Breuken vereenvoudigen

BREUKEN VEREENVOUDIGEN
Breuken
Gelijke breuken
Als je jong bent, leer je tellen: 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … . Je
weet dat elk getal bij een aantal
van iets hoort: één blokje, twee
blokjes, drie blokjes, … . Als je
aan blokjes denkt is het logisch
dat je van één naar twee gaat, en
van twee naar drie. Toch zitten er
tussen 1 en 2 nog heel veel
andere getallen: de breuken.
Wanneer
zijn
twee
breuken
hetzelfde? Eerder zag je dat 5/10
= 1/2 en 4/16 = 1/4. Hoe kun je
zien dat ze gelijk zijn? Dat is
eenvoudig zul je zeggen. De teller
van 5/10 is 5 en de noemer van
5/10 is 10: de teller en noemer
kun je door 5 delen. Dus 5/10 =
1/2. Net zo is de teller van 4/16
gelijk aan 4, en de noemer is 16:
beide zijn te delen door 4, en dus
4/16 = 1/2. Zo kun je voor alle
breuken nagaan of ze gelijk zijn…
Kun je een rij van 100 getallen
geven, allemaal groter dan 1 en
kleiner dan 2, zodat elk volgende
getal groter is dan de vorige?
Kun je ook 1000 van zulke
getallen vinden?
Is 3/14 gelijk aan 12/56?
Is 14/27 gelijk aan 182/351?
Is 127/211 gelijk aan 2921/4853?
Breuken ontstaan als je iets moet
delen met een aantal mensen. Zo
kun je 5 taarten delen met 9
mensen: als je het eerlijk doet
krijgt iedereen 5/9 taart. Als 5
taarten deelt met 10 mensen krijgt
iedereen 5/10 taart. Als je de 10
mensen in groepjes van 2
verdeelt, kun je ieder groepje 1
taart geven: hieraan zie je dat
iedereen 1/2 (een halve) taart
krijgt. Je ziet zo dat 5/10 = 1/2.
Zoals je merkt wordt dit al snel
behoorlijk ingewikkeld: hoe vind
je het getal waardoor je de teller
en noemer van 182/351 kunt
delen zodat je 14/27 krijgt.
Misschien heb je ontdekt dat je
“vals” kunt spelen: je kunt 182
door 14 delen, en 351 door 27.
Dit levert twee keer 13. Dus de
teller en noemer kun je delen door
13, zodat 182/351 = 14/27 ! Dan
heb je deze regel ontdekt:
Een ander voorbeeld is 4 koekjes
delen met 16 kinderen. Iedereen
krijgt dan 4/16 koekje. Je kunt
hier 4 groepen van 4 kinderen
maken, en elke groep 1 koekje
geven. Zo zie je dat 4/16 = 1/4.
Vermenigvuldig de teller van de
eerste breuk met de noemer van
de tweede, en de noemer van de
eerste met de teller van de
tweede. Als dit twee
keer
hetzelfde antwoord geeft, zijn de
twee breuken gelijk.
Breuken vereenvoudigen
Als voorbeeld nemen we weer voor
de eerste breuk 182/351 en voor
de tweede breuk 14/27. De teller
van de eerste is 182 en de noemer
de tweede is 27. Dus het eerste
getal is 182 x 27 = 4914.
De noemer van de eerste breuk is
351 en de teller van de tweede is
14. Het tweede getal is 351 X 14 =
4914. Omdat de twee getallen
gelijk zijn, zijn de breuken gelijk.
Gebruik nu de regel (en een
rekenmachine) om na te gaan of
127/211 gelijk is aan 2921/4853.
Vereenvoudigen
Je weet nu hoe je kunt nagaan of
twee breuken gelijk zijn. Wat we
nog graag willen is een breuk zo
eenvoudig
mogelijk
schrijven.
Daarmee bedoelen we dat de teller
en noemer zo klein mogelijk zijn.
Hierboven heb je gezien hoe je dat
kunt doen: zoek het grootste getal
waardoor de teller en noemer te
delen zijn. De teller en noemer
zitten allebei in de tafel van dit
getal: we zoeken dus het grootste
getal met teller en noemer in de
tafel. De volgende methode vindt
dit getal.
Het eerste getal wordt de noemer,
en het tweede de teller.
1. Deel het eerste getal door
de tweede. Onthoud de rest
van de deling.
2. Als de rest 0 is, is het
tweede getal het resultaat.
3. Als de rest niet 0 is, wordt
het tweede getal de eerste,
en de rest het tweede getal.
Ga naar stap 1.
Als voorbeeld nemen we de breuk
12/56. Het eerste getal is 56, het
tweede 12. We volgen de stappen
van de methode één voor één. Je
moet steeds opnieuw bij stap 1
beginnen, totdat de rest 0 is.
1.
Deel 56 door 12. Dit is 4
met rest 8.
2. De rest is niet 0.
3. De eerste wordt 12 en de
tweede 8. Ga naar stap 1.
1. Deel 12 door 8. Dit is 1 met
rest 4.
2. De rest is niet 0.
3. De eerste wordt 8 en de
tweede 4. Ga naar stap 1.
1. Deel 8 door 4, dit is 2 met
rest 0.
2. De rest is 0, en het
resultaat is 4 (de laatste
rest).
De grootste tafel waar 12 en 56
inzitten is de tafel van 4. Daarom
kan 12/56 vereenvoudigd worden
tot 3/14.
Vereenvoudig de volgende breuken
door de methode te gebruiken:
21/28
215/344
23/35
De methode wordt het algoritme van Euclides
genoemd. Euclides van Alexandrië was een
Grieks wiskundige die ruim 2200 jaar geleden
leefde. Zolang is deze methode dus al
bekend. Het grootste tafel waar de teller en
noemer inzitten heet ook wel de “grootste
gemene deler” van de teller en noemer. De
methode berekent de grootste gemene deler
van de twee begingetallen.