeelden.
Als er behalve een breuk ook een heel getal voor de breuk staat, dan moet je die
2 17
eerst in de breuk verwerken, zo is 3  , want 3 helen is gelijk aan 15 vijfden (
5 5
15
1
17
3  ). Tel de 2 vijfden ( 2  ) die erachter staan, geeft samen 17 vijfden
. Dan
5
5
5
kun je eerder genoemde regel gebruiken.
Voorbeelden:
4 3 12
 

7 5 35
6 2 12 4
 


want vereenvoudigen moet, hier gedeeld door 3.
11 3 33 11
1 2 5 2 10 5
2    


Of je deelt eerst de teller en noemer door 2.
2 7 2 7 14 7
4 9 25 225
1
1

8

2 3 = 
(Als laatste de “helen” eruit halen.)
4
7 4 7
28
28
Breuken delen.
3
12 :  …. Daar kun je wat bij voorstellen. Stel: je hebt 12 liter wijn en dat ga je
4
3
verdelen over flessen met inhoud van liter; hoeveel van die flessen heb je nodig?
4
1
Je ziet het voor je: de eerste fles wordt volgegoten, je hebt nog 11 e liter over. Dan
4
1 3
1
nog een: 11 - = 10 . Enzovoort, enzovoort. In totaal heb je 16 flessen nodig, dat
4 4
2
4 48
 16 .
zie je als je zo doorgaat. Maar het volgende klopt ook: 12  
3 3
3
Je hebt nu gevonden dat de breuk
dus 16 keer “ past” in het getal 12.
4
Nu kunnen we een “regeltje” voor het delen van breuken maken: “Delen door een
breuk is geeft hetzelfde antwoord als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die
breuk”. Het omgekeerde van een breuk vind je door teller en noemer te verwisselen.
Dat is geen trucje, want je kunt het ook goed zien in een verhoudingstabel. Daar
mag je beide getallen met hetzelfde getal vermenigvuldigen, dat doe je in feite ook
hierbij.
3
Zie onderstaande verhoudingstabel waar de deling 12 : staat:
4
(Vormgever: i.p.v. tekst in de tabel pijltjes met x4 en : 3 erbij)
12 Nu eerst: maal 4 48
Nu: gedeeld door 3
16
3
Deze ook: maal 4 3 Deze ook: gedeeld door 3 1
4
Voorbeelden:
(a)
3 2
: 
5 7
3 7 21
1
 
2
5 2 10
10
(c)
2 3
2 :1 
3 5
8 8
: 
3 5
8 5 40 5
2
 
 1
3 8 24 3
3
(b)
1

4
4 60
15  
 60
1 1
(d)
1
12 : 1 
2
3
12 : 
2
2 24
12  
8
3 3
15 :
Kijk telkens of je “handig rekenen” kan gebruiken: zo kan je bij (d) beide getallen
1
eerst verdubbelen: dan krijg je 24 : 3 = 8. Dus 12 : 1 = 8
2
Let op, dit kan vaker dan je denkt.
Vraagstuk 4:
Bereken telkens de uitkomst, let op wat je moet doen:
3 1
(1) a.   ...
4 6
2 1
4 3
1
  ...... c.   ........ d.  5  ........
3 5
7 4
3
b.
1
1
5 
2
3
1
1
b.  5
4
3
1
1
c.  7
2
5
1
1
d.  7
3
5
e. 4 
1
 ........
4
1
2
 11 
5
3
1
2
 11
f.
10
3
1
1
g.  8
7
6
1
1
h.  8
2
6
(2)
a.
(3)
a.
(4)
Is het antwoord van
(5)
Bereken de uitkomst van 15 :
(6)
Vul de juiste getallen in bij de stippen. De drie stukken zijn even lang. Licht je
antwoord duidelijk toe.
8 1
:
10 2
e.
b.
9 1
:
100 3
c.
8 1
:
100 4
1 1
d. 2 :
3 6
1 2
e. 3 :
3 3
1 1 1 1
1
1
   

meer of minder dan 1? Maak er
2 4 8 16 32 64
een tekening van een vierkant bij en arceer er gebieden in.
3
Bedenk ook een reële situatie bij deze opgave
4
en laat zien dat daar hetzelfde antwoord uit komt.
────┼─────┼─────┼─────┼──
1
3
…..
…..
2
4
(7)
3
1
Bereken de uitkomst van  2 
5
2
Bedenk een reële situatie waaruit bovenstaande opgave voorkomt. Licht je
antwoord toe.
(8)
Reken uit:
3 1
 
(a)
5 3
(b)
(c)
(d)
2 7


5 10
3 1
2 1 
4 3
3 1
: 
4 8
2
Context vraagstukken
Schrijf telkens de breukenopgave erbij.
1.
Havo 4 bestaat uit 80 leerlingen, hiervan had
3
4
e deel
een voldoende voor
5e
deel daarvan had een 8 of hoger.
6
a. Hoeveel leerlingen hadden een voldoende?
b. Hoeveel leerlingen hadden minstens een 8 en hoe kan je deze opgave
zonder het antwoord van a. uitrekenen?
het proefwerk rekenen; ja zelfs
3e
1
deel op de fiets; e deel komt met de scooter;
8
4
de rest komt met het openbaar vervoer. Welk deel van de leerlingen is dat?
2.
Van deze school komt
3.
Sanquin bloedbank heeft op een dag 350 donoren, die elk
1
liter bloed
2
geven.
a. Hoeveel liter bloed is er die dag in totaal gegeven?
11 e
b. Bloed bestaat voor
deel uit plasma. Hoeveel liter plasma is er die
20
dag binnengekomen?
1 e
c. Het bloed wordt in buisjes met inhoud
liter gedaan. Hoeveel
20
buisjes worden er op die manier gevuld?
Verschillende soorten bloed…………………
d. Mmm
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Vulmachine pindakaas, wijn, hagelslag
Verschillende sporten beoefenen
Neerslag in de winter
Begroting onderwijs
Deel van het personeel